Шинкарик М.І. Вища математика

Подождите немного. Документ загружается.

251

Тоді існують такі

значення функції

),x(f які в порівнянні

з іншими сусідніми зна-

ченнями є найбільшими

чи найменшими. Такі

значення називають ві-

дповідно максимумами

і мінімумами. На малю-

нку 9

),x(f

−)x(f

максимуми,

−)x(f),x(f

мінімуми.

Означення 1. Максимумом функції )x(f називається таке

значення ),x(f

яке не менше всіх значень функції в точках дос-

татньо близьких до

При цьому виконується нерівність

)x(f)xx(f

≤Δ+

для будь-яких достатньо малих xΔ .

Точка

x , в якій функція )x(f досягає максимуму )x(f

називається точкою максимуму.

Означення 2. Мінімумом функції )x(f називається таке

значення

),x(f

яке не більше всіх значень функції в точках до-

статньо близьких до

При цьому маємо

)x(f)xx(f

≥Δ+

для будь-яких достатньо малих .xΔ

Точка

x , в якій функція )x(f досягає мінімуму )x(f

називається точкою мінімуму.

Максимуми і мінімуми разом називають екстремумами. Фун-

кція може мати всередині інтервалу

()

b,a декілька екстремумів.

15.2 Необхідні умови екстремуму

Для відшукання екстремумів розглянемо спочатку не-

обхідні умови екстремуму.

ТЕОРЕМА.

(необхідна умова екстремуму).

Якщо функція )x(f має в точці

x екстремум, то її похі-

дна в цій точці дорівнює нулю, або не існує.

Доведення

. Нехай в точці

x функція )x(f має похідну і

досягає максимуму. Це означає, що при достатньо малому

хΔ

Мал.9

у=f(х)

Мал.3

252

маємо

).x(f)xx(f

≤Δ+

З цього випливає, що відношення

)x(f)xx(f

≥

−Δ+

якщо

0x <Δ

)x(f)xx(f

≤

−Δ+

якщо

.0x >Δ Переходячи в нерівностях до границі, дістанемо

0)x('f

≥

.0)x('f

≤

А це може одночасно виконуватись тільки при

.0)x('f

Аналогічно доводиться перша частина теореми у випадку, ко-

ли функція

)x(f досягає в точці

x мінімуму.

Але неперервна функція

)x(f може мати екстремум в точ-

ках, в яких похідна не існує. Наприклад, функція

xy = в точці

0x = не диференційована, але досягає в ній мінімуму, що видно з

графіка (мал.3).

Такі точки називають кутовими. Але ці умови не є достатніми.

Похідна може дорівнювати нулю не тільки в точках екстремуму.

Так похідна функції

xy = є

x3'y = . В точці 0x = ,0'y = але в

цій точці функція не досягає екстремального значення.

Точки, в яких похідна функціі дорівнює нулю або не існує на-

зивають стаціонарними або критичними точками першого роду.

15.3. Достатні умови екстремуму

ТЕОРЕМА

(перше правило). Якщо похідна функції )x('f

при переході через критичну точку

x зліва направо змінює

знак з “+”на “-“, то

)x(f має максимум в точці

x , якщо зміна

знаку відбувається з “-“ на “+”, то функція має мінімум в цій

точці. Відсутність зміни знаку вказує на відсутність екстремуму.

Доведення

. Якщо похідна )x('f при переході через точку

xx =

змінює знак з “+”на “-“, то це означає, що при досить мало-

му

хΔ похідна

)x('f

додатня на проміжку

)x,xx(

Δ−

від’ємна на проміжку

).xx,x(

Δ+ Отже, функція )x(f зростає

на проміжку

)x,xx(

Δ− і спадає на проміжку )xx,x(

Δ+ , тоб-

то в точці

досягає максимуму.

Аналогічно доводиться твердження теореми відносно

мінімуму функції.

