Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

Это предельное соотношение имеет простой физический смысл, поскольку

из (1.22) и (1.23) вытекает, что

Отсюда видно, что р, можно определить как количество массы; приходя-

щейся на единицу поверхности. Величина р, получила название поверхностной

плотности, или, иначе, плотности простого слоя. Таким образом, элемент

массы йт, занимавший объем йх, окажется сконденсированным на элементар-

ную площадку йа. Используя соотношения (1.22) и (1.24), можно получить

соотношение между объемной плотностью и поверхностной. Имеем

йт = &кйа =

йа

откуда получаем

= бй. (1.25)

В результате описанного выше предельного перехода вся притягивающая

масса будет сконденсирована на поверхности о. Используя соотношения (1.25),

получим формулу для потенциала простого слоя

У(Х, у, = (1.26)

Интегрирование здесь ведется по поверхности а.

Выведем теперь формулу для потенциала двойного слоя. Пусть имеем две

близкие поверхности о и а', расстояние между которыми, считая по направле-

нию внешней нормали, будет Н (рис. 5). На поверхности а' распределен простой

слой переменной плотности ц > 0, а на поверхности а — слой плотности р, 0.

При этом плотности этих слоев на отрезке к одной нормали равны между собой

по абсолютной величине.

Возьмем далее точку Р с координатами х, у, г, ее расстояния от текущих

точек на поверхностях а и а' будут соответственно равны г и г'.

Тогда потенциал двух простых слоев, распределенных на поверхностях о

и ©', будет равен

| М<т' _

о а'

По малости к, считая

йа йа',

получим

сг

Величина 1/г' является функцией переменных с, г),

'С,

и ее можно разложить

в ряд

1 __ 1 , к д{1/2) № Э2(1 /г)

г' ~ г ^

! дп 1*2! дп% ~г

• •

•

Пренебрегая малыми высших порядков, найдем разность

Следовательно,

.1 • ^

г Т г' дп

дп

Представим себе, что поверхности о и о' будут неограниченно прибли-

жаться друг к другу. При этом поставим условие, чтобы предел произведения цк

оставался бы конечной величиной

Нш р/г = V.

/1—>- О

Предельное положение указанных выше простых слоев называется двой-

ным слоем, а величина V — плотностью двойного слоя. Общая масса двойного

слоя равна нулю.

Итак, переходя к пределу, получим

11т(У+У') = ^(®, У, *) = / Ц^Щр-йа. ;(1.27)

Здесь через IV обозначен потенциал двойного слоя, а через п — внешняя

нормаль к поверхности а.

Формуле (1.27) можно придать другой вид. Поскольку г—расстояние

от текущей точки поверхности а с координатами т], ^ до точки Р с коорди-

натами х, у,

т,

и производная д (1 /г)/дп берется по направлению внешней нор-

мали в текущей точке слоя, то будем иметь

3(1 /г)

г/)_|_|1

С08

(

П)

л)].

-—соз(г, г) (1.28)

дп г2 дп

Но из (1.5) следует, что

дг дг

31; дх г

п аналогично по другим координатам. Поэтому

я) соз (п, х)

-{-

соз (г,

г/)

соз (п, у) +

+ сов(г, г)соз(п, 2)1 =

003 ге)

. (1.29)

Отсюда

IV (х, у, 2) = / ЭД V

008

я)

да. (1.30)

Наконец, для потенциала двойного слоя можно дать еще и третье выра-

жение. Подставим значение производной

^ •

из (1.29) в формулу (1.27)

IV (х, у, 2) = /^ — соз (г, ж) соз (и, + 1 Ц-^соз(г, у) соз (и, у)йа +

а о

+ /^^соз(г, 2)соз(п, 2)йа. (1-31)

Далее, используя соотношение (1.28), получим

3(1 /г) 13т- сов (г, г) 3(1 /г) соз (г, у)

3 (1//-) соз (/•, г)

(1.32)

32 7-2

После подстановки выражений (1.32) в формулу (1.31) будем иметь

соз (п, X) ^

Щх, у, =

- Ж / И ^Т

У)

(1-33)

о а

§ 3. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПОТЕНЦИАЛА.

УРОНЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ, СИЛОВЫЕ ЛИНИИ

В § 2 было дано математическое определение потенциала, как некоторой

функции координат притягиваемой точки Р. Однако потенциал имеет и вполне

определенный физический смысл.

Сначала определим физический смысл бесконечно малого приращения

потенциала, затем — конечного приращения и наконец — физический смысл

самого потенциала.

Рассмотрим, как изменится потенциал тела при перемещении единичной

массы из точки Р (х, у, г) в бесконечно близкую точку Р' (х йх, у-\-йу,

г + йг).

Расстояние РР' обозначим через йз. Потенциал при этом перемещении

получит некоторое приращенпе ДV. С точностью до малых величин высшего-

порядка можно приращение функции заменить ее дифференциалом д,У. Изве-

стно, что полный дифференциал функции вычисляется как

т/

дУ , , дУ , , дУ ,

аУ = ах 4-

-г—

ау + -5— аг.

дх

ду " Зг

Производная потенциала в направлении $ будет иметь вид

АУ дУ . . . дУ . . . дУ . .

/т

поскольку

Ах . , Ау , , Аг ,

— = соз(5, X), — = С08(в, у), — =соз($, г,.

В свою очередь

-^ = Г

=?соз(Р, X)

^-Ру = РсОВ(Р, у)

= Р

= Рсов{Р, г).

Поэтому

= Р [соз (Р, Х)С0ё(з,

ж)

+ С03 (Р, у)

СОЗ

(8, у)-г

СОВ

(Р, 2)

СОБ

(5, 2)] = Р

СОЗ

(Р, з)

ПЛИ

дУ = раз соз (Р, з) = Р

аз, (1.35)

где Р

— проекция силы ^ на направление 5.

Следовательно, бесконечно малое приращение потенциала равно произ-

ведению силы Р

(действующей в направлении з) на путь йз, т. е. работе, которая

производится действующей силой при бесконечно малом перемещении единич-

ной массы.

Полученная формула (1.35) позволяет получить силу, действующую в лю-

бом произвольном направлении з,

= (1.36)

Таким образом, если потенциал известен, то можно получить величину

составляющей силы в произвольном направлении 5.

Определим физический смысл приращения потенциала между точками Р

и Р

, находящимися на конечном расстоянии. Для этого выразим приращение

потенциала через работу, совершаемую силой притяжения при перемещении

единичной массы из положения Р

в положение Р. Обозначив эту работу че-

рез А, получим

Р о Т

где г — расстояние элементарной массы йт до точки Р, г

— расстояние эле-

ментарной массы йт до точки Р

Как видно из полученной формулы, работа, совершаемая силой притяже-

ния при перемещении единичной массы из одной точки в другую, не зависит

от пройденного пути, а только от значений потенциала в начальной и конечной

точках. Работа будет положительной при г <^г

и равна нулю по замкнутому

контуру (где точки Р и Р

сливаются).

При удалении точки Р

на бесконечно большое расстояние

-+оо, Нт V (Р

) =

О,

А = У(Р).

Следовательно, потенциал в данной точке Р численно равен работе, кото-

рую производят силы поля при перемещении единицы массы из бесконечности

в данную точку Р.

Таков физический смысл потенциала. Размерность потенциала совпадает

с размерностью работы.

Рассмотрим два частных случая формулы (1.35). Положим, что движение

единичной массы совершается под прямым углом к действующей силе, т. е.

угол (Р, з) = 90°. В этом случае

соз (Р, з) = 0, дУ = 0, или

У(х, у, л) = сопз1. (1.37)

Полученное выражение, устанавливающее функциональную зависимость

между координатами в пространстве, можно рассматривать как уравнение

некоторой поверхности, обладающей тем свойством, что во всякой ее точке

сила притяжения направлена по нормали к поверхности. Такая поверхность

получила название уровенной. Потенциал на уровенной поверхности всюду

сохраняет постоянное значение и работа при перемещении точечной массы

по этой поверхности равна нулю. Меняя значения постоянной в (1.37), будем

получать различные уровенные поверхности.

