Шинкарик М.І. Вища математика
Подождите немного. Документ загружается.
151
тор
→
s має напрям протилежний як показано на малюнку , то кут
між векторами
→
n і
→
s буде дорівнювати ϕ+
π
2
. В обох цих випад-
ках
0sin ≥
ϕ
, тому
|s||n|
sn|
|)
2
cos(||)
2
cos(|sin
→→
→→
⋅
=ϕ+
π
=ϕ−
π
=ϕ
. Значить
222222
pnmCBA
|CpBnAm|
sin
++⋅++
++
=ϕ
. (2.108)
Формула (2.108) є формулою для знаходження кута між пря-
мою (2.104) і площиною (2.105).
Приклад 1. Знайти кут між площиною
04zy2x3 =++− і
прямою
⎩
⎨
⎧
=−−
=+−
.03yx2
,01zx3
Розв
’язування. Рівняння прямої приведено до канонічного ви-
гляду. Із першого рівняння знаходимо
3
1z
x
−
=
, а з другого рівнян-
ня
2
3y
x
+
=
, значить канонічний вид рівняння прямої буде
3
1z
2
3y
1
x −
=
+
=
. Таким чином, направляючий вектор прямої
)3;2;1(s
→
, а нормальний вектор площини
)1;2;3(n −
→
. Тепер за фо-
рмулою (2.108) знаходимо
1428,0
14
2
149941
132)2(13
sin ≈=
++⋅++
⋅+⋅−+⋅
=ϕ ,
518
0
′
≈ϕ
.
§19. Криві другого порядку
Кривими другого порядку називаються лінії, рівняння яких є
рівняння другого степеня відносно біжучих координат. Загальний
вигляд рівняння кривої другого порядку
0FEyDxCyBxyAx
22
=+++++ . (2.109)
До кривих другого порядку відносяться коло, еліпс, гіпербола
і парабола.
152
19.1. Коло і його рівняння
Означення 1. Колом називається множина точок площини
рівновіддалених від заданої точки, яка називається центром кола.
Нехай центр кола знаходиться в
довільній точці
)b,a(С (мал.50). Ви-
ходячи з означення 1, віддаль довіль-
ної точки
)y,x(M площини до центра
)b,a(C є величина стала і дорівнює
r
. За формулою (2.3) маємо
22
)by()ax(r −+−= . Підносячи
обидві частини цієї рівності до квадрату одержимо рівняння, яке
називається нормальним рівнянням кола
222
r)by()ax( =−+− . (2.110)
Вияснимо умови, при яких загальне рівняння другого степеня
з двома змінними (2.109) є рівнянням кола. В цьому рівнянні
А,В і С
не дорівнюють нулю одночасно, тобто
0CBA
222
≠++ . Коли в рі-
внянні (2.110) розкрити дужки, то одержимо
0)rba(by2ax2yx
22222
=−++−−+ . (2.111)
Щоб рівняння (2.109) і (2.111) представляли одну і ту ж лінію
потрібно, щоб коефіцієнт
0B = , а всі решту пропорційні, зокрема
,
1
C
1
A
= звідси 0CA ≠= . Тепер рівняння (2.109) має вигляд
0FEyDxAyAx
22
=++++ . (2.112)
Рівняння (2.112) називається загальним рівнянням кола.
Обидві частини рівняння (2.112) поділимо на
0A ≠
і допов-
нимо члени,які містять
x
і
y
до повних квадратів. Одержимо
2
22
22
A4
AF4ED
A2
F
y
A2
D
x
−+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
. (2.113)
Порівнюючи (2.113) з рівнянням кола (2.110) можна зробити
висновок, що рівняння (2.109) є рівнянням кола при таких трьох
умовах
.0AE4ED)3,0B)2,CA)1
22
>−+==
При виконанні цих умов для кола (2.113) центр знаходиться в
r
М(
х
,у)
С
(
а
,
b
)
О
х
у
Мал.50
153
точці
,
A2
E
,
A2
D
C
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
а радіус
A2
AP4ED
r
22
−+
=
.
Приклад 1. Привести загальне рівняння кола
03y4x6yx
22
=−+−+ до нормального вигляду.
Розв
’язування. Згрупуємо члени з
x
та
y
і доповнимо їх до
повного квадрату, то одержимо
034)4y4y(9)9x6x(
22
=−−+++−+−
, або
.16)2y()3x(
22
=++−
Координати центра кола ,2b,3a −== а
радіус кола
.4r =
Приклад 2 (економічного характеру). Два підприємства, відс-
тань між якими 80 км, виробляють деяку продукцію, причому фаб-
рично-заводська ціна продукції на обидвох підприємствах однакова
і дорівнює
.
p
Нехай транспортні витрати на перевезення одиниці
продукції від підприємства
A
до споживача складає 10грн/км, а від
підприємства
B
складає 6грн/км. Як буде розміщений ринок збуту,
якщо витрати споживачів повинні бути однаковими?