253

ТЕОРЕМА.(друге правило). Якщо в точці x

перша похідна

′(x) функції f(x) дорівнює нулю, а її друга похідна f″(x) непере-

рвна в околі цієї точки і

f″(x)≠0, то функція f(x) має максимум в

точці

, коли

0)x(''f

і мінімум , коли

.0)x(''f

Доведення

. Нехай 0)x('f

= і .0)x(''f

> Тоді внаслідок

неперервності

)x(''f

вона додатня в малому інтервалі

).хx,xx(

Δ+Δ− Це означає, що )x('f , для якої )x(''f є похід-

ною, зростає в цьому інтервалі. Оскільки

0)x('f

, то на проміж-

ку

)x,xx(

Δ−

похідна

,0)x('f <

а на проміжку

)xx,x(

Δ+

похідна

.0)x('f >

Тому

)x(f

в інтервалі

)x,xx(

Δ−

спадає, а в інтервалі

)xx,x(

Δ+

зростає. Значить, в точці

функція

)x(f

має міні-

мум.

Аналогічно доводиться достатність умови існування

максимуму.

Зауваження

. Треба мати на увазі, що другим правилом не мо-

жна користуватися у випадку,коли критична точка

одержана від

того, що в ній похідна не існує, а також, якщо

.0)x(''f

Тоді ко-

ристуються першим правилом.

Приклад.

Знайти максимум і мінімум функції

.1x3x2x

++−=

Розв

’язування.Дана функція визначена на проміжку

).,( ∞−∞

Знаходимо похідну і прирівнюємо її до нуля.

.03x4x

,3x4x'y

=+−

+−=

Корені даного рівняння

.3x,1x

Спочатку використаємо перше правило

).3x)(1x('y −−=

Область визначення функції критичними точками ділиться на

проміжки:

),3()3,1()1,( ∞∪∪−∞ (мал.10). Знайдемо знаки

похідної в кожному з цих проміжків, підставивши конкретні числа з

них в похідну.

Мал

.10

254

Наприклад ,

.03)34)(14()4('y

,01)32)(12()2('y

,03)30)(10()0('y

>=−−=

<−=−−=

>=−−=

Отже, в точці −= 1x макси-

мум.

2113121

max

=+⋅+⋅−⋅=

В точці

−= 3x мінімум. .1133323

min

=+⋅+⋅−⋅=

При застосуванні другого правила знаходимо другу похідну

.4x2''y −=

Підставляємо значення

= і 3x

= в другу похідну:

02412)1(''y <−=−⋅= , .02432)3(''y >=−⋅=

В точці

−= 1x

максимум , в точці −= 3x

мінімум.

§16. Найменше та найбільше значення функції на відрізку

За теоремою Вейєрштраса неперервна функція на замкнутому

відрізку

[]

b,a досягає свого найбільшого і найменшого значення. Ці

значення функція може досягти на одному з кінців відрізка або все-

редині відрізка. Тому задачу знаходження найбільшого і найменшо-

го значень функції на відрізку

[]

b,a розв’язують так:

1). Знаходять похідну, і прирівнявши її до нуля, знаходять

критичні точки першого роду.

2). Обчислюють значення функції в усіх критичних точках,

що належать проміжку

[]

b,a і значення функції на кінцях відрізка.

3). Серед цих значень вибирають найбільше і найменше зна-

чення.

Зауваження

. Якщо всередині проміжку функція має тільки

одну критичну точку і досягає в ній максимуму, то він буде найбі-

льшим значенням, а якщо досягає в ній мінімуму, то він буде най-

меншим значенням.

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції

3x12x3x2y

+−−=

на проміжку

[]

1,2−

Розв

’язування. Знаходимо похідну .12x6x6y

−−=

′

255

Прирівнявши похідну до нуля, знаходимо критичні точки

першого роду:

012x6x6

=−− ,

.2x;1x

,02xx

=−=

=−−

Оскільки точка

не входить в даний проміжок, її до

уваги не беремо. Обчислюємо значення функції:

.103123231121312)1(y

;10312323)1(12)1(3)1(2)1(y

;132412163)2(12)2(3)2(2)2(y

−=+−−=+⋅−⋅−⋅=

=++−−=+−−−−−=−

−=++−−=+−−−−−=−

Отже, найбільше значення функції 10y = в точці

,1x −=

а най-

менше значення

10y −= в точці .1x =

§17. Приклади задач оптимізації з економічним змістом

Задача 1. На підприємстві з відходів бляшаних листів прямо-

кутної форми розмірами

дм5дм8 ×

вирішили виготовляти відкриті

зверху ящики найбі-

льшого об’єму, вирі-

завши по кутах рівні

квадратики і загну-

вши бляху, щоб

отримати бічні стін-

ки. Якої довжини

мають бути сторони

вирізаних квадратів?

