Шинкарик М.І. Вища математика

Подождите немного. Документ загружается.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ТЕРНОПІЛЬСЬКА АКАДЕМІЯ НАРОДНОГО ГОСПОДАРСТВА

ВИЩА

МАТЕМАТИКА

ПІДРУЧНИК

За редакцією Шинкарика М.І.

Рекомендовано

Міністерством освіти і науки України

Тернопіль 2003

ББК 22.11 К 517

В 41

Рецензенти: Дмитро Ількович Боднар, доктор фізико-математичних наук,

професор кафедри автоматизованих систем і програму-

вання Тернопільської академії народного господарства,

Михайло Павлович Ленюк, доктор фізико-математичних наук, професор

кафедри диференціальних рівнянь математичного фа-

культету Чернівецького національного університету.

Гриф надано Міністерством освіти і науки України

Лист №1/11-1992 від 19.05.2003

Вища математика: Підручник / Домбровський В.А., Крижанів-

ський І.М., Мацьків Р.С., Мигович Ф.М., Неміш В.М., Окре-

пкий Б.С., Хома Г.П., Шелестовська М.Я.; за редакцією Шин-

карика М.І. –Тернопіль: Видавництво Карп’юка, 2003 - 480с. -

ISBN 966-7946-15-0

Підручник “Вища математика” містить теоретичні відомості всіх

розділів

вищої математики, рекомендованих типовою навчальною програ-

мою Міністерства освіти і науки України для економічних спеціальностей.

Виклад теоретичного матеріалу послідовний і розкриває зміст кожного

поняття, його прикладне значення. Представлено достатню кількість

розв’язаних задач як математичного так і економічного змісту.

Підручник написаний для студентів економічних спеціальностей

вузів, може бути корисний для

аспірантів, викладачів, економістів-

практиків.

ББК 22.11

ISBN 966-7946-15-0

“

Мацьків Р.С., Мигович Ф.М.,

Неміш В.М., Окрепкий Б.С., Хома Г.П.,

Шелестовська М.Я, Шинкарик М. І., 2003

В 41

З усіх мов світу найкраща

мова штучна, вельми стисла

мова, мова математики ”

М. Лобачевський

Передмова

Даний підручник написаний колективом кафедри вищої мате-

матики Тернопільської академії народного господарства на основі ба-

гаторічного досвіду викладання вищої математики студентам економі-

чних спеціальностей різних форм навчання.

В книзі викладені необхідні основи математичного апарату і

приклади його використання в сучасній економічній науці: елементи

лінійної алгебри, аналітична геометрія, математичний аналіз функцій

однієї

і багатьох змінних, теорія диференціальних і різницевих рівнянь,

числових і степеневих рядів. Такий об’єм математичних знань і нави-

чок актуальний для економістів і є фундаментальним для вивчення тео-

рії імовірності і математичної статистики, економетрії, теорії оптима-

льного управління, мікро- і макроекономіки. Велика кількість типових

розв’язаних задач, в тому

числі економічного характеру, в кожному

розділі дає можливість краще засвоїти теоретичний матеріал. Автори

багато уваги приділили розв’язуванню економічних задач, роз’ясненню

і розумінню студентами основних економічних понять: еластичності

попиту і пропозиції, середніх і маржинальних витрат, доходів і

прибутків, швидкості зростання інвестованого капіталу і т. д..

Сучасна математика інтенсивно проникає у всі сфери

діяльності людини, об’єктивно відображаючи універсальні закони ото-

чуючого світу. Сьогодні інтелектуал, прагнучи мати доступ до світової

науки, зробити особистий внесок в її розвиток, вдосконалити своє

логічне і абстрактне мислення, творчо і розумно користуватись

комп’ютерною технікою, навіть тоді, коли йдеться про пошук у галузі

гуманітарних наук, повинен знати математичні дисципліни, володіти

математичною культурою. Інколи математична культура ближча до

науки, інколи до мистецтва; вона може бути і дотичною до них.

Економіка, як наука про об’єктивні причини функціонування і

розвитку суспільства, характеризується різними кількісними

співвідношеннями певних показників.

Сучасна економіка використовує широкий спектр математич-

них методів для знаходження аналітичних зв’язків між економічними

процесами.

Математика – одна з найдревніших наук і розвивалася в атмос-

фері впливу геніїв світової науки: Декарта, Паскаля, Ферма, Гюйгенса,

Ньютона, Лейбніца, Ейлера, Лежандра, Лобачевського, Чебишева, Ко-

лмогорова і інших. Їх математичний доробок накреслив неписаний

план для

роботи кількох наступних поколінь математиків.

Імена українських вчених займають гідне місце в історії роз-

витку математики: М.В.Остроградський (1801–1861), В.Й. Левицький

(1872 – 1956), Г.Ф. Вороний (1868 – 1908), М.О. Зарицький (1889–

1961), М.А.Чайковський (1887–1970), М.П.Кравчук (1892–1942),

М.М.Боголюбов (1909–1992), В.М.Глушков (1923–1982) і інші. Кожний

з них був яскравою зіркою на

небосхилі математичної науки. Багато

праць українських вчених математиків стосувалися прикладних про-

блем, розв’язуванню конкретних задач фізики, механіки, економіки.

