Стрекалов А.В. Математические модели гидравлических систем для управления системами поддержания пластового давления

Подождите немного. Документ загружается.

591

рактер. Это объясняется близкими гидравлическими сопротивлениями

в трубах (звенья 9 и 8) НКТ, ЗВС и эксплуатационных колоннах сква-

жин (звенья 5 и 2), структурно соединенных последовательно с рас-

сматриваемыми штуцерами. Различия в рассматриваемых зависимо-

стях могут возникать из-за различия коэффициентов приемистости,

длин и шероховатостей НКТ, утечек и т.п.

Из приведенного анализа видно, что форма зав

исимостей между

диаметрами штуцеров и расходами при прочих равных параметрах

объектов взаимосвязана со структурой и свойствами всех устройств,

входящих в ТГС. Иначе говоря, приведенные зависимости могли бы

иметь другие числовые выражения по оси расходов, если бы тех-

показатели звеньев, не изменяемых в ходе расчета РК (прочих кон-

стант), имели др

угие значения, например, при изменении коэффициен-

тов приемистостей скважин, стоящих по схеме за рассматриваемыми

штуцерами, или при изменении структуры или характеристик АСГ на

КНС (количества, типа и производительности АСГ) и т.д.

Однако, в ходе анализа выяснено, что одномерные функции, отра-

жающие взаимосвязь между объемным расходом какого-либо звена и

диаметром ка

кого-либо штуцера, имеют схожую форму, а числовая

ось на отрезке 0–d

max

может быть разделена на три основные зоны по

характеру влияния изменения диаметра. Эти одномерные функции и

являются образующими при формировании поверхностей для случая

изменения диаметров двух звеньев и для общего N-мерного случая.

Примечание: здесь не рассматривались варианты, когда диаметр штуцера

превышает диаметр трубопровода. В этом случае рассмотренные кривые (рис.

6.19–а, 6.25, 6.29) после автомодельного участка (3 зона) будут загибаться

вниз вследствие роста гидравлического сопротивления на расширение потока.

Как видно из рассмотренных примеров, зависимости расхода, пе-

репада давления, температуры, к.п.д. и т.п. от диаметров штуцеров и

коэффициентов kQ, kdP имеют сложный и практически непредсказуе-

мый (без использования модели) характер. Изменяя диаметр хотя бы

одного штуцера, мы видим, что изменяются расходы и давления по

всей гидросистеме. И, на

конец, зависимость расхода в штуцере, а сле-

довательно, и в скважине от его диаметра имеет также сложный харак-

тер, потому что включает в себя воздействие на него всей системы.

Эти кривые отражают «мягкость» воздействия изменения тех-

показателей на гидравлические параметры потока в элементах ТГС в

целом и, в частности, на г

идропараметры изменяемого элемента (зве-

на).

592

Далее мы остановимся на анализе методов поиска оптимального

состояния технической части систем ППД.

6.3. Поиск оптимального состояния технической гидросистемы

С точки зрения цели оптимизации систем ППД и в зависимости от

способов выбора оптимального состояния назревают три формализа-

ции проблемы поиска этого состояния.

1. Поиск таких значений тех-показателей, при которых коэффици-

ент отклонения

minS

→

– технологическая оптимизация. Это ус-

ловие оптимальности описывает соответствие режимов нагнетатель-

ных скважин номинальным значениям, заданным по технологии за-

воднения.

2. Поиск таких значений тех-показателей, при которых полный

к.п.д. гидросистемы

maxK

→

– техническая оптимизация. Это

условие оптимальности описывает оптимальную эксплуатационную

характеристику ТГС.

3. Поиск таких значений тех-показателей, при которых коэффици-

ент эффективности

maxK

эфф

→

(т.е.

maxK

→

minS

→

) –

технико-технологическая оптимизация. Данное условие оптимально-

сти связывает соответствие технологии заводнения с максимизацией

полного к.п.д. системы.

В зависимости от поставленной цели (1, 2 или 3) и способов опти-

мизации математическое решение будет различным. Под способом оп-

тимизации будем понимать средства к достижению цели оптимизации:

выбор группы тех-показателей элементов ТГС, с помощью варьирова-

ния к

оторых может быть достигнуто оптимальное состояние. Напри-

мер, этими тех-показателями могут быть диаметры штуцеров, коэффи-

циенты коррекции гидравлической характеристики КНС, и/или АСГ.

