Стрекалов А.В. Математические модели гидравлических систем для управления системами поддержания пластового давления

Подождите немного. Документ загружается.

401

Первая модель является наиболее простой:

Так как объем, занимаемый ТС в ячейке, постоянен – V=const, то

можно записать дифференциальное уравнение

ТС

−=

где w

ТС

– сжимаемость текучей среды, которая притекает в ячей-

ку;

ТС

– приращение объема ТС при привнесении массы dJ

ТС

После интегрирования имеем

∫∫

−=

ТС

JТС

ТС

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=−

ТС

где p

– давление до притока массы;

– давление после притока массы;

)(

ТС

– объем, занимаемый массой – J

ТС

текущей сре-

ды, поступающей (или истекающей) в ячейку при давлении p

;

ТС

– объем ТС, занимаемый в ячейке, до и после.

Для такой модели зависимость плотности ТС от давления следует

принять

()

(

)

ppw

нТС

−−

ρρ

где p

– давление в нормальных условиях (например, атмосферное

или начальное пластовое);

– плотность ТС при давлении p

Схема расчета де-

формации и давле-

ния – модель 1

(4.188)

(4.189)

(4.190)

402

Так как

ТС

= const, то он определяется согласно текущей пористо-

сти и объему ячейки:

отк

ТС

mVV ⋅=

Таким образом, имеем формулу для определения давления в ячейке

при притоке массы ТС:

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅

⋅

−=−

−−

ppw

ТС

отк

ТС

нТС

Вторая модель деформации учитывает изменение объема занимае-

мого ТС в ячейке, и как следствие, изменение объема породы при по-

стоянном объеме ячейки.

Давление внутри ячейки следует считать передаваемым мгновенно

во все ее части. Тогда деформация породы при «вдавливании» ТС бу-

дет происходить согласно уравнению

ппп

VwdpdV ⋅⋅−=

а текучей среды согласно уравнению

ТСТСТС

VwdpdV ⋅⋅−=

Отсюда после инегрирования имеем систему:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=−

ТС

Заменив

пТС

VVV

−

Схема расчета де-

формации и давле-

ния – модель 2

(4.191)

(4.193)

(4.194)

(4.195)

(4.196)

403

()

ppw

ТС

отк

ТС

нТС

mVVmVV

−−

+⋅=+⋅=

отк

mVVV ⋅−=

получим систему относительно неизвестного давления p

и объема

породы

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅

−

−=−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=−

−−

ppw

ТС

отк

ТС

отк

нТС

VmV

Приравняв правые части, получим одно уравнение относительно

объема породы –

после «вдавливания» массы J

ТС

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅

−

−−

отк

ppw

ТС

отк

ТС

mVV

нТС

Решив данное уравнение численным методом Ньютона для реше-

ния нелинейного уравнения (он идеально подходит для этого уравне-

ния при начальном приближении

пп

) получим объем породы

, из которого нетрудно найти давление p

и пористость

отк

−

На рис. 4.118 – б показаны графики зависимости давления от массы

притока ТС для модели недеформируемой породы – 1 и деформируе-

мой породы – 2 при w

ТС

= 1⋅10

–9

Па

–1

, V = 20000 м

, m

отк

=0.5,

1000

кг/м

, p

=1⋅10

Па, w

=0.5⋅10

–9

Па

–1

и w

=1.5⋅10

–9

Па

–1

Если принять модель деформации с притоком одной ТС или ТС,

являющейся смесью воды и нефти, то среднюю сжимаемость для со-

(4.200)

(4.199)

(4.201)

(4.197)

(4.198)

404

вместной фильтрации нефти и воды можно определить следующим

образом. Если J

ТС

+ J

>0 (приток в ячейку), то

(

)

))(1(

ввннввннТС

wнwнdsVwdwddsVw +−++⋅=

Если J

ТС

< 0 (отток из ячейки), то

ввннТС

wнwнw

+= . Также придется

вычислить плотность смещанной ТС в нормальных условиях –

если J

ТС

>0, то

[

]

[

]

нв

нн

нв

ннн

ннdsVdddsV

ρρρρρ

)1( +−++⋅=

, а

если J

ТС

< 0 (отток из ячейки), то

нв

ннн

нн

ρρρ

, где

– плот-

ности нефти и воды при давлении p

(в нормальных условиях).

Величина dsV равна отношению массы притекающей или истекаю-

щей ТС к массе, уже находящейся в ячейке:

нв

ТС

dsV

000

. Ве-

личины d

и d

являются массовыми долями нефти и воды в притоке –

ТС

нв

н ,

н – насыщенности воды и нефти в

ячейке до притока/оттока. Для более точного учета совместной дефор-

мации двух компонентов (вода и нефть) и породы в третьей модели

предполагается следующая расчетная схема.

