Стрекалов А.В. Математические модели гидравлических систем для управления системами поддержания пластового давления

Подождите немного. Документ загружается.

441

а)

б)

Рис.4.136. Интерполирующая поверхность:

а –методом П-ППС-w-cos

(авторский); б – методом С-ППС-w-cos (авторский)

442

а)

б)

Рис. 4.137. Интерполирующая поверхность:

а – методом Пентоид

(авторский);

б – методом Гептоид (авторский)

443

Новые методы интерполяции для геологических моделей

В ходе исследований автором данной работы был разработан и реа-

лизован в программном расчетном комплексе (ПРК) HydraSym ряд

новых методов интерполяции, которые можно применить для построе-

ния геологических моделей. Примеры использования этих методов

были приведены выше. Здесь мы остановимся на основной идее мето-

дов и их математическом описании.

1. Методы Гептоид, Пентоид и их вариации

Идея данных методов состоит в следующем. Пусть известны n ис-

ходных точек в трехмерном пространстве – X

, Y

, Z

. Задача сводится к

поиску точек поверхности, лежащих в области определения [X

min

, X

max

min

, Y

max

]. Причем искомые точки принимают дискретные значения

по осям X и Y в соответствии с размерностью равномерной сетки:

1−

−

=Δ

minmax

10 −

⋅

Xminj

G..j,Xjxx

1−

−

=Δ

minmax

1...0,

min

−=+⋅Δ=

GiYiyy

где i – индекс точки по оси Y;

j – индекс точки по оси X.

Для оценки степени влияния исходной точки (X

, Y

) на искомую –

, y

) определим расстояние между ними в плоскости X–Y:

(

)

(

)

kjkjk

YyXxR −+−=

Сформируем множество расстояний M=[R

, R

,…, R

,… R

n–1

составленное из расстояний R

, и отсортируем элементы множества по

возрастанию. Также выделим из него подмножество E, получаемое из

M посредством взятия первых N элементов.

Далее в качестве константы, определяющей ту или иную вариацию

метода (Пентоид – 5, Гептоид – 7 и т.д.), возьмем количество точек

влияния N.

Максимальным расстоянием от исходных точек, соответствующих

выборке в множестве E, до ис

комой будет величина

(

)

1..0,max

−

NdEESR

Нормируем множество E по максимальному расстоянию SR и по-

лучим относительное расстояние:

(4.236)

(4.237)

(4.238)

(4.239)

(4.240)

444

Для получения вариации характера влияния исходных точек введем

функцию распределения относительного расстояния

(

)

Rw =

где

– константа, для примеров на рис. 4.137

= 0.033.

Тогда коэффициент влияния исходной точки

()

+⋅=

πβ

wcos

Суммируя все

, получим коэффициент выравнивания

∑

−

βε

на основании которого нормируем полученные коэффициенты (4.242)

′

Таким образом, координата Z искомой точки (x

) будет опреде-

ляться суммой произведений коэффициентов (4.244) на соответст-

вующие им координаты Z

исходных N точек множества E:

∑

−

⋅

′

ddj,i

Итак, последовательность вычислений выглядит следующим обра-

зом. Для каждой искомой точки i,j определяется множество из N ис-

ходных точек с минимальными расстояниями в плоскости X–Y в соот-

ветствии с (4.239). Затем последовательно корректируются коэффици-

енты, отражающие степень влияния каждой исходной точки на иско-

мую, в зависимости от расстояния (4.240–4.244). После чего находится

координата Z ис

комой точки (4.245). Перебирая величины x

, y

, полу-

чим сеточную поверхность.

Коэффициент

определяет крутизну интерполирующей поверхно-

сти вблизи экстремумов (в районе исходных точек), а коэффициент N

степень близости получаемой поверхности к исходным точкам. В ча-

стности, при N=n получаемая поверхность соответствует крайней сте-

пени аппроксимации. Величина N может принимать только целые зна-

чения в пределах [3..n].

(4.241)

(4.242)

(4.243)

(4.244)

(4.245)

445

2. Методы ППС и их вариации. Основой для всех вариаций дан-

ного метода является формирование поверхности в неравномерной

сетке таким образом, чтобы линии сетки проходили через все исход-

ные точки в проекции на плоскость X–Y (см. рис. 4.131–б). Ввиду

сложности изложения алгоритма рассмотрим только общую идею ме-

тода.

