Стрекалов А.В. Математические модели гидравлических систем для управления системами поддержания пластового давления

Подождите немного. Документ загружается.

461

открытые пористости

(

)

(

)

[

]

отк

itI

iti

отк

IIIIIIII

mpMMtQJtQJvmmm ,,,,,

,,,,

+++=

;

массы компонентов

(

)

()

i,tt

e,bU

Z,Y,XS

SiU,Ф

i,ttI

i,tt

i,t

III

MmttQ

MtQJM

+⋅Δ−=

=++=

∑

и насыщенности (для двухкомпонентной фильтрации вода + нефть)

i,t

i,нt

i,t

i,вt

компонентов в каждой ячейке согласно рассчитанным из (4.256 и

4.186) суммарным оттокам/притокам (см. раздел 4.5. «Модели элемен-

тов гидросистемы продуктивных пластов»).

Далее проверяются условия трещинообразования (4.217–4.224) и

вычисляются корректирующие коэффициенты

i,t

Таким образом, к следующему потокораспределению I+1 имеем

новые свойства ячеек: давления, открытые пористости, абсолютные

проницаемости, насыщенности компонентов (вода + нефть), массы,

плотности и вязкости компонентов, сосредоточенных в ячейках, и кор-

ректирующие коэффициенты, которые отражают условия трещинооб-

разования. Следовательно, к следующему расчету, соответствующему

времени t

I+1

, замыкающие отношения

Si,Ф

будут иными.

Далее процесс переходит к следующему потокораспределению для

следующего момента времени (4.254). Процесс повторяется до тех пор,

пока I < Im.

Из (4.257–4.259) видно, что приращение масс компонентов включа-

ет граничные условия, описанные функциями притока/оттока

(

)

Такое описание подходит для внедрения в модель окон слияния и ис-

точников пластовой воды, компенсирующих отборы жидкостей добы-

вающих скважин. Вследствие того, что скважины могут вскрывать

более одного пласта или более одной ячейки необходимо учитывать

потокораспределение между стволом скважины и ячейками пласта,

(4.258)

(4.259)

(4.260)

462

прилегающими к стволу. Также необходимо учитывать, что описание

граничных условий в добывающих скважинах связано с описанием не

(

)

, а функций суммарного отбора текучей среды –

(

)

, так как

состав отбираемой жидкости будет зависеть от текущих насыщенно-

стей компонентов в смежных со стволом скважины ячейках и вскры-

тых скважиной ячейках. Для нагнетательных скважин можно описать

граничные условия в виде функций

(

)

, так как при притоке ТС

извне состав определяется внешней гидросистемой. Описание гарнич-

ных условий в виде

(

)

или

(

)

будем называть граничными

условиями притока/оттока –

«по расходу». Также можно предусмот-

реть граничные уловия –

«по давлению», соответствующие описанию

скважин в виде зависимостей забойного давления (в точке эксплуата-

ционного забоя верхнего пласта) от времени –

)t(P

. В этом случае

предполагается, что приток и отток из ячеек определяется согласно

перепаду давления между

)t(P

и давлениям смежных ячеек.

На рис. 4.143 показана схема расчета потокораспределения на при-

мере вертикальной нагнетательной скважины, вскрывшей 3 пласта для

граничных условий «по расходу». Вследствие того, что направление

ствола скважины может быть произвольным в первом приближении

будем считать положение ствола скважины параллельным одной из

осей координат. Для расчета потокораспределения между ячейками,

пересекающимися ст

волом скважины и смежными с ними: для верти-

кальной скважины – это ячейки слева, справа, спереди и сзади, а для

горизонтальной – слева, справа, сверху, снизу или спереди, сзади,

сверху, снизу, необходимо описать модель ТГС с активными узлами в

смежных ячейках и транзитивными узлами по стволу скважины.