Аналогично предыдущей модели запишем систему уравнений:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=−

111

010101

вн

нп

pp,

После подстановки вместо объемов компонентов до притока/оттока

отк

нmVV ⋅⋅=

имеем систему:

Схема расчета де-

формации и давле-

ния – модель 3

(4.202)

405

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅⋅

−=−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅⋅

−=−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅−

−=−

−−

−

−−

−

ppw

вн

отк

ppw

нн

отк

нв

нн

нmV

mVV

Подразумевая, что

пн

отк

VнmVнmVV +⋅⋅+⋅⋅=

,заменим

111

пвн

VVVV

−

тогда

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅⋅

−=−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅⋅

−−

−=−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅−

−=−

−−

−

−−

−

ppw

вн

отк

ppw

нн

отк

пв

отк

нв

нн

нmV

VVV

mVV

Упростив данную систему до двух уравнений относительно объема

породы и объема воды, получим

(4.203)

(4.205)

(4.204)

406

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅⋅

−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅−

−−

−

−−

−

111

ppw

вн

отк

ppw

нн

отк

пв

отк

нв

нн

нmV

mVV

нmV

VVV

mVV

Решив (4.206) относительно неизвестных методом Ньютона анало-

гично (4.200), получим искомые объемы породы и компонентов, отку-

да нетрудно определить текущее давление и открытую пористость.

Как видно, в моделях 1–3 объем породы до притока/оттока равен

разности объема ячейки V и суммы объемов, занимаемых компонента-

ми ТС, а объем ячейки считается постоянным и не зависящим от пр

и-

тока/оттока масс компонентов и давления. Объем порового простран-

ства складывается из объемов, занимаемых компонентами, причем,

будем полагать, что каждый компонент насыщает различные поровые

каналы, при этом не смешиваясь между собой.

Таким образом, объем закрытых поровых каналов включается в

объем породы V

, а сжимаемость породы должна учитывать сжимае-

мость флюидов, заключенных в закрытых поровых каналах совместно

со сжимаемостью самой породы.

Объемы, занимаемые компонентами в ячейке до притока масс,

можно найти исходя из текущих насыщенностей

н и открытой по-

ристости

0отк

отк

mнVV ⋅⋅=

Объем породы до притока/оттока будет

)m(VV

отк

−=

а после притока

m)m(VV

откотк

−

=⇒−=

(4.207)

(4.208)

(4.206)

(4.209)

407

Для определения общего объема открытых поровых каналов будем

использовать формулу

отк

mVVV ⋅==

∑

где k – компонент ТС;

N – количество компонентов.

Новыми значениями масс компонентов в ячейке будут

ФФФ

JMM +=

Новые значения насыщенностей получим из соотношения относи-

тельно новых масс компонентов

вн

Необходимость в нахождении насыщенностей согласно отношению

масс продиктована необходимостью в соблюдении точности матери-

ального баланса, которая может быть существенно ухудшена, если

вместо (4.211–4.212) брать объемные соотношения, так как численное

решение при больших V и Δt может оказаться неудовлетворительным,

хотя и будет более быстрым с точки зрения скорости расчетов на

ЭВМ.

Новым да

влением в ячейке будет давление p

из решения (4.191),

(4.199) или (4.205).

В заключение стоит отметить, что описанное решение задач энер-

гетического влияния элемента пласта и деформации порового про-

странства отражает ячейки прямоугольной формы, а точность решения

будет тем больше, чем меньше соотношение

tΔ

Далее под изменением давления в ячейке – Δp

в зависимости от ве-

личины притока или оттока компонентов –

J,J

, текущего давления

–

(до притока/оттока), текущих масс компонентов

M,M

в ячей-

ке i будем понимать замыкающие отношения в виде функций

[

]

,,,,

iiiii

pMMJJppp

=Δ=−

(4.209)

(4.212)

(4.210)

(4.211)

(4.215)

408

Данные функции могут быть получены расчетным путем для каж-

дой ячейки i посредством вычитания из полученного согласно (4.191,

4.199 или 4.205) давления в ячейке

величины

p .

Изменение открытой пористости в ячейке

отк

mΔ

в зависимости от

величины притока или оттока компонентов –

J,J

, текущего давле-

ния –

, текущих масс компонентов

M,M

в ячейке i и текущей

открытой пористости

0отк

будем описывать замыкающими отноше-

ниями в виде функций

[

]

000

,,,,,

отк

mpMMJJvmmmm =Δ=−

Данные функции определяются расчетным путем посредством вы-

читания из полученной величины

1отк

согласно (4.209) величины

открытой пористости –

0отк

до притока/оттока.

Наиболее интересным фактором моделирования элементов пласта

является процесс гидравлического разрыва, который может возникать

при тех или иных условиях фильтрации и распределения ФЭС в ГПП.

Так как в рассматриваемой модели ГПП необходим учет процессов

неустановившегося течения с учетом изменения проницаемостей и

насыщенностей во времени и в зависимости от потокораспределения

меж

ду элементами пласта, то необходимо учесть не только факторы

деформации породы и порового пространства, но факторы дискретно-

го изменения фильтрационных свойств в ячейках в зависимости от

текущего распределения гидравлических параметров.