Серед названої плеяди українських математиків, науковців з

світовим іменем, варто назвати випускника фізико – математичного

факультету Харківського університету, відомого в майбутньому

економіста М.І.Туган-Барановського, відомого економіста, математика

Є.Є.Слуцького. Саме

вони математичними методами розв’язували

фундаментальні задачі економіки.

Вивчення математичних дисциплін і їх застосування в економічній

науці дозволить майбутньому спеціалістові не тільки одержати необ-

хідні базові навички в економіці, але й творчо переосмисливши їх,

сформувати своє бачення професійної діяльності.

Математика у свідомості студентів, магістрів, аспірантів та й

самих викладачів, управлінських

працівників повинна бути не просто

стрункою системою знань, що відірвана від життєвих завдань

суспільства, а повноправним методом дослідження, нерозривно

зв’язаним із проблемами управління технічними і економічними проце-

сами, проблемами найефективнішого використання природних та

економічних ресурсів, могутньою зброєю пізнання навколишнього

світу.

В Україні на вагу золота повинні цінуватися ті спеціалісти, які

досконало оволоділи елементами прикладної математики і не є вузьки-

ми ремісниками, а творцями у своїй справі. Такому спеціалістові, поряд

з математикою, потрібні й глибокі знання предметної галузі.

Розділ 1. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ

§1. Поняття визначника. Визначники другого і третього

порядків

Розв’язування багатьох економічних задач зводиться до

розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. В основі де-

яких методів розв’язування таких систем використовуються вирази,

які називаються визначниками ( або детермінантами).

Розглянемо квадратну таблицю з

чисел, розміщених в

горизонтальних і

-вертикальних рядах. За спеціальними правила-

ми знаходиться число, яке називають визначником

-го порядку

і позначають буквою

Δ грецького алфавіту:

a...aa

..............................

a...aa

nn2n1n

n22221

n11211

=Δ

Числа

)n,...,2,1j,n,...,2,1i(a

- називають елементами

визначника. Перший індекс вказує номер рядка, а другий – номер

стовпця, на перетині яких знаходиться елемент. Елементи, в яких

обидва індекси однакові (тобто елементи

)

nn2211

a,...,a,a

утворюють

головну діагональ визначника. Інша діагональ називається неголо-

вною (допоміжною). Порядок визначника визначає кількість його

рядків (або стовпців).

При обчисленні визначників

-го порядку одержуємо число,

яке дорівнює алгебраїчній сумі всіх можливих добутків його еле-

ментів, взятих по одному з кожного з

рядків і кожного із

стов-

пців. При цьому половина доданків мають свої знаки, а інша - про-

тилежні.

Покажемо, як обчислюються визначники другого і третього

порядків. Для уточнення поняття “визначник” розглянемо два

лінійних рівняння з двома невідомими з буквеними коефіцієнтами:

⎩

⎨

⎧

.bxaxa

,bxaxa

2222121

1212111

Для розв’язування цих рівнянь ми повинні помножити їх на

відповідні коефіцієнти, при яких виключається одне з невідомих:

⎩

⎨

⎧

.bxaxa

,bxaxa

2222121

1212111

11,12

21,22

−

В залежності від використаної пари множників ( по вертикалі)

виключаємо або

x або

x і отримаємо такі рівняння:

.ababx)aaaa(

,ababx)aaaa(

211112221122211

122221121122211

−=−

Звідси

aaaa

abab

21122211

122221

−

21122211

211112

aaaa

abab

−

Ці вирази мають зміст тільки при умові, якщо знаменник не

дорівнює нулю.

Якщо,

,0aaaa

21122211

=−

то система рівнянь або немає

розв’язку , або має нескінченну множину розв’язків. Коефіцієнти

при невідомих утворюють вирази, які називаються визначниками.

Розглядаючи ці коефіцієнти, ми бачимо, що вони однакові при

обох невідомих; складаються з двох добутків,кожний з яких вклю-

чає два елементи.

Визначники другого порядку символічно позначаються так:

2221

1211

Визначником другого порядку називається число, яке дорів-

нює різниці добутків елементів головної і допоміжної діагоналей,

тобто

21122211

2221

1211

aaaa

−= .

Це ілюструється схемою:

2221

1211

•

−

•

Приклад 1. Обчислити визначник другого порядку:

−

Розв’язування. За попередньою формулою знаходимо:

.272167)3(61

=+=⋅−−⋅=

−

.aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

113223332112312213

133221312312332211

−−−

−++

Визначником третього порядку називається число, яке зна-

ходиться за формулою

333231

232221

131211

aaa

Знаки, які стоять перед кожним із доданків, слід вибирати з

такої схеми:

aaa

333231

232221

131211

••

−

••

−

••

−

••

Це правило обчислення визначників 3-го порядку називається

правилом трикутників. Тут доданки із знаком “+” є добутками

елементів, які стоять на головній діагоналі визначника

332211

a,a,a

добутки елементів, які стоять у вершинах трикутників з основами

паралельними головній діагоналі

312312

a,a,a

322113

a,a,a

. Із знаком

“-” беруться доданки, які є добутками елементів неголовної діагона-

лі

312213

a,a,a

і добутки елементів вершин трикутників із основами,

паралельними цій діагоналі визначника:

332112

a,a,a і

322311

a,a,a .

