Стрекалов А.В. Математические модели гидравлических систем для управления системами поддержания пластового давления

Подождите немного. Документ загружается.

391

Основными замыкающими отношениями для ячеек будут зависи-

мости массового расхода компонента Ф, истекающего (или притекаю-

щего) с каждой грани ячейки, от перепада давления для каждого на-

правления фильтрации

)Ф,S(

SiU

iSiUi

SiU

iSiUi

Si,Ф

SiU,Ф

zpp

)zpp(sm

Δ+−

=Δ+−=

где

)p(Fkk

)p(

iФSi

)S(

Фi

iФ

)Ф,S(

⋅

–

– приведенное гидравлическое сопротивление течению вдоль оси S,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

кг

сПа

;

(

)

SiU

iiiФ

SiU

zz)p(gz −=Δ

– гидростатический перепад дав-

ления между центром ячейки и гранью U.

При соответствии фильтрации закону Дарси функции

)zpp(s

SiU

iSiUi

Si,Ф

Δ+−

можно, в общем, определить согласно из-

вестному сопротивлению, полученному из (4.169)

)Ф,S(

Si,Ф

)p(s

=Δ

где

– перепад давления между давлением в центре ячейки и дав-

лением на ее грани SiU.

Так как гидростатический перепад имеет место только по оси Z, да-

лее для удобства изложения мы опустим данный фактор.

Наличие в (4.169) сомножителя –

подразумевает течение ТС от

центра ячейки – узла p

к граням, вследствие чего сопротивление пото-

ку делится пополам, так как расстояние течения от центра до грани

равно половине размера ячейки. Далее относительную проницаемость

ячейки будем обозначать просто

, а абсолютную проницаемость

ячейки

)S(

, учитывая, что они относятся к каждой ячейке i. То же

самое, для текущей ячейки i площадь фильтрации обозначим

, а

длину

Подставив (4.169) в (4.168) и вместо

соответствующие площа-

ди фильтрации, получим для каждой грани ячейки по осям X, Y и Z

шесть направлений течения компонентов.

(4.168)

(4.169)

(4.169а)

392

Для оси Х:

)p(

L)p(

LLkk)pp(

)pp(sm

iФ

XiФ

)X(

Xibi

Xi,Ф

Xib,Ф

⋅−

=−= 2

)p(

L)p(

LLkk)pp(

)pp(sm

iФ

XiФ

)X(

Xiei

Xi,Ф

Xie,Ф

⋅−

=−= 2

Для оси Y:

)p(

L)p(

LLkk)pp(

)pp(sm

iФ

YiФ

)Y(

Yibi

Yi,Ф

Yib,Ф

⋅−

=−= 2

)p(

L)p(

LLkk)pp(

)pp(sm

iФ

YiФ

)Y(

Yiei

Yi,Ф

Yie,Ф

⋅−

=−= 2

Для оси Z:

)p(

L)p(

LLkk)pp(

)pp(sm

iФ

ZiФ

)Z(

Zibi

Zi,Ф

Zib,Ф

⋅−

=−= 2

)p(

L)p(

LLkk)pp(

)pp(sm

iФ

ZiФ

)Z(

Ziei

Zi,Ф

Zie,Ф

⋅−

=−= 2

Вследствие того, что фильтрационные свойства коллекторов суще-

ственным образом изменяются в зависимости от давления [164], необ-

ходимо иметь в виду и этот фактор. Если учесть изменение абсолют-

ной проницаемости от давления согласно (4.148), то замыкающие от-

ношения изменятся следующим образом

)p(

L)p(

Fekk)pp(

)pp(sm

iФ

SiФ

)Pp(n

)S(

Sibi

SiUi

Si,Ф

SiU,Ф

−

⋅−

=−=

где n – коэффициент изменения проницаемости от давления;

)(

– начальная абсолютная проницаемость при начальном

пластовом давлении –

вдоль оси S.

Описанные отношения соответствуют линейному закону фильтра-

ции каждого компонента. Если предполагается учесть нарушение ли-

нейного закона, которое наблюдается при высоких скоростях фильтра-

(4.170)

393

ции [244], то (4.168 и 4.170) будут использоваться для нахождения

)p(s

Si,Ф

при Δp <

кр

, где

кр

– перепад давления, соответствую-

щий точке перехода в нелинейный закон фильтрации, который может

быть определен согласно критическому числу Re

кр

[

]

121..

