Шинкарик М.І. Вища математика

Подождите немного. Документ загружается.

271

Нехай приріст ціни

pΔ

викликає приріст QΔ . Тоді відносні

прирости ціни і попиту будуть відповідно

pΔ

і .

Відношення

ΔΔ

показує відносну зміну попиту, якщо

ціна виробу зросла на 1%.

Еластичністю попиту відносно ціни називається границя

відношення відносного приросту попиту до відносного приросту

ціни при умові, що приріст ціни прямує до нуля.

lim

:lim)(E

0p0p

⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ΔΔ

==η

→Δ→Δ

Еластичність попиту відносно ціни наближено визначає, як

змінюється попит на даний виріб, якщо його ціна зростає на 1%.

Так, наприклад, якщо зростання ціни на 5% викликає спадан-

ня попиту на 8%, то еластичність буде

4,1

−=

−

=η .

Якщо еластичність попиту

,5,0−=

то 10% зростання варто-

сті товару викликає спадання попиту на (-0,5)10%=-5%.

Означення. Якщо відсоток зміни попиту більше відсотка

зміни ціни (η<

−

1), то попит називають еластичним, якщо від-

соток зміни попиту менше відсотка зміни ціни (

−

1<η<0), то по-

пит називають не еластичним, а якщо відсоток зміни попиту

рівний відсотку зміни ціни (η=

−

1), то попит називають нейтра-

льним.

Приклад. Встановлено, що кількість вироблених і проданих

виробів

Q за ціною p визначається за формулою Q=10000

−

500p

(0<p<20)

. Визначити при якій ціні попит еластичний, нейтральний,

не еластичний.

Розв

’язування.Еластичність попиту відносно ціни

p20

)500(

p50010000

−

−=−

−

=⋅=η

Попит буде еластичним, якщо

1−<

, .1

p20

−<

−

Звідси,

враховуючи, що

0p20 >−

, маємо ;1

p20

−

272

;p20p −>

;10p2 >

.10p >

Отже, попит еластичний при

ціні

20p10 << (грн).

p20

−=

−

; .10p;p20p;1

p20

=−==

−

Попит нейтральний при ціні

10p = (грн.). Попит буде не елас-

тичний, коли

.01 <

<−

p20

−>

−

.10p;p20p;1

p20

<−<<

−

.0p;0

p20

−

Отже, попит не еластичний при ціні меншій 10 грн. за виріб.

Приклад 2. Встановити зв’язок між доходом підприємства та

еластичністю попиту від ціни.

Розв

’язування. Дохід визначається як добуток вартості кожно-

го виробу на кількість вироблених і проданих виробів

.p)(D QQ ⋅=

Знайдемо маржинальний дохід, врахувавши, що

Q є функція від

).1()

)(dD

η+=⋅+=+= Q

Якщо

,1−≤η

то

,01 <

)(dD

І тому дохід спадає

при зростанні

коли попит еластичний.

Якщо

,01 <

<− то ,01 >

+ а

)(dD

Тобто функція

)(D Q доходу зростає з зростанням ціни

коли попит не еластичний.

21.3. Еластичність пропозиції відносно ціни

Поняття еластичності можна застосовувати і до інших функ-

цій економічного змісту.

Розглянемо поняття еластичності пропозиції

S в залежності

від ціни товару

p. Під пропозицією розуміють кількість деякого то-

вару, який пропонується на продаж за одиницю часу. Як правило,

пропозиція якого-небудь товару є зростаючою функцією ціни. Але

273

бувають випадки, коли пропозиція підвищується із зниженням ціни.

Величина

є функцією від ціни товару. Тобто,

).p(SS =

Нехай Δ

p- приріст ціни, а ΔS- відповідний приріст пропозиції.

Тоді відносні прирости ціни і пропозиції будуть відповідно

pΔ

SΔ

Еластичністю пропозиції відносно ціни називається гра-

ниця відношення відносного приросту пропозиції до відносного

приросту ціни при умові, що приріст ціни прямує до нуля.

lim)S(E

⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ΔΔ

→Δ

Еластичність пропозиції відносно ціни наближено визначає

відсоток приросту пропозиції на 1% приросту ціни.

Приклад 3. Функція пропозиції деякого товару

1p4

p310

Визначити еластичність пропозиції при ціні

2p = .

Розв

’язування.

+−+

⋅

=⋅=

)1p4(

)p310(4)1p4(p6

p310

)1p4(p

)S(E

)1p4)(p310(

20p3p6(p2

)1p4)(p310(

)p1240p6p24(p

−+

−−+

Якщо

2p = , то

.2,0

)20624(22

)S(E

⋅

−+⋅

Отже, при ціні

2p =

збільшення її на 1% викличе збільшення

пропозиції на

%.2,0

Розділ 5. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

§1. Основні поняття про функції багатьох змінних

Вивчення зв’язків і закономірностей, які існують в матеріаль-

ному світі, часто приводять до функції не однієї, а багатьох змінних.