Приклад 2. Обчислити визначник

425

341

023

−

=Δ

Розв’язування. Користуючись правилом трикутників,

одержимо

−⋅⋅−⋅⋅+⋅−−+−⋅⋅=

−

5400215)3)(2()4(43

425

341

023

.818800304832)3()4(1)2( −=+−−++−=⋅⋅−−−⋅⋅−−

Правило трикутників легко запам’ятати, якщо дописати поряд

з визначником перший, а потім другий його стовпці. Добутки еле-

ментів, які знаходяться на діагоналях, відмічених на схемі суціль-

ними лініями, беруться із знаком “+”, a добутки елементів, які зна-

ходяться на діагоналях, позначених на схемі пунктиром, із знаком

“-”. Алгебраїчна сума цих шести добутків і дає значення визначника

aaa

3231

2221

1211

333231

232221

131211

Такий спосіб обчислення визначника третього порядку нази-

вається правилом Саррюса.

Обчислимо попередній визначник 3-го порядку за

правилом Саррюса.

425

341

023

−

−⋅⋅−⋅⋅+⋅−−+−⋅⋅=

−

5402105)3)(2()4(43

.8818003048)4(1)2(2)3(3 −=−+−++−=−⋅⋅−−⋅−⋅−

При обчисленні визначників використовують їх властивості,

які розглядаються в наступному параграфі.

Зауваження. Визначником першого порядку є число, яке дорі-

внює цьому елементу, тобто ⏐а

⏐= а

. Тому не слід плутати позна-

чення визначника з модулем самого числа.

§ 2. Властивості визначників

Визначники довільного порядку мають ряд властивостей.

Властивість 1. Якщо у визначнику поміняти місцями рядки

на стовпці, то величина визначника не зміниться:

nn2n1n

n222

n11211

a...aa

..............................

a...aa

..............................

a...aa

nnn2n1

2n22

1n2111

Доведення. Для визначника другого порядку маємо:

,aaaa

21122211

2221

1211

−=

.aaaa

12212211

2212

211

−=

Заміну у визначнику рядків на відповідні стовпці називають

транспонуванням визначника.

Приклад

1. Перевіримо справедливість властивості на

прикладі визначника третього порядку:

.4224060420

531

420

312

−=−−++−−=

−

Поміняємо місцями рядки на стовпці:

.4224060420

543

321

102

−=−−++−−=

−

Отже, величина визначника не змінюється при його транспо-

нуванні, тобто його рядки і стовпці рівноправні.

Властивість 2. Якщо у визначнику поміняти місцями два ря-

дки (або стовпці), то він змінить тільки знак, не змінюючи

абсолютної величини.

nn2n1n

in2i1i

kn2k1k

n222

n11211

nn2n1n

kn2k1k

in2i1i

n222

n11211

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

2121

−= .

Доведення. Поміняємо місцями рядки у визначнику другого

порядку:

)aaaa(aaaa

1211

2221

1122122121122211

2221

1211

−=−−=−=

Приклад 2

. Поміняємо місцями перший і третій рядки визна-

чника третього порядку із прикладу 1.

.4240200246

312

420

531

=+−+++−=

−

Отже,

312

420

531

420

312

−

−=

−

тобто має місце властивість 2.

Властивість 3.

Якщо у визначнику всі елементи довільного

рядка (або стовпця) дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю:

a...aa

............

0...00

............

a...aa

nn2n1n

n22221

n11211

= .

Доведення. Доведення цієї властивості очевидне, оскільки при

обчисленні визначника всі доданки містять нульові множники

i -го

рядка. Тому і сам визначник дорівнює нулю.

Властивість 4. Якщо у визначнику є два однакові рядки (або

стовпці), то визначник дорівнює нулю.

Доведення. Для доведення цієї властивості поміняємо місцями

i -ий і −k ий рядки. З однієї сторони величина визначника не

зміниться (оскільки однакові рядки) , а з другої – зміниться знак на

протилежний (згідно з властивістю 2). Якщо позначити величину

визначника через

Δ , то одержимо рівність Δ−=Δ , тобто 02 =Δ , а

значить

.0=Δ

Приклад

3. Визначник третього порядку дорівнює нулю:

,0101512151210

554

111

332

=−+−−+=−

оскільки він має два однакові стовпці.

Властивість 5. Якщо всі елементи довільного рядка (або сто-

впця) мають спільний множник, то його можна винести за знак ви-

значника:

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

............

a...aa

nn2n1n

in2i1i

n22221

n11211

nn2n1n

in2i1i

n22221

n11211

λ=

λλλ

Доведення. Нехай всі елементи

i -го рядка визначника мають

спільний множник λ. Оскільки визначник дорівнює сумі добутків

і-ий рядок