Стрекалов А.В. Математические модели гидравлических систем для управления системами поддержания пластового давления

Подождите немного. Документ загружается.

411

мировании трещины предопределяют распределение давления p

внутри трещины неравномерным: давление от начала трещины снижа-

ется к ее концам, поэтому степень раскрытия трещины в различных

направлениях будет зависеть от градиентов давления между давлением

внутри трещины и окружающей ее породы – (p

– p). Т.е. дальнейшее

раскрытие трещины невозможно, если (p

– p) < Δp

, где Δp

– перепад

давления, необходимый для гидравлического разрыва.

Таким образом, форма природной трещины будет скорее соответ-

ствовать форме на рис. 4.120.

Рис. 4.120. Форма трещины, близкая к природной

Вследствие формирования на гранях элемента пласта различных

давлений распространение трещины может происходить в трех основ-

ных плоскостях, при условии равномерного распределения давления

на каждой грани. Однако, возможно также формирование трещин в

иных плоскостях, например, по плоскости вектора от точки 3 к точке

5 и вектора от точки 5 к точке 1 при соответствующем распределении

давлений на гр

анях. Также возможно формирование «полутрещин» и

«четвертьтрещин»: от центра к периферии и наоборот.

Учитывая, хотя и конечные, но малые размеры ячеек (например,

0.5×0.5×0.5 м), при моделировании трещинообразования будем пола-

гать, что все трещины в ячейке будут иметь прямоугольную форму.

Также будем иметь в виду, что возможен обратный п

роцесс: смыкание

трещины при условии, когда давление внутри трещины будет меньше

давления в окружающей породе, т.е. давление в центре ячейки меньше

давлений на гранях по оси, перпендикулярной плоскости трещины.

412

Сформулируем основные положения моделирования трещинообра-

зования в некотором элементе породы – ячейке прямоугольной формы

согласно высказанной гипотезе. Примем ряд допущений: 1 – возможно

формирование только вертикальных трещин в направлении двух пер-

пендикулярных плоскостей – XZ, YZ; 2 – трещины могут формировать-

ся от центра ячейки к одной из ее граней (полутрещины) при выполне-

нии условия для ее форми

рования вдоль оси S (S=X или S=Y) (см. рис.

4.121 – 4.122)

)S(

eSi

)eS(

gp >

−

и противоположном направлении

)S(

bSi

)bS(

gp >

−

где

)eS(

−

)bS(

−

– текущие модули градиентов давления меж-

ду давлением центра ячейки i и давлениями на ее гранях (e – вдоль

оси, b – против оси), находящихся по направлению и против оси S,

)S(

≈ 2

– предельный градиент разрыва (L

–линейный раз-

мер ячейки по оси S).

Описание предельного градиента, выше которого происходит раз-

рыв в направлении какой-либо оси S, необходимо, так как прочност-

ные свойства породы могут быть неодинаковыми в различных направ-

лениях. Величина

)S(

будет зависеть как от прочностных свойств

породы, так и от напряженностей, сформированных литологическими

условиями. Далее употребляя gp

, будем полагать градиент разрыва,

относящийся к соответствующему направлению. Будем считатать gp

известным для всех направлений и ячеек модели ГПП.

В зависимости от текущих давлений на гранях ячей-

ки

p ,

p и выполнения условий (4.217–4.218) в ячейке

могут быть образованы трещины в нескольких комбинациях (см. рис.

4.123), т.е. совместные трещины. Как видно из схем на рис. 4.123, в

модели формирования трещин предполагается возмножность одно-

временного формирования трещин от центра ячейки к периферии –

(4.217)

(4.218)

413

схема 5–15. При моделировании трещин возможно использование ус-

ловий (4.217–4.218) в двух вариантах: 1 – разрыв происходит во всех

направлениях, где выполняются данные условия; 2 – разрыв происхо-

дит в направлении максимального из всех градиентов давления, соот-

ветствующих данным условиям.

