Шинкарик М.І. Вища математика
Подождите немного. Документ загружается.
31
.
3,265
4,15,12
143
A
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Кожен елемент матриці має певний економічний зміст. На-
приклад,
2a
21
= означає, що на виготовлення одиниці виду продук-
ції
A
витрачається 2 кг сировини
Y
; елемент
4a
12
=
означає, що
для виготовлення одиниці виду продукції
B
потрібно витратити 4
шт. одиниць сировини
.X
Очевидно, що для знаходження витрат на виготовлення 6
комплектів продукції, потрібно обчислити матрицю
6
A
, тобто
.
8,133630
4,8912
62418
3,265
4,15,12
143
6A6
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Зауваження. Множення матриці на число відрізняється від
множення визначника на число. Матрицю множать на число
k , по-
множивши всі її елементи на це число. Якщо визначник множать на
число
k
, то множать на нього всі елементи одного якогось рядка
(або стовпця).
Нехай матриця
A містить m рядків і p стовпців, а матриця B
має
p рядків і n стовпців.
Означення. Добутком матриць А і В називається матриця
С, елементи с
ij
якої дорівнюють сумі добутків елементів i-го ря-
дка матриці A на відповідні елементи j-го стовпця матриці B
,
тобто
pjipj22ij11iij
ba...babac +++= (
).n,...,2,1j;m,...,2,1i ==
Добуток матриці
A
на матрицю
B
позначають АВ (
B
A
×
).
Множення матриці
A
на матрицю
B
виконується за такою схемою:
.
....
....
..c.
....
.b.
...
.b.
.b.
a...aa
............
a...aa
............
a...aa
ij
pj
j2
j1
mp2m1m
ір2і1і
р
11211
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Тут елемент
ij
c знаходять як скалярний добуток елементів i -
го рядка матриці
A на відповідні елементи
j
-го стовпця матриці
B
.
32
Добуток матриць характеризується властивостями:
1.
;AEAAE ==
2.
;0A00A =⋅=⋅
3.
BA
AB
≠ (некомутативність);
4.
)BC(AC)AB( =
(асоціативність);
5.
CBCA)BA(C
,BCACC)BA(
+=+
+=+
(дистрибутивність);
6.
TTT
AB)BA( ⋅=⋅ .
Ця властивість має місце для довільного числа множників
.AA...AA)AA...AA(
T
1
T
2
T
1n
T
n
T
n1n21
⋅⋅=⋅⋅
−−
7. Визначник добутку двох квадратних матриць рівний добут-
ку їх визначників.
Приклад 6. Знайти добутки
AB
і
BA
, якщо
,
43
21
A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
51
02
B
і переконатись, що
AB
BA
≠
.
Розв’язування.
.
202
104
5403)1(423
5)2(01)1)(2(21
51
02
43
21
AB
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+⋅−⋅+⋅
⋅−+⋅−−+⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
Аналогічно
.
2214
42
45)2()1(351)1(
40)2(23012
43
21
51
02
BA
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+−⋅−⋅+⋅−
⋅+−⋅⋅+⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
Звідси випливає, що
AB
BA
≠
.
Приклад 7. Знайти добуток
AB, якщо
,
430
121
A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
= .
746
201
523
B
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
=
Розв’язування.
.
341627
227
742350)4(403)2(06413)3(0
7)1(2251)4()1(02)2(16)1(12)3(1
AB
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+−⋅⋅+⋅+−⋅
⋅−+⋅+⋅−⋅−+⋅+−⋅⋅−+⋅+−⋅
=
(Тут добуток
BA невизначений, оскільки кількість стовпців першої
матриці не дорівнює кількості рядків другої матриці).
33
Приклад 8. Знайти добуток
AE
, якщо .
451
420
321
A
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
Розв’язування.
.
451
420
321
1)4(050)1(0)4(150)1(0)4(051)1(
140)2(00041)2(00040)2(10
1)3(02010)3(12010)3(0211
100
010
001
451
4
20
321
AE
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅−+⋅+⋅−⋅−+⋅+⋅−⋅−+⋅+⋅−
⋅+⋅−+⋅⋅+⋅−+⋅⋅+⋅−+⋅
⋅−+⋅+⋅⋅−+⋅+⋅⋅−+⋅+⋅
=
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
(Легко переконатись, що має місце і рівність
EA=A).
Приклад 9. Знайти добуток
AB, якщо
,
124
132
A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
4
3
5
B
.
Розв’язування. Добуток цих матриць можливий, оскільки кі-
лькість стовпців матриці
A дорівнює кількості рядків матриці B.
Одержимо
.
22
5
)4(1)3)(2(54
)4()1()3(352
4
3
5
124
132
AB
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⋅+−−+⋅
−⋅−+−⋅+⋅
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
Приклад 10. Задано матрицю
.
523
102
413
A
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
Знайти А
2
.
Розв’язування.
.
11728
1343
31115
2521210031549
508202306
201128031229
523
102
413
.