Поиск искомой координаты z

i,j

осуществляется некоторым осред-

нением координат z

пересечения луча S, параллельного оси Z, прохо-

дящего через точку (x

), и M треугольников, образованных исходны-

ми точками, в которых есть пересечение луча S (см. рис. 4.138).

Рис. 4.138. Нахождение координаты Z искомой точки (x

)

для n = 4 исходных точек

Допустим, имеется четыре исходных точки, образующие в различ-

ных комбинациях четыре треугольника, которые пересекаются лучом

S, проходящим через искомую точку (x

). В общем случае общее ко-

личество треугольников может отличаться от количества треугольни-

ков M, которые пересекаются лучом S. Для примера на рис. 4.138 коор-

дината искомой точки может быть определена по простой формуле:

4321

SSSS

j,i

zzzz

(4.246)

446

где

z ,

z и

z – координаты Z точек пересечения луча S и

треугольников ABC, BCD, ACD, ABD.

Формула (4.246) соответствует методам с префиксом w/o-cos.

С целью учета степени влияния («веса») исходных точек от рас-

стояния до искомой точки, вместо (4.246) в методах с префиксом w-cos

используется следующий алгоритм (см. рис. 4.139).

Рис. 4.139. Нахождение координаты Z искомой точки (x

) для

n = 4 исходных точек с учетом расстояний

В качества основы для распределения «весов» координат

z ,

z и

z используется расстояние от этих точек до исходных:

и т.д. Например, для точки S

определим относитель-

ные расстояния:

max

где r

max

– максимальное расстояние от точки S

до точек A, B, C и D.

447

Для распределения «весов» воспользуемся следующей формулой

(пример для точки А)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

)ecos(ke

где

– некоторый коэффициент распределения.

Далее определим сумму относительных расстояний

DCBAE

kekekekeK +

и сумму произведений относительных расстояний на координаты ис-

ходных точек

DDCCBBAAE

kezkezkezkezS

⋅

⋅=

где

z ,

z и

z – координаты Z исходных точек.

Тогда модифицированная координата точки S

z =

′

Далее для определения координаты Z искомой точки аналогично

находятся модифицированные координаты Z всех остальных точек

пересечения луча S с треугольниками и подставляются в (4.246) вместо

z ,

z и

z .

Методы с префиксом в начале названия метода – «С-» и «П-» от-

личаются от описанных способом разуплотнения или уплотнения не-

равномерной сетки до равномерной. В методах С-ППС-w/o-cos и

С-ППС-w-cos используется трехмерный сплайн-функция, а в методах

П-ППС-w-cos и П-ППС-w/o-cos используется трехмерный «кусочный»

полином-функция 3-й степени (см. раздел 4.5

«Модель объектов, опи-

сываемая посредством явного задания полной гидравлической харак-

теристики»).

Методы С-ППСА и П-ППСА основаны на двухэтапной интерполя-

ции: сначала вычисляется триангуляционная поверхность по неравно-

мерной сетке (см. рис. 4.130 – б), а затем происходит расчет интерпо-

ляции сплайн-функцией («С») или «кусочным» полиномом 3-й степе-

ни («П») для пр

иведения неравномерной сетки к равномерной.

Использование уплотнения неравномерной сетки до равномерной

сплайн-функциями или «кусочным» полиномом является достаточно

эффективным, когда количество исходных точек много меньше разме-

ров равномерной сетки n<<G

и n<<G

. В противном случае, когда

(4.247)

(4.248)

(4.249)

448

n>G

и n>G

, применение разуплотнения неравномерной сетки до

равномерной является неэффективным и, по большей части, не пра-

вильным. Последнее обстоятельство сужает область применения рас-

смотренных методов – ППС.

4.7. Универсальная гидродинамическая модель месторождения

Под гидродинамической моделью месторождения будем понимать

модель гидросистемы продуктивных пластов (ГПП), включающей все

геологические объекты, гидравлически объединенные в единую гид-

равлическую систему посредством скважин или других геолого-

физических условий (например, окна слияния, водонасыщенные гори-

зонты, пласты с краевой водой и т.п.). Универсальной моделью ГПП

считается математически описанная и алгоритмизированная модель,

по

зволяющая посредством указания ряда исходных величин (факторов

модели) адаптировать ее к любой ГПП. Факторами модели ГПП обыч-

но являются геолого-физические свойства элементов пласта, опреде-

ляемые согласно геологической модели и граничные условия: режимы

работы скважин и начальные значения насыщенностей, пористостей и

проницаемостей.