Уровенные поверхности не могут пересекаться или касаться друг друга,

ибо это означало бы, что потенциал — неоднозначная функция координат.

Рассмотрим теперь второй частный случай формулы (1.35). Положим, что

движение единичной массы совершается в направлении действующей силы,

т. е. (Р, з) = 0. Тогда соз (Р, з) = +1 и

(IV = Раз.

В данном случае величину

с1з

можно рассматривать как отрезок нормали

АН

между двумя бесконечно близкими уровенными поверхностями. Тогда

аУ = Рак. (1.38)

Из последнего равенства определяется полное значение действующей силы

АК

Если же перемещение единичной массы совершается в направлении, про-

тивоположном действию силы, то угол (Р, з) = 180°, соз (Р, з) = —1

Таким образом, чтобы получить полное значение действующей силы, надо

взять производную от потенциальной функции по нормали к уровенной поверх-

ности. Знак производной (+ или —) определяется в зависимости от того, по

направлению какой нормали — внешней или внутренней — берется произ-

водная. Обычно в теории потенциала рассматривается внешняя нормаль и по-

тому величина силы определяется формулой (1.39),

Определим отрезок нормали сМг между двумя бесконечно близкими уровен-

ными поверхностями. На основании (1.39) получим

= (1.40)

Отсюда заключаем, что расстояние по нормали между двумя бесконечно

близкими уровенными поверхностями не остается постоянным, оно обратно

пропорционально действующей силе.

Кривые, касательные к которым совпадают с направлением силы Р, назы-

ваются силовыми линиями. Они пересекают уровенные поверхности ортого-

нально. Для вычисления конечной величины отрезка силовой линии к, заклю-

ченного между двумя уровенными поверхностями V = С

и V = С

, пред-

ставим (1.39) в виде

и проинтегрируем вдоль данной силовой линии

С1 О

Обозначив среднее значение силы Р на отрезке силовой линии к через Р

тг

получим

6*2 С-1= Р

к,

откуда

(Ш)

Таким образом, зная разность потенциалов между двумя уровенными

поверхностями, можно определить отрезок силовой линии, заключенный между

этими поверхностями, т. е. высоту одной уровенной поверхности относительно

другой.

Формула (1.41) используется для вычисления высот.

§ 4. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛОВЫХ ПОЛЕЙ,

СОЗДАВАЕМЫХ ПРИТЯГИВАЮЩИМИ МАССАМИ

В данном параграфе будет рассмотрено несколько примеров определения

силовых полей, создаваемых притягивающими массами, имеющими сравни-

тельно простую форму. На основании разобранных примеров будут сделаны

некоторые выводы принципиального характера, как это будет доказано впо-

следствии, справедливые и в более общих случаях.

Мы уже видели, что задача определения силового поля сводится по суще-

ству к нахождению потенциальной функции, ибо зная потенциальную функцию

можно определить величину и направление силы в любой точке силового поля

и получить уравнения уровенных поверхностей.

При нахождении потенциальной функции большое значение имеет выбор

системы координат, при которой задача решалась бы наиболее просто. Если

функции выражаются линейными уравнениями, то в этом случае проще всего

воспользоваться прямоугольной системой координат, если же определяется

потенциальная функция тела, имеющего сферическую форму, то удобнее всего

воспользоваться сферической системой.

Итак, при нахождении потенциала прежде всего следует выбрать систему

координат, которыми будет определяться положение текущей точки. В этой

системе следует выразить величину г и элемент объема или поверхности в зави-

симости от того, какое распределение масс задано: объемное или поверхно-

стное. После этого надо определить пределы интегрирования, произвести раз-

деление переменных и после всего этого выполнить последовательное интегри-

рование по всем переменным.

