Шинкарик М.І. Вища математика

141

6) Аналогічно, коли 0BD == , 0C,0A ≠≠ , то рівнянню

0CzAx =+

відповідає площина , що проходить через вісь y0 .

7) Коли

0B,0C,0AD ≠≠== , то рівнянню 0CzBy =+

відповідає площина, що проходить через вісь

x0 .

8) Якщо

0D,0C,0BA ≠≠== , то рівняння 0DСz =+

визначає площину , яка паралельна вісі

x0

і вісі y0 , тобто площина

паралельна координатній площині

xy0 . Ця площина відтинає на осі

z0 відрізок

C

D

z

−= .

9) Аналогічно, коли

0D,0B,0CA ≠≠==

, то рівняння

0DBy =+ визначає площину , яка паралельна координатній пло-

щині

xz0 і відтинає на вісі

y0

відрізок

.

B

D

y −=

10) Коли

,0CB ==

0A ≠ , 0D ≠ , то рівняння 0DAx =+ ви-

значає площину, яка паралельна координатній площині

yz0

і відти-

нає на вісі

x0 відрізок

A

D

x

−= .

11) Якщо

,0A,0DCB ≠=== то рівняння

0Ax =

рівно-

сильне

0x = , а це і є рівняння координатної площини yz0 .

12) Аналогічно, коли

0B,0D,0C,0A ≠=== , то рівняння

,0By =

(

0y =

) представляє відповідно координатну площину .zx0

13) Якщо

,0C,0DBA ≠===

то рівняння 0C = (або )0z =

є відповідно рівнянням координатної площини

Oxy.

17.2. Рівняння площини у відрізках

Нехай в рівнянні (2.72) кожний із коефіцієнтів

D,C,B,A

не

дорівнює нулю, тобто площина перетинає всі осі координат і не

проходить через початок координат. Перетворимо рівняння (2.72)

таким чином:

,DCzByAx −=++

,1z

D

C

y

D

B

x

D

A

=

−

+

−

+

−

142

.1

C

D

z

B

D

y

A

D

x

=

−

+

−

+

−

Для скорочення запису позначимо

,с

C

D

,b

B

D

,a

A

D

=−=−=−

тоді рівняння площини буде мати

вигляд

1

c

z

b

y

a

x

=++ . (2.73)

Рівняння (2.73) називають рівнянням площини у відрізках, де

числа

c,b,a є величини відрізків, які відтинає площина на осях ко-

ординат.

17.3. Кут між двома площинами. Умови паралельності

і перпендикулярності площин.

Нехай задано дві площини

0DzCyBxA

1111

=+++ , (2.74)

0DzCyBxA

2222

=+++ . (2.75)

Якщо ці площини перетинаються, то кутом між ними назвемо

будь-який суміжний двогранний кут. Один із них дорівнює куту

ϕ

між векторами

)C,B,A(n

111

1

→

і

)C,B,A(n

222

2

→

, а другий -

ϕ−=ϕ

0

1

180

.

Значить, шуканий кут φ можна знайти за формулою (2.21) §11

2

1

2

1

2

1

212121

CBACBA

CCBBAA

cos

++++

++

=ϕ

. (2.76)

Якщо

,

2

π

=ϕ то із формули (2.76) одержуємо, що

0CCBBAA

212121

=++ . (2.77)

Умова (2.77) одержується із умови перпендикулярності векто-

рів

1

n

→

і

2

n

→

. Рівність (2.77) називається умовою перпендикулярності

двох площин.

Якщо площини (2.74) і (2.75) паралельні, то нормалі цих пло-

щин

)C,B,A(n

111

1

=

→

і )CB,A(n

2,22

2

=

→

будуть колінеарні і тоді за

143

формулою (2.23) одержимо

2

1

2

1

2

1

C

B

A

==

. (2.78)

Умова (2.78) виражає умову паралельності двох площин.

Приклад 1. Записати рівняння площини, що проходить через

точки

)1;3;8(M

1

−

і

)2;7;4(M

2

і перпендикулярна до площини

02172y5x3 =+−+ .

