Шинкарик М.І. Вища математика

Подождите немного. Документ загружается.

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

nn2n1n

in2i1i

n22221

n11211

λλλ

48)91636184(8

431

312

321

431

1248

642

−=−−+−+=

−

⋅⋅=

−

елементів, в т.ч. з розглянутого i -го рядка, то λ можна винести з

цієї суми за дужки. Якщо записати вираз в дужках у вигляді визнач-

ника, то одержимо попередню рівність.

Наслідок. Якщо довільний рядок (або стовпець) визначника

помножити на число λ, то величина визначника зміниться в λ раз.

Зокрема, якщо елементи, наприклад, першого рядка визначни-

ка другого порядку мають спільний

множник “

”, то

)aaaa(aaaa

2221

1211

2112221121122211

2221

1211

λ=−λ=λ−λ=

λλ

Приклад

4. У визначнику третього порядку

4872128244814432

431

1248

642

−=−−+−+=

−

елементи першого і другого рядків мають спільні множники “2” і

“4”, тому їх можна винести за знак визначника

Властивість 6. Якщо у визначнику елементи одного рядка

(або стовпця) пропорційні відповідним елементам іншого рядка (або

стовпця), то визначник дорівнює нулю:

Доведення. Нехай елементи

i -го і k -го рядків пропорційні. За

властивістю 5 постійний множник пропорційності λ можна винести

за знак визначника. При цьому одержимо добуток числа λ на ви-

значник з двома однаковими рядками, який дорівнює нулю (за

властивістю 4).

Приклад 5. Визначник третього порядку

,03630003630

540

963

321

=−++−+−=−

−

тому що перший і другий рядки пропорційні.

Властивість 7. Якщо у визначнику всі елементи довільного

рядка ( або стовпця) є сумою двох доданків, то визначник можна

представити у вигляді суми двох визначників. При цьому елементи

розглянутого рядка ( або стовпця ) в першому визначнику є перши-

ми доданками, а елементи відповідного рядка ( або стовпця)

другого

визначника - другими доданками:

+++

nn2n1n

in2i1i

n22221

n11211

nn2n1n

inin2i2i1i1i

n22221

n11211

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

ba...baba

............

a...aa

............

b...bb

............

a...aa

nn2n1n

in2i1i

n22221

n11211

Доведення. Доведемо справедливість цієї властивості на

прикладі визначника другого порядку:

)abab()aaaa(

a)ba(a)ba(

baba

2221

1211

2221

1211

2112221121122211

211212221111

2221

12121111

+=−+−=

=+−+=

Приклад 6

. Обчислити визначник:

.5191600430

210

354

123

−=−−+++−=

−

Елементи, наприклад, другого рядка можна представити у ви-

гляді суми двох доданків:

−

++−−

−

210

122

123

210

232

123

210

122322

123

210

354

123

.512130)3800212()6800218( −=−−=−−+++−+−−+++−=

Властивість 8. Величина визначника не зміниться, якщо до

елементів довільного рядка (або стовпця) додати відповідні елемен-

ти іншого рядка (або стовпця), помножені на одне і те ж число λ:

a...aa

............

а...аа

............

aa...aaaa

............

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

nn2n1n

кn2к1к

knin2k2i1k1i

n22221

n11211

nn2n1n

kn2k1k

in2i1i

n22221

n11211

λ+λ+λ+

Доведення. Для доведення представимо визначник правої час-

тини згідно з властивістю 7 у вигляді суми двох визначників:

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

aa...aaaa

............

a...aa

nn2n1n

kn2k1k

n222

n11211

nn2n1n

kn2k1k

іn2i1i

n22221

n11211

nn2n1n

kn2k1k

kn1i2k1i1k1i

n22221

n11211

λλλ

λ+λ+λ+

В другому визначнику правої частини елементи і-го рядка пропор-

ційні відповідним елементам

k-го рядка, тому за властивістю 6 та-

кий визначник дорівнює нулю. Отже, має місце властивість 8.

Приклад 7

. Обчислити визначник

.11

170

140

231

)3(25)3)(3(2)3(13

140

231

523

140

231

−=

−

−+−−+−−⋅+

−

Тут ми до елементів третього рядка додали відповідні елемен-

ти першого рядка, помножені на число “-3”.

Надалі, властивість 8 використовується для обчислення ви-

значників вищих порядків. При цьому в довільному рядку ( або сто-

впці) утворюємо всі нулі, крім одного елемента.

Нехай маємо визначник −

го порядку (

)3n >

;

nnnj2n1n

inij2i1i

n2j22221

n1j11211

a...a...aa

..................

a...a...aa

..................

a...a...aa

=Δ

Означення

1. Мінором

елемента

визначника

−

го

порядку називається визначник −− )1n( го порядку, одержаний

із попереднього після викреслювання −i го рядка і

−j

го стовпця,

на перетині яких знаходиться даний елемент.

