Теоретическая механика - теория, задания и примеры решения задач
Подождите немного. Документ загружается.
70
Решение
Рассмотрим отдельно равновесие рамы AC и рамы BC.
Расчетные схемы этих рам показаны на рис. 49.
а) б)
Рис. 49
Для расчетной схемы рис. 49а составим три уравнения равнове-
сия сил (первая форма).
kx
F=0
∑
, sinα 0
CA
PXX
−
−=,
ky
F=0
∑
, cosα 0
AC
PYY
−
−=,
()0
Ak
MF=
∑
,
11 1
cos α sinα 0
22 2
CC
PPhXhY
⋅
−⋅+⋅−⋅=ll.
Для расчетной схемы рис. 49б
0
kx
F =
∑
,
0
CB
XX
′
−=
,
0
ky
F =
∑
,
0
CB
YY
′
−=
,
()
0
Bk
MF=
∑
,
1
0
2
CC
mX hY
′′
−
⋅− ⋅ =l
.
Используем численные значения и запишем систему шести урав-
нений.
71
AC
A
CC
XX=5;
Y8,66;
4X 3Y = -16;
0;
0;
435.
C
CB
CB
CC
Y
XX
YY
XY
+
⎧
⎪
+=
⎪
⎪
−
⎪
⎨
′
−=
⎪
⎪
′
−=
⎪
′′
+=
⎪
⎩
(1)
При этом для равновесия шарнира C необходимо, чтобы
CC
X
X
′
= ,
CC
YY
′
= .
Решая совместно третье и шестое уравнение системы (1), нахо-
дим
C
8X = 11−
,
C
X1,38кН≅−
.
Из первого уравнения
AC
X = 5 X = 5 1,38 = 6,38 кН
−
+ .
Используя остальные уравнения, находим
AC
Y 8,66 Y 8,66 3,49 5,17кН=−=−= ;
1, 3 8
BC
XX кН
′
==− ; 3, 49
BC
YY кН
′
=
= .
Ответ
:
A
X=6,38 кН;
A
Y5,17кН
=
;
1, 3 8
B
X кН=− ; 3, 49
B
Y кН
=
.
Задача № 2
На рис. 50 показана плоская составная конструкция, состоящая
из отдельных рам и балок.
Дано
: P = 10 кН; m = 5 кНм; q = 4 кН/м; a = 2 м; l = 6 м; h = 4 м;
α = 30
0
.
Требуется определить реакции в опорах A, B и E плоской рамной
конструкции.
Решение
Расчленяем всю конструкцию в шарнирах B, C, K, D, E и рассмат-
риваем равновесие отдельно каждой части (рис. 51).
72
Рис. 50
Равномерно распределенную нагрузку заменяем равнодейст-
вующей Q = q
a = 8 кН и прикладываем ее в середине длины рас-
пределения.
Составляем уравнения равновесия сил для каждой части.
Рис. 51
73
Балка 1
0
kx
F
=
∑
; 0
CB
XR
−
= ;
()0
Ck
mF
=
∑
;
1
0
3
k
mR
−
+=l .
Откуда
KC
m
RX кН
⋅
=== =
335
2, 5
6
l
.
Рама 2
∑
kx
F=0;
DE
X-X+Q=0;
∑
ky
F=0;
DE
YY
=
-0;
∑
Ek
m
(
F
)
=0 ;
DD
1
YX Q=0
2
l-
a- a .
Рама 3
0
kx
F =
∑
;
BDC
X-X-X+Pcosα =0
′
′
;
∑
ky
F=0;
DB
Psinα -Y -Y =0
′
;
()
0
Bk
mF =
∑
;
DD C
31
-Y + X h + X h - Psinα =0
22
′′ ′
⋅
aa.
Рама 4
0
kx
F =
∑
; 0
AB
XX
′
−
= ;
∑
ky
F=0; 0
BA
YY
′
−
= ;
()
0
Ak
mF
=
∑
; 0
BA
mY m
′
+
⋅− =a .
При
DD
X
X
′
= ,
DD
YY
′
= ,
BB
X=X
′
,
BB
Y=Y
′
подставим число-
вые значения и запишем систему из девяти уравнений.
74
ED
DE
DD
DCB
DD
AB
BA
AB
XX8;
YY0;
6Y 2X 8;
XXX8,66;
5;
2Y 6X 5;
XX0;
YY 0;
m2Y5.
BD
YY
−
=
⎧
⎪
−=
⎪
⎪
−=
⎪
′′
+−=
⎪
⎪
′
+=
⎨
⎪
′′
−+ =
⎪
′
−=
⎪
⎪
′
−=
⎪
⎪
′
−=
⎩
(2)
Решая совместно третье и шестое уравнения системы (2), нахо-
дим:
кН≅
D
X1,44; кН
=
D
Y1,81.
Тогда кН
=
+=
ED
X8X9,44;
кН
=
=
ED
YY1,81;
B
Y5 3,19;
D
Y кН
′
=
−=
BDC
X X X 8, 66 1, 44 2,5 8, 66 4,72 ;кН
′′
=
+− = +− =−
A
B
XX 4,72;кН
′
=
=−
B
Y3,19;
A
Y кН
′
=
=
A
m 5 24 5 2 3,19 11,38 .
B
Y кН
′
=
+=+⋅=
Ответ: кН=
E
X9,44; кН
=
E
Y1,81; кН
=
K
R2,5;
кН=−
A
X4,72; кН
=
A
Y3,19; кНм
=
A
m11,38 .
75
Задача С.7. Расчет плоской фермы
На плоскую ферму действуют три внешние силы F
1
, F
2
и F
3
.
Определить реакции опор, а также усилия в стержнях фермы ме-
тодом вырезания узлов. Для указанных на чертеже стержней прове-
рить усилия методом сечений. Схемы ферм показаны на рис. 52–55.
При расчете принять F
1
= 1 кН, F
2
= 2 кН, F
3
= 3 кН.
Расчет фермы
Фермой называется геометрически неизменяемая конструкция,
состоящая из прямолинейных стержней, которые на концах соеди-
няются между собой. Места соединения стержней между собой на-
зываются узлами фермы. В реальных конструкциях узлы представ-
ляют собой жесткие заклепочные или сварные соединения. Так как
размеры узлов по сравнению со стержнями малы, а стержни обла-
дают гибкостью
, то при расчете ферм узлы считают идеальными
цилиндрическими шарнирами, т. е. шарнирами без трения. Будем
рассматривать фермы, все стержни которой и внешние силы лежат
в одной плоскости.
Такие фермы называются плоскими.
Ферма называется статически определимой, если число узлов У
и число стержней С связаны соотношением С = 2У – 3.
Если С > 2У – 3 ,
то имеются лишние стержни и ферма является
статически неопределимой.
Если С < 2У – 3, то имеются лишние узлы, конструкция не явля-
ется жесткой, а представляет собой механизм.
На рис. 56 показана ферма, у которой количество узлов У = 8, при
этом количество стержней удовлетворяет условию С = 2⋅8 – 3 = 13.
A и B – опоры фермы; h – высота фермы;
(AB) – пролет фермы - расстояние
между двумя смежными опо-
рами;
(AKLM) – нижний пояс фермы; (EDC) – верхний пояс фермы.
76
Рис. 52
77
Рис. 53
78
Рис. 54
79
Рис.55