Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями
Подождите немного. Документ загружается.
221
),11( ...
!
)1( ... )1(
...
! 2
)1(
1)1(
2
<<−+
+−−
+
++
−
++=+
xx
n
nmmm
x
mm
mxx
n
m
(5)
),11( ......1
1
1
2
<<−+++++=
−
xxxx
x
n
(6)
).11( ...)1(...
32
)1ln(
1
32
≤<++−+−=+
−
x
n
xxx
xx
n
n
(7)
Ïîìèìî óêàçàííîãî ñïîñîáà, ìîæíî ïîëó÷èòü ðàçëîæåíèÿ
ôóíêöèé â ðÿä Òåéëîðà, èñõîäÿ èç èçâåñòíûõ ðàçëîæåíèé, íàïðè-
ìåð, ðàçëîæåíèé (2) (7). Ïðè ýòîì âîçìîæíî èñïîëüçîâàíèå ñëå-
äóþùèõ äåéñòâèé íàä ñòåïåííûìè ðÿäàìè âíóòðè èõ èíòåðâàëîâ
ñõîäèìîñòè:
1) äâà ñòåïåííûõ ðÿäà ìîæíî ïî÷ëåííî ñêëàäûâàòü è óìíî-
æàòü ïî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ;
2) ñòåïåííîé ðÿä ìîæíî ïî÷ëåííî óìíîæàòü íà îáùèé ìíî-
æèòåëü;
3) ñòåïåííîé ðÿä ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü è äèôôåðåí-
öèðîâàòü ëþáîå ÷èñëî ðàç.
Òàê êàê ñòåïåííîé ðÿä äëÿ ñâîåé ñóììû åñòü ðÿä Òåéëîðà, òî
ïîëó÷åííîå â ðåçóëüòàòå óêàçàííûõ äåéñòâèé ðàçëîæåíèå áóäåò
èñêîìûì.
Ïðèìåð 5.20. Ðàçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèþ f (x) = e
3x
.
Ðåøåíèå. Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ äàííîé ôóíêöèè è åå ïîñëåäîâà-
òåëüíûõ ïðîèçâîäíûõ ïðè õ = 0:
LLLLLLLLLLLL
LLLLLLLLLLLL
,3)0(,3)(
,3)0(
,3)0(
,3)0(
,1)0(
,3)(
,3)(
,3)(
,)(
)(3)(
3
2
33
32
3
3
nnxnn
x
x
x
x
f
ex
f
f
f
f
f
ex
f
ex
f
ex
f
ex
f
==
=
′′′
=
′′
=
′
=
=
′′′
=
′′
=
′
=
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ â îáùåå âûðàæåíèå ðÿäà
Òåéëîðà äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè, ïîëó÷èì
. ...
!
3
...
! 3
3
! 2
3
! 1
3
1
3
3
2
2
3
++++++=
n
n
x
õ
n
õõõe
222
Ýòî è åñòü ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè
f (x) = e
3x
. Ïîëó÷åííûé ðÿä ñõîäèòñÿ ê ïîðîäèâøåé åãî ôóíêöèè
f (x) = e
3x
ïðè ëþáîì çíà÷åíèè õ (ñì. çàäà÷ó 5.19).
Çàìåòèì, ÷òî òî æå ñàìîå ðàçëîæåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü èç ðÿäà
Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè e
3x
çàìåíîé õ íà 3õ.
Ïðèìåð 5.21. Ðàçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèþ f (x) = ln (1 2x).
Ðåøåíèå. Çàìåíÿÿ â ðàçëîæåíèè (7) õ íà 2õ, ïîëó÷èì:
, ...
)2(
)1(...
3
)2(
2
)2(
)2()21( ln
1
32
+
−
+−
−
+
−
−−=−
−
n
xxx
xx
n
n
èëè
. ...
2
...
3
2
2
2
2)21( ln
3
3
2
2
−−−−−=−
n
n
x
n
xxxx
Ðàçëîæåíèå (7) ñïðàâåäëèâî â èíòåðâàëå 1 < x ≤ 1, à èñêîìîå
ðàçëîæåíèå ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå çàìåíû õ íà 2õ; ñëåäîâàòåëü-
íî, äëÿ íàõîæäåíèÿ èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ïîëó÷åííîãî ðÿäà íóæ-
íî ðåøèòü íåðàâåíñòâî
1 < 2x ≤ 1,
îòêóäà
.