Означення 2. Алгебраїчним доповненням

A елемента

визначника −

го порядку називається мінор для цього елемента,

взятий із знаком “+”, якщо число

)ji( +

- парне та із знаком “-”,

якщо воно непарне. Тобто

M)1(A

−= .

Приклад 8. Знайти алгебраїчні доповнення до елементів

та

a визначника

215

306

124

−

Алгебраїчні доповнення

і A

знайдемо за попередньою

формулою:

1313

МM)1(A =−=

; .MM)1(A

3232

−=−=

Згідно з означенням 1 маємо:

,65016

215

306

124

=⋅−⋅==

−

.186126)1(34

215

306

124

=+=⋅−−⋅=

−

Шукані алгебраїчні доповнення будуть

.18A;6A

3213

−==

Властивість 9. (Теорема Лапласа).

Визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного

рядка (або стовпця) на відповідні алгебраїчні доповнення:

);n,...,2,1i(AaAa...AaAa

ijijinin2i2i1i1i

==+++=Δ

∑

).n,...,2,1j(AaAa...AaAa

ijijnjnjj2j2j1j1

==+++=Δ

∑

Ця теорема називається ще теоремою розкладу. При цьому

перша формула є розкладом визначника за елементами його рядка, а

друга - розкладом визначника за елементами його стовпця.

Доведення. Доведемо цю властивість для визначника третього

порядку:

).aaaa(a

)aaaa(a)aaaa(aaaaaaa

aaaaaaaaaaaa

aaa

3122322113

33213123123223332211113223332112

312213133221312312332211

333231

232221

131211

−+

+−+−=−−

−−++==Δ

Однак,

aaaa

3332

2322

32233322

==−

)aaaa(aaaa

3332

2321

3123332133213123

=−=−−=−

aaaa

3231

2221

31223221

==−

Таким чином,

.AaAaAa

131312121111

++=Δ

(1.1)

Це формула розкладу визначника за елементами першого ряд-

ка. Аналогічно можна знайти розклад визначника за елементами

іншого рядка або довільного стовпця.

З допомогою цієї властивості, обчислення визначника

−

го

порядку зводиться до обчислення визначників

)1n( −

- го порядку.

Тому при обчисленні таких визначників найкраще вибирати для ро-

зкладу рядок або стовпець, в якому є нулі. При цьому будемо обчи-

слювати не

визначників

)1n( −

- го порядку, а менше.

Приклад 9. Обчислити визначник 3-го порядку , розклавши

його за елементами першого рядка:

.53694024)518()1(3)200()1(2)240()1(1

)1()3(

)1(2

)1(1

065

413

321

432

312111

−=−+−=+−⋅−−−⋅+−−⋅

−

−⋅−+−⋅+

−

−⋅=−

−

+++

Зауваження. Даний визначник простіше було б обчислювати,

розклавши його за елементами третього рядка (або третього сто-

впця), оскільки один із доданків не потрібно обчислювати (елемент

.531669

)106(4)518(3

)1(4

)1(3

065

413

321

−=+−=

=−−+−=−⋅+

−

−⋅−=−

−

Наслідок 1 (Теорема заміщення).

Нехай

in2i1i

A,...,A,A - алгебраїчні доповнення елементів i -го

рядка визначника

−

го порядку .

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

nn2n1n

in2i1i

n22221

n11211

=Δ

Тоді сума добутків алгебраїчних доповнень елементів і-го

рядка на довільні числа

, b

,…, b

дорівнює такому визначнику

−

го порядку Δ

′

, в якого елементами

-го рядка є числа b

,…, b

, а інші - співпадають з відповідними елементами визна-

чника

Δ.

=+++

Aa...AaAa

Доведення. За теоремою маємо, що

′

=+++

inn2i21i1

Ab...AbAb .

Тут

,Ab...AbAb

a...aa

............

b...bb

............

a...aa

inn2i21i1

nn2n1n

n21

n22221

n11211

+++==Δ

′

де права частина одержалась після розкладу визначника

−

го по-

рядку за елементами

i -го рядка. Це і доводить теорему.

Аналогічно, сума добутків алгебраїчних доповнень елементів

−j

го стовпця на довільні числа

n21

b,...,b,b

, тобто

,Ab...AbAb

njnj22j11

+++ дорівнює визначнику

′

, елементами

−j го стовпця якого є числа

n21

b,...,b,b , а інші елементи

співпадають з відповідними елементами визначника

Δ .

Наслідок 2

(Теорема анулювання).

Сума добутків елементів довільного рядка (або стовпця)

на алгебраїчні доповнення паралельного іншого рядка (або сто-

впця) дорівнює нулю.

Доведення. У визначнику

виділимо два рядки

i -ий і k -ий.