Розв
’язування. Осі координат проведемо через середину відрі-
зка
AB
. Припустимо, що споживач знаходиться в точці );y,x(M
введемо позначення
21
sBM,sAM == (мал.51). Витрати спожи-
вача на покупку одиниці виробу з підприємства
A
складають
10sp
1
⋅+ , а у підприємства
B
6sp
2
⋅+ . Витрати споживачів оди-
накові, якщо
21
s6ps10p +=+ , або
2121
s3s5,s6s10 == .
З мал.51 видно, що
,y)x40(s
222
1
++= або .y)x40(s
22
1
++=
Аналогічно
,y)x40(s
222
2
+−=
або
22
2
y)x40(s +−= .
Мал
.
51
О
C(-85,0)
M(х,у)
s
1
s
2
x
y
x
A
(-40,0)
B
(40,0)
y
.75r =
154
Для споживача витрати на покупку продукції одинакові, якщо
.y)x40(3y)x40(5
2222
+−=++ Піднесемо обидві частини до
квадрату і згрупуємо. Одержимо
01600x170yx
22
=+++ і, виді-
ливши повний квадрат відносно
,
x
маємо 5625y)85x(
22
=++ . Це
нормальне рівняння кола, центр якого знаходиться на осі абсцис з
абсцисою “
– 85”, а радіус кола .75r =
Для споживачів, які знаходяться на цьому колі, витрати на по-
купку виробу одинакові. Для споживачів, які знаходяться поза ко-
лом , витрати на покупку продукції менші на підприємстві
,B
а для
споживачів, які знаходяться всередині кола – на підприємстві
.A
Значить ринок буде розподілений так:
а) споживачі, які знаходяться всередині кола, будуть закупля-
ти дані вироби на підприємстві
А;
б) для споживачів, які знаходяться на колі, однаково на якому
підприємстві будуть проводитися закупки;
в) споживачі, які знаходяться поза колом, будуть закупляти
вироби на підприємстві В.
19.2. Еліпс і його рівняння
Означення 2. Еліпсом називається множина точок площи-
ни, сума віддалей від яких до двох заданих точок, які називають-
ся фокусами, є величина стала.
Виходячи із означення 2,
виведемо рівняння еліпса. Нехай
задані дві точки, які називаються
фокусами,
1
F
і
,F
2
віддаль між
якими позначимо через
2с (фока-
льна віддаль) (мал.52). Через фоку-
си проведемо пряму, яку візьмемо
за вісь абсцис, а за вісь ординат візьмемо пряму перпендикулярну до
вісі
OX , яка проходить через середину відрізка
21
FF
(точка 0).
Оскільки віддаль між фокусами прийняли за
2с, то координати фо-
кусів будуть відповідно
)0,c(F
1
і
).0,c(F
2
−
Нехай
)y,x(M
довільна точка еліпса. Відрізки
MF
1
і
MF
2
,
які з’єднують точку еліпса з його фокусами називають фокальними
радіус-векторами цієї точки і позначають
1
r
і
2
r
. Тоді
21
rr +
є вели-
Мал.52
x
F
1
О
А
1
A
2
B
2
B
1
M(x,y)
F
2
у
155
чина стала за означенням, позначимо її через 2а:
a2rr
21
=+ (2.114)
(
2а>2с, тому, що в трикутнику
21
MFF
сума двох сторін більша за
третю). Покажемо, якому рівнянню задовольняють координати точ-
ки
M(x,y).
Знайдемо
1
r і
2
r :
22
1
y)cx(r +−=
, (2.115)
22
2
y)cx(r ++= . (2.116)
Підносячи обидві частини (2.115) і (2.116) до квадрату і відні-
маючи, одержимо
cx4rr
2
1
2
2
=− . (2.117)
Розписавши різницю квадратів в (2.117) і враховуючи (2.114),
одержимо
x
a
c
2rr
12
=−
. (2.118)
Розглянемо систему з рівнянь (2.114) і (2.118):
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=+
.x
a
c
2rr
,a2rr
12
21
(2.119)
З цієї системи знаходимо
x
a
c
ar
1
−=
, (2.120)
x
a
c
ar
2
+= . (2.121)
Підставимо (2.121) в (2.116), одержимо
2222
2
2
2
yccx2xx
a
c
cx2a +++=++
, або
2
2
2
222
y)
a
c
1(xca +−=−
. (2.122)
Позначимо
222
bca =− (2.123)
і тоді (2.122) перепишемо після простих перетворень у вигляді
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
. (2.124)
156
Рівняння (2.124) є канонічним рівнянням еліпса.
