Стрекалов А.В. Математические модели гидравлических систем для управления системами поддержания пластового давления

Подождите немного. Документ загружается.

381

1. Насосно-компрессорные трубы.

2. Эксплуатационная колонна (в случае совместной закачки).

3. Зоны воздействия скважины на пласт.

Все три типа элементов оказывают сопротивление потоку и поэто-

му потребляют его гидравлическую мощность. Для технической под-

системы на участках НКТ и колонны

НКТНКТАСГ

kkkkzkzkz

ztztztНКТНКТНКТТC

q)q(fq)q(fq)q(f

q)q(fq)q(fN

+++

∑

−

где

k – номер участка колонны между пластами (см. рис. 4.87–L

);

m – количество пластов, вскрытых скважиной;

АСГ

(q) – функция полной гидравлической характеристики по-

гружного насоса, которая учитывается, если скважина являет-

ся водозаборной.

Гидравлическая мощность, потребляемая при фильтрации в ЗВС

для каждого пласта

jjjЗВСjЗВС

q)q(fN

−−

где j – номер пласта.

Суммарная рассеиваемая гидравлическая мощность в скважине бу-

дет равна

.)()(

)()(

∑∑

−

+++

jjjЗВС

kkk

НКТНКТАСГkzkzkz

ztztztНКТНКТНКТCКВ

qqfqqf

qqfqqfN

Величина N

СКВ

не учитывает дополнительную (в скважинах она

существенна) гидравлическую мощность скважины, обусловленную

гидростатическими перепадами давления между устьем, забоем и кон-

турами ЗВС скважины. Далее, в разделе 4.8 будет подробно освещать-

ся вопрос о влиянии гидростатических перепадов в звеньях на потреб-

ляемую ими мощность.

Рассмотренные модели скважин наиболее подходят для использо-

вания МТГС в к

освенной связи с моделью ГПП, так как контуры ЗВС

выбираются исходя из некоторого постоянства потокораспределения.

Для описания моделей скважин при условии прямой связи с моделью

(4.159)

(4.161)

(4.160)

382

ГПП элементы ЗВС будут моделироваться иначе: в соответствии с те-

кущим (ко времени t) состоянием распределения давлений, проницае-

мостей и насыщенностей в модели ГПП.

Далее рассмотрим модели элементов гидросистемы продуктивных

пластов, которые входят в предлагаемую модель ГПП.

Модели элементов гидросистемы продуктивных пластов

Элемент, входящий во все гидросистемы – «каналы связи» (КС),

может быть представлен как техническими устройствами (трубопро-

водами, открытыми каналами и т.п.), так и природными образования-

ми. В частности, продуктивные или насыщенные флюидами пласты,

представляющие НТС с анизотропной

вмещающей средой, для детализации

внутренних процессов могут быть

представлены системой КС. В данном

случае на

иболее элементарными (мел-

кими) КС пластов являются поровые

каналы. Модели поровых каналов мо-

гут быть описаны в точном соответст-

вии с их природными свойствами, ана-

логично сетям криволинейных трубо-

проводов переменного сечения (см.

рис. 4.103).

Так, модели поровых каналов мож-

но описать теми же замыкающими

отношениями – гидравлическими характеристиками

)(qfp

, а

структуру коллектора матрицей инциденций.

Ранее предпринимались попытки

описания коллектора в виде модели

параллельных трубок тока (см. рис.

4.104). Однако, такая модель соотно-

шений поровых каналов не отражает

их структурных связей, вследствие

чего расчет макропараметра – прони-

цаемости ведется на основании коли-

чества трубок, их шероховатостей и

диаметров. Причиной непригодности

такой модели яв

ляется однозначная

взаимосвязь модельной открытой по-

Рис. 4.103. Структура эле-

мента порового пласта

в сечении

Рис. 4.104. Трубчатая модель

элемента порового пласта

в сечении

383

ристости, определяемой количеством и диаметром трубок, с расчетной

проницаемостью. Многочисленными исследованиями установлено,

что чаще всего такой зависимости в природе не наблюдается, за ис-

ключением некоторых исследований кернов (см. рис. 4.105), результа-

ты которых также не отражают четкой зависимости.

