Стрекалов А.В. Математические модели гидравлических систем для управления системами поддержания пластового давления

Подождите немного. Документ загружается.

301

объемные утечки жидкости через лабиринтные уплотнения с

уменьшением частоты вращения ротора снижаются, а гидравлический

к.п.д. увеличивается;

гидравлическое трение рабочих колес о жидкость (дисковое

трение) снижается с уменьшением частоты вращения ротора;

механическое трение (в сальниках и подшипниках) увеличива-

ется с уменьшением частоты вращения ротора.

В связи с этими факторами для адекватного пересчета необходимо

знать серию неких поправочных коэффициентов

, K

, показы-

вающих взаимосвязь между соответствующими составляющими к.п.д.

модельной и натурной характеристик.

Нетрудно предположить практическую невозможность выделения

отдельных составляющих к.п.д., а следовательно, и поправочных ко-

эффициентов к ним.

Автором предлагается метод пересчета модельных характеристик в

натурные, суть которого состоит в снятии нескольких модельных ха-

рактеристик на предлагаемой стендовой ус

тановке с помощью тири-

сторного преобразователя (или какого-либо вариатора) и модельного

двигателя. За этим следует математическая обработка полученных

кривых с целью определения серии коэффициентов, отражающих тен-

денцию к изменению этих кривых в зависимости от частоты вращения

ротора. И, наконец, экстраполяция каждого из этих коэффициентов и

построение по ним реальной ха

рактеристики.

Рассмотрим этот метод более подробно. На рис. 4.46 показан при-

мер снятых модельных характеристик на всем положительном спектре

расходов насоса ЦНС–180–1800 по предлагаемому методу.

Найдем интерполяционные коэффициенты каждой из этих кривых

по их характерным точкам

, В

, С

, …, А

, В

, С

… Количество точек

определяет точность дальнейших расчетов.

Уравнением интерполяции выберем полином 2-й степени вида

y = ax

+bx+c

В зависимости от выбора количества характерных точек степень

полинома будет меняться. Однако, как показывает опыт, наиболее

подходящим является выбор трех базовых точек и соответственно по-

лином 2-й степени, так как это наиболее приближено к законам подо-

бия.

(4.104)

302

Запишем системы уравнений, соответствующие каждому значению

частоты вращения ротора –

111

cqbqap

CCC

BBB

AAA

++=Δ

для n

222

cqbqap

CCC

BBB

AAA

++=Δ

для n

333

cqbqap

CCC

BBB

AAA

++=Δ

для n

Разрешив каждую систему относительно коэффициентов

, b

и c

получим таблицу коэффициентов корреляции (см. табл. 4.3). Данные

коэффициенты позволят построить полученные характеристики без

эмпирических зависимостей с достаточной степенью точности (см.

рис. 4.47). Потому они являются достаточными для определения тен-

Рис. 4.46. Модельные характеристики насоса ЦНС–180–1800

на частотах вращения вала:

=1500, n

=1100, n

=850

(4.105)

(4.106)

(4.107)

303

денции изменения кривых модельных характеристик в зависимости от

частоты вращения ротора насоса.

Таблица 4.3. Коэффициенты корреляции «модельных кривых»

Полученные зависимости

Δp

(q)=a

q+c

имеют вид:

.2.730000000.012560000.00027520)(

,3.820000000.013395050.00026790)(

,6.210000000.010223080.00024846 )(

++−==Δ

qqqfp

Для нахождения реальной характеристики необходимо найти, по

крайней мере, три ее характерные точки. Для этого эмпирически выбе-

рем три факторических (от правильности выбора опорных точек зави-

сит точность результата) значения расхода. В нашем случае предлага-

ется выбрать

=0, q

=50, q

=125 м

/ч.

Для

зависимость перепада давления от частоты вращения ротора

при постоянном расходе

46151.347115380.00048546150.00000248)(

++==Δ nnnfp

n = a

= b

= c

1500 –0.00024846 0.01022308 6.21000000

1000 –0.00026790 0.01339505 3.82000000

850 –0.00027520 0.01256000 2.73000000

Рис. 4.47. Модельные характеристики, интерполирован-

ные по коэ

фф

ициентам a

, b

и с

304

для

30770.243076920.0013230770.00000172)(

++==Δ nnnfp

для

38463.628846150.00355154.0000008460)(

−+==Δ nnnfp

Графики этих зависимостей показаны на рис. 4.48.

По указанным зависимостям, подставляя рабочую частоту враще-

ния вала

n =3000 об/мин натурного насоса, находим значения перепада

давления в точках

, q

и q

=0;

=22.5;

=50;

pΔ

=19.8;

=125;

pΔ

=16.8.