2
1
2
1
<≤− õ
Ïðèìåð 5.22. Ðàçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèþ f (x) = cos
2
x.
Ðåøåíèå. Ïî èçâåñòíîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìóëå èìååì:
.
2
2cos1
cos
2
x
x
+
=
Ðàçëîæèì â ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèþ cos 2x, çàìåíÿÿ â ðàçëîæåíèè (4)
õ íà 2õ:
, ...
! )2(
)2(
)1(...
! 4
)2(
! 2
)2(
12cos
42
+−+−+−=
n
xxx
x
n
n
èëè
. ...
! )2(
2
)1(...
! 4
2
! 2
2
12cos
2
2
4
4
2
2
+−+−+−=
n
n
n
x
n
xxx
(*)
223
Ðàçëîæåíèå (4) ñïðàâåäëèâî ïðè ëþáîì õ, ïîýòîìó ðÿä Òåéëîðà
äëÿ cos 2x ñõîäèòñÿ ê ïîðîäèâøåé åãî ôóíêöèè òàêæå íà âñåé ÷èñ-
ëîâîé îñè.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè
,2cos
2
1
x
óìíîæèì âñå ÷ëåíû ðÿäà (*) íà
2
1
:
. ...
! )2(
2
)1(...
! 4
2
! 2
2
2
1
2cos
2
1
2
12
4
3
2
+−+−+−=
−
n
n
n
x
n
xxx
Òîãäà
. ...
! )2(
2
)1(...
! 4
2
! 2
2
12cos
2
1
2
1
2
12
4
3
2
+−+−+−=+
−
n
n
n
x
n
xxx
Ýòî è åñòü ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè f (x) = cos
2
x.
Î÷åâèäíî, ÷òî îíî ñïðàâåäëèâî ïðè ëþáîì õ.
Ïðèìåð 5.23. Ïðèìåíÿÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå,
íàéòè ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà äëÿ äàííîé ôóíêöèè f (x) = arc tg x
è óêàçàòü èíòåðâàëû, â êîòîðûõ ýòè ðàçëîæåíèÿ èìåþò ìåñòî.
Ðåøåíèå. Çàïèøåì âûðàæåíèå äàííîé ôóíêöèè â âèäå èíòåã-
ðàëà:
.
1
tgarc
0
2
∫
+
=
x
t
dt
x
Ðàçëîæèì ïîäèíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ
2
1
1
)(
t
tf
+
=
â ðÿä Òåé-
ëîðà. Äëÿ ýòîãî â ðàçëîæåíèè (6) çàìåíèì õ íà t
2
:
. ...)1(...1
)(1
1
)(
2642
2
+−++−+−=
−−
=
nn
tttt
t
t
f
Î÷åâèäíî, ÷òî ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ â èíòåðâàëå (1; 1). Èíòåãðè-
ðóÿ ïî÷ëåííî ïîëó÷åííûé ðÿä â ïðåäåëàõ îò 0 äî õ (ãäå | x | < 1),
ïîëó÷àåì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (x) = arctg x â ðÿä Òåéëîðà:
. ...
12
)1(...
753
tg arc
12753
+
+
++−+−=
+
n
xxxx
xx
n
n
Ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ â òîì æå èíòåðâàëå (1; 1), ÷òî è èñõîäíûé
ðÿä.
224
5.7. Ïðèëîæåíèå ðÿäîâ
ê ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèÿì
Ïðèìåð 5.24. Âû÷èñëèòü sin 18°, îãðàíè÷èâàÿñü ïåðâûìè äâó-
ìÿ ÷ëåíàìè ðÿäà (3), è îöåíèòü ïîëó÷àþùóþñÿ ïðè ýòîì ïîãðåø-
íîñòü.
Ðåøåíèå. Òàê êàê ðàçëîæåíèå sin x â ðÿä Òåéëîðà ñïðàâåäëèâî
ïðè ëþáîì õ, òî, â ÷àñòíîñòè, ïðè
10
π
=x
èìååì
. ...
