203
ãäå À, B è C íåêîòîðûå êîýôôèöèåíòû, ïîäëåæàùèå îïðåäåëå-
íèþ. Äëÿ èõ îòûñêàíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ó* äîëæíî áûòü
ðåøåíèåì äàííîãî óðàâíåíèÿ. Íàéäåì y*′ è y*″:
;)224(
)22()2(
,)2()2()(
2
2
22
x
xx
xxx
eCBABxAxAx
eBAAxeCBBxAxAx
eCBBxAxAxeBAxeCBxAx
+++++=
=+++++++=
++++=++++=
∗
′′
∗
′
òåïåðü ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ äëÿ ó*, y*′ è y*″ â äàííîå óðàâíåíèå:
(Ax
2
+ 4Ax + Bx + 2A + 2B + C)e
x
+ 4(Ax
2
+ 2Ax + Bx + B + C)e
x
+
+3(Ax
2
+ Bx + C)e
x
= (8x
2
+ 84x)e
x
.
Ñîêðàùàÿ îáå ÷àñòè ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà íà e
x
è ãðóïïèðóÿ
÷ëåíû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ õ, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
Ax
2
+ (12À + 8Â)x + (2À + 6Â +8Ñ) = 8x
2
+ 84x.
Ýòî ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî òîëüêî â òîì ñëó-
÷àå, êîãäà êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ õ â îáåèõ ÷àñ-
òÿõ ðàâåíñòâà ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
Èòàê, èìååì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îòûñêàíèÿ
êîýôôèöèåíòîâ À, Â è Ñ:
=++
=+
=
.0862
,84812
,88
CBA
BA
A
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó, íàéäåì À = 1, Â = 9, Ñ = 7. Òàêèì îáðà-
çîì, ïîëó÷àåì èñêîìîå ÷àñòíîå ðåøåíèå
ó* = (õ
2
+ 9x 7)e
x
.
Òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü îáùåå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ
.)79(
2
2
3
1
xxx
exxeCeC
−+++=+=
−−∗
Ïðèìåð 4.22. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
y″ + 6y′ + 9y = 14e
3x
.
Ðåøåíèå. 1. Íàéäåì
y
.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå r
2
+ 6r + 9 = 0, èìååì êîðíè
r
1
= r
2
= 3. Ñëåäîâàòåëüíî,
.)(
3
21
x
exCCy
−
+=