Розв

’язування.

Нехай

сторони

вирізаних квадратів

(мал.11).

Тоді розміри

ящика будуть

,x28−

x25−

Об’єм ящика

Мал.1

256

)x28)(x25(xV −−= . Знайдемо найбільше значення цієї функції при

умові , що

5,2x0 << . .x40x26x4V

+−= Обчислимо похідну

.40x52x12V

+−=

′

Прирівнявши її до нуля, знайдемо критичні точки першого

роду:

010x13x3,040x52x12

=+−=+−

49120169103413D

=−=⋅⋅−= ,

713

x,1

713

−

Оскільки точка

5,2

>= не входить у вказаний промі-

жок, то вона відкидається.

Знайдемо другу похідну

′′

;52x24V −=

′′

0285224)1(V <−=−=

′′

Отже, в точці

1x = функція V досягає максимуму. При

0x = і

5,2x =

, 0V = .

Відповідь:

.найб

досягається при

)дм(1x =

Задача 2. Треба виготовити відкритий циліндричний бак

об’єму

V . Матеріал, з якого виготовляють дно бака коштує

гри-

вень за

,м

а вартість матеріалу бокової поверхні -

гривень за

.м

При якому співвідношенні радіуса дна до висоти витрати на ма-

теріал будуть найменшими?

Розв

’язування. Нехай

радіус основи, а

висота бака. Тоді

об’єм бака

hrV

π= , а витрати на матеріал

rhp2prZ π+π= .

Виразимо з формули об’єму

і підставимо у вираз для

Z. Одержимо функцію однієї змінної

Vp2

rVp2

prZ

+π=

. Знайдемо похідну

Vp2

rp2Z −π=

′

Знаходимо критичні точки:

257

Vp2

rp2

=−π , ;Vppr

=π ,

друга точка

0r = не входить в область визначення функції.

Знайдемо

;

Vp4

r2Vp2

p2Z

+π=

⋅

+π=

′′

.0p6p4p2

Vp4

p2)r(Z

111

>π=π+π=

+π=

′′

Отже, в точці

функція витрат

має мінімум.

Знаходимо

:Vh

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π=

Знайдемо відношення

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Отже, радіус дна до висоти бака повинен відноситись як ціна

матеріалу дна до ціни матеріалу бокової поверхні.

Задача 3. Фірма вирішила випускати нові радіоприймачі.

Економічним підрозділом фірми встановлено, що при випуску

приймачів щоквартально затрати будуть

x3090000)x(V += (гри-

вень), а кількість проданих приймачів в залежності від ціни

(гри-

вень) за один приймач становитиме

.p309000x −= При якому ви-

пуску фірма матиме найбільший дохід і прибуток? Який найбіль-

ший дохід і прибуток, і при якій ціні, якщо фірма щоквартально мо-

же випускати до 5000 приймачів?

Розв

’язування. Знайдемо ціну р:

300p;x9000p30 −=−=

Тоді дохід від реалізації

радіоприймачів

x300x)

300(px)x(D

−=−==

258

Знайдемо маржинальний дохід і, прирівнявши його до нуля,

знайдемо критичні точки:

;

300

300)x(D −=−=

′

300 =−

4500x =

Оскільки

)x(D <−=

′′

а точка 4500x = єдина входить в

даний проміжок [

0;5000], то в цій точці D(x) досягає найбільшого

значення.

675000

)4500(

4500300)4500(DD

max

=−⋅==

(гривень).

Досягається це значення доходу при ціні на приймач

150

4500

300p =−= (гривень).

Прибуток

)x(P шукаємо як різницю між доходом )x(D

і витратами

)x(V

).x(V)x(D)x(P −=

.90000

x27090000x30

x300)x(P

−−=−−−=

Знаходимо маржинальний прибуток і, прирівнявши його до

нуля, критичні точки:

270

270)x(P −=−=

′

; 0

270 =−

; 4050x = .

Оскільки

)x(P −=

′′

, а точка

4050x =

єдина входить в промі-

жок [

0;5000], то в цій точці P(x) досягає найбільшого значення.