Звеньями такой модели будут гидравлические ха

рактеристики участ-

ков эксплуатационной колонны или открытого ствола вдоль направле-

ния скважины – 1, половины ячеек, смежных со стволом – 2, и участки

фильтрации от ствола скважины к граням смежных ячеек – 3 (см. 4.144

– а). На рис. 4.144 – а показан фрагмент структуры рассматриваемой

гидросистемы (рис. 4.143) для верхнего пласта в отношении потоко-

распределения между ст

волом скважины и смежными с ней ячейками

по некоторой оси S (для вертикальной скважины S будет соответство-

вать осям X и Y). Так как, в любом случае, структура должна отражать

потокораспределение между ячейками ствола и смежными ячейками,

463

то общая структура модели будет схематично выглядеть так, как пока-

зано на рис. 4.144 – б.

Из рис. 4.143–4.144 видно, что модель соответствует задаче пото-

кораспределения (4.24) (см. раздел 4.3), которая решается методом

«узловой увязки» алгоритмом «АЛУС» и с той лишь разницей, что

гидравлические характеристики каждого звена будут определяться для

смежных ячеек – 2 (см. рис. 4.144 – а) согл

асно функциям замыкаю-

щих отношений

S,Ф

соответствующих ячеек для текущего давления

и насыщенностей в них. Для описания гидравлических характеристик

(Δp) для каждого участка ствола скважины – 1 можно воспользовать-

ся формулой Дарси-Вейсбаха (4.72).

Рис. 4.143. Схема модели скважины в модели ГПП для потокораспределе-

ния в окрестности эксплуатационного забоя (скважина вертикальная W=Z,

S=X, S

=Y)

464

Схему моделирования скважин можно упростить исключением

смежных ячеек, полагая давление в НТС модели ТГС равным пласто-

вому давлению на гранях ячеек, вскрытых стволом.

Рис. 4.144. Модель гидросистемы

для потокораспределения между

скважиной и ячейками пластов

модели ГПП (граничное условие –

«по расходу»): а – фрагмент струк-

туры в плоскости W–S верхнего

пласта; б – общий вид структуры

а)

б)

465

Для расчета гидравлических характеристик, описывающих фильт-

рацию компонента от ствола скважины (от центра ячейки-скважины)

до ее граней вдоль оси S, можно использовать следующую зависи-

мость для раздельной фильтрации от ствола скважины с диаметром

КОЛ

до грани прямоугольной ячейки – 3.

Запишем уравнение притока, согласно закону Дарси:

(

)

()

∫

=−

КОЛ

WФ

)S(

Lkk

где p – давление в стволе скважины в точках g0, g1 … ;

– давление на одной из пары граней ячейки вдоль оси S;

dl – приращение расстояния от центра ячейки к периферии;

l – расстояние от центра ячейки;

– массовый расход компонента;

– длина ячейки по оси W;

– длина ячейки по оси S;

– длина ячейки по оси S

;

W – ось ствола скважины;

WSS ⊥⊥

В итоге после интегрирования имеем:

(

)

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=−

КОЛ

WФ

)S(

Lkk

Для учета дополнительных сопротивлений в каналах перфорации в

(4.262) внесем изменение добавлением коэффициента дополнительно-

го сопротивления S

, который может быть принят большим (порядка

10000), если необходимо описать отсутствие фильтрации в определен-

ной части ствола (например, если нет перфорации). После подстановки

этого коэффициента будем иметь окончательно:

(

)

(

)

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=−=

КОЛ

SФ

)S(

SUSWФ

SUпс

lnLp

kkppLLp

)pp(sm

(4.261)

(4.262)

(4.263)

466

Таким образом, сопротивление фильтрации будет

()

)(

),(

2ln

SWФ

КОЛ

SФ

ФS

kkLLp

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Разумеется, вместо (4.263) можно использовать и функции

S,Ф

полученные согласно общей модели ячеек (см. раздел 4.5 «Модели

элементов гидросистемы продуктивных пластов») при том, что диа-

метр ствола много меньше размеров ячейки. В этом случае также аде-

кватно будут учитываться факторы изменения абсолютной проницае-

мости от давления и гидравлического разрыва в ячейках ствола сква-

жины.