! 5
10
! 3
10
1010
sin
53
−
+
−=
ππ
ππ
Ïîëó÷åííûé ðÿä çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ. Îãðàíè÷èâàÿñü äâóìÿ
÷ëåíàìè ýòîãî ðÿäà, ò.å. ñ÷èòàÿ
1
0
sin
π
ðàâíûì èõ ñóììå, ìû òåì
ñàìûì äîïóñêàåì îøèáêó, íå ïðåâîñõîäÿùóþ ïåðâîãî îòáðàñû-
âàåìîãî ÷ëåíà
! 5
10
5
π
(ñì. 5.3). Òàê êàê
,0001,0
! 5
10
5
<
π
òî ñ òî÷íî-
ñòüþ äî 0,0001 ïîëó÷àåì
0,3091.
! 3
10
1010
sin
3
=
−≈
π
ππ
Ïðèìåð 5.25. Âû÷èñëèòü e
2
ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01.
Ðåøåíèå. Ïîëüçóÿñü ðàçëîæåíèåì (2), ïðè õ = 2 ïîëó÷èì
. ...
!
2
...
! 3
2
! 2
2
21
32
2
++++++=
n
e
n
Îñòàåòñÿ ðåøèòü âîïðîñ î òîì, ñêîëüêî ÷ëåíîâ äàííîãî ðÿäà
íàäî âçÿòü, ÷òîáû ïîëó÷èòü çíà÷åíèå å
2
ñ òðåáóåìîé òî÷íîñòüþ.
Ïóñòü èñêîìîå ÷èñëî ÷ëåíîâ ðàâíî k. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îøèáêà
225
∆S
k
, êîòîðóþ ìû äîïóñêàåì, çàìåíÿÿ ñóììó ðÿäà åãî k-é ÷àñòè÷-
íîé ñóììîé, ðàâíà ñóììå ÷ëåíîâ ðÿäà, íà÷èíàÿ ñ (k + 1)-ãî:
....
)3)(2(
2
2
2
1
! )1(
2
...
)3)(2( ! )1(
2
)2( ! )1(
2
! )1(
2
...
! )3(
2
! )2(
2
! )1(
2
21
321
321
+
++
+
+
+
+
=
=+
+++
+
++
+
+
=
=+
+
+
+
+
+
=∆
+
+++
+++
kkkk
kkkkkk
kkk
S
k
kkk
kkk
k
Åñëè â ýòîì ðÿäå çàìåíèòü êàæäîå èç ÷èñåë k + 2, k + 3,
÷èñëîì k + 1, òî çíàìåíàòåëè äðîáåé óìåíüøàòñÿ, à ñàìè äðîáè,
ñëåäîâàòåëüíî, óâåëè÷àòñÿ. Îòñþäà
....
)1(
2
1
2
1
! )1(
2
2
21
+
+
+
+
+
+
<∆
+
k
kk
S
k
k
Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â êâàäðàòíîé ñêîáêå, åñòü ñóììà ÷ëåíîâ áåñ-
êîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìåíàòåëåì
,
1
2
+
=
k
q
è ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíî
.
1
1
1
2
1
1
1
1
−
+
=
+
−
=
− k
k
k
q
Òàêèì îáðàçîì,
.
)1(!
2
1
1
! )1(
2
11
−
=
−
+
⋅
+
<∆
++
kkk
k
k
S
kk
k
Íî ñ äðóãîé ñòîðîíû, îøèáêà ∆S
k
íå äîëæíà ïðåâîñõîäèòü 0,01:
∆S
k
< 0,01. Ðåøàÿ ìåòîäîì ïîäáîðà íåðàâåíñòâî
01,0
)1(!
2
1
<
−
+
kk
k
èëè
,100
2
)1(!
1
>
−
+
k
kk
ïîëó÷èì k > 7.
Èòàê, äëÿ äîñòèæåíèÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòè íàäî âçÿòü 8 ÷ëå-
íîâ ðÿäà:
. 38,7
! 7
2
! 6
2
! 5
2
! 4
2
! 3
2
! 2
2
21
765432
2
≈+++++++≈e
226
Ïðèìåð 5.26. Âû÷èñëèòü
∫
1
0
sin
dx
x
x
c òî÷íîñòüþ äî 0,01.