Це рівняння другого степеня, значить, еліпс крива другого по-
рядку. Рівняння (2.124) містить
x
і
y
в парних степенях, значить
крива, яка визначається цим рівнянням симетрична відносно осей
x0 і .y0 Осі симетрії еліпса називають його осями. Точку 0 нази-
вають центром еліпса. Із рівняння (2.124) знайдемо
y
:
22
2
2
xa
a
b
a
x
1by −±=−±= . (2.125)
Так як
у, який знаходиться в першому квадранті є додатній, то
22
xa
a
b
y −= . (2.126)
З рівності (2.126) видно, якщо
,0x =
то by = і при зростанні
x
від нуля до
a
,
y
спадає від b до нуля.
В першому квадранті частина еліпса це дуга
11
BA
. Якщо про-
вести дзеркальне відображення цієї дуги відносно осей координат,
то ми одержимо весь еліпс (мал.52).
Якщо в рівнянні (2.124)
,0y = то
,
a
x
±= a якщо
,0x =
то
.by ±= Значить вершинами еліпса є точки ),0,a(A
1
),0,a(A
2
−
),b,0(B
1
).b,0(B
2
− Відрізок a2AA
12
= , а відрізок .b2BB
12
= Ці
відрізки відповідно називаються великою і малою осями еліпса. Ві-
дповідно
a
і b- велика і мала піввісь еліпса.
Означення 3. Ексцентриситетом еліпса називається від-
ношення віддалі між фокусами до довжини великої осі.
Позначимо ексцентриситет через ε , то тоді
1
a
c
a2
с2
<==ε
. (2.127)
Якщо
)0(ba =ε=
, то еліпс перетворюється в коло. Підста-
вимо (2.127) в (2.120) і (2.121), то одержимо
xar
1
ε−= , (2.128)
xar
2
ε+=
. (2.129)
Ці формули використовуються при розв’язуванні задач.
Приклад 3. Скласти канонічне рівняння еліпса, знаючи, що
велика вісь
,10a2 = а ексцентриситет .8,0=ε
157
Розв’язування. З рівняння (2.127) знайдемо
c
. Знаючи, що
.48,05ac,5a =⋅=ε⋅== А тепер знайдемо bз рівності (2.123)
.3b,9162545cab
22222
==−=−=−=
Підставляючи
3b,5a ==
в рівняння (2.124), одержимо
.1
9
y
25
x
22
=+
19.3. Гіпербола та її рівняння
Означення 4. Гіперболою називається множина точок
площини, абсолютне значення різниці віддалей яких від двох за-
даних точок, які називаються фокусами, є величина стала.
Ґрунтуючись на означенні 4 виведемо канонічне рівняння гі-
перболи. Нехай задані дві точки
1
F
і
2
F
є фокусами гіперболи, поз-
начимо віддаль між ними через
,c2
а абсолютну величину різниці
віддалей точки гіперболи від
точок
1
F
і
2
F
позначимо
через
).0a(a2 > За вісь абс-
цис візьмемо пряму, яка про-
ходить через фокуси, а за
вісь ординат візьмемо пряму
перпендикулярну до вісі аб-
сцис, яка проходить через
середину відрізка
12
FF (мал.58), тобто через точку
.0
Тому що c2FF
12
= , то коорди-
нати фокусів будуть відповідно
)0,c(F
1
і )0,c(F
2
− , а фокальні
радіуси відповідно
,MFr
11
= ,MFr
22
= ,a2|rr|
12
=− де
)y,x(M довільна точка гіперболи.
Користуючись формулою віддалл1 між двома точками і озна-
ченням 4, маємо рівняння гіперболи
a2|y)cx(y)cx(|
2222
=+−−++ . (2.130)
Запишемо це рівняння в такому вигляді
a2y)cx(y)cx(
2222
±=+−−++ або
a2y)cy(y)сx(
2222
±+−=++ . (2.131)
F
2
(-c,0)
F
1
(c,0)
M(х,у)
r
1
r
2
x
y
Мал
.