а) б)

Рис. 4.121. Возможные вариации образования полутрещин в ячейке: а –

полутрещина от центра до грани b вдоль оси X ; б – полутрещина от центра

до грани

e вдоль оси X

а) б)

Рис. 4.122. Возможные вариации образования полутрещин в ячейке: а –

полутрещина от центра до грани

b вдоль оси Y; б – полутрещина от центра

до грани e вдоль оси Y

Раскрытость трещины будем описывать толщиной в зависимости

от текущего перепада давления –

согласно некоторой функции

414

(

)

A,D,A,pH

, где D – коэффициент раскрытия трещины, завися-

щий от характера деформации ячейки и ее размеров, 1/Па; А

– мини-

мальная толщина трещины при смыкании, образующаяся вследствие

остаточной деформации, м; А

– коэффициент раскрытия трещины,

зависящий от упругости породы ячейки, м/д.е.;

– перепад давле-

ния между давлением в центре ячейки (в трещине) и средним давлени-

ем на гранях, противоположных по оси S

bSeS

−−

−=Δ

причем

SS ⊥

(т.е. S

перпендикулярна направлению трещины). Т.е.

данный перепад давления является средним перепадом давления меж-

ду давлением в трещине и давлениями по обе стороны от нее.

Рис. 4.123. Возможные комбинации полутрещин в ячейке при совместном

выполнении условий (4.217) и (4.218)

415

В качестве функции

(

)

A,D,A,pH

можно использовать зави-

симость для каждого пласта, входящего в модель:

при

(

)

(

)

0101

ADplnAA,D,A,pHh

SSUS

⋅

Δ=

−

а при

(

)

001

AA,D,A,pHh

SUS

−

(смыкание).

Вследствие возникновения в ячейке трещин в различных направле-

ниях сопротивление фильтрации каждого компонента также изменит-

ся. Т.е. при возникновении в ячейке i трещины толщиной

UiS

−

в на-

правлении оси S к грани U, сопротивление фильтрации компонента Ф

через ячейку от центра до этой грани изменится в соответствии с па-

раллельным соединением проводников – поровой части, согласно

(4.169) и сопротивления трещины. Причем, для нахождения сопротив-

ления трещины следует учитывать направление рассматриваемой

фильтрации, так как в зависимости от направления (на

пример, от

центра влево или вправо, вверх или вниз) сопротивление трещины бу-

дет рассчитываться по-разному.

Например, для притока/оттока из центра ячейки к грани b по оси X

ZbiXтр

Фi

iФ

)Ф,bX(

Lhkk

)p(R

тр

−

⋅

где k

тр

– абсолютная проницаемость трещины.

Сопротивление фильтрации трещины для грани b аналогично

(4.220), а по оси Y грани b

ZbiYтр

Фi

iФ

)Ф,bY(

Lhkk

)p(R

тр

−

⋅

Проницаемость трещин будем считать одинаковой во всех направ-

лениях. При наличии таких вертикальных трещин также изменится

сопротивление фильтрации по оси Z, при этом сопротивление трещи-

ны будет складываться исходя из параллельного течения во всех (мак-

симум четыре) полутрещинах по вертикали

)Ф,eY,Z(

)Ф,bY,Z(

)Ф,eX,Z(

)Ф,bX,Z(

)Ф,Z(

тртртртртр

RRRRR

−−−−

+++=

11111

(4.219)

(4.222)

(4.220)

(4.221)

416

где

/Lhkk

)p(R

YbiXтр

Фi

iФ

)Ф,bX,Z(

тр

−

⋅

/Lhkk

)p(R

YeiXтр

Фi

iФ

)Ф,eX,Z(

тр

−

⋅

/Lhkk

)p(R

XbiYтр

Фi

iФ

)Ф,bY,Z(

тр

−

⋅

/Lhkk

)p(R

XeiYтр

Фi

iФ

)Ф,eY,Z(

тр

−

⋅

Получив сопротивления трещин по направлениям, для нахождения

общего сопротивления фильтрации в ячейке i вместо (4.167), согласно

параллельному соединению получим сопротивление для каждого на-

правления

)Ф,S(

тр

)Ф,S(

тр

)Ф,US(

⋅

−

где

)Ф,S(

– сопротивления, полученные согласно (4.167). Наличие со-

множителя 1/2 обусловлено тем, что сопротивление, рассчитанное из

(4.169), соответствует сопротивлению на полный размер ячейки.

После нахождения сопротивлений ячейки из (4.224) для совмест-

ной фильтрации компонента Ф по трещинам и поровому пространству

дальнейший расчет, начиная с (4.169), предполагает замену в форму-

лах при расчете функций

)p(s

Si,Ф

: замену сопротивлений, полу-

ченных из (4.169), сопротивлениями, полученными из (4.224).