Определение технических показателей устройств по управлению

потоком, соответствующих требуемым гидравлическим режимам

Здесь автором предлагается метод оптимизации режима гидросис-

тем ППД посредством автоматизированного комплексного изменения

тех-показателей: диаметров штуцеров, исходя из условия максималь-

ного достижения заданных приемистостей по всем скважинам. Данная

задача соответствует технологической оптимизации и может быть ре-

шена на основе использования функций регулировочных кривых

, d

,…, d

N–1

,), где N – количество штуцеров, равное количе-

593

ству нагнетательных скважин, Qc

– объемный расход в штуцере-

звене i, d

– диаметр штуцера-звена i.

Как упоминалось ранее, на основании результатов моделирования

всех комбинаций

С диаметров мы можем построить такие зависимо-

сти, где в качестве аргументов будут выступать диаметры любого из

рассматриваемых штуцеров, а в качестве функции – расход или давле-

ние любого звена или узла.

С точки зрения поставленной задачи оптимизации, предыдущий

анализ РК имеет прямое отношение к определению набора диаметров

штуцеров, соответствующих номинальным приемистостям Q

нагнета-

тельных скважин, структурно связанных со штуцерами. В предыдущих

примерах рассматривались только два штуцера, диаметры которых при

построении зависимостей изменялись. Отсюда и вытекает возмож-

ность получения достаточного количества

P значений диаметра, при

котором построение РК и поверхностей стало реальным. Как уже от-

мечалось, на практике величина

P ограничивается возможностями

компьютерной техники. Поэтому значение

P должно быть минималь-

но возможным, т.е. количество пересчета РК должно быть сведено к

минимуму.

Задача поиска диаметров N штуцеров для соблюдения равенства

текущих приемистостей N нагнетательных скважин сводится к системе

нелинейных уравнений вида:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−−−

−

SSSSSS

NNkN

kNkk

Q)d,...,d,...,d,d(Q

11101

110

11101

01100

где S – множество с номерами звеньев, соответствующих скважи-

нам или структурно (линейно) соединенным с ними штуцерам;

– значение заданной по технологии заводнения приемисто-

сти скважины и расхода в линейно-связанным с ней штуцером–

звеном – S

(номинальный расход);

k – номер элемента в множестве S;

N – количество элементов множества S, т.е. количество сква-

жин, равное количеству штуцеров;

(

6.4

)

594

),...,,...,,(

110 −Nkk

SSSSS

ddddQ

– функции РК, соответствующие за-

висимостям объемного расхода в скважинах от диаметров шту-

церов,

линейно-связанных с ними (здесь и далее значения функ-

ции

равны гидропараметру звена S

–

Примечание: линейно-связанными являются звенья, последовательно соеди-

ненные друг с другом, между которыми нет дополнительных подключений,

т.е. других звеньев.

Систему (6.4) методом Ньютона для СНАУ решить невозможно,

так как функции

)d,...,d,...,d,d(Q

Nkk

SSSSS

110 −

не определяются на всей

числовой оси. Поэтому для решения (6.4) можно использовать метод

«адаптивной линеаризации», предложенный в разделе 4.4 при началь-

ном приближении

minmax

−

. На рис. 6.41 показан пример

сходимости, для случая поиска диаметров двух штуцеров – звеньев 3 и

4 (рис. 6.18), соответствующих заданным номинальным приемисто-

стям. Так как штуцеры находятся в линейной структурной связи

(соединены последовательно) со скважинами, то функции в (6.4) соот-

ветствуют регулировочным кривым:

)d,d(Qc)d,d(Q

SSS 433

100

)d,d(Qc)d,d(Q

SSS 434

101

Рис. 6.41. Пример сходимости процесса расчета

при

=700 м

/сут и

=900 м

/сут

595

На рис. 6.41 точками показаны пересечения лучей, соответствую-

щих текущему приближению, с поверхностью

)d,d(Qc

433

. В за-

вершение процесса последовательных приближений имеем

=0.00831 м, d

=0.0119 м, при этом получены объемные расходы в

штуцерах, соответствующие приемистостям скважин –

= 698.4 м

/сут и Qc

= 900.0 м

/сут, что является удовлетворитель-

ным требуемой точности.

