Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

Если точка Р лежит внутри поверхности а, то применять формулу (11.6)

ко всей области т нельзя, так как 1/г терпит разрыв, когда точка Р сливается

с текущей точкой М; но эту формулу можно применить к той облает" т', которая

получается из т выделением из нее внутренней полости, охватывающей точку Р

(рис. 18), так как для любой точки М области т' г — РМ ф 0 функция 1/г

остается непрерывной и А (1/г) = 0. Таким образом,

Если сжимать поверхность безопасности 2, окружающую точку Р, умень-

шая ее до нуля, то в пределе область т' перейдет в область т и интеграл в левой

части перейдет в — ДУ,-йт. Множитель 1/г здесь не представляет опасности,

так как в полярных координатах йт =

= г

зт бйбйАйг, поэтому (1/г) йт является

величиной порядка гйг, стремящейся

к нулю при г ->- 0. Предел интеграла

||(1 /г-йУ,/йд) йа при уменьшении по-

верхности 2 равен нулю, так как йа

на 2 пропорционально г

(в чем можно

убедиться, перейдя к полярным коорди-

натам); следовательно, каждый элемент

интеграла пропорционален г, и потому

весь интеграл будет стремиться к нулю

при 2 -> 0.

Интеграл У,- (й/йге) (1/г) йа ввиду непрерывности функции У,- при

уменьшении размеров поверхности 2 до нуля будет стремиться к произведению

значения функции У

в самой точке Р на иптеграл Гаусса, равный 4я для вну-

тренней точки.

В результате получим

-1 ^ 1ДУ,- йт + ^ 14П. Йа -1 $ У, I (1) йа = 4лУ,- (Р). (11.11)

т 0 о

Если точка Р лежит на поверхности а, то интеграл Гаусса для этой точки

равен 2л и получим

- | ^ ± ДУ; йт +^ йа - ЭД У,

± (1) йа = 2яУ,-

(

Р). (П. 12)

х а а

Формулы (11.11) и (11.12) позволяют вычислить значение любой функции

У,- (Р) внутри поверхности а и на самой поверхности а, если известны: значе-

ния ДУ,- внутри области т и значения У,- и йУ,-/йга во всех точках поверхности а.

Важное свойство формул (11.10), (11.11) и (11.12) заключается в том, что

их левые части представляют собой сумму трех потенциалов.

Ш (1/

) ДУ(йт можно рассматривать как объемный потенциал У (Р)

масс, плотность которых в каждой точке М равна ДУ,-.

Интеграл 11 (1 /г-ЗУ;/<1п) йа представляет собой потенциал У

(Р) про-

"б

стого слоя, плотность которого в текущей точке М равна йУ^йп. Интеграл

•I У, (й/Ап) (1/г) йо есть потенциал И

(Р) двойного слоя, плотность которого

в точке М равна У,-.

Учитывая это, для точки Р внутри объема т, на поверхности сг и вне объема

можно написать

! 4яУДР)

-У(Р) + У

(Р)-И

(Р)= 2ЯУ,- (Р). (11.13)

I о

§ 8. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА

Гармонической функцией координат х, у, г называется функция, непре-

рывная внутри некоторого объема т вместе с ее первыми и вторыми производ-

ными и удовлетворяющая во всех точках т уравнению Лапласа. Таких функций

существует бесчисленное множество; например, можно показать, что целый

однородный многочлен степени п в переменных х, у, % вида

2к

(х

+ у

— г

)

является гармонической функцией в любой области т, лежащей в конеч-

ных частях пространства.

Применим формулы Грина к гармоническим функциям. Положим в (11.1)

У = 0. Тогда получим

= • (11.14).

т о

Здесь II; есть произвольная функция, удовлетворяющая только условию,

непрерывности (вместе с первыми производными) внутри и на поверхности а.