523
102
413
AAA
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−−−+−−−
++−+−−+
+−−+−−−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
=⋅=
34
Зауваження 1.
Добуток двох матриць може бути нульовою ма-
трицею і тоді, коли кожна із матриць співмножників не є нульовою.
Приклад 11. Знайти добуток матриць:
.
000
000
000
60)1(00)3()2(05003104003
60)1(00)3()2(0500)3(10400)3(
60)1(002)2(05002104002
621
154
000
003
003
00
2
BA
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅+−⋅+⋅−−⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅
⋅+−⋅+⋅−−⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−
⋅+−⋅+⋅−⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−⋅
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=⋅
Зауваження 2 . Добуток двох діагональних матриць одного і
того ж порядку є діагональна матриця того ж порядку.
Приклад 12. Знайти добуток діагональних матриць:
,
a...00
............
0...a0
0...0a
A
nn
22
11
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
.
b...00
............
0...b0
0...0b
B
nn
22
11
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Тоді
.
ba...00
............
0...ba0
0...0ba
BA
nnnn
2222
1111
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=⋅
Для таких двох матриць добуток комутативний:
.ABBA ⋅=⋅
Приклад 13. Торговельно-будівельна компанія уклала договір
на будівництво 6 житлових будинків, 3 офісних будинків і 4
будинків відпочинку. Ціни на окремі види матеріалів такі:цегла – 32
у.о./тис. шт., цемент – 300у.о./т., ліс круглий - 44у.о./
3
м
, оцинкова-
не залізо - 6 у.о./
2
м , скло - 5 у.о./
2
м .
Інформація про кількість матеріалів на кожний вид будівниц-
тва представлена в таблиці:
35
Вид бу-
дови
Цегла
(тис. шт.)
Цемент
(т)
Л
іс круглий
(м
2
)
Оцинковане
залізо (м
2
)
Скло
(м
2
)
Житловий
будинок
78 9 41 210 120
Офісний
будинок
84 10 40 200 140
Будинок
Відпочинку
60 8 35 180 160
Портібно знайти:
1)загальну кількість матеріалів;
2)ціну матеріалів для кожного виду будови;
3)загальну вартість матеріалів.
Розв’язування. 1) Запишемо у вигляді матриці
А
дані, які ха-
рактеризують кількість матеріалів на кожний вид будови, а дані про
ціни їх у вигляді матриці-стовпця
С.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
5
6
44
300
32
С,
16018035860
140200401084
12021041978
А
.
Позначимо дані про договір, укладений на будівництво
споруд через
[]
.436В =
Щоб знайти загальну кількість матеріалів для будівництва,
потрібно перемножити матриці
В і
А
і знайти добуток
BA
, тобто
[] [ ]
78 9 41 210 120
6 3 4 84 10 40 200 140 960 116 506 2580 1780 .
60 8 35 180 160
BА
⎡⎤
⎢⎥
=⋅ =
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
Таким чином, для виконання договору на будівництво 6 житлових, 3
офісних і 4 будинків відпочинку компанія повинна придбати: 960
тис. шт. цегли;116 т цементу; 506
м
3
круглого лісу; 2580 м
2
оцинко-
ваного заліза і 1780
м
2
скла.
2) Щоб знайти загальну вартість матеріалів для кожного виду
будівництва, потрібно перемножити матрицю
А
на матрицю-
стовпець
С , складену із чисел, які характеризують ціни на
відповідні матеріали :
36
.
7740
9348
8860
51606180443530083260
514062004440300103284
51206210444130093278
5
6
44
300
32
16018035860
140200401084
12021041978
АС
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Вартість матеріалів для будівництва житлового будинку ста-
новить 8860 у.о., для будівництва офісу – 9348 у.о. і для будівництва
будинку відпочинку - 7740 у.о.
3) Для того, щоб знайти загальну вартість будівництва згідно
договору 6 житлових, 3 офісних і 4 будинків відпочинку потрібно
знайти добуток матриць
[]
.112164
5
6
44
300
32
17802580506116960С)ВА(ВАС =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅=⋅=
Це саме число можна одержати ще так:
[]
.112164
7740
9348
8860
436)АС(ВВАС =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅==
Таким чином, загальна вартість всієї будови становить 112164 у.о.
§ 6. Обернена матриця
Означення 1. Квадратна матриця
А
−
n
го порядку назива-
ється невиродженою (або неособливою), якщо її визначник
(
Δ=А ) не дорівнює нулю.
Означення 2.Квадратна матриця
А
−
n
го порядку назива-
ється виродженою ( або особливою), якщо її визначник
А
дорів-
нює нулю.
Означення 3. Матриця
1
А
−
називається оберненою мат-
рицею для квадратної невиродженої матриці
А
, якщо викону-
ються рівності .EAAAA
11
==
−−
37
ТЕОРЕМА. Якщо матриця
А
−
n
го порядку невиродже-
на, то для неї існує обернена матриця
А
-1
.