Такая зависимость, видимо, не прослеживается вследствие форми-

рования той или иной структуры поровых каналов. Де

йствительно при

одинаковом количестве, длине и диаметре поровых каналов (трубок

тока) во множестве образцов породы могут наблюдаться различные

соотношения проницаемости и пористости вследствие уникальности

структур поровых каналов в каждом образце. В связи с этим, в моде-

лях коллекторов невозможно построение модели взаимосвязи между

микроструктурой и свойствами поровых каналов с макропараметрами

(ко

эффициент проницаемости и открытой пористости).

Рассмотрим ха-

рактер влияния ст-

руктуры поровых

каналов на параметр

проводимости мо-

дели образца керна,

моделируемого ана-

логично модели

ТГС сетью трубо-

проводов малого се-

чения определенной

структуры, причем,

варьируя структу-

рой сети (рис.

4.106–4.108), будем

сохранять суммар-

ный объем, длину и

диаметры труб по-

средством деко

мпо-

зиции звеньев. Вычислительными экспериментами установим зависи-

мость перепада давления на гранях образца от установившегося расхо-

да. Таким образом, для каждой структуры получим кривую гидравли-

ческой характеристики образца

)(qfp

, связывающую перепад

давления на двух гранях от суммарного расхода ТС сквозь образец от

одной грани до другой. По углу наклона кривой

)(qfp

к оси

Рис. 4.105. Экспериментальные точки зависимости

коэффициента проницаемости от открытой пористо-

сти Северо-Покурского месторождения (пласт АВ

1–2

)

384

расхода будем определять гидросопростивление – R, а по обратной

ему величине

проводимость. Условно зададим для всех трубок

поровых каналов – 5 (рис. 4.106) диаметр d

=0.001 м, длину L=0.01 м и

абсолютную шероховатость Δ

=0.0004 м.

Для удобства проведения вычислительных экспериментов сведем

потоки на выходе и входе в образец поровыми каналами в один кол-

лектор с давлением с одной стороны в 0.01 МПа, а с другой стороны в

0.00 МПа. Изменяя сопротивление на первом участке – 1 (рис. 4.106)

при входе потока, получим несколько установившихся расходов ТС и

соответствующих им перепадов дав

ления между узлом – 3 и узлом – 2.

В качестве текучей среды возьмем воду. Во избежание воздействия

трубок – 4 на потокораспределение модели сети их сопротивление за-

дадим малым по сравнению с трубками поровых каналов: d

= 0.01 м.

После проведения вычислительных экспериментов имеем три

функции

)(qfp =Δ

, связывающие перепад давления на гранях об-

разца, и расход, установившийся между ними. На рис. 4.109 показаны

графики данных функции.

Из графиков видно, что угол наклона кри-

вых существенно изменяется для различных структур модели керна

Рис. 4.107. Структура 2 образца моде-

ли керна в сечении и соответствую-

щее потоко

асп

еделение

Рис. 4.106. Структура 1 образца

модели керна в сечении и соответ-

ств

ющее потоко

асп

еделение

385

при постоянном суммарном объеме поровых каналов. Это связано с

возникновением в структурах на

рис. 4.107 и рис. 4.108 так называе-

мых перегруженных участков и

узлов смешивания потоков.

Конечно, чисто теоретически это

подтверждает отсутствие зависимо-

сти проницаемости от пористости,

однако, что наиболее интересно

показывает зависимость макропа-

раметра проницаемости от струк-

турных особенностей порового про-

странства, которое так или иначе

может быть оценено для различных

пород коллекторов. Тем не менее,

уникальность структуры порового

пространства для образцов керна,

сложенных одними и те

ми же поро-

дами, предопределяет отсутствие

явной зависимости проницаемости

от пористости. Если бы была воз-

можность исследования структуры

поровых каналов, то моделирование

элементов пластов стало бы суще-

ственно точнее.