Полагая в (11.14) СУ,- = У,-, получим

У^т-^-^-Аг. (11.15)

т о

Здесь слева стоит интеграл Дирихле; отсюда следует, что

Это неравенство справедливо для всякой функции У,-, гармонической

внутри поверхности о, знак равенства относится лишь к случаю У, = сопз1

(постоянную можно рассматривать как гармоническую функцию внутри сг,

ибо она отвечает всем признакам гармонической функции). Из формулы (11.4)

при ДУ = 0 получается очень ваяшое соотношение

№*>=<>•

Отсюда следует, что значения нормальной производной функции У

гар-

монической внутри поверхности а, не могут быть заданы на пей произвольно:

они подчиняются условию (11.16). Следовательно, производная йУ^йп не может

сохранять один и тот же знак во всех точках любой замкнутой поверхности а,

проведенной внутри области т, где У,- — гармоническая функция.

Соединим формулы (11.15) и (11.16) в одну, а именно:

т о

где К — произвольная постоянная. В самом деле, поскольку\\К (йУ^йп)

с1о

<т

= 0 на основании (11.16), формула (11.17) тождественна формуле (11.15) Из

формул (II.6) и (II.9) вытекает, что если функции V и У гармонические в об-

ласти т (внешней или внутренней относительно а), то имеет место соотношение

Если У,- в пределах объема т является гармонической функцией, то объем-

ный интеграл в формулах (11.10), (11.11) и (11.12) исчезнет и получаются следу-

ющие соотношения:

для внешней области

а а

для внутренней области

а о

на поверхности сг

а о

Формулы (11.20) и (11.21) показывают что значения функции У,-, гармони-

ческой внутри поверхности сг, определяются как в любой внутренней точке,

так и в точках самой поверхности сг через значения самой функции У

и ее нор-

мальной производной йУ^йп на о.

Рассмотрим некоторые важные свойства гармонических функций.

1. Гармоническая функция, имеющая постоянное значение У = сопаЬ во всех

точках поверхности а, есть постоянная во всей области т. Для доказательства

воспользуемся формулой (11.17). Если на поверхности аУ

— К, то интеграл

Дирихле от У

равен нулю; но это возможно лишь при условии У

= сопз1

во всей области т; но так как, по условию, на поверхности сг = К, то по усло-

вию непрерывности У

= К и во всех точках области т. Используя это свойство,

можно доказать, что, если простой слой распределен на уровенной поверхности,

то он не может притягивать внутреннюю точку.

В § 4 было показано, что, если простой слой имеет форму сферы (в этом

случае поверхность слоя будет являться уровенной поверхностью, так как

потенциал во всех точках сферы сохраняет постоянное значение), то он вну-

треннюю точку не притягивает. Оказывается, это свойство потенциала простого

слоя можно распространить на любую поверхность простого слоя, если только

она является уровенной.

(11.19)

(П.20)

(11.21)

В самом деле, если поверхность а простого слоя является уровенной, то

тогда на поверхности о соблюдается условие У = сопз1. Потенциал У

простого

слоя в точках, находящихся внутри о, будет функцией гармонической и в соот-

ветствии с только что доказанным свойством гармонической функции он будет

сохранять постоянное значение. Сила притяжения внутри слоя будет вычис-

ляться, как производная от потенциала У,- по направлению внешней нормали,

и так как У,- = сопзЬ, получим (д,У/д,п)

= 0, следовательно, внутренняя точка

слоем не притягивается.

2. Теорема единственности. Не может существовать двух различных функ-

ций У и У, гармонических внутри поверхности о и принимающих на ней одну

и ту же совокупность значений V. Доказывается эта теорема способом от про-

тивного. Допустим, что существуют две такие функции, тогда разность их

Г — У будет функцией гармонической внутри а и равной нулю во всех точках

поверхности о. Но согласно доказанной выше теореме 1 эта разность должна

тождественно равняться нулю внутри о, т. е. (У — У'),- = 0, и, следовательно,

г = у;.

Теорему 2 можно сформулировать еще и по-другому: если существует

гармоническая функция У, принимающая на а заданную совокупность зна-

чений У, то она является единственной.

3. Теорема о среднем. Значение гармонической функции во всякой внутренней

точке Р равно интегральному среднему ее значений, взятому по поверхности

любой сферы (Б) с центром Р, лежащей целиком внутри т, т. е.

^ = = етг И"г,

•*

••

(П

22)

где Е — радиус сферы 2.