Доведення. Нехай задано квадратну невироджену матрицю
А
,
тобто її визначник
.0А ≠
.
a...aa
............
a...aa
............
a...aa
a...aa
A
nn2n1n
in2i1i
n22221
n11211
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Розглянемо іншу матрицю
,
A...A...AA
..................
A...A...AA
A...A...AA
В
nninn2n1
2n2i2212
1n1i2111
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
де
ij
A
- алгебраїчні доповнення елементів
ij
a
матриці .A
Знайдемо добуток
АВ:
C
A...A...AA
..................
A...A...AA
A...A...AA
a...aa
............
a...aa
............
a...aa
a...aa
AВ
nninn2n1
2n2i2212
1n1i2111
nn2n1n
in2i1i
n22221
n11211
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
.
Кожен елемент
ij
c
матриці С дорівнює
.Aa...AaAac
jnin2j2i1j1iij
+++=
Якщо
,ji ≠ то маємо вираз, який є сумою добутків елементів
і-го рядка на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка визна-
чника матриці
А
. За теоремою анулювання ця сума дорівнює нулю.
Якщо
,ji =
то вираз
inin2i2i1i1iiі
Aa...AaAac +++=
представ-
ляє собою суму добутків елементів довільного рядка на відповідні
алгебраїчні доповнення цього рядка визначника матриці
А
. За тео-
ремою Лапласа така величина дорівнює визначнику матриці
А
(
А
).
38
Тобто матриця С має вигляд:
.
А...00
............
0...А0
0...0А
С
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Якщо кожен елемент цієї матриці С розділити на
А (тобто
помножити її на
),
А
1
то одержимо одиничну матрицю
Е
, тобто
.ААВ
А
1
АВА
А
1
С
А
1
E
1−
⋅=⋅⋅=⋅⋅==
Це доводить теорему.
Отже, обернена матриця має вигляд:
.
A...AA
............
A...AA
А...АА
А
1
А
nnn2n1
2n2212
1n2111
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−
Дамо схему знаходження оберненої матриці для заданої
квадратної невиродженої матриці.
1. Обчислимо визначник матриці
A(A ).
2. Транспонуємо матрицю
A
, тобто одержуємо матрицю:
.
a...aa
............
a...aa
a...aa
А
nnn2n1
2n2212
1n2111
T
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
3. Знаходимо алгебраїчні доповнення кожного елемента тран-
спонованої матриці
А
Т
і запишемо їх у вигляді матриці А
П
:
.
A...AA
............
A...AA
A...AA
А
nnn2n1
2n2212
1n2111
П
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
4. Поділимо кожен елемент матриці
А
П
на визначник матриці
A
, тобто помножимо число
A
1
на матрицю
П
A
. Одержана матриця
39
буде оберненою:
.
A...AA
............
A...AA
A...AA
A
1
A
A
1
A
nnn2n1
2n2212
1n2111
П1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==
−
Матриця
П
A
, яка складена із алгебраїчних доповнень
елементів транспонованої матриці, називається приєднаною ( або
союзною) до матриці
A
.
Зауваження 1. Приєднана матриця матиме такий же вигляд
П
A
, якщо транспонувати матрицю, складену із алгебраїчних до-
повнень елементів матриці
A
.
Приклад 1. Знайти обернену матрицю для матриці
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
221
313
432
A
і показати, що
.EAAAA
11
==
−−
Розв’язування. Визначник цієї матриці
.3121849244
221
313
432
A =−−−++=
−
−−
−
=
Транспонована матриця
Т
A
має вигляд
.
234
213
132
A
Т
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=
Знайдемо алгебраїчні доповнення кожного елемента цієї
матриці
;4)6(2
23
21
)1(A
2
11
=−−−=
−
−
⋅−=
;3)36(
23
13
)1(A
3
12
−=−−=
−
−
⋅−=
;516
21
13
)1(A
4
13
=−=
−
−
⋅−=
40
;2)86(
24
23
)1(A
3
21
=−−=⋅−=
;044
24
12
)1(A
4
22
=+−=
−−
⋅−=
;1))3(4(
23
12
)1(A
5
23
=−−−−=
−−
⋅−=
;5)4(9
34
13
)1(A
4
31
−=−−−=
−
−
⋅−=
;6)126(
34
32
)1(A
5
32
=−−=
−
−
⋅−=
.792
13
32
)1(A
6
33
−=−=
−
−
⋅−=
Приєднана матриця буде такою:
.
715
603
524
A
П
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
Обернена матриця
А
-1
для заданої матриці А має вигляд
.
3
7
3
1
3
5
201
3
5
3
2
3
4
715
603
524
3
1
A
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
−
Легко перевірити,що
;
100
010
001
221
313
432
715
603
524
3
1
AA
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
−
.
100
010
001
3
7
3
1
3
5
201
3
5
3
2
3
4
221
313
432
AA
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−=
−
Приклад 2 . Знайти обернену матрицю для матриці