а)

б)

в)

Рис. 4.48. Графики зависимостей давлений от частоты вращения ро-

то

а для выб

анных точек: а –

;

–

и в –

305

По этим точкам теми же приемами интерполяции строим искомую

кривую рабочей характеристики при частоте 3000 об/мин. В нашем

случае полином результирующей характеристики будет

5.220117.000006.0)(

+⋅−⋅−==Δ qqqfp

ЦНСЦНС

Из алгоритма описанного метода видно, что выбор характерных

точек на каждом этапе является одним из ключевых моментов. Если

выбрать менее характерные точки, например, в одной области расхо-

дов или частот, то форма кривых может сильно измениться и не отра-

зить реальную характеристику.

Для более адекватного пересчета рекомендуется после получения

коэффициентов п

оследнего полинома найти точку M, соответствую-

щую максимальному к.п.д., и нанести на плоскость построения. Для

этого (см. рис. 4.49) по модельным кривым к.п.д. находим точки

соответствующие максимальным к.п.д. для каждой частоты

, и нахо-

дим зависимости

)(nf

)(nfq

QMM

для точек M

. После

экстраполируем по найденным зависимостям значения расхода и дав-

ления в искомой точке

М на натурной характеристике.

Следующей уточняющей точкой будет служить точка

С, только

здесь мы строим зависимость

)(nfq

QCC

и так же, как и для точки М,

экстраполируем ее на натурную характеристику.

Полученные точки

, q

, М и С позволяют построить уточнен-

ную натурную характеристику посредством аппроксимации или ку-

сочной интерполяции полиномом 2-й или 3-й степени.

Рис. 4.49. Модельные характеристики

p(q),

(q)

306

Как видно из рис. 4.50, уточненная характеристика наиболее близка

к оригиналу, а формула соответствующего полинома

выглядит так:

5.22002.000011.0)(

+−−==Δ qqqfp

ЦНСЦНС

Последний полином дает наиболее правильное представление, так

как он аппроксимирует весь спектр рабочих расходов (см. рис. 4.50 –

б), в отличие от полинома на рис. 4.50 – а.

Применяя показанный метод, появляется возможность снимать ра-

бочие характеристики таких насосов непосредственно на месте их ре-

монта, что позволит наиболее точно моделировать их функционирова-

ние в ТГС.

Конечно, в описанном методе присутствуют явные недостатки, свя-

занные с необходимостью эмпирически выбирать факторические точ-

ки. В качестве дополнительных условий повышения точности экстра-

поляции, в за

висимости от условий эксплуатации (износа) ЦНС из ин-

терполирующих полиномов можно исключить определенные члены,

не совместимые с теоретическими основами подобия. Например, для

интерполяции зависимости

)(nfq

QCC

лучше использовать полином

б)

Рис. 4.50. Пересчитанные натурные характеристики:

а – по точ-

кам, соответствующим расходам

, q

и q

; б – аппроксимирован-

ная с дополнительными точками М и С

307

первой степени, а для интерполяции

)(nfp

лучше использовать

«усеченный полином» –

nanf

=)(

Что касается насосов, используемых в системах ППД в качестве

АСГ первого и второго водоподъема (см. рис. 3.5), то снятие их рабо-

чих характеристик не представляет особого труда. Причем, стоит от-

метить, что их производительности слабее меняются с течением вре-

мени. В качестве насосов второго водоподъема в основном использу-

ются одноколесные центробежные насосы (АС

СТР

мономодульные).

Снятие их рабочих характеристик также является важным для повы-

шения точности моделирования. Но в отличие от ЦНС они потребляют

значительно меньшую мощность, и меньше влияют на потокораспре-

деление.

2. Первая и третья четверти

Кривая полной характеристики в первой и третьей четвертях не

входит в рабочую характеристику насоса, поэтому ее не принято сни-

мать при испытании насосов на заводе-изготовителе. Однако, в из-

вестной работе А.А. Ломакина было отмечено, что снятие характери-

стик вне зоны рабочих режимов также важно для полноты знаний о

функционировании це

нтробежных насосов и, как было отмечено ра-

нее, необходимо для адекватного моделирования этих объектов. К со-

жалению, на данный момент большинство объектов АСГ не изучено с

позиции аварийных режимов работы, поэтому вопрос о поведении на-

сосов вне рабочих режимов мы будем рассматривать на примере одно-

колесного центробежного насоса, тем более, чт

о есть все основания

полагать, что тенденция поведения кривой полной характеристики

мультимодульных АСГ

СТР

соответствует мономодульным АСГ

СТР

Логично было бы предположить, что форма кривой

ЦНС

(q) в первой

четверти должна соответствовать продолжению кривой рабочей харак-

теристики в область положительного перепада давлений между вхо-

дом и выходом из насоса. Такая ситуация структурно показана на

схеме рис. 4.51.