Для доказательства этой теоремы обратимся к формуле (11.20) и положим,

что а является сферой 2 радиуса К. Если точку Р поместить в центр этой сферы,

то тогда г = К, а направление внешней нормали п будет совпадать с направле-

нием В.

В таком случае

й / 1 \

йт

йп \г /2

7-2

йп

г=В

На основании (11.16)

1 \ г йп ^ Я \ \ йп

—

2 2

После подстановки полученных значенийв (11.20) получаем формулу (11.22).

4. Теорема о максимуме и минимуме. Функция У гармоническая в области т,

не может достигать ни максимума, ни минимума во внутренних точках этой

области', она достигает их только на граничной поверхности а.

Пусть Р есть внутренняя точка; допустим, что У,- достигает в ней макси-

мума. Так как функция У,- обладает свойством непрерывности, то в этом случае

можно построить сферу 2 с центром в Р, радиуса В, лежащую еще целиком

в области т, притом так, чтобы во всех точках внутри и на поверхности

этой сферы У,- было бы меньше, чем У,- (Р). Но в таком случае равенство

VI (Р) = 1/4яД

Л не может иметь места, следовательно, гармони-

ческая функция не может иметь максимума во внутренней точке.

Аналогично можно доказать, что гармоническая функция не может иметь

в ней и минимума. Но для точек самой поверхности о это рассуждение, основан-

ное на теореме о среднем, неприменимо: здесь гармоническая функция, согласно

общим свойствам непрерывных функций, должна достигать своих экстремаль-

ных значений.

§ 9. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ГРИНА

Используем теперь соотношения, открытые Грином, между отвлеченными

функциями II ш V для изучения свойств силового поля, создаваемого притяги-

вающими массами. Положим, что область т, ограниченная поверхностью о,

заполнена массами, плотность которых б. Потенциал, создаваемый этими мас-

сами, обозначим через V.

Применим формулы Грина (11.10), (11.11) и (11.12) к этому случаю. В точ-

ках, расположенных внутри объема т, потенциал V будет удовлетворять урав-

нению Пуассона АV = —4я/6. Поэтому объемный интеграл, входящий в фор-

мулы Грина и содержащий ДУ, примет вид

-^-1ДУйт = 4Я/ = (Р).

т т

Подставляя полученное значение объемного интеграла в (11.10), (11.11),

(11.12), получим фундаментальную формулу Грина для потенциалов

—4яУ(Р) = | (т)!^

0 для внешней

точки (11.23)

И Г

—

(т")]

йсг для Ш1

енней точки

(II.24)

= на поверхности <т (11.25)

Фундаментальная формула (11.23) Грина замечательна тем, что позволяет

определять внешний потенциал тела (который в дальнейшем будем обозна-

чать У

) независимо от плотности.

Кроме того, она показывает, что потенциал У

объемных масс (вне тела)

может быть представлен суммой двух потенциалов: потенциала простого слоя

с плотностью 1/4я -АУ/йп и потенциала двойного слоя с плотностью (1/4я) У,

распределенных по поверхности а тела.

Потенциал тела внутри масс, как видно из формулы (11.24), не может быть

определен через поверхностные интегралы. Используя свойства потенциала

двойного слоя, можно получить одну формулу для определения потенциала

притяжения во внешнем пространстве и на поверхности а. Для этого следует

применить преобразование М. С. Молоденского. М. С. Молоденский изменил

обычное нанисание формулы (11.23) Грина, введя вместо У под знак интеграла

разность У — У, понимая под У постоянную, равную значению У в данной

точке Р на поверхности о.

Таким образом, М. С. Молоденский дает формулу (11.23) в следующем

виде:

ТЮ—БГ Ш^-С-ЯК-г)]*

- («О)

Покажем, что полученная формула будет удовлетворять случаям, когда

точка Р находится во внешнем пространстве и на поверхности а. Действительно,

з случае, когда Р находится вне а

И^(т)^Шт)^

о а

так как интеграл Гаусса во внешнем пространстве равен нулю, и формула

'11.26) будет давать тот же результат, что и формула (11.23).