Для учета дискретного изменения гидравлического сопротивления

ячеек будем использовать коэффициент

г для коррекции замыкаю-

щих отношений

)p(

Si,Ф

, который будет отражать изменение прово-

димости ячейки в различных направлениях в зависимости от градиен-

тов давления по осям S

[

]

Z,Y,X

∈

. Таким образом, функциями замы-

кающих отношений

)p(

Si,Ф

с учетом дискретного изменения про-

водимости будут

)p(г)p(

Si,Ф

Δ⋅=Δ

ζξ

. Необходимость в такого

рода коррекции замыкающих отношений

)p(

Si,Ф

, соответствующих

фильтрации при равномерном распределении ФЭС по объему ячеек,

обусловлена факторами формирования техногенных трещин при за-

(4.216)

409

воднении. На многих месторождениях Западной Сибири системы ППД

вводятся в эксплуатацию с большим (до 10 лет) опозданием, вследст-

вие чего для компенсации падения давления и отбора жидкости при-

ходится нагнетать воду под большим давлением нагнетания (38–

57 МПа) [173], которое создает условия для спонтанного гидроразры-

ва [167, 262].

По мнению автора и многих ученых, проблема постепенного фор-

ми

рования трещин и каналов высокой проводимости в направлении от

нагнетательных скважин к добывающим связана с высоким давлением

нагнетания, которое приходится создавать для компенсации отбора в

нагнетательных скважинах, количество которых существенно меньше

добывающих. Вследствие высоких давлений в элементах пласта, вхо-

дящих в зоны воздействия нагнетательных скважин, формируются

существенные градиенты давлений, предполагающие на

грузку на по-

роды, слагающие пласт в данных зонах. В связи с этим макроэлементы

пласта разрушаются именно из-за высоких перепадов давления между

условными поверхностями, геологически отделяющими отдельные

части пласта (например, прожилки иных пород, тектонические нару-

шения, барьеры давления и т.п.). Дополнительным фактором форми-

рования трещин в зонах нагнетания та

кже является запоздалый запуск

закачки, вследствие чего пластовое давление может быть сильно сни-

жено, что обуславливает тенденцию в направлении трещин от нагнета-

тельных скважин к добывающим.

В технике известно, что гидравлически разгруженный образец ма-

териала не может быть разрушен даже высоким давлением, если дав-

ление, оказываемое на его поверхности, одинаково и ра

спространяется

на все точки его объема. Однако, если сбросить давление на одной из

поверхностей, то вследствие неравномерного распределения напря-

женности в материале может возникнуть разрушение образца трещи-

ной от части с высоким давлением к части с низким давлением. При

равномерном распределении прочности материала по его объему на-

правление трещины будет соот

ветствовать кратчайшему пути от точки

наивысшего давления в точку наименьшего давления. Причем, в зави-

симости от свойств материала потенциальная скорость распростране-

ния трещины предопределяет тенденцию к формированию сети тре-

щин аналогично принципам потокораспределения: трещина, как и по-

ток ТС, идет по пути наименьшего сопротивления.

Далее процесс формирования трещин будем описывать согласно

ипотезе о том, что при равномерном распределении напряженностей

скелета и прочностных свойств пласта, обусловленных условиями его

410

залегания, направление разрыва определяется наибольшим градиентом

пластового давления, превышающим критический градиент разрыва.

Таким образом, для элемента пласта произвольной формы с равно-

мерным распределением прочностных свойств направление распро-

странения трещины определяется прямой от точки с наивысшим дав-

лением к точке с наименьшим давлением, т.е. вектор максимального

градиента давления (при одинаковых дл

инах). При этом плоскость

трещины определяется вторым вектором, равным меньшему градиенту

давления, а раскрытие трещины будет происходить в направлении век-

тора, перпендикулярного предыдущим, при условии превышения дав-

ления внутри трещины над давлением по обе стороны от трещины на-

столько, чтобы деформировать породу. На рис. 4.119 показан пример

модели распространения трещины в ячей

ке.

Как видно из рис. 4.119 наибольшим градиентом давления будет

–p

> Δp

причем p

> p

, что предопределит главный вектор распро-

странения трещи-

ны. Вторым векто-

ром, формирую-

щим плоскость тре-

щины, является

градиент давления

–p

> Δp

и, нако-

нец, вектором, оп-

ределяющим рас-

крытие трещины

является третий

вектор-градиент p

–

>Δp

. Причем,

можно предполо-

жить, что формиро-

вание трещины

происходит дискретно: сначала формируется практически одномерная

трещина вдоль главного вектора, затем вследствие перераспределения

давлений происходит распространение трещины в плоскости согласно

второму вектору, а потом раскрытие трещины согласно третьему век-

тору. Также следует полагать, что если распределение давления на

этих стадиях формирования трещины равномерно, то ф

орма трещины

будет в виде прямоугольного параллелепипеда, если форма элемента

пласта такая же. Однако, природные условия фильтрации ТС при фор-

Рис. 4.119. Модель характера распространения тре-

ины в элементе пласта с

авными

линами сто

он