Розв

’язування. Тому що площина проходить через точку

)1;3;8(М

1

− , то її координати задовольняють рівняння (2.71), тобто

0)1z(C)3y(B)8x(A =−+++−

. (2.79)

Аналогічно, площина проходить і через точку

)2;7;4(M

2

, то

її координати задовольняють рівнянню (2.79), тобто

0)12(C)37(B)84(A =−+++− . (2.80)

Використаємо умову перпендикулярності (2.77) для площини

(2.79) і заданої площини

3x+5y-7z+21=0, тобто 3A+5B-7C=0. Для

знаходження

А,В,С маємо систему двох рівнянь з трьома невідоми-

ми, а саме

⎩

⎨

⎧

=−+

=++−

.0C7B5A3

,0CB10A4

З даної системи знаходимо

A

і

B

через C , тобто ,C

2

3

A =

C

2

1

B =

і підставляємо одержані значення в рівняння (2.79):

.0)1z(C)3y(

2

1

)8x(C

2

3

=−+++−

Зробивши спрощення в останньому рівнянні , одержуємо шу-

кане рівняння площини

3x+y+2z-23=0.

17.4. Нормальне рівняння площини

Положення площини

π в просторі можна визначити через нор-

мальний вектор

→→

= OAn

, початок якого співпадає з початком коор-

динат, а кінець знаходиться на площині π. Нехай довжина цього ве-

ктора дорівнює

p

, тобто

→

= ОАp , а кути нахилу цього вектора з

осями координат є α,β,γ (мал.45). Значить

р є віддаль площини до

144

початку координат. Якщо через

→

0

n позначимо одиничний вектор

нормалі

→→

= OAn , то коорди-

нати

→

0

n будуть

(

cosα,cosβ,cosγ). На основі

§8 їх називають направляю-

чими косинусами нормаль-

ного вектора. Візьмемо до-

вільну точку

)z,y,x(M

на

площині

π і позначимо ра-

діус - вектор

→

OM

через

→

r

.

Тоді

prПp

0

n

=

→

. Тепер на основі формули (2.15) маємо

→

⋅=

⋅

=

→

,nr

n

nr

rПp

0

n

0

бо

.1n

0

=

→

Значить, ми одержимо, що

pnr

0

=⋅

→

або

0pnr

0

=−⋅

→

. (2.81)

Рівняння (2.81) називається нормальним рівнянням площини у

векторній формі. Розпишемо рівняння (2.81) у координатній формі,

одержимо

0pcoszcosycosx =−

γ

+

β

+α . (2.82).

В цьому рівнянні

p

віддаль від площини до початку координат і

1coscosсos

222

=γ+β+α . (2.83)

Щоб загальне рівняння площини привести до нормального ви-

гляду, потрібно загальне рівняння площини помножити на сталий

множник

μ

. Одержимо

0DCzByAx =

μ

+

μ

+

μ

+

μ

, де

α=

μ

cosA

,

β

=

μ

cosB ,

γ

=

μ

cosC , pD −=

μ

.

Піднісши перші три рівності до квадрату і додавши їх, врахо-

вуючи (2.83), одержимо

1)CBA(

2222

=++μ

, або

222

CBA

1

++

±=μ

. (2.84)

γ

α

β

→

r

π

M(х,у,z)

A

0

n

→

O

z

у

х

Мал.45

145

В формулі (2.84) необхідно брати знак протилежний знаку ві-

льного члена в загальному рівнянні площини, так як

pD −=

μ

, де

p

- завжди додатне як віддаль.

Отже, щоб рівняння (2.72) привести до нормального вигляду ,

треба помножити його на нормувальний множник (2.84).

17.5. Віддаль від точки до площини

Нехай задано нормальне

рівняння площини

π :

0pcoszcosycosх =−

γ

+

β

+α

і точка

)z,y,x(M

0000

поза

площиною. Потрібно обчислити

віддаль від точки

0

M

до пло-

щини

π . (мал. 2.46).

Розв

’язування. Проведемо

через точку

0

M

площину

1

π

паралельну до площини

π

(мал.

46). Нормальне рівняння пло-

щини

1

π

запишемо так

0pcoszcosycosx

1

=−

γ

+

β

+α

де

1

p

віддаль площини

1

π

від по-

чатку координат. Шукана віддаль дорівнює

ppAB

1

−= . Тому що

точка

)z;y;x(M

0000

знаходиться на площині

1

π

, то

0pcoszcosycosx

1000

=−

γ

+

β

+α

і значить

pcoszbcosycosxppd

0001

−

γ

++α=−= . Взагалі

pcoszcosycosxd

000

−γ+β+α=

(2.85)

або

222

000

CBA

DCzByAx

d

++

+++

=

. (2.86)

§18. Пряма в просторі

В просторі, так як і на площині, одну і ту ж пряму можна за-

дати різними по формі рівняннями.