Когда же точка Р находится на поверхности а,

гЦМЯ*—

так как интеграл Гаусса в этом случае будет равен —2п, и формула (11.26)

будет совпадать с формулой (11.25). Формула Грина (11.23) верна не только для

внешнего потенциала объемных масс, но справедлива для любой функции,

гармонической во внешнем пространстве и регулярной на бесконечности.

§ 10. СТОКСОВЫ ПОСТОЯННЫЕ

Вернемся к формуле (II.6). Под функцией У

{

будем понимать потенциал

объемных масс, заполняющих объем т, ограниченный поверхностью а. Плот-

ность этих масс обозначим через б. Под функцией будем подразумевать

произвольную гармоническую в области т функцию. Тогда

% а

так как в области т А17

{

= 0. Поскольку потенциал внутри притягивающих

масс удовлетворяет уравнению Пуассона

•Д7=— 4я/б,

получим

-4я/Щб (П.27)

Т О

Интегралы вида I = I)! ЬЛ^х [носят название стоксовых постоянных.

"т

Стоксовы постоянные обладают тем замечательным свойством, что их

можно определить, не зная распределения масс. Как видно из формулы (11.27),

для их вычисления необходимо знать поверхность а, ограничивающую данное

тело, и значения потенциала V и его нормальной производной йУ/йп на по-

верхности.

Поясним физический смысл некоторых стоксовых постоянных. Положим

— 1. Тогда получим стоксову постоянную нулевого порядка

бйт=м

где М — масса тела.

Подставим значения /

и 11

— 1 в формулу (11.27), получим

= (11.28)

Это соотношение называется формулой Гаусса. Оно показывает, что масса

тела может быть определена без знания плотности, для ее определения тре-

буется знать форму поверхности а и значения нормальной производной потен-

циала тела на ней.

Полагая последовательно V\ = г\, получаем стоксовы постоянные

первого порядка

х х х

Но, как известно из механики, эти интегралы определяют координаты

центра масс т]

, по формулам

^тИИ*

^ ^ЧгШ

(П

29)

XXX

Если положить

г/, = Б

—л

> <= 2

то получим стоксовы постоянные второго порядка:

т т

Первые три интеграла представляют собой произведения инерции тела.

Чтобы выяснить механический смысл двух последних интегралов, восполь-

зуемся выражениями для моментов инерции тела относительно координатных

осей х, у, г. Если ось 2 совместить с полярной осью, а оси х и у расположить

в плоскости экватора, то момент инерции тела относительно полярной оси

будет

а экваториальные моменты инерции соответственно

Выразив объемные интегралы через моменты инерции

-с X

убеждаемся в том, что они представляют собой разности моментов инерции тела.

Таким образом, массу тела, координаты центра массы, разности моментов

инерции, произведения инерции можно рассматривать как стоксовы постоянные

различных порядков.

Определение стоксовых постоянных Земли, Луны и других планет солнеч-

ной системы составляет одну из важных задач космической геодезии.

§ 11. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

Краевые (граничные) задачи теории потенциала состоят в определении

гармонической функции, удовлетворяющей некоторым граничным или краевым

условиям (т. е. условиям, которые могут быть выполнены на границе рас-

сматриваемой области). В зависимости от характера граничных (или краевых)

условий различают три типа краевых задач.

Первая краевая задача или так называемая проблема Дирихле может быть

сформулирована следующим образом: в точках замкнутой поверхности а кадана

функция V; требуется найти функцию V (х, у, г) гармоническую в некоторой

области, ограниченной поверхностью о, и принимающую на этой поверхности

заданные значения V. Различают внутреннюю задачу, когда гармоническая

функция ищется в конечной области т, ограниченной поверхностью о, и внеш-

нюю задачу, когда речь идет о бесконечной области, внешней по отношению

к ограничивающей ее поверхности а.

Вторая краевая задача (проблема Неймана) ставится так: на поверхности а

„ Ш „ „ .

заданы значения нормальной производной — искомои гармоническои функ-

ции V (х, у, г); требуется найти эту функцию в области, ограниченной поверх-

ностью а. Здесь также различают внутреннюю или внешнюю задачу, смотря

по тому, о какой из областей идет речь.