∈

(см. фор-

мулу 4.135).

Для описания фильтрации, не соответствующей линейному соот-

ношению перепада давления и массового расхода, будем использовать

функцию

)p(

Si,Ф

, которая необходима для определения массового

расхода компонента Ф при Δp >

кр

. Таким образом, закон фильтра-

ции в ячейке в зависимости от направления потоков будет составным,

а функцией, отражающей такой закон, будем называть

)p(

Si,Ф

)p(s

Si,Ф

при Δp<

кр

)p(

Si,Ф

)p(

Si,Ф

при Δp>

кр

Требованием к зависимости

)p(

Si,Ф

будет выполнение сле-

дующих условий.

Равенство первых производных на границе перехода линейного

закона в нелинейный (точка

кр

)p(s)p(

кр

Si,Ф

iкр

Si,Ф

′

=Δ

′

Равенство функций в точке

кр

)p(s)p(

кр

Si,Ф

iкр

Si,Ф

Δ=Δ

На рис. 4.115 показан пример составной функции

)p(

Si,Ф

. В ка-

честве примера для описания нелинейного закона фильтрации возьмем

следующую зависимость

)

(

ApB +Δ

где

, В и А – фильтрационные коэффициенты, причем,

– свобод-

ный коэффициент, а А и В определяются исходя из условий (4.172–

4.173).

Для выполнения условий (4.172) и (4.173) необходимо решить сис-

тему из двух уравнений. С целью упрощения изложения введем сле-

дующие обозначения. Для линейных отношений закона фильтрации

запишем (4.168) в виде

(4.171)

(4.172)

(4.173)

(4.174)

394

p)p

(

где

)Ф,S(

– фильтрационный коэффициент для линейного закона.

Рис. 4.115. Функция составного закона фильтрации

Система уравнений в общем виде выглядит так:

(

)

(

)

()()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

′

=Δ

′

Δ=Δ

кркр

pps

а относительно неизвестных коэффициентов А и В для рассматривае-

мого примера нелинейного закона фильтрации согласно (4.174)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

Δ=

+Δ=Δ

− )(

кр

кркр

ApBp

ϕα

Отсюда

)(

кр

1−

кр

)(

кр

pA Δ

−Δ=

−1

Подставив данные коэффициенты в (4.174), получим нелинейный

закон фильтрации

(4.177)

(4.178)

(4.175)

(4.176)

395

кр

)(

кр

)(

кр

)p( Δ

−Δ+Δ

=Δ

−− 11

причем, прямая линейного закона

)

(

будет плавно переходить в

кривую

)

(

, описанную (4.179), так как фильтрационные коэффи-

циенты связаны коэффициентом

линейного закона

)

(

. Свобод-

ный коэффициент –

отражает характер нели-

нейного закона (см. рис.

4.116).

Для определения точ-

ки –

кр

pΔ

перехода ли-

нейного закона в нели-

нейный, будем исходить

из критического массо-

вого расхода –

SiU,Ф

′

ячейке i вдоль оси S от

центра к грани U, опре-

деляемого линейным

соотношением

)p(

L)p(

Fkkp

)p(sM

iФ

SiФ

)S(

кр

Si,Ф

SiU,Ф

⋅⋅Δ

=Δ=

′

Для нахождения критического массового расхода в ячейке i вдоль

оси S из формулы (4.135) после подстановки зависимостей плотности

)p(

iФ

и динамической вязкости

)p(

iФ

от давления, фазовой

проницаемости

)S(

kkk ⋅=

по оси S и скорости в виде отношения

массового расхода к площади фильтрации и плотности имеем крите-

рий фильтрации

()

)p(

F)p(

iФ

отк

)S(

SiФ

SiU,Ф

кр

′

соответствующий точке массового расхода

SiU,Ф

′

– нарушения ли-

нейного закона фильтрации, выше которого нарушается линейное со-

отношение перепада давления и расхода ТС. Здесь m

отк

– открытая

пористость.