х

В

А

р

1

р

π

1

O

z

у

Мал.46

М

0

146

18.1. Загальне рівняння прямої

Пряму

l в просторі можна розглядати як лінію перетину двох

площин

1

π і

2

π (мал.47). Тому загальним рівнянням прямої l є си-

стема двох рівнянь першого степеня , а саме

⎩

⎨

⎧

=+++

.0DzCyBxA

,0DzCyBxA

2222

1111

(2.87)

Координати прямої

l бу-

дуть задовольняти обом рівнян-

ням системи (2.87). Система

(2.87) визначає пряму лінію

l

при умові, що нормальні вектори

)C,B,A(n

1111

→

і

)C,B,A(n

2222

→

неколінеарні, бо тільки в цьому

випадку площини перетинають-

ся.

18.2. Канонічне рівняння прямої

Положення прямої лінії в просторі визначається однозначно,

якщо відома точка

M

0

(x

0

y

0

z

0

,) ,через яку вона проходить , і відомо

напрямний вектор

)p;n;m(s

→

, якому пряма l паралельна (мал.48).

Візьмемо на прямій

l довільну точку

)z;y;x(M

і позначимо

→

OM

через

→

r

, а вектор

→

0

OM

через

.r

0

→

З малюнка (48) видно , що

→→→

+= MMOMOM

00

,

або

→→→

+= MMrr

00

. (2.88)

Вектор

→

MM

0

коліне-

арний із направляючим век-

тором

→

s , тому

→→

⋅= stMM

0

, (2.89)

де

t

- числовий параметр.

Тоді (2.88) запишемо у вигляді

→→→

⋅+= strr

0

. (2.90)

π

1

π

2

l

O

z

у

х

Мал.47

→

r

0

r

→

s

M

0

l

O

z

у

х

Мал

.4

8

147

Рівняння (2.90) називається векторним рівнянням прямої в

просторі. Розпишемо рівняння (2.90) в координатній формі

ptzz,ntyy,mtxx

000

+=+=+=

. (2.91)

Рівняння (2.91) називаються параметричними рівняннями

прямої. Якщо параметр

t

змінюється, то точка )z;y;x(M рухаєть-

ся по прямій

.l

Виключивши параметр

t

із рівнянь (2.91) , одержимо

.

p

zz

t,

n

yy

t,

m

xx

t

000

−

=

−

=

−

= Звідси

p

zz

n

yy

m

xx

000

−

=

−

=

−

. (2.92)

Рівняння (2.92) називаються канонічними рівняннями прямої

в просторі, а координати

n

,

m

і

p

вектора

→

s

- направляючими кое-

фіцієнтами прямої.

В канонічних рівняннях (2.92) величини

n

,

m

і

p

не можуть

одночасно перетворюватися в нуль, так як

0s ≠

→

, але деякі із них

можуть дорівнювати нулю.

Нехай, наприклад,

0m = , то із рівнянь (2.91) одержимо таку

систему

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

−

=

−

=

p

zz

n

yy

xx

00

0

(2.93)

Кожне із цих двох рівнянь визначає площину, а система рів-

нянь (2.92) визначає пряму. В цьому випадку рівняння (2.92) можна

записати умовно так:

p

zz

n

yy

0

xx

000

−

=

−

=

−

. (2.94)

Система рівнянь (2.93) або (2.94) визначає пряму, яка перпен-

дикулярна до вісі

x0 , так як 0m = . Якщо які-небудь два направ-

ляючих коефіцієнти рівні нулю, наприклад,

m=0,n=0, p≠0, то із рів-

няння (2.91) одержимо, що

⎭

⎬

⎫

=

0

yy

xx

(2.95)

148

Рівняння (2.92) умовно запишеться так:

р

zz

0

yy

0

xx

000

−

=

−

=

−

. (2.96)

Пряма, яка визначається системою (2.95), або (2.96) паралель-

на осі

z0

і перпендикулярна до осей

x0

і y0 .

Канонічні рівняння прямої (2.92) можна представити як суку-

пність двох рівнянь, наприклад

p

zz

m

xx

00

−

=

−

і

p

zz

n

yy

00

−

=

−

. (2.97)

Кожне із цих рівнянь представляє площину. Перша площина

паралельна вісі

y0 , так як в рівнянні відсутня координата

y

, а дру-

га паралельна осі

x0 .