Проблемы формирования и использования универсальных

гидродинамических моделей

Несмотря на широкое распространение так называемых 3D –

гидродинамических численных моделей, их показатели все еще далеки

от идеальных. Проблемы формирования и использования таких моде-

лей широко освещаются в научных и практических работах, в частно-

сти [169, 204, 212].

Основные проблемы, возникающие при математическом описании

гидродинамических моделей ГПП, связаны, прежде всего, с тем, что

вследствие невозможности аналитического опи

сания функций распре-

деления ФЭС по объему невозможно математически описать неуста-

новившееся потокораспределение в дифференциальной или аналити-

ческой форме для ГПП с неравномерным распределением ФЭС. По

этой причине современные модели ГПП описываются численно, т.е. с

рядом допущений. Обычно этими допущениями являются

1. Описание системы уравнений в конечно-разностном виде[188]:

а) пр

инятие времени Δt, в течение которого потокораспределе-

ние и свойства элементов ГПП считаются постоянными;

449

б) принятие конечных размеров элементов пласта (ячеек) и опи-

сание их формы в виде фигуры, ограниченной плоскостями или

простыми поверхностями второго порядка;

2. Векторы потоков между элементами пласта могут быть строго

сонаправлены с осями X, Y и Z.

3. Распределение давления внутри объема элементов пласта в яв-

ном виде не учитывается, а изменение да

вления, связанное с объемом

элементов, пористостью, сжимаемостью породы и флюидов, принима-

ется условно для центра фигуры элементов пласта.

Большинство универсальных гидродинамических моделей ГПП ис-

пользуют именно такие допущения и обычно отличаются математиче-

ским описанием гидравлических характеристик ячеек пласта, процес-

сов смешивания фаз, деформации породы, реологических свойств ТС,

скважин и др. факт

оров.

В ходе испытаний ряда моделей (Eclipse, Tempest и Техсхема) по-

средством варьирования исходных данных выявлено, что погрешности

прогнозирования с использованием таких моделей ГПП связаны со

следующими основными факторами:

1. Неточности в исходных данных ≈ 60–80%:

а) погрешности в определении исходных точек по результатам

лабораторных, геофизических и гидродинамических исследова-

ний скважин и пластов для по

строения геологических моделей

(см. разделы 5.2 и 5.3) ≈ 40–50%;

б) неточности лабораторных исследований флюидов ≈3–5%;

в) погрешности при построении геологических моделей с ис-

пользованием методов интерполяции (см. раздел 4.6) ≈15–20%;

г) погрешности, связанные с переходом от геологической моде-

ли к свойствам элементов пласта, например, в (4.235) ≈2–5%;

2. Неточности расчета неустановившегося потокораспределения

≈20–40%:

а) погрешности, с

вязанные с выбором приращения времени Δt ,

≈5–10%;

б) погрешности, связанные с выбором размеров элементов яче-

ек, ≈15–30 %.

Проценты показывают долю каждой погрешности в общей погреш-

ности прогнозирования. Вычислительные эксперименты ставились на

одной из описанных в разделе 2.5 модели, представленной одним пла-

стом, отражающим пласт АВ

1(3)

Северо-Покурского месторождения.

Общая погрешность –

вычислялась исходя из относительного откло-

450

нения результатов расчета

коэффициента нефтеизв-

лечения (КИН) ко времени

10 лет от базового расчет-

ного КИН, соответствую-

щего «базовому набору»

параметров модели и рас-

пределению ФЭС:

tб

КИН

КИНКИН −

где КИН

– базовый рас-

четный КИН, соответст-

вующий «базовому набо-

ру» параметров модели

(объему ячеек – V и при-

ращению времени Δt) и

распределению ФЭС;

КИН

– расчетный КИН,

соответствующий изме-

ненным свойствам ячеек

или параметрам модели.

Т.е. «базовый набор»

исходных данных и пара-

метров модели условно

считается правильным.

Вариации распределениия

ФЭС рассчитывалась по-

средством генерирования

случайных приращений в

пределах ± 30% от базово-

го распределения ФЭС

модели. Объем всех ячеек

модели ГПП считался оди-

наковым – V

= V.

Во избежание наложе-

ния погрешностей вариа-

ция каждого свойства или

параметра модели произ-

а)

б)

в)

Рис. 4.140. Зависимости погрешностей модели

ГПП от вариации: а – приращения времени;

б – относительного объема ячеек; в – вариа-

ции ФЭС