Далее функции замыкающих отношений, совместно учитывающие

модели трещин и нарушение закона Дарси, будем обозначать

)p(

SiU,Ф

, функции которых описывают взаимосвязь между мас-

совым расходом компонента Ф и перепадом давления между давленим

в центре ячейки и давлением на грани U вдоль оси S. Вследствие изме-

нения условий (4.217–4.219) вид данных функций при возникновении

трещин будет изменяться дискретно. Коэффициент изменения прово-

димости ячейки i в направлении оси S будет равен о

тношению зависи-

мости массового расхода компонента с учетом образования трещины

(4.224)

(4.223)

417

(4.217–4.224) к той же зависимости, но без учета образования трещин

при текущем Δp:

)p(

Si,Ф

В заключение следует отметить, что для моделирования процессов

трещинообразования необходимо проведение экспериментов на образ-

цах керна для получения более точных зависимостей (4.219). В шестой

главе будет показано, что приведенный выше подход к моделирова-

нию трещинообразования теоретически доказывает факты постепенно-

го (длительного в зависимости от расстояний между скважинами)

формирования сети макротрещин в ГПП от н

агнетательных скважин к

добывающим. Действительно, трещины при прочих равных условиях

будут распространяться от зон с высоким давлением в зоны с низким

давлением, однако, когда речь идет о больших расстояниях, то заранее

нельзя сказать, сколько времени необходимо для формирования такой

трещины, так как изначальное направление трещинообразования не

будет зависеть от давле

ния в удаленных зонах, и поэтому трещина от

нагнетательной скважины может направиться в противоположную

сторону. Так как дальнейшая передача давления будет происходить

намного более интенсивно по трещине с большой гидропроводностью,

то ориентация трещины, скорее всего, не будет связана с работой уда-

ленных добывающих скважин. Что же касается реальных условий экс-

плуатации с

истем заводнения, то вследствие того, что расстояния ме-

жду нагнетательными и добывающими скважинами могут быть отно-

сительно невелики, направления трещин будут избирательными со-

гласно распределению пластового давления. Причем, по образовав-

шейся в ПЗП нагнетательной скважины даже короткой трещине давле-

ние будет передаваться достаточно быстро и без больших потерь, что

обуславливает ее дальне

йшее распространение. Показанный выше

подход к моделированию и гипотеза о формировании трещин носит

более показательный характер, нежели дает количественную оценку

данному явлению. Однако, при эмпирически правильно подобранной

зависимости (4.219) данная модель трещинооброзования в ЗВС систем

ППД может оказаться эффективной.

4.6. Геологическая модель как источник исходных данных

Отправной точкой к адаптации универсальных гидродинамических

моделей месторождений к конкретным ГПП служит построение их

геологических моделей, которые описывают распределение свойств

418

пластовой системы, необходимых в качестве исходных данных для

модели ГПП. Такими свойствами в основном являются:

– абсолютные проницаемости пород коллекторов по направлениям

X, Y и Z;

– нефте-, водо- и газонасыщенности;

– начальные или текущие пластовые давления;

– коэффициенты открытой пористости;

– коэффициенты песчанистости или отношения эффективной тол-

щины к полной толщине пластов;

– абсол

ютные отметки кровли и подошвы пластов.

Полноценная геологическая модель [222] подразумевает описание

геолого-физических свойств пластов, объединенных ГПП в системе

трех координат X, Y и Z. Таким образом, геологическая модель факти-

чески систематизирует обработанные данные геофизических и гидро-

динамических исследований посредством восстановления геометрии

геологических объектов и распределения по их объему фильтрацион-

но-емк

остных, а также ряд других физических свойств, необходимых

для формирования замыкающих отношений и начальных условий мо-

делей элементов пласта.

Проблемы формирования геологических моделей

В настоящее время существует множество методик построения

геологических моделей на основании интерпретированных данных

ГДИ и ГИС (геофизических исследований), однако, все они основаны

на численных методах интерполяции и аппроксимации [162].

Интерполяция в математике – это отыскание промежуточных зна-

чений величины по некоторым известным её значениям. Например,

отыскание значений функции f (x) в точках х, лежащих между точками

(узлами интерполирования) x

< x

< ... < x

, по известным значениям y

= f (x

) (где i = 0, 1, ..., n). В случае если х лежит вне интервала, заклю-

чённого между x

и x

, аналогичная задача называется задачей экстра-

поляции. При простейшей линейной интерполяции значение f (x) в

точке х, удовлетворяющей неравенствам x

< x < x

, принимают рав-

ным значению

[]

)x(f)x(f)x(f

001

+−

−

линейной функции, совпадающей с f (x) в точках х = x

и х = x

. Задача

интерполяции со строго математической точки зрения является неоп-

(4.225)

419

ределённой: если про функцию f (x) ничего неизвестно, кроме её зна-

чений в точках x

, x

,..., х

, то её значение в точке х, отличной от всех

этих точек, остаётся

совершенно произвольным. Задача интерполя-

ции приобретает определённый смысл, если функция f (x) и её произ-

водные подчинены некоторым неравенствам.