При расчете потокораспределения между скважиной и ячей

ками

ГПП необходимо учитывать уравнения (4.255) и соответствующие

условия их применимости, так как ячейки пласта в зависимости от те-

кущих насыщенностей будут по-разному принимать закачиваемые

компоненты. Поэтому функции замыкающих отношений

S,Ф

смежных ячейках и функции

пс

s должны быть объединены согласно

последовательному соединению звеньев (см. 4.144 – а) аналогично

(4.255):

(

)( )

ppspp

SUпсSU

S,Ф

−=−

Если

0)(

=Δ

Xк

SФ

, то следует принять

pA)p(

S,Ф

Δ⋅=Δ

, где

А – коэффициент сверхнизкой проводимости, например,

А=1⋅10

-8

Пас

кг

⋅

Структура модели скважины, показанная на рис. 4.143–4.144, не

учитывает изменения давления в ячейках ствола вследствие их дефор-

мации, так как сумма расходов в узлах g0, g1… равна нулю. Поэтому

вместо такой структуры можно также использовать структуру без уча-

стия смежных ячеек, основываясь на том, что давление на гранях ячеек

ствола равно среднему давлению в яче

йке – p

, а давление в центре

ячейки будет равно давлению в узлах g0, g1… , т.е. забойному давле-

нию.

(4.264)

467

Следующим важным моментом при расчете потокораспределения

между скважиной и ГПП является учет возможного двухкомпонентно-

го течения – вода + нефть. Так как текучие среды находятся в одном

состоянии, то течение в стволе скважины можно рассчитывать как

единую смешанную среду (эмульсию) или раздельно. В последнем

случае модель потокораспределения будет разделена на две структуры

(см. ри

с. 4.144 – б), каждая из которых будет описывать, в соответст-

вии с гидравлическими характеристиками s

(Δp), раздельное течение

компонентов в стволе скважины, при этом площадь сечения ствола

должна быть разделена в долях, соответствующих составу текучей

среды в каждом звене. К сожалению, здесь нет возможности подробно

описать такую задачу потокораспределения. Поэтому в качестве до-

пущения можно предположить течение смешанной среды с осреднен-

ной плотностью и динамической вяз

костью в стволе скважины или для

нагнетательных скважин приток только одного компонента – вода.

Для добывающих скважин модель потокораспределения подобна

схеме на рис. 4.143–4.144 с той лишь разницей, что в качестве гранич-

ного условия задается массовый отбор (отток) смешанной среды –

Q(t). Причем течение компонентов до узлов g0, g1… происходит раз-

дельно, а затем происходит смешивание, поэтому структура несколько

изменяется, так как характеристики течения для компонентов различ-

ны (см. рис. 4.145). Звенья, соответствующие течению компонентов в

смежных со стволом ячейках, будут структурно сходиться в узлах

ствола g0, g1… так, что будет происходить смешивание их масс и

да

льнейшее совместное течение. Хотя и описанная ранее задача пото-

кораспределения не учитывает в явном виде течения среды, состоящей

из более чем одного компонента, описание гидравлических характери-

стик учитывает произвольные свойства текучих сред. Поэтому, описав

свойства компонентов (вязкость и плотность) в звеньях, соответст-

вующих их течению, можно рассчитать п

отокораспределение в преж-

ней постановке задачи.

Структура МТГС скважин, соответствующая граничным условиям

– «по давлению» имеет на одно звено и один узел больше элементов. В

такой модели верхний узел соответствует активному узлу с давлением,

принимаемым согласно заданной динамке забойного давления, а гид-

равлическая характеристика соединенного с ним звена имеет некото-

рое весьма мал

ое сопротивление.