Таким чином, пряму можна розглядати як перетин двох пло-

щин, тобто канонічні рівняння прямої (2.92) записали у загальному

вигляді прямої (2.97).

18.3. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

Нехай пряма проходить через дві задані точки

)z,y,x(M

1111

і

).z,y,x(M

2222

В цьому випадку за направляючий вектор прямої

→

s можна взяти вектор )zz,yy,xx(MMs

12121221

−−−==

→→

. Тоді

121212

zzp,yyn,xxm −=−=−= і взявши за

,zz,yy,xx

101010

===

одержимо

12

1

12

1

12

1

zz

yy

xx

−

=

−

=

−

. (2.98)

Рівняння (2.98) є рівнянням прямої в просторі , що проходить

через дві задані точки.

Загальне рівняння прямої можна привести до канонічних рів-

нянь (2.92). Для цього в системі (2.87), наприклад,

z

надаємо зна-

чення

0

z і система (2.87) буде системою двох рівнянь з двома неві-

домими

x і y, які із неї знаходимо, тобто x=x

0

і x=x

0

. Таким чином,

одержали координати

)z,y,x(

000

однієї точки

0

M в просторі. Ана-

логічно, із системи (2.87) надаючи

1

zz = , знаходимо

149

,yy,xx

11

== тобто координати

)z,y,x(

111

другої точки

1

M

.

Тепер можна записати рівняння прямої, що проходить через дві точ-

ки в просторі на основі (2.98) і одержимо рівняння (2.92).

18.4. Кут між двома прямими

Нехай задано дві прямі

1

l і

2

l :

1

l ⇒

1

p

zz

n

yy

m

xx −

=

−

=

−

, (2.99)

2

l ⇒

2

p

zz

n

yy

m

xx −

=

−

=

−

. (2.100)

Означення. Кутом між двома прямими

1

l і

2

l називається

кут між їх направляючими векторами

)p,n,m(s

1111

→

і

)p,n,m(s

2222

→

.

Кут між двома прямими

1

l і

2

l буде визначатися за форму-

лою (2.21) , тобто

2

1

2

1

2

1

212121

pnmpnm

ppnnmm

сos

++⋅++

++

=ϕ

. (2.101)

Очевидно, що

0

1800 ≤ϕ≤

.

Якщо прямі (2.99) і (2.100) паралельні, то їх направляючі век-

тори

→

1

s і

→

2

s колінеарні, то ми одержуємо умову паралельності пря-

мих

1

l і

2

l у вигляді

2

1

2

1

2

1

p

n

m

==

. (2.102)

Умова (2.102) є умовою паралельності прямих

1

l

і

2

l

. Якщо

прямі

1

l

і

2

l

взаємно-перпендикулярні , то направляючі вектори

)p,n,m(s

1111

→

і

)p,n,m(s

2222

→

також перпендикулярні , тобто їх

скалярний добуток

0ss

21

=⋅

→→

. Звідси

0ppnnmm

2121

2

1

=++ . (2.103)

150

Умова (2.103) є умовою перпендикулярності двох прямих

1

l

і

2

l у просторі.

18.5. Взаємне розміщення прямої і площини

Нехай задана пряма

l

p

zz

n

yy

m

xx

000

−

=

−

=

−

(2.104)

і площина

0DCzByAx =+++

. (2.105)

Пряма

l паралельна до площини π тоді і тільки тоді, коли її

направляючий вектор

)p,n,m(s

→

перпендикулярний до нормального

вектора

)C,B,A(n

→

площини. Тоді їх скалярний добуток дорівнює

нулю

0CpBnАm =++ . (2.106)

Умова (2.106) є умовою паралельності прямої і площини.

Якщо пряма

l перпендикулярна до площини π , то направля-

ючий вектор прямої

)p,n,m(s

→

і нормальний вектор площини

)C,B,A(n

→

паралельні, тобто

p

C

n

B

m

A

==

. (2.107)

Умова (2.107) є умовою перпендикулярності прямої і площини.

Кутом між прямою

l і площи-

ною

π називається кут

2

0(

π

≤ϕ≤ϕ

),

який утворений прямою

l з її проек-

цією на площину (мал.49). З малюнка

49 видно, що кут між нормальним

вектором

)C,B,A(n

→

площини і на-

правляючим вектором

)p,n,m(s

→

прямої дорівнює

ϕ−

π

2

, а якщо век-

π

→

n

→

s

φ

Мал.49

l

ϕ−

π

2

Шинкарик М.І. Вища математика

Подождите немного. Документ загружается.