Для определения на текущей итерации I нового приближения необ-

ходимо решение СЛАУ, представленной в матричном виде:

−

⋅

где D – вектор неизвестных приращений диаметров; С – вектор теку-

щих значений функций

)d,...,d,...,d,d(Q

Nkk 110 −

; J – матрица

Якобиан, составленная из коэффициентов наклона прямых, аппрокси-

мирующих в точке текущих приближений –

частные производные

согласно текущему значению

≈

∂

−

Nkk

ddddQ

),...,,...,,(

110

),(

dHdddQdHdddQ

NjkNjk

),...,,...,,(),...,,...,,(

110110 −−

−−+

≈

где k – номер строки, а j – номер столбца. После решения (6.5) новое

приближение определяется следующим образом

Ddd

Значение

H после решения (6.5) пересчитывается

Для достижения большей устойчивости сходимости коэффициент 1.5

можно заменить значением 1.2. Как показал опыт, описанный метод

хорошо сходится при данном коэффициенте со значением 2.3.

Естественно, такого рода решение задачи технологической оптими-

зации исключает количество подбираемых штуцеров, не равное коли-

честву нагнетательных скважин. Однако, если есть необходимость в

подборе штуцеров в каких-либо участках ТГС дл

я установления тре-

буемого расхода, то описанное решение может быть применено без

учета связи со скважинами. Т.е. рассмотренное решение может приме-

(

6.5

)

(

6.6

)

(

6.7

)

(

6.8

)

596

няться для любых условий, когда необходимо в определенных участ-

ках моделируемой ТГС установить требуемый расход жидкости по-

средством дросселирования потока в этих же участках.

Определение оптимального состояния насосных агрегатов

и устройств по управлению потоком

Рассматриваемому здесь вопросу посвящено множество работ, на-

правленных на решение подобных задач, связанных с поиском опти-

мального состояния сложных систем в различных отраслях энергетики

[47, 77, 80, 106]. Так как системы ППД имеют ряд особенностей в экс-

плуатации и управлении, которые связаны, прежде всего, гидравличе-

ской взаимосвязью с ГПП, здесь будет рассмотрен сугубо отраслевой

аспект пр

именения МТГС для поиска оптимального состояния систем

ППД.

Основным способом к изменению состояния ТГС является измене-

ние тех-показателей ее элементов, которые можно подобрать некото-

рым образом так, что работа системы: распределение гидропараметров

в ее элементах будет соответствовать определенным условиям.

Ранее в работах [132, 161] предлагалось находить комплексный оп-

тимум посредством решения зад

ачи нелинейного программирования

вида:

[

]

[]

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

→

⋅+⋅−∈

−−−

−−−−−−−−

−−−

max)kdP,...,kdP,...,kdP,kQ,...,kQ,...,kQ,d,...,d,...,d(К

QQ,QQ)kdP,...,kdP,...,kdP,kQ,...,kQ,...,kQ,d,...,d,...,d(Q

MMNk

NNNNMMNkN

kkkkMMNkk

MMNk

PPjPPPjPSSSф

SPPjPPPjPSSSS

101010

11111010101

101010

11111010101

00001010100

δδ

где

P – множество с номерами звеньев – АСГ;

S – множество с номерами звеньев – штуцеров;

M – количество АСГ в системе;

N – количество скважин или соответствующих им штуцеров;

kQ, kdP – коэффициенты коррекции гидравлических характеристик

АСГ;

k – индекс штуцера во множестве S;

j – индекс АСГ во множестве P, в котором аналогично S занесены

номера звеньев – АСГ;

(

6.9

)

597

)kdP,...,kdP,...,kdP,kQ,...,kQ,...,kQ,d,...,d,...,d(Q

MMNkk

PPjPPPjPSSSS

101010 −−−

–

функции, описывающие регулировочные кривые, зависимости рас-

хода звена S

от тех-показателей штуцеров и АСГ гидросистемы

(d, kQ и kdP);

)kdP,...,kdP,...,kdP,kQ,...,kQ,...,kQ,d,...,d,...,d(К

MMNk

PPjPPPjPSSSф

101010 −−−

–

функция, описывающая регулировочную кривую, зависимости

полного к.п.д. гидросистемы от тех-показателей гидросистемы.