45675090000

)4050(

4050270)4050(PP

max

=−−⋅== (гривень).

З формули прибутку видно, що максимальний прибуток дося-

гається, якщо

)x(V)x(D

′

, тобто коли маржинальні витрати до-

рівнюють маржинальному доходу.

Максимальний прибуток досягається при випуску і продажі

4050 приймачів по ціні

165

4050

300

р =−=

(гривень).

Отже, максимальна виручка (дохід)

675000грн. досягається

при випуску і реалізації

4500 радіоприймачів по ціні 150 грн. за

приймач, а максимальний прибуток

456750 грн. при випуску і реалі-

зації

4050 радіоприймачів по ціні 165 грн. за приймач.

259

§18.Опуклість і вгнутість графіка функції.

Точки перегину

При дослідженні функцій з метою побудови їх графіків важ-

ливу роль відіграють такі поняття як опуклість і вгнутість кривих.

Означення 1. Крива

)x(fy =

називається опуклою в точці

x , якщо в околі цієї точки крива знаходиться під

дотичною до кривої, проведеної в цій точці (мал.12).

Означення 2. Крива )x(fy = називається вгнутою в точці

, якщо в околі цієї точки крива знаходиться над дотичною до

кривої, проведеної в цій точці (мал 13).

Означення 3. Крива

)x(fy =

називається опуклою (вгну-

тою) на проміжку ),b,a( якщо вона опукла (вгнута) в кожній

точці цього проміжку.

Для встановлення проміжків, на яких графік функції

)x(fy = опуклий, а на яких вгнутий, вкажемо теорему, яка дає

достатні умови опуклості і вгнутості кривих на проміжку.

ТЕОРЕМА.

Якщо на проміжку

)b,a(

друга похідна функ-

ції

)x(fy = від’ємна, то її графік опуклий на цьому проміжку,

якщо

)x(''f

додатня на

)b,a(

, то графік

)x(fy =

вгнутий.

Не приводячи строгого доведення, приведемо геометричні

міркування, які пояснюють теорему.

Якщо скрізь на проміжку

(a,b) f″(x)<0, то це означає, що f′(x),

як функція для якої

f″(x) є похідною, буде спадною. Отже, спадає на

розглядуваному проміжку кутовий коефіцієнт дотичної

tgα до кри-

вої і спадає сам кут α, утворюваний дотичною з додатним напрямом

осі

Ox (мал12).

Мал.1

260

Очевидно крива на проміжку

)b,a(

розташована під дотич-

ною. Якщо

,0)x(''f > то крива буде угнутою.

Означення 4. Точка, яка відокремлює опуклу частину непе-

рервної кривої від вгнутої чи навпаки, називається точкою пере-

гину.

Необхідні умови існування точки перегину дає теорема.

ТЕОРЕМА. Якщо

- точка перегину неперервної функ-

ції

)x(fy =

, то друга похідна її

)x(''f

в цій точці

дорівнює нулю або не існує.

Точки, в яких

)x(''f дорівнює нулю

або не існує називають критичними точками

другого роду.

Проте умови теореми не є достатніми.

Так для функції

xy =

друга похідна

x12''y =

дорівнює нулю при .0x = Проте

графік її вгнутий в цій точці (мал.14).

◙ Достатні умови існування точки перегину.

ТЕОРЕМА. Якщо друга похідна

)x(''f

в точці

дорів-

нює нулю і міняє знак при переході через цю точку, то точка з

абсцисою

є точкою перегину кривої

)x(fy =

Доведення

. Припустимо, що в точці М з абсцисою

xx = ,

друга похідна

0)x(''f = і при переході через неї зліва на право

змінює знак з мінуса на плюс. Тоді зліва від

М крива опукла

(

),0)x(''f <

а справа крива вгнута

).0)x(''f( >

Отже, в точці М

крива змінює опуклість на вгнутість, і тому точка

М є точкою пере-

гину.

Приклад

. Знайти точки перегину і визначити проміжки

опуклості та вгнутості кривої

−

(крива Гаусса).

Знаходимо похідні:

,xe'y

−

−=

.e)1x(exe''y

222

−−−

−=+−=

Прирівнюємо другу похідну до нуля і знаходимо критичні

Мал