468

а) б)

Рис. 4.145. Фрагмент структуры модели потокораспределения добываю-

щей скважины (модель добывающей скважины в модели ГПП): а – для

граничных условий «по расходу»; б – для граничных условий по давле-

нию

Потокораспределение, получаемое в структуре на рис. 4.145, по-

зволяет рассчитать долю нефти и воды согласно текущим притокам и

оттокам в ячейках ствола скважины по направлениям осей S: получен-

ные массовые расходы

S,н

S,в

компонентов в звеньях-ячейках i

(см. рис. 4.145) суммируются по каждому компоненту и делятся на

суммарный массовый отбор. Так, для вертикальной скважины доля

компонента Ф в общем отборе будет

∑

(4.265)

469

где N – количество ячеек, вскрытых скважиной;

m – суммарный по

осям и граням массовый расход компонента Ф.

Так как ориентация звеньев выбрана согласно схеме на рис.

4.144 – а, то при массовом расходе в звене i –

< 0 будет приток в

ствол скважины. Величина отбора

Q < 0. В связи с тем, что условия

поставленной задачи потокораспределения допускают возможность

межпластовых перетоков в стволе скважины, возможны оттоки –

> 0 из ствола скважины, которые скажутся на доле компонента в

общем отборе в сторону уменьшения.

В заключение описания модели скважин следует уточнить, что

предлагаемые здесь модели не учитывают факторов поэтапного (меж-

ду звеньями) смешивания компонентов при потокораспределении в

стволе скважины. Однако, такое допущение не окажет существенного

влияния на результаты расчета, так как ги

дравлические потери в экс-

плуатационной колонне при внутреннем диаметре более 100 мм, не-

больших длинах (до 100 – 200 м) и больших объемных расходах (до

1000 – 1500 м

/сут) малы: порядка 0.01–0.03 МПа.

В описываемой модели ГПП нет явного решения системы уравне-

ний, описывающих материальный баланс, так как расчет давлений в

ячейках является неявным, а расчет потокораспределения между ячей-

ками базируется на текущем распределении давлений. Однако, мате-

риальный баланс полностью выдерживается посредством решения

(4.255) для всех ячеек, не связанных со ск

важинами, и решения пото-

кораспределения (4.24) для моделей скважин. Вычислительные экспе-

рименты, поставленные на описанной модели ГПП, показали неточ-

ность соблюдения материального баланса не более 1⋅10

–4

кг. Неточ-

ность материального баланса вычислялась посредством суммирования

текущих масс компонентов во всех ячейках и величин отто-

ков/притоков компонентов, заданных граничными условиями

(

)

tΔ⋅ ,

(

)

tΔ⋅ и

(

)

⋅

с сопоставлением с начальными

массами компонентов в ячейках –

itt

. Это подтверждает

принятую в предлагаемой модели схему описания материального ба-

ланса, которая позволила разгрузить ЭВМ примерно в 2–3 раза по

сравнению с постановкой и решением задачи явного потокораспреде-

ления решением системы уравнений, и получить возможность эффек-

470

тивного моделирования ГПП с ячейками малого размера при их общем

количестве в модели ГПП порядка 500 млн.

Посредством применения особого подхода к хранению и обработке

информации в авторском ПРК Hydra’Sym количество ячеек может

достигать даже порядка 10 млрд.

Материальный баланс в описываемой модели поддерживается оп-

ределенным алгоритмом – порядком распределения массовых расхо-

дов между сме

жными ячейками. Рассмотрим общую схему распреде-

ления потоков на шаге I при известных на данный момент времени – t

давлениях во всех ячейках.

На рис. 4.146 показана схема порядка распределения потоков меж-

ду смежными ячейками пласта с индексом c = 0. Согласно (4.255–

4.256) для каждой пары смежных ячеек возможно найти массовый рас-

ход перетока компонента Ф между этими ячейками.

Рис. 4.146. Порядок расчета массовых расходов между ячейками пласта

Для соблюдения баланса масс необходимо, чтобы масса притекаю-

щих в данную ячейку компонентов компенсировалась оттоком из

смежных ячеек, в том числе, из ячеек, смежных со скважиной и вскры-