Как показал опыт, решение (6.9) является неэффективным с точки

зрения скорости расчета, так как задача поиска минимума осложняется

тем, что функционал –

)kdP,...,kdP,...,kdP,kQ,...,kQ,...,kQ,d,...,d,...,d(К

MMNk

PPjPPPjPSSSф

101010 −−−

имеет область определения, ограниченную поверхностями –

)kdP,...,kdP,...,kdP,kQ,...,kQ,...,kQ,d,...,d,...,d(Q

MMNkk

PPjPPPjPSSSS

101010 −−−

Поэтому здесь предлагаются более простая постановка задачи и эф-

фективный метод ее решения: технико-технологической оптимизации

посредством нахождения максимума функции зависимости коэффици-

ента эффективности –

эфф

от тех-показателей, выбранных в качестве

способа оптимизации. В частности, остановимся на том, что в качестве

регулирующих тех-показателей будут диаметры штуцеров и коэффи-

циенты коррекции гидравлических характеристик КНС и/или АСГ.

Таким образом, задача технико-технологической оптимизации сво-

дится к поиску максимума (N+2M)-мерной функции

)kdP,...,kdP,...,kdP,kQ,...,kQ,...,kQ,d,...,d,...,d(К

MMNk

PPjPPPjPSSSэфф

101010 −−−

при ограничении области определения аргументов

[

]

maxminS

d,dd

∈

[

]

maxminP

kQ,kQkQ

∈

[

]

maxminP

kdP,kdPkdP

∈

, где d

min

=0.001 м;

max

=0.050 м; kQ

min

=0.1; kQ

max

=10; kdP

min

=0.1; kdP

max

=10.

Для формирования более четкого описания аргументы целевой

функции необходимо нормировать:

minmax

minS

−

minmax

minP

kQkQ

−

minmax

minP

kdPkdP

kdP

−

Таким образом, искомый оптимум достигается решением

598

max,

kdP,...,kdP,...,kdP

,kQ,...,kQ,...,kQ

,d,...,d,...,d

PPjP

SSS

эфф

→

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

или

.min

kdP,...,kdP,...,kdP

,kQ,...,kQ,...,kQ

,d,...,d,...,d

PPjP

SSS

эфф

→

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Здесь следует сделать некоторое уточнение: предполагается, что

коэффициенты kQ и kdP, корректирующие гидравлическую характери-

стику АСГ, изменяют также кривые потребляемой мощности и к.п.д. В

частности, кривая зависимости к.п.д. от расхода жидкости изменяется

следующим образом:

)()( kQqq

⋅

′

где

)(q

′

– модифицированная кривая зависимости измененного

к.п.д. АСГ;

)(q

– известная кривая зависимости к.п.д. АСГ (например, за-

вода-изготовителя).

Кривая потребляемой электрической мощности модифицируется

следующим образом:

kdPkQkQqNqN

ээ

⋅⋅⋅=

′

)()(

где

)(qN

′

– модифицированная кривая зависимости потребляемой

электрической мощности АСГ;

)(qN

– известная кривая зависимости потребляемой электри-

ческой мощности АСГ (например, завода-изготовителя).

Иначе, модифицированную потребляемую электрическую мощ-

ность можно вычислить согласно известным функциям –

)(q

′

и гид-

равлической характеристике –

)()( kQqfkdPqf

АСГАСГ

⋅⋅=

′

)(

kQq

kQqfkdP

qqf

АСГАСГ

⋅

′

ηη

Также важно отметить допущение, согласно которому предполага-

ется, что к.п.д. АСГ не зависит от коэффициента kdP. Это вполне пра-

(

6.10

)

(

6.11

)

(

6.12

)

(

6.13

)

(

6.14

)

599

вомерно, так как при последовательной установке АСГ

СТР

или уста-

новке дополнительных секций совместный к.п.д. такой системы слабо

меняется при работе на оптимальном режиме. Так как предполагается

искать корректирующие коэффициенты исходя из взаимодействия

АСГ, этот оптимальный режим также будет отыскиваться при реше-

нии (6.10–6.11).

Для решения (6.10) или (6.11) придется постоянно решать задачу

потокораспределения или комплексного потокораспределения для по-

иска з

начений целевой функции при текущих приближениях аргумен-

тов. В ПРК Hydra’Sym скорость расчета потокораспределения для ТГС

с количеством звеньев около 1500 составляет 1.5 с, поэтому поиск ми-

нимума или максимума целевой функции составляет порядка 1–4 ча-

сов, что в принципе, является приемлемым для задач такой сложности.