Ці функції дозволяють виражати більш складні залежності, ніж фу-

нкції однієї змінної. Тому теорія функцій багатьох змінних має ши-

роке практичне застосування в різних галузях.

1.1. Означення функції багатьох змінних.

274

Функція двох змінних та її графічне зображення

Змінні

n21

x,...,x,x називаються незалежними між собою, як-

що кожна із них може приймати довільні значення в своїй області

зміни незалежно від того, які значення приймають при цьому інші

змінні.

Означення 1. Функцією багатьох змінних

)x,...,x,x(fu

n21

називається така закономірність, при якій змінним

n21

x,...,x,x

із деякої множини

⊂ ставиться у відповідність одне зна-

чення

із множини

′

⊂

Наприклад: ,yxz

,xyz =

.zyxu

222

++=

Множина

називається областю визначення функції

),x,...,x(fu

= а множина

- область значень цієї функції. На-

приклад, функція

yx9z −−=

задана для всіх

, для яких

виконується нерівність

.9yx

≤+

У даному випадку областю ви-

значення функції є круг на площині

y0x з центром в точці )0;0(O і радіу-

сом

R=3 Область значень цієї функції

[]

3;0E =

Частинним випадком функції ба-

гатьох змінних є функція двох змінних

),y,x(fz = для якої можна дати по-

няття графіка функції. В загальному

випадку графіком такої функції є пове-

рхня у трьохвимірному просторі

Приклад 1.

.yxz

Графіком цієї функції є параболоїд

обертання (мал.1).

1.2. Економічні задачі, що приводять до поняття функцій

багатьох змінних

Приведемо приклади конкретних функцій багатьох

змінних, які зустрічаються в економічних задачах.

Приклад 2. Нехай підприємство випускає тільки один товар і

на його випуск затрачається тільки одна сировина (один ресурс).

Підприємство характеризується повністю своєю виробничою функ-

Мал.1

275

цією y=f(x) залежність об’єму випущеного товару

від об’єму за-

траченої сировини

Така виробнича функція називається одноре-

сурсною.

Якщо на виробництво продукції певного типу витрачається

багато видів сировини (ресурсів)

,х

,...,х

то така виробнича функ-

ція називається багаторесурсною або багатофакторною:

).x,...,x,x(F)x(Fy

n21

Найбільш відомою виробничою функцією є функція

Кобба-Дугласа

βα

= LAKy

, де

α,,A

- невід’ємні константи, при-

чому

1≤

+α

;

K- об’єм фондів в вартісному або натуральному вираженні;

L- об’єм трудових ресурсів – число працівників, число

людино-днів;

y- випуск продукції в вартісному або натуральному виразі. На

цьому прикладі видно, що функція Кобба-Дугласа є функцією двох

незалежних змінних

K і L.

Приклад 3. Розглянемо основне рівняння класичної кількісної

теорії грошей, яке називається рівнянням обміну Фішера:

MV=PY

даному рівнянні будь-яка із змінних M,V,P,Y може розглядатися як

функція трьох змінних, де

M - це загальна кількість грошей, наявних в обороті;

V - швидкість їх обороту (скільки раз кожна гривня

бере участь в розрахунках в середньому за рік);

Y- національний продукт або дохід (національний продукт

– це всі готові товари і послуги, що виготовлені в економічній

системі у вартісному виразі; національний дохід – це всі виплати,

одержані домашніми господарствами: заробітна плата, рента, при-

буток; національний продукт і національний дохід чисельно рівні);

- рівень цін (середнє зважене значення цін готових товарів і пос-

луг, що визначені відносно базового показника, прийнятого за оди-

ницю).

Нехай

⋅

- тобто ціна є функцією трьох незалежних

змінних. Тоді із збільшенням грошової маси (кількості грошей)

декілька разів (тобто гроші просто надрукують), ціни зростуть в сті-

276

льки ж разів, при умові, що інші величини V і

залишаться не-

змінними. Такі дії і є найчастіше причиною інфляції.

§2. Лінії та поверхні рівня. Гіперповерхні рівня

2.1. Поняття лінії та поверхні рівня

Для характеристики функцій двох змінних вводиться поняття

ліній рівня.

Означення 2. Лінією рівня функції z=f(x,y) називається

сукупність всіх точок на площині xOy, для яких виконується

умова .C)y,x(f =

Лінії рівня можна отримати, перетнувши поверхню

)y,x(fz =

площинами ,Cz = де .соnstС =

Приклад 1. Знайти лінії рівня функції

.yxz

Розв

’язування.