Знайдемо суму добутків елементів

i -го рядка на алгебраїчні доповнення

елементів

-го рядка:

.Aa...AaAa

knin2k2i1k1i

+++

За теоремою заміщення цю суму мо-

жна замінити визначником з двома однако-

вими рядками

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

nn2n1n

in2i1i

n22221

n11211

nn2n1n

kn2k1k

in2i1i

n22221

n11211

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

=Δ

Одержаний визначник має два однакові рядки, а тому

дорівнює нулю.

Приклад 10. Користуючись властивостями визначників, об-

числити

235

123

211

−−

−

=Δ

Розв’язування. Додамо елементи першого і другого стовпців, а

від елементів третього стовпця віднімемо подвоєні елементи першо-

го. Одержимо:

.50)16(10

251

122

)1(1

1225

553

001

−=+−=

−

⋅⋅=

−

−⋅=

−

−=Δ

Приклад 11. Обчислити визначник, використавши його вла-

стивості:

71140

282156

5416

−=Δ

Розв’язування. Винесемо за знак визначника спільний множ-

ник “8” першого стовпця і спільний множник “7” другого рядка

7115

431

542

78 −⋅⋅=Δ

Віднімемо від елементів першого рядка подвоєні відповідні

елементи другого рядка. До елементів третього рядка додамо відпо-

відні елементи другого рядка, помножені на число “-5”

2740

431

1320

−

⋅⋅=Δ

Такий визначник легко обчислити, розклавши його за елемен-

тами першого стовпця:

.112)5254(56

274

132

)1(178

=+−−=

−

−⋅⋅⋅=Δ

§ 3. Обчислення визначників довільного порядку

Визначником

-го порядку називається число, яке дорівнює

сумі добутків елементів довільного рядка або стовпця, на відповідні

алгебраїчні доповнення.

При цьому мають місце формули розкладу визначника за еле-

ментами його довільного рядка (або стовпця) (1.1).

Означення визначника

-го порядку взято за метод його об-

числення.

Приклад 1. Обчислити визначник 4-го порядку:

5021

0113

2101

4321

−

−−

Розв’язування.Розкладемо визначник за елементами другого

рядка:

021

113

321

)1(2

521

013

421

)1(1

501

013

431

)1(0

502

011

432

)1(1

4232

2212

−−−⋅+

−

−−⋅+

−

−−⋅+

−

−−−⋅=Δ

Кожен із цих визначників обчислимо, ще раз використавши

формулу Лапласа. Перший та третій визначники розкладемо за еле-

ментами другого рядка:

−

−−+

−

−⋅−=

−

−−

)1)(1(

)1()1(

502

011

432

2212

+−−⋅−⋅−−−⋅−⋅−=−⋅+

)810()1(1)015()1()1(

)1(0

4332

;318150 =+−=+

.63)9(1)18(30

)45()1(1)810()1(3

)1(0

)1)(1(

)1(3

521

013

421

4332

2212

=−−−−=+

+−−⋅−⋅−−−⋅−⋅=−⋅+

−

−−+

−

−⋅=

−

Четвертий визначник розкладемо за елементами третього рядка:

−

−+

−−

⋅−⋅=−−

)1(2

)1(1

021

113

321

2313

.21)10(210

)91()1(2)32()1(1

)1(0

5433

=−⋅−=+

+−−⋅−++−⋅−⋅=

−

−⋅+

Отже,

.244263321)1(263)1(13)1(1

653

−=+−−=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=Δ

Як бачимо, обчислення визначника 4-го порядку зводиться до

обчислення чотирьох визначників 3-го порядку, а обчислення ви-

значника 5-го порядку - до обчислення п’яти визначників 4-го по-

рядку або двадцяти визначників 3-го порядку. Тому доцільно споча-

тку перетворити визначник так, щоб в одному з рядків (або стовп-

ців) всі елементи, крім

одного, стали нульовими. Цього можна дося-

гти, використавши властивості визначників.

Таким чином, обчислення визначника

−

го порядку зводить-

ся до обчислення лише одного визначника

)1n( − -го порядку.

Приклад 2. Обчислити визначник, використавши його влас-

тивості:

5021

0113

2101

4321

−

−−

=Δ

Розв’язування

. Від елементів третього стовпця віднімемо від-

повідні елементи першого стовпця, а до елементів четвертого стовп-

ця додамо відповідні елементи першого стовпця, помножені на “-2”.

712

641

222

)1(1

7121

6413

0001

2221

−−

−−−−⋅=

−−

−−−

=Δ

Одержаний визначник 3-го порядку можна обчислити, на-

приклад, за правилом Саррюса, або звести до визначника 2-го по-

рядку, віднявши від елементів другого і третього стовпців

відповідні елементи першого стовпця

.24122))5()3(

)9()3((2

)1(2

932

531

002

−=⋅−=−⋅−−

−−⋅−⋅−=

−−

−⋅−=

−−

−−−−=Δ

Одержали значно легшим шляхом той же результат визначника.