Рис. 4.109. Зависимости

перепада давления при

установившемся расходе

через модель керна:

–

структура 1; б – структура

в – структура 3

Рис. 4.108. Структура 3 образца

модели керна в сечении и соот-

ветствующее потокораспределе-

ние

386

Ввиду отсутствия возможности исследования такого детального

строения пластов приходится довольствоваться макроописанием их

отдельных частей: учитывая детальность строения пласта, приходится

обобщать свойства поровых каналов в макроэлементах – ячейках.

Для такого обобщения Дарси выявлена закономерность

)q(fp

==Δ

отражающая взаимосвязь между структурой поровых каналов и их

свойствами в виде макропараметра проницаемости – k, а также на его

основе, отражающая зависимость перепада давления

, необходи-

мого для установившегося течения жидкости с динамической вязко-

стью

и расходом q через образец порового коллектора с заданной

площадью сечения – F и длиной – L. Данная закономерность зачастую

не подтверждается фактом для особых условий фильтрации, например,

при больших расходах (см. формулу 4.135) и реологических свойствах

ТС, а распространение данной закономерности на дифференциальную

форму записи

где dl – бесконечно малая длина элемента пласта; dp – бесконечно ма-

лый перепад давления при средней скорости потока –

, является без-

основательным, так как эксперимент Дарси проводился на конечном

образце. Использование закона Дарси для бесконечно малых элемен-

тов коллектора не отражает микропараметров его поровых каналов и

структурных особенностей их взаимодействия, вследствие чего они не

могут быть описаны макропараметром

проницаемости k.

Потери гидравлической энергии

при фильтрации ТС через породу свя-

заны с н

есколькими факторами.

1. Потери давления вследствие

многократной деформации потоков в

поровых каналах.

2. Потери давления на смешивание

и разделение потоков с различными

микроскоростями.

3. Потери давления при трении по-

Рис. 4. 110. Структура элемента

порового пласта (коллектора)

(4.162)

(4.163)

387

токов о стенки поровых каналов.

4. Потери давления при внутреннем трении молекул ТС и класте-

ров жидкостей.

5. Потери давления вследствие капиллярного взяимодействия мо-

лекул ТС и стенок поровых каналов.

6. Привнесение в поток ТС механических частиц, формирующих

поровые каналы (породы).

Все перечисленные факторы, согласно Дарси, интегрируются в ко-

эффициенте проницаемости, который яв

ляется мерой обратной степе-

ни влияния элемента породы на гидравлическую энергию фильтруемо-

го через нее потока ТС:

, где

– удельное гидравлическое

сопротивление породы.

Вследствие перечисленных факторов при фильтрации ТС сквозь

пористую среду гидравлическая энергия потока частично переходит в

тепловую энергию породы и самого потока.

Таким образом, законом Дарси можно описать воздействие на ТС

только конечных макроэлементов

пласта – ячеек. Размеры ячеек опре-

деляют, с одной стороны, степень

детализации процессов, а с др

угой,

структуру их внутренней организа-

ции и порядок вхождения в общую

модель. Вопрос выбора оптимально-

го размера элементов пласта частич-

но рассмотрен в разделе 4.7.

С некоторым приближением,

элемент пласта можно представить

структурной пространственной ре-

шеткой, составленной из более мел-

ких элементов (например, трубок, см.

рис. 4.110). Такая структура может подойти для мод

елей идеальных

грунтов с равномерной компоновкой, таких как, например, грунт

Слихтера. Реальные пористые и порово-трещиноватые породы имеют

сложную неравномерную структуру и могут быть отражены моделями

микроэлементов (размерами ячеек до 10 мкм

) с неравномерной струк-

турой, например, как это показано на рис. 4.111.

Если определить граничными условиями равномерность распреде-

ления давления на гранях элементов пласта, то можно выстроить гло-

Рис. 4.111.Структура элемента

по

ового пласта в сечении

388

бальную структуру ГС, составленную из подсистем, которые тоже бу-

дут структурно описаны аналогично глобальной структуре. Таким об-

разом, назревает иерархия в структуре, отражающая взаимосвязь меж-

ду элементами моделируемого пласта различного уровня и простран-

ственной детализации. На рис. 4.112 отражен пример однородной ие-

рархичной структуры модели пласта, из которой видно как объединя-

ются мик

роэлементы (например, размером до 10 мкм

) в

макроэлементы (например, размером 100–1000000 мкм

) и так далее.