Притяжение сферического слоя

Сначала рассмотрим частный случай простого слоя постоянной плот-

ности р, когда поверхность а является сферой. И уже на этом, самом простом

примере, убедимся, что потенциал силы притяжения нельзя выразить одной

аналитической функцией для всего пространства. Рассмотрим два случая:

1) притягиваемая точка находится во внешнем пространстве и 2) притягиваемая

точка находится внутри сферы.

1. Пусть начало координат О совпадает с центром сферы, радиус кото-

рой В — (рис. 6). Притягивающие массы распределены на поверхности сферы

в виде бесконечно тонкого одно-

Св,Л)

„ родного слоя плотности р, а при-

тягиваемая точка Р находится

во внешнем пространстве на рас-

стоянии р от центра сферы. Поло-

жение текущей точки М на по-

верхности сферы определим в си-

стеме сферических координат:

полярным расстоянием 0 и дол-

готой К. За направление поляр-

ной оси возьмем направление ОР,

а точки пересечения этой оси с по-

верхностью сферы будем прини-

мать за северный N и южный 8

полюсы сферы,

этом случае будет

Рис. 6

Потенциал притяжения в

где г — расстояние текущей точки М от притягиваемой точки Р. Определим

в сферической системе координат г и элемент поверхности йа.

Из треугольника ОМР видно, что

= Л

+ р

—2Дрсозе.

(1.42)

Для того, чтобы получить элемент поверхности на сфере а, проведем два

меридиана с долготами Я и X + дХ и две параллели, отстоящие от полюса N

на сферических расстояниях 0 и 0 + й0. Полученная в пересечении этих линий

элементарная трапеция и будет являться элементом поверхности д,а. Ее пло-

щадь с точностью до малых первого порядка может быть вычислена как произ-

ведение длины дуги меридиана Вйв на длину дуги параллели К 3111 0йа

йа = Я

зтОйОйА,.

(1.43)

Так как по условию задачи поверхностный слой — однородный, то р =

= сопз1. Подставляем (1.42) и (1.43) в формулу для потенциала простого слоя

и определяем пределы интегрирования

Л 2 Я

Д2

ще м ах

У Я2+р

—2/?

рСО8

(1.44)

Производим разделение переменных

Р Г «ц.

Л у Л2-;-р2__2Лрсо8 0 Л

' о

Выполняем интегрирование по X

V = 2я/р ^

Л2

1П0Й0

/Д2 + р2_2Д

РСО8

Для вычисления последнего интеграла целесообразно произвести замену

переменных, взяв вместо 0 величину г. Связь между этими переменными дается

уравнением (1.42). После дифференцирования этого уравнения по перемен-

ным 0 и г получим

Л2 81П0Й0 Н ,

/Т

•

— Лг.

(1.4э)

к Д2+Р

—2Лр СО3

0 Р

Используя это соотношение, найдем

шах

| ^ = 2л/рА

(

гаах

т!п)

. (1.46)

В случае, когда точка Р — внешняя, будем иметь

Гшах = Р+Я,

ГпНп = Р— К

и, следовательно, г

тзх

— г

т!п

= 2В, что легко проверить по рис. 6. Итак,

окончательно получим, что потенциал однородного сферического бесконечно

тонкого слоя на внешнюю точку Р имеет вид

4я/р-^1. (1.47)

Введем массу М сферического слоя. Так как поверхность сферы равна

АпВ

, то М = 4л;й

р и

7 = ^-. (1.48)

Сравнивая полученное выражение с выражением для потенциала мате-

риальной точки (1.15), делаем вывод, что однородный бесконечно тонкий сфе-

рический слой создает во внешнем пространстве такой же потенциал, как если

бы вся масса слоя была сосредоточена в его центре.

Определим теперь силу, с которой сферический слой будет притягивать

точечную массу т' = 1, помещенную в точке Р.