(4.181)

(4.179)

(4.180)

Рис. 4.116. Составной закон фильтрации для

различных коэффициентов

при

= 1

396

Отсюда критический массовый расход в ячейке будет определять-

ся следующей формулой:

(

)

)S(

iФ

эф

Sкр

Si,Ф

)p(mFRe

′

Совместив (4.182) и (4.180) приравниванием правых частей, полу-

чим уравнение

()

)p(

L)p(

Fkkp

)p(mFRe

iФ

SiФ

)S(

кр

)S(

iФ

эф

Sкр

⋅⋅Δ

= 2

откуда выразим

кр

pΔ

, соответствующий точке (см. рис. 4.115) наруше-

ния закона Дарси

(

)

()

)(20

)(

5.1

)(

3.2

iФ

SiФ

эф

кркр

pkk

Lpm

⋅

=Δ

Таким образом, при расчете функций составного закона фильтра-

ции

)pp(

SiUi

Si,Ф

−

, если

SiUi

pp −

кр

, то расчет массового рас-

хода следует проводить по функции

)p(

Si,Ф

, а если

SiUi

pp −

≤

кр

pΔ

, то по функции

)p(s

Si,Ф

Далее под замыкающими отношениями, описывающими энергети-

ческое воздействие ячейки в различных направлениях фильтруемых

компонентов, будем понимать функции

)p(

Si,Ф

. Особенно важно

отметить, что

)p(

Si,Ф

должна быть нечетной функцией, т.е.

)p()p(

Si,Ф

Δ−−=Δ

ζζ

. Поэтому при нахождении зависимости

(4.179) необходимо понимать под

кр

модуль перепада давления, а

вид

)

(

должен численно приводиться к нечетному виду:

кр

)(

кр

)(

кр

)p( Δ

−Δ+Δ

=Δ

−− 11

при

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−Δ+Δ

−=Δ

−−

кр

)(

кр

)(

кр

)p(

при

Для учета двухкомпонентной фильтрации необходимо описать за-

висимость относительной проницаемости каждого компонента от на-

(4.182)

(4.183)

(4.184)

397

сыщенностей ими порового пространства, данные зависимости обычно

устанавливаются эмпирически [165, 199, 209] и реже теоретически

[197]. Степень влияния изменения фазовых проницаемостей в зависи-

мости от насыщенности фаз на результаты расчета перетока между

элементами ГПП огромна [203], и неточность описания данных зави-

симостей чревата большими погрешностями моделирования. Особенно

сильно неточность расчета относительных или фазовых проницаемо-

стей ск

азывается при учете совместной фильтрации в трещинах и по-

ровом пространстве [214].

Если обозначить коэффициент насыщенности компонента Ф в

ячейке i как

Фi

н , то относительные проницаемости будут представ-

лены функциями

)н(k

ФiФ

Фi

для каждого компонента, где в качестве аргумента выступает текущая

насыщенность компонента в ячейке. На рис. 4.117 показан пример та-

ких функций для воды и нефти. Из графиков на рис. 4.117 видно, что с

ростом насыщенности одного компонента падает относительная про-

ницаемость другого. Причем, при насыщенности одного из компонен-

тов ниже определенной величины относительная п

роницаемость этого

компонента равна нулю, т.е. фильтрации не происходит. Это объясня-

ется капиллярными яв-

лениями в поровых ка-

налах: при достижении

некоторой минималь-

ной насыщенности

компонента в поровом

пространстве его филь-

трация невозможна

вследствие того, что

молекулы компонента

связаны взаимодейст-

вием с молекулами

породы. Доли нефти

или воды, неизвлекае-

мые из п

орового про-

странства, иногда на-

зывают «погребенны-

ми».

(4.185)

Рис. 4.117. Пример зависимостей относительных

проницаемостей воды и нефти от насыщенности

воды

398

Рассмотренные выше задачи относятся к моделированию фильтра-

ционных процессов, которые отражаются в виде замыкающих отноше-

ний

)p(

Si,Ф

при установившейся фильтрации в течение некоторого

времени Δt. Здесь следует также учитывать некоторый перепад давле-

ния, ниже которого фильтрации компонента Ф не происходит, т.е.