Методы решения задач (6.10) или (6.11) относятся к методам нели-

не

йного программирования [252], а наиболее эффективным для опи-

сываемой задачи в плане стабильности и скорости решения является

метод

L-BFGS[250]. Большинство методов оптимизации (поиска ми-

нимума или максимума целевой функции) основаны на методе Ньюто-

на. Этот классический метод в курсе по методам оптимизации обычно

идет первым, и послужил основой для создания целого ряда близких

ему по сути методов, представителем которых является и метод

L-BFGS. Классический метод Ньютона использует Гессиан функции.

Шаг мет

ода определяется произведением матрицы, обратной к Гессиа-

ну, на градиент функции. Если функция является положительно опре-

деленной квадратичной формой, то за один шаг данного метода оты-

скивается её минимум. В случае неопределенной квадратичной формы,

у которой нет минимума, метод сойдется к седловой точке или к мак-

симуму. Т.е. фактически метод ищ

ет стационарную точку квадратич-

ной формы.

Описанная целевая функция не имеет квадратичной формы, но яв-

ляется гладкой в окрестностях минимума и достаточно хорошо описы-

вается квадратичной формой, что достаточно для того, чтобы метод

Ньютона (или его вариация) сошелся к минимуму. Однако, метод

Ньютона с тем же успехом может сойтись к ок

азавшемуся рядом мак-

симуму, совершив шаг в направлении возрастания функции вместо

шага, уменьшающего значение функции. Модификации метода Нью-

тона решают эту проблему следующим образом: вместо Гессиана ис-

пользуется его положительно определенная аппроксимация. Если Гес-

сиан положительно определен, то шаг совершается по методу Ньюто-

на. Если Гессиан не определен, то перед совершением шага по мет

оду

600

Ньютона модифицируется Гессиан так, чтобы он был положительно

определен. Суть данного подхода в том, что шаг всегда совершается в

направлении убывания функции. В случае, когда Гессиан положитель-

но определен, он используется для построения квадратичной аппрок-

симации поверхности, что ускоряет сходимость. Если Гессиан не оп-

ределен, то движение совершается в направлении убы

вания функции

каким-либо другим способом.

Основная идея L-BFGS схемы обновления Гессиана состоит в сле-

дующем. Гессиан функции доступен не всегда, и гораздо чаще суще-

ствует возможность вычислить только градиент функции. Поэтому

здесь используется следующая схема работы: на основе n последова-

тельных вычислений градиента строится Гессиан функции и соверша-

ется «Ньютоновский шаг».

В данном методе используется BFGS-схема

обновления, названная по первым буквам имен Broyden-Fletcher-

Goldfarb-Shanno.

Существует специальная формула, позволяющая итеративно полу-

чать аппроксимацию Гессиана, причем, на каждом шаге аппроксими-

рующая матрица остается положительно определенной. Таким обра-

зом, эта формула строит не сам Гессиан, а обратную к нему матрицу

таким образом, чтобы не затрачивать вр

емя на ее обращение.

Буква –

L в названии схемы происходит от слов «Limited memory»

– ограниченная память. В случае больших размерностей целевой

функции: количество штуцеров – N плюс количество АСГ – M, умно-

женное на два – R=N+2M, объем памяти порядка R

, требуемый для

хранения Гессиана, оказывается слишком большой вычислительной

нагрузкой. Поэтому вместо использования R значений градиента для

построения Гессиана можно обойтись меньшим числом значений, по-

зволяющим использовать объем памяти порядка R × S. Обычно на

практике S

]10..3[∈ , в наиболее сложных случаях можно увеличить

эту константу до 25. В результате на каждом шаге – n получается не

сам Гессиан, а его аппроксимация. Естественно, при этом замедляется

процесс сходимости, т.е. растет количество итераций, но скорость в

целом работы может увеличиться за счет сокращения времени на

работу ЭВМ с памятью и вычислениями. Данн

ый метод разрабатывал-

ся специально для поиска минимума целевых функций с очень боль-

шим числом аргументов (сотни и тысячи), так как именно в этом слу-

чае увеличение числа итераций из-за пониженной точности аппрокси-

мации Гессиана полностью окупается снижением вычислительной на-

грузки на его обновление.