Необходимость в таком спо-

собе описания элементов

обусловлена невозможно-

стью детального описания

всего объема пласта, поэто-

му приходится прибегать к

приемам приближенной пе-

редачи взаимосвязи между

элементами. При использо-

вании такого приема нет

необходимости в решении

задачи потокораспределения

одной крупной системой

уравнений. Для нахождения

потокораспределения доста-

точно распределить по

токи в структуре макроэлементов, а при необ-

ходимости детализации распределения потоков в более мелких эле-

ментах достаточно относительно найденного глобального потокорас-

пределения решить задачу потокораспределения в нужном микроэле-

менте, при этом описав граничные условия, связывающие модель мик-

роэлемента и модель макроэлементов.

Рассмотрим описание модели элемента пласта – ячейки, представ-

ленной в ви

де объемного прямоугольного параллелепипеда, ограничи-

вающего форму и размеры определенной части пласта (см. рис. 4.113).

Для удобства дальнейшего описания и вследствие явного подобия

закона Дарси закону Ома будем понимать под гидравлическим сопро-

тивлением ячейки i пласта между определенной парой граней отноше-

ние

)S(

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

сПа

(4.164)

Рис. 4.112. Структура взаимосвязей

элементов порового пласта в сечении

389

где S – ось, вдоль которой рассматривается течение в элементе;

SieSibSi

ppp

−

=Δ

–– перепад давления на противоположных

гранях ячейки вдоль оси S;

– объемный расход ТС вдоль оси S.

Таким образом, замыкающее отношение, соответствующее линей-

ному закону течения Дарси вдоль оси S в ячейке i будет

)S(

iSi

)S(

SiSiSi

qRq

)q(fp ===Δ

где

– длина ячейки i вдоль оси S.

– площадь сечения ячейки i перпендикулярно оси S.

Сопротивление согласно (4.162)

)S(

где

)S(

– абсолютная проницаемость породы ячейки i вдоль оси S.

Рис. 4.113. Схема модели элемента пласта

Направления фильтрации ТС будем условно полагать только вдоль

осей X, Y и Z.

С учетом двухкомпонентной фильтрации (например, воды и неф-

ти), согласно относительным проницаемостям, сопротивление фильт-

рации компонента Ф вдоль оси S ячейки i будет

(4.165)

(4.166)

390

)S(

Фi

Фii

Fkk

)Ф,S(

⋅

где

Фi

– относительная проницаемость компонента Ф;

Фi

– динамическая вязкость компонента Ф в ячейке i.

При учете одновременной фильтрации воды и нефти примем до-

пущение о невозможности смешивания компонентов и движения этих

сред по различным поровым каналам в ячейке. Если полагать постоян-

ство плотности и вязкости в пределах ячейки для каждого компонента,

то для определения сопротивлений необходимо описать зависимости

вяз

кости и плотности от давления для каждого компонента относи-

тельно давления в центре ячейке:

)p(

iФ

)p(

iФ

При формировании моделей элементов пласта необходимо устано-

вить зависимость массового расхода каждого компонента – Ф, исте-

кающего из центра ячейки с давлением p

через каждую грань U –

UФ

в зависимости от давлений на гранях ячейки p

Sib

и p

Sie

. По анало-

гии с (4.18), такие зависимости будем описывать функциями

)p(s

Si,Ф

, в которых в

качестве аргумента вы-

ступает перепад давле-

ния между давлением в

центре ячейки – p

давлением на ее грани –

SiU

. Где U – имеет два

состояния b или e, соот-

ветствующие грани яче-

ейки противоположные

по оси S, например,

грань начала – b, и

грань конца – e.

Грани ячейки будем

обозначать через индекс

ячейки i, ось S и узлы

(грани) начала – b и конца ячейки – e противоположные по оси S. Та-

ким об

разом, модель ячейки структурно будет состоять из 6 звеньев и

7 узлов (см. рис. 4.114).

(4.167)

Рис. 4.114. Структура модели ячейки (конечного

элемента

)

пласта