Ðåøåíèå. Äàííûé îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ìîæíî âû÷èñëèòü
òîëüêî ïðèáëèæåííî. Äëÿ ýòîãî ðàçëîæèì ïîäèíòåãðàëüíóþ ôóí-
êöèþ â ðÿä Òåéëîðà:
. ...
! 7! 5! 3
1
sin
642
+−+−=
xxx
x
x
Îòñþäà
94,0
3 ! 3
1
1...
7 ! 7
1
5 ! 5
1
3 ! 3
1
1
...
7! 7
1
5
! 5
1
3! 3
1
...
! 7! 5! 3
1
sin
1
0
7
1
0
5
1
0
3
1
0
1
0
642
1
0
=−≈+−+−=
=+⋅−+⋅−=
=
+−+−=
∫∫
xxx
x
dx
xxx
dx
x
x
(çäåñü ìû îãðàíè÷èëèñü äâóìÿ ïåðâûìè ÷ëåíàìè ýòîãî çíàêî-
ïåðåìåííîãî ðÿäà, òàê êàê òðåòèé ÷ëåí
5 ! 5
1
ìåíüøå 0,01).
227
ÐÅØÅÍÈÅ ÒÈÏÎÂÛÕ ÇÀÄÀ× ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ
ÐÀÁÎÒÛ ÏÎ ÐÀÇÄÅËÀÌ 3, 4 È 5
4. ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÎÅ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ
4.1. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
4.1.1. Íàéòè èíòåãðàëû è â ïóíêòå à) ðåçóëüòàò ïðîâåðèòü
äèôôåðåíöèðîâàíèåì:
à)
.85
3
4
8
5
2
2
3
4824
824 8
2
4
5
2
5
2
5
3
5
3
3
3
2
2
5
3
2
Cxxx
Cx
xx
dxdxxdxx
dxdxxdxxdx
x
xJ
+++=
=+++⋅=++=
=++=
++=
∫∫∫
∫∫∫∫
−
−
Ðåçóëüòàò ïðîâåðÿåì äèôôåðåíöèðîâàíèåì:
. 8
2
4 018
5
2
53
3
4
85
3
4
85
3
4
5
3
2
1
5
2
2
5
2
3
5
2
3
dx
x
xdxxx
dxCxxxCxxxd
++=
+⋅+⋅⋅+⋅=
=
′
+++=
+++
−
Âåðíî.
á)
.
25
2
∫
−
=
xxx
dx
J
Ââåäåì ïîäñòàíîâêó
.
1
2
,
t
dt
t
dxx
−==
∫∫∫
−
−=
−
−=
−
⋅
−=
.25
25
1
2
5
22
2
t
dt
t
t
t
dt
t
t
t
tdt
J
228
Ïóñòü z = 5t 2, òîãäà dz = 5dt è
.
5
dz
dt
=
.
25
5
225
5
2
2
1
5
5
2
25
5
2
5
2
2
1
5
1
5
1
5
2
2
1
2
1
C
x
xx
C
x
x
C
x
Ct
CzC
z
dzz
z
dz
J
+
−
−=+
−
−=+−⋅−=+−−=
=+−=+−=−=−=
∫∫
−
â)
.)3(
22
dxexJ
x
−
∫
+=
Ïðèìåíÿåì ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì:
.
∫∫
−=
vduuvudv
Ïóñòü u = (x + 3)
2
, du = 2(x + 3)dx.
;
2
dxedv
x
−
=
.
2
1
)2(
2
1
22
xx
exdev
−−
−=−=
∫
.)3()3(
2
1
)3(2
2
1
2
1
)3(
222
222
dxexex
dxxeexJ
xx
xx
∫
∫
−−
−−
+++−=
=+
−−
−⋅+=
Åùå ðàç èíòåãðèðóåì ïî ÷àñòÿì: u = x + 3, du = dx.
,
2
1
;
22
xx
evdxedv
−−
−==
òîãäà
.