Нехай z=C.

=C (C≥0),

У цьому випадку лініями

рівня є множина концентричних

кіл з центром у початку коорди-

нат і радіусом

(мал.2).Аналогічно вводиться

поняття поверхні рівня для фун-

кції трьох змінних

)z,y,x(fu =

).C)z,y,x(f( =

Приклад 2. Знайти поверхні рівня функції

222

zyxu ++= .

Розв

’язування. Нехай .Cu = Тоді Czyx

222

=++ . ( 0C ≥ ) –

це множина сфер з центром у точці

)0;0;0(O і радіусом

2.2. Поверхні другого порядку

Найбільш вивчені поверхні в курсі аналітичної геометрії – по-

верхні другого порядку. В загальному

випадку рівняння такої поверхні має ви-

гляд.

.0aza2

ya2xa2zayza2xza2yaxya2xa

4434

2414

332313

2212

=++

++++++++

Залежно від значень коефіцієнтів

Мал

Мал. 2.

277

44221211

a,...,a,a,a

одержують різні поверхні другого порядку.

Наприклад:

=−+

- конус;

222

yxRz −−=

- напівсфера;

z +=

еліптичний параболоїд;

−=

-гіперболічний

параболоїд;

Мал

278

=++

-трьохосний

еліпсоїд.

Для вивчення поверхонь в трьохвимірному просторі застосо-

вується метод перерізів. Суть цього методу така: перерізаємо задану

поверхню площинами.

.3,21

CzCy,Cx ===

В результаті отри-

муємо деякі криві, які характеризують поверхню.

Приклад 3.

.yxz

Нехай

Cz =

).0C(

≥

Отримаємо

рівняння

Cyx =+

( рівняння кола). Покладемо

,Cy

тоді

zCx

- рівняння параболи в площині z0x , яка зміщена на

одиниць вверх по осі

Oz . Покладемо .Cx

= Отримаємо рівняння

.Cyz

+= Одержали рівняння параболи в площині z0y , яка

зміщена на

C одиниць вверх по осі

.z0

З цих досліджень випли-

ває, що графіком функції

yxz += є параболоїд обертання навко-

ло осі

.z0

2.3. Гіперповерхня рівня

Мал

279

Нехай задана функція від

змінних

).x,...,x,x(fu

n21

Як-

що покласти

,Cu =

то одержимо рівняння ,C)x,...,x(f

= яке на-

зивається рівнянням гіперповерхні рівня в просторі

. Наприклад:

.x...xxu

+++= Якщо

,Cu =

то рівняння Cx...xx

=+++

є рівнянням гіперсфери в

з центром в точці )0,...,0,0(O і радіу-

сом

CR = .

§3. Границя функції двох змінних в точці. Неперервність

функції двох змінних

3.1. Границя функції двох змінних

Для функції двох змінних можна ввести поняття границі та

неперервності в точці

).y,x(M

000

Не-

хай функція

)y,x(fz = задана в околі

точки

)y,x(M

000

(мал. 8). Під δ - око-

лом точки

будемо розуміти мно-

жину точок площини

,y0x які задово-

льняють нерівностям

δ<MM

або

.)yy()xx(

δ<−+−

Означення 3. Число b називається границею функції

)y,x(fz = при ),yy;xx(MM

000

→→→ якщо для будь-якого

0>ε існує таке 0>δ , що як тільки

,MM

δ<

то

.b)y,x(f ε<−

Символічно це можна записати так:

b)y,x(flim

→

(5,1)

Очевидно, що границя функції не повинна залежати від спо-

собу наближення точки

до точки

Приклад 1. Знайти границю функції

−

в точці О(0;0).

Розв’язування. Знайдемо спочатку границю функції, коли

:0x,0y →=

Мал.8

280

lim

−

→

Тепер знайдемо границю функції, коли

:0y,0x →=

lim

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

−

→

Очевидно, що в цьому випадку границя функції не існує, тому

що при наближенні до точки

)0;0(O

з різних напрямків отриму-

ються нерівні границі.

3.2. Неперервність функції двох змінних в точці

Означення 4. Функція )y,x(fz = називається неперервною

в точці

),y;x(M

000

якщо вона задана в цій точці та деякому її

околі і виконується умова

).y,x(f)y,x(flim

→

(5.2)

Для неперервних функцій двох змінних справедливі ті ж тео-

реми, що і для функції однієї змінної.

Приклад 2. Дослідити на неперервність функцію

в точці

).0;0(O

Розв

’язування.Знайдемо повторні границі:

lim

limlim

lim

limlim

0x0y

0y0x

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

→→→

Будемо наближатись до точки

О(0,0) по довільній прямій y=kx,

тоді:

xlim

lim

222

kxy

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

→