0)(

=Δp

SiФ

при

Sк

pp Δ<Δ , где

Sк

pΔ – перепад давления между

центром и гранью ячейки по оси S, при котором и выше которого воз-

можна фильтрация компонента Ф. Необходимость учета данного фак-

тора продиктована капилярными силами и возможными реолигиче-

скими свойствами компонентов [166, 200]. На рис. 4.117/1 показаны

примеры зависимостей

)(

SФ

для различных проницаемостей и

величин

Sк

pΔ . Величина

Sк

pΔ для показанных примеров взята про-

извольно, для реальных условий перепад давления на участке длиной

=5 м колеблется в пределах от 0 до 0.05 МПа. Велична

Sк

pΔ опре-

деляется согласно градиенту давления –

Sк

dp , при котором возможна

фильтрация компонента (для полной длины ячейки вдоль оси S):

Sк

Ldpp ⋅=Δ

, где

[]

01.0..0∈

Sк

МПа/м.

Рис. 4.117/1. Примеры расчетных зависимостей

)(

SФ

при

)(S

k =100

и 50 мД,

кр

pΔ = 5 МПа, L

=5 м, F

=25 м

k =0.4,

=1.8 мПа⋅с

399

Следующим процессом, рассматриваемым при моделировании эле-

ментов пласта, является процесс деформации породы[195] и порового

пространства в зависимости от притока и оттока компонентов из ячей-

ки, т.е. изменение емкостных свойств ячейки в зависимости от притока

или оттока масс компонентов (рис. 4.118).

а)

б)

Рис. 4.118. Схема притока объемов двух компонентов при деформации:

а –

схема деформации породы в ячейке;

б – зависимость давления от притока

массы ТС,

1 – без учета дефорации породы, 2 – с учетом деформации по-

роды

Допустим, на данный момент времени известны массовые расходы

потоков, истекающих из ячейки i со всех ее граней. Причем, так как

рассматриваются перепады давления между центром и гранями ячей-

ки, если

SiU,Ф

> 0, то происходит истечение компонента Ф из ячейки

по направлению оси S с грани U, а если

SiU,Ф

< 0, то приток в ячейку

извне через эту грань в этом направлении. Таким образом, суммарное

400

приращение массы компонента Ф в ячейке i будет равно сумме произ-

ведений всех массовых расходов

SiU,Ф

за время Δt по всем шести

граням (так как приток

SiU,Ф

<0, то приращение массы со знаком

«–»):

∑

⋅Δ−=

e,bU

Z,Y,XS

SiU,Ф

mtJ

Вследствие деформации породы и компонентов при

> 0 порода

и компоненты будут сжиматься, а при

< 0 разжиматься, при этом

будут изменяться их плотность и занимаемый объем в соответствии с

коэффициентами сжимаемости (см. рис. 4.118).

В зависимости от учета факторов изменения или постоянства объе-

ма ячейки V и объема, занимаемого компонентами, модель деформа-

ционных процессов в ячейке может быть четырех видов.

1. Исходя из постоянства объема ячейки и постоянства об

ъема по-

рового пространства, рассчитывается изменение давления в ячейке

вследствие приращения массы некоторой одной сжимаемой жидкости.

2. Исходя из постоянства объема ячейки и изменения объема поро-

вого пространства, рассчитывается изменение давления в ячейке

вследствие приращения массы некоторой одной сжимаемой жидкости.

3. Исходя из постоянства объема ячейки и изменения объема поро-

вого пространства, рассчит

ывается изменение давления в ячейке

вследствие приращения масс нескольких сжимаемых текучих сред.

4. Подразумевая непостоянство объема ячейки и объема порового

пространства, рассчитывается изменение давления в ячейке вследствие

приращения масс нескольких сжимаемых текучих сред.

Для дальнейшего изложения зададимся коэффициентами сжимае-

мости для каждого компонента –

, породы –

и объемами, зани-

маемыми породой – V

и каждым компонентом – V

Для упруго-сжимаемых сред известно соотношение

wdpdV ⋅

⋅

−

где w – сжимаемость вещества, Па

-1

;

dp – изменение давления;

dV – изменение объема;

V – объем, занимаемый до изменения давления.

(4.186)

(4.187)