()()

xxxx

y)x(f −−≤−

Более сложные интерполяционные формулы имеет смысл приме-

нять лишь в том случае, если есть уверенность в достаточной «гладко-

сти» функции, т.е. в том, что она обладает достаточным числом не

слишком быстро возрастающих производных.

Кроме вычисления значений функций, интерполяция имеет и дру-

гие многочисленные приложения (например, при приближённом ин-

тегрировании, приближённом р

ешении уравнений, в статистике при

сглаживании рядов распределения с целью устранения случайных ис-

кажений).

Таким образом, задача интерполяции сводится к нахождению ко-

эффициентов заданной (которой определяется метод) функции таким

образом, чтобы кривая или поверхность проходила через заданные

точки [147].

При выборе того или иного метода возникает ряд проблем, связан-

ных с а

декватностью выбора метода, с помощью которого возможно

получить наиболее достоверную геологическую модель. Суть пробле-

мы состоит в том, что тот или иной вид функции может частично по-

вторять природную суть отражаемого (в модели) объекта или не по-

вторять ее совсем. Однако, правильность выбора функции (метода ин-

терполяции) можно проверить только при по

лучении дополнительных

данных.

В дальнейшем под геологической моделью (будь то геометрия пла-

ста или распределение фильтрационно-емкостных свойств) будем под-

разумевать функцию P=f (x,y), связывающую параметр P и координа-

ты x и y, где P – может быть абсолютной отметкой (если восстанавли-

вается геометрия) или, например, проницаемостью (если восстанавли-

вается распределение п

роницаемости по простиранию пласта в плос-

кости X–Y).

На данный момент развития методологии интерполяции, аппрок-

симации и экстраполяции существует также проблема представления и

хранения информации, описывающей взаимосвязь между значениями

функции и ее аргументов.

(4.226)

420

Существует два основных способа представления функций:

аналитическое представление;

сеточное представление («табулированные» функции).

Аналитическое представление функции имеет преимущество по

сравнению с сеточным представлением: компактность хранения и

точность воспроизведения (отражения) значений функции в зависимо-

сти от значений аргументов. Такой способ представления функции

используется повсеместно во всех теориях для описания различных

моделей поведения природных объектов. Однако, для отражения форм

природных объектов в н

астоящее время данный способ представления

функции применить невозможно ввиду отсутствия возможности опи-

сания одной (пусть даже сложной) формулой такую взаимосвязь. Все

равно, что описать форму человека в виде формулы.

В связи с этим, для представления геологических моделей исполь-

зуется второй способ: сеточное представление функции.

Суть данного способа состоит в хранении значений ф

ункции в точ-

ках, равномерно распределенных по областям определения аргумен-

тов.

Сеточное представление функций является универсальным, однако,

имеет ряд недостатков.

Необходим большой объем информации для хранения данных,

причем тем больший, чем больше требуемая точность. Наиболее часто

используемой сеткой для интерполяции поверхностей кровли и по-

дошвы пластов является сетка 100×100 – 300×300. Использование бо-

лее плотной сетки является информационно емким: для сетки 500×500

объем информации составляет 500×500×3 значения ×8 байт/значение и

рав

но 6000000 байт на хранение поверхности кровли или подошвы.

Допустим, ГПП состоит из 5 пластов. Для построения геологической

модели по каждому из пластов необходимо хранить и обрабатывать

поверхности кровли, подошвы, распределения абсолютной проницае-

мости, пластового давления, открытой пористости, нефтенасыщенно-

сти, водонасыщенности, газонасыщенности и песчанистости (7 вели-

чин гелого-физических свойств и 2 величны для координат к

ровли и

подошвы). Для распределения фильтрационно-емкостных (ФЭС)

свойств по объему пластов их распределение необходимо описать

также по вертикали – отдельными поверхностями для каждого слоя.

Допустим, количество слоев для каждого пласта составляет 10, тогда

общее количество поверхностей будет

(

)

плФLпов

nnnN 2

⋅

(4.227)