В данном случае направление, по которому действует сила притяжения,

известно, так как из соображений симметрии ясно, что сила притяжения, дей-

ствующая на единичную массу в точке Р, направлена к центру сферы, т. е.

противоположна направлению р. Поэтому

. е-*»

т. е. однородный бесконечно тонкий сферический слой притягивает внешнюю

точку так, как будто вся его масса сосредоточена в центре.

Определим, для сравнения, силу притяжения Р непосредственно, не при-

бегая к понятию потенциала. В этом случае следует воспользоваться формулой

(1.13), изменив в ней знак на обратный, так как в данном случае направление

силы противоположно направлению оси г.

Как видно из рис. 7,

СОЗ (г, 2)==

—

7? СОВ

9 _

р2

— Д2-|-,-2

2р г

Следовательно,

Р--

р2 —Д2

2р

-Д2+/-2

йа

/р

Рис. 7

Интегрирование здесь распространяется

на всю сферу и потому пределы интегриро-

вания такие же, как и в (1.44). Второй инте-

грал известен

Оа 4 л/? 2

И*'

Остается вычислить первый интеграл. Используя (1.45), легко получить

-В

4яД2

р-н

Р(

2-Д2) •

4л./?2

1 4яД2

Таким образом,

р2

Д2

2р '

р(р2-Д2) -I 2р р ^ " р*

Подставив в это выражение массу слоя М = 4я.й

р, получим

р 1

т. е. то же, что и в (1.49).

2. Если притягиваемую точку Р поместить внутри сферы, то, повторяя

те же самые рассуждения, убедимся в том, что и в этом случае формула (1.46)

остается справедливой. Только на этот раз, как можно установить графически,

''шах = ^ + р,

Гт\

= & —

1п

= 2р. Подставляя это значение (г

Гтт

)

формулу

и разность г

шах

(1.46), найдем, что потенциал однородного сферического бесконечно тонкого

слоя на внутреннюю точку Р будет

У = 4 я/рй.

(1.50)

Сравнивая формулы (1.47) и (1.50), убеждаемся, что потенциал слоя на

«чкп внешнего и внутреннего пространства выражается разными аналити-

ческими функциями. Введем в (1.50) массу слоя. Получим

У = Щ~- (1.51)

Формулы (1.50) и (1.51) показывают, что потенциал слоя на внутреннюю

-очку не зависит от положения притягиваемой точки внутри сферы и в этой

>:>ласти всюду сохраняет постоянное значение. Следовательно, сила притяже-

ния будет Р = — дУ/др = 0, т. е. однородный сферический бесконечно тонкий

:.юй внутренней точки не притягивает.

Подведем некоторые итоги. Во внешнем пространстве потенциал беско-

нечно тонкого однородного сферического

слоя представляется функцией

Д2 Щ**

У = 4я/р— при (р >.й),

а во внутреннем пространстве

У = 4п/цЛ при (р<Л).

На самой сфере (р = Я) ^

У = Ы!]хК. Рис. 8

Таким образом, потенциал на поверхности сферы определяется одно-

значно, а сама потенциальная функция меняется непрерывно при переходе

через поверхность сферы. Внутри сферы она сохраняет постоянное значение,

а во внешнем пространстве убывает обратно пропорционально р (рис. 8).

Первая производная потенциала для случая внешнего пространства выра-

жается функцией

4я/р— при (р>Д),

а для случая внутреннего пространства

^ = 0 ири (р<Д).

Рассмотрим поведение функции дУ/др в том случае, когда притягиваемая

точка Р неограниченно приближается к точке Р, расположенной на сфере,

оставаясь, однако, все время с внешней или внутренней стороны поверхности

сферы. Введем понятия так называемых предельных значений производных..

Под внешней предельной производной будем понимать выражение

Нт

Р-*Ро

а под внутренней

дУ дУ

,. дУ дУ

^Р

др др

Для бесконечно тонкого однородного сферического слоя

дУ

Эр

дУ1

29-