2
1
)3()3(
2
1
4
1
)3(
2
1
)3(
2
1
2
1
2
1
)3()3(
2
1
22
2222
2222
Cxxe
Ceexex
dxeexexJ
x
xxx
xxx
+
++++−=
=+−+−+−=
=
−−
−+++−=
−
−−−
−−−
∫
229
ã)
∫
+−
+
=
.
136
133
23
dxJ
xx
x
Ïîäèíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðàâèëüíóþ àë-
ãåáðàè÷åñêóþ äðîáü. Ðàñêëàäûâàåì çíàìåíàòåëü íà ïðîñòûå ìíî-
æèòåëè è äðîáü ïðåäñòàâëÿåì â âèäå ñóììû ýëåìåíòàðíûõ äðîáåé:
;
136)136(
133
22
+−
+
+=
+−
+
xx
CBx
x
A
xxx
x
3õ + 13 = À(x
2
6x + 13) + (Bx + C) · x.
Ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî ïðè ëþáîì õ. Ïóñòü
õ = 0 : 3 · 0 + 13 = À(0 6 · 0 + 13) + (B · 0 + C) · 0; 13 = 13À; À = 1.
õ = 1 : 3 + 13 = À(1 + 6 + 13) (B + C); 10 = 20À + Â Ñ;
10 = 20 + Â Ñ; Â Ñ = 10.
õ = 1 : 3 + 13 = À(1 6 + 13) + B + C; 16 = 8 · 1 + B + C; B + C = 8.
Èìååì ñèñòåìó:
=+
=
8
10
CB
CB
, èç êîòîðîé Â = 1; Ñ = 9.
Òîãäà
.
136
9
136
91
22
dx
xx
x
x
dx
dx
xx
x
x
J
∫∫∫
+−
−
−=
+−
+−
+=
Ðàññìîòðèì
.
136
9
2
1
dx
xx
x
J
∫
+−
−
=
Ïóñòü
)136(
2
2
1
+−= xxt
, îòñþäà dt = (x 3)dx.
Èìååì
.
2
3
arctg
2
1
6||ln
2
1
4)3(
6
2
136
6
136
)3(
136
6)3(
2
222
1
−
⋅−=
+−
−=
=
+−
−
+−
−
=
+−
−−
=
∫∫
∫∫∫
x
t
x
dx
t
dt
xx
dx
xx
dxx
dx
xx
x
J
Ïîäñòàâëÿåì â J:
.
2
3
arctg 3
2
136
ln
2
1
ln
2
3
arctg 3
2
136
ln
2
1
||ln
2
2
C
xxx
x
C
xxx
xJ
+
−
+
+−
−=
=+
−
−
+−
−=
230
ä)
∫
+
=
33sin
x
dx
J
.
Ïóñòü t = 3x,
,
3
1
tx =
,
3
1
dtdx =
òîãäà
.
3sin3
1
∫
+
=
t
dt
J
Ðàññìîòðèì
.
3sin
1
∫
+
=
t
dt
J
Ââåäåì ïîäñòàíîâêó:
,
2
tg
t
z
=
òîãäà
2
1
2
sin
z
z
t
+
=
è
.
1
2
2
z
dz
dt
+
=
Èìååì:
.
8
1
2
tg3
arctg
2
1
8
13
arctg
2
1
3
8
3
1
arctg
8
3
3
2
3
8
3
1
3
1
3
2
9
8
3
1
3
2
1
3
2
3
2
332
2
3
1
2
)1(
2
2
2
2
2
2
2
2
1
C
t
C
z
C
z
z
zd
z
dz
zz
dz
zz
dz
z
z
z
dz
J
+
+
=+
+
=
=+
+
⋅=
+
+
+
=
+
+
=
=
++
=
++
=
+
+
+
=
∫∫
∫∫∫
Îêîí÷àòåëüíî
.
8
1
2
3
tg3
arctg
23
1
33sin
C
x
x
dx
J +
+
=
+
=
∫
4.2. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû
4.2.1. Âû÷èñëèòü èíòåãðàëû èëè óñòàíîâèòü èõ ðàñõîäè-
ìîñòü:
à)
.
2
arctg
2
1 4
lim
2
arctg)2(
2
2
2
22
∫∫
+
=
+
=
∞→
∞
b
b
xx
dx
x
x
dx
J