Третья краевая задача (называемая также смешанной краевой задачей)

заключается в определении гармонической функции по значениям, принимаемым

на поверхности а линейной комбинацией аУ + йУ/йп. Эта задача также

может быть внутренней или внешней. Следует иметь в виду, что при решении

внешних краевых задач обязательно ставится условие, чтобы искомая гармонн-

ческая функция обращалась на бесконечности в пуль (была регулярной). При

изучении фигуры Земли приходится иметь дело с внешними краевыми задачами,

поскольку потенциал притяжения V (х, у, г) — функция гармоническая только

во внешнем пространстве и по краевым (или граничным) условиям он может

быть найден только во внешнем пространстве. Поэтому в общем виде рассмо-

трим внешние краевые задачи.

Первая краевая задача

Требуется определить в точке внешнего пространства Р (х, у, г) функцию V,

гармоническую вне данной поверхности а, регулярную на бесконечности и при-

нимающую на а заданную непрерывную совокупность значений V.

На основании (11.23) можно написать

У(Р)-

1 ау

г йп

-V•

йп

йа,

(П.ЗО)

где под г понимается расстояние от элемента поверхности йа до точки Р внеш-

него пространства, в которой определяется функция V. Задача будет состоять

в том, чтобы исключить из формулы (11.30) член, содержащий нормальную

производную йУ/йп.

Примем во внимание функцию V — гармоническую вне а и регулярную

на бесконечности. Для функций V и У будет справедлива формула (11.18)

и потому можем написать

о—<

1Ш

Сложим почленно (П.ЗО) и (11.31), получим

" <

> - -тИ Шт+

сг

Введем обозначение О = 1 /г -{-II и подчиним функцию Л условию, чтобы

на поверхности а 17 = —1/г. Допустим, что построение такой функции V воз-

можно. Но тогда первый член подынтегрального выражения в (11.32) обращается

в нуль и получим

Введенная здесь функция О носит название функции Грина для внешнего по

отношению к поверхности а пространства. Таким образом, если для данной

поверхности можно построить функцию Грина С, то тогда гармоническая функ-

ция в любой точке внешнего пространства может быть найдена по тем значе-

ниям, которые она принимает на поверхности а.

Функция Грина С должна быть определена во внешнем пространстве.

Следовательно, слагаемое функции Грина — = [(х — + (У — л)

— (г — У

]

-1

/* не связано с координатами точки, находящейся внутри задан-

ной поверхности о. Напротив, переменные т),

относятся к точкам, находя-

щимся либо вне, либо на самой поверхности а. Координаты х, у,

т,

точки Р,

в которой вычисляется гармоническая функция V, рассматриваются в качестве

параметров. Функция II должна быть выбрана так, чтобы на поверхности а

она по абсолютной величине равнялась бы —. Вне поверхности а функция II

не может равняться —, так как II должна быть гармонической во всем внешнем

относительно а пространстве, а — теряет это свойство в точке Р. Таким обра-

зом, функция Грина должна обладать следующими свойствами: на бесконеч-

ности быть регулярной, вне поверхности а быть всюду гармонической, кроме

одной точки Р, и на поверхности о обращаться в нуль.

Вторая краевая задача

Решение задачи будет найдено, если из формулы (11.32) удастся исключить

член, содержащий V; тогда искомая функция У (Р) будет определяться только

значениями нормальной производной, заданными на поверхности а. С этой

целью примем во внимание некоторую вспомогательную функцию V, гармони-

ческую вне поверхности а и регулярную на бесконечности, которую подчиним

условию, чтобы (АН/йп)

= 0, где Н = 1/г + I]. Тогда получим решение второй

краевой задачи в виде

(11.34)

Третья краевая задача

Пусть на поверхности от функция У принимает заданные значения аУ +

-+- ЛУ/йп = /. Обозначим через Е функщтю II -|—— и потребуем, чтобы

на поверхности а тела эта функция подчинялась условию

йЕ

а Е-\-

йп

= 0.

Следовательно, на поверхности о будем иметь

йЕ

Тогда

йп

= -|а Е\

о а о

На основании (11.32) получим

У(Р)

4л