58
0
158
Підносячи до квадрату обидві частини цього рівняння, одер-
жимо,
,a4y)cx(a4yccx2xyccx2x
222222222
++−±++−=+++
або після спрощення
222
y)cx(aaxc +−±=− . Знову підносячи
обидві частини одержаного рівняння до квадрату, одержимо після
спрощень
)ac(aya)ac(x
22222222
−=−− . (2.132)
Розділивши обидві частини рівняння (2.132) на
),ac(a
222
−
одержимо
1
ac
y
a
x
22
2
2
2
=
−
−
. (2.133)
Покажемо, що
).ac(0ac
22
>>−
Тому що в будь-якому
трикутнику різниця двох сторін менша третьої, то
,FF|MFMF|
1212
<− або
,c2a2 <
або
c
a
<
.Тоді
22
ac − величина
додатна і її позначимо через
2
b . Тобто
222
bac =−
. (2.134)
Підставляючи (2.134) в (2.133), одержимо канонічне рівняння
гіперболи
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−
. (2.135)
Рівняння (2.135) є рівняння другого степеня, значить гіпербо-
ла є крива другого порядку. Дослідимо форму гіперболи за її рів-
нянням (2.135). Оскільки рівняння містить
x
і
y
тільки в парних
степенях, то гіпербола симетрична відносно обох осей координат.
Знайшовши
y
та
x
із рівняння (2.135), одержимо
22
ax
a
b
y −±= , (2.136)
22
by
b
a
x +±=
. (2.137)
Із рівняння (2.136) можна зробити такі висновки:
а) значення
у уявні, якщо |х|<a значить гіпербола не перетинає
вісі
Оу і не має точок, що знаходяться в полосі, обмеженій прямими
х
=
± a.
159
б) коли ,0y,ax =±= значить гіпербола перетинає вісь абс-
цис у двох точках
)0,a(A
1
і )0,a(A
2
− , які називаються вершинами
гіперболи.
в) для кожного
,a|x| > ордината
y
має два значення, які від-
різняються тільки знаком, звідси випливає, що гіпербола симетрич-
на відносно осі
.x0
Рівняння (2.137) показує, що гіпербола симетрична і відносно
вісі
.y0
При необмеженому зростанні абсциси
x
ордината також нео-
бмежено зростає. Так
як гіпербола знахо-
диться поза полосою,
обмеженою прямими
a
x
±=
, то гіпербола
складається Із двох
окремих віток (мал.59).
Відрізок
12
AA
називається дійсною
віссю гіперболи, а точ-
ки
)0,a(A
1
і )0,a(A
2
− вершинами гіперболи. Відрізок
21
BB , що
з’єднує точки
)b,0(В
1
і
)b,0(В
2
−
називається уявною віссю гіпер-
боли. Точки
)0,c(F
1
і
)0,c(F
2
−
називаються фокусами гіперболи.
Гіпербола, яка визначається рівнянням
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+−
має дій-
сну вісь
,b2BB
12
= а уявну вісь a2AA
12
= (показано на мал.59 пу-
нктиром) називається спряженою по відношенню до гіперболи
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=− .
Якщо дійсна і уявна осі рівні, то гіпербола називається рі-
вносторонньою, а її рівняння буде
.ayx
222
=−
Степінь стискування гіперболи характеризується її ексцентри-
ситетом.
А
1
(
а
,0)
А
2
(
-
а
,0)
F
2
(
-
c,0)
F
1
(c,0)
М
(
х
,
у
)
В
1
(
0
,
в
)
В
2
(
0
,
-
в
)
О
мал
.59
160
Означення 5. Ексцентриситетом гіперболи називається
відношення віддалі між фокусами
с2 до довжини її дійсної вісі
a2 , тобто
a
c
a2
c2
==ε
. (2.138)
Так як для гіперболи
,
a
с >
то .1>ε
Примітка
. Для гіперболи легко показати як пов’язані
1
r і
2
r з
,
ε а саме )0x(xar
1
>ε+−= ,
)0x(xar
2
>ε+= ; (2.139)
)0x(xar
1
<ε−= ,
xar
2
ε−−= )0x( < . (2.140)
Формули (2.139) і (2.140) одержуються аналогічно як і для
еліпса.
Представляємо читачеві самостійно переконатися в справед-
ливості формул (2.139) і (2.140).
19.4. Асимптоти гіперболи
Означення 6. Пряма l називається асимптотою кривої
(
)k
, якщо віддаль MNd = від точки
M
кривої до точки
N
пря-
мої
l прямує до нуля при необмеженому віддалені точки
M
від
початку координат вздовж кривої (
k ) в тому чи іншому напрямі
(мал.60).
Покажемо, що пряма
x
a
b
Y =
(2.141) є асимптотою гіперболи
(2.135). Для цього розглянемо пряму
MN, яка паралельна осі Oy (мал.59).
Абсциса точки
M і точки N одна і та
ж, тобто
x, а ордината точки M є y, а
точки
N
∈
Y.
Знайдемо різницю між ордина-
тами
(Y-y)
-точок N і M, які мають
одну і ту ж абсцису
l
(
k)
у
х
О
Мал
.60
M
N