Ситуация превышения максимума рабочего расхода жидкости че-

рез АСГ

может возникнуть при существенном превышении произво-

Рис. 4.51. Участок ТГС, в котором возможен нерабочий режим АСГ

308

дительности АСГ

над АСГ

(

АСГ

⋅

АСГ

⋅

), т.е. при росте

давления на приеме АСГ

и выкиде АСГ

выше давления на выкиде

АСГ

. При этом АСГ

будет работать как устройство, создающее гид-

равлическое сопротивление потоку жидкости, при этом передающее

поглощаемую энергию потока на вал двигателя, т.е. работая, в некото-

ром смысле, как гидродвигатель (АПГ).

А.А. Ломакиным была предложена так называемая круговая харак-

теристика центробежного насоса, неявно отражающая характер взаи-

модействия насоса с ТГС на не

рабочих режимах (см. рис. 4.52). На

Рис. 4.52. Круговая характеристика центробежного насоса в четырех

квадрантах

309

диаграмме, представленной на рисунке, числовая плоскость разделена

на четыре квадранта: по вертикали плоскость разделена осью измене-

ния расхода от –200% до +300%, а по горизонтали – осью изменения

частоты вращения вала от –150% до +230%. Центр плоскости соответ-

ствует нулевым значениям расхода и частоты вращения вала.

На диаграмме нанесены линии равных напоров, создаваемых насо-

сом, и момен

тов на валу двигателя.

Если попытаться понять характер (форму характеристики) воздей-

ствия насоса на ТГС, т.е. его полную характеристику, то становится

ясной практическая непригодность данной диаграммы для гидравли-

ческого моделирования в том виде, в каком она показана на рис 4.52,

т.е. для нахождения функции

)q(f

СТР

АСГ

по причине отсутствия кон-

кретных значений расхода и напора. Ввиду того, что изменение часто-

ты вращения вала в зависимости от расхода жидкости не влияет на

моделирование гидравлических параметров следует, воспользовав-

Рис. 4.53. Характеристики одноколесного центробежного насоса

в координатах Δp[

] –q[

]

310

шись данной диаграммой, исключить из нее параметр частоты враще-

ния для каждой кривой и построить серию искомых кривых в относи-

тельных координатах

q[%]–Δp[%], тем самым проследить лишь тен-

денции изменения их форм вне рабочих режимов.

На рис. 4.53 показаны кривые полных характеристик рассмотрен-

ного А.А. Ломакиным одноколесного центробежного насоса в приня-

тых для моделирования координатах

Δp–q, но только уже в относи-

тельных единицах: процентах перепада давления и расхода от номина-

ла. Такое построение позволит для начала оценить формы кривых без

обращения к конкретным значениям расхода. Как мы условились ра-

нее, перепад давления

Δp определяется разностью давления на входе и

выходе из объекта, т.е. для насоса

Δp=p

прием

– p

выкид

. В общепринятых

координатах величина перепада давления для АСГ вычисляется как

разность давления на выкиде и приеме насоса, а величина перепада

давления для КС – наоборот. Поэтому для упорядочивания данной

ситуации с математической точки зрения следует избирать единый

порядок определения перепада, как это было сделано ранее. В связи с

различием в определении

Δp кривые, полученные из диаграммы А.А.

Ломакина, отражены относительно оси расхода, что соответствует свя-

зи математического описания модели с физическим смыслом.

Как видно из графиков на рис. 4.53, полные характеристики данно-

го АСГ представлены тремя кривыми. Эти кривые соответствуют раз-

личным состояниям:

n = 100% – данная кривая описывает нормальное

состояние АСГ с подводом механической энергии на частоте вращения

n = 100% от номинальной; n = 50% – кривая состояния АСГ с подво-

дом энергии на половине номинальной частоты вращения вала;

n=0 –

состояние АСГ соответствует отключению энергии и блокировке вала.

При включенном электропитании двигателя в первой четверти на-

блюдается процесс рассеивания гидравлической энергии потока, а

форма кривой соответствует продолжению рабочей характеристики в

область положительных значений

Δp. Причем кривая здесь тем круче,

чем меньше частота вращения вала.

В третьей четверти также наблюдается процесс рассеивания энер-

гии потока для

n > 0 с той лишь разницей, что это происходит при зна-

чительно меньших величинах расхода. Это связано, прежде всего, с

тем, что работа АСГ направлена против потока. Кривая здесь также

является продолжением рабочей характеристики, однако, в точке пере-

сечения с осью давлений имеет место перегиб.