Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями

Подождите немного. Документ загружается.

Ïðîèçâîäíàÿ è äèôôåðåíöèàë. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé

25. Çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîíÿòèþ ïðîèçâîäíîé. Îïðåäåëå-

íèå ïðîèçâîäíîé; åå ãåîìåòðè÷åñêèé è ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë; óðàâ-

íåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè.

26. Îñíîâíûå ïðàâèëà íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíûõ.

27. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè; åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Ëèíå-

àðèçàöèÿ ôóíêöèè. Äèôôåðåíöèàë ñëîæíîé ôóíêöèè.

28. Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ.

29. Ôóíêöèè, çàäàííûå ïàðàìåòðè÷åñêè; èõ äèôôåðåíöèðîâàíèå.

30. Òåîðåìû Ðîëëÿ è Ëàãðàíæà.

31. Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ.

32. Ôîðìóëà Òåéëîðà.

33. Âîçðàñòàíèå è óáûâàíèå ôóíêöèé; íåîáõîäèìûå è äîñòà-

òî÷íûå óñëîâèÿ.

34. Ýêñòðåìóì ôóíêöèè. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå, äîñòàòî÷íûå

óñëîâèÿ. Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà çàìê-

íóòîì èíòåðâàëå.

35. Âûïóêëîñòü è âîãíóòîñòü ãðàôèêà ôóíêöèè; òî÷êè ïåðåãèáà.

36. Àñèìïòîòû ãðàôèêîâ ôóíêöèé: âåðòèêàëüíûå, ãîðèçîí-

òàëüíûå è íàêëîííûå.

Ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ

37. Ôóíêöèè äâóõ è òðåõ ïåðåìåííûõ êàê ôóíêöèè òî÷êè. Ãåî-

ìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ

ïîâåðõíîñòåé è ëèíèé óðîâíÿ.

38. Ïðåäåë ôóíêöèé òî÷êè. Íåïðåðûâíîñòü â òî÷êå è â îáëàñòè.

×àñòíûå ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ; ãåîìåò-

ðè÷åñêèé ñìûñë ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ.

39. Ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ è ãðàäèåíò ôóíêöèè; îñíîâ-

íûå ñâîéñòâà ãðàäèåíòà.

40. Ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ;

äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ åãî ñóùåñòâîâàíèÿ. Ïîíÿòèå î ÷àñòíûõ

ïðîèçâîäíûõ âûñøèõ ïîðÿäêîâ.

41. Ýêñòðåìóì ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Íåîáõîäèìûå

óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíê-

öèè â îãðàíè÷åííîé çàìêíóòîé îáëàñòè.

42. Óñëîâíûé ýêñòðåìóì; íåîáõîäèìîå óñëîâèå. Ìåòîä ìíî-

æèòåëåé Ëàãðàíæà.

Ðàçäåë III. ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÎÅ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ

Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

43. Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèÿ è íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Îñ-

íîâíûå ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Òàáëèöà îñíîâíûõ

èíòåãðàëîâ.

44. Íåïîñðåäñòâåííîå èíòåãðèðîâàíèå. Èíòåãðèðîâàíèå çàìå-

íîé ïåðåìåííîãî. Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Ïðîñòåéøèå òèïû

èíòåãðàëîâ. Èñïîëüçîâàíèå òàáëèö íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ.

Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

45. Çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîíÿòèþ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.

Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè êàê ïðåäåë èí-

òåãðàëüíîé ñóììû; ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû î åãî ñóùåñòâîâàíèè.

Îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà; òåîðåìà î ñðåäíåì.

Ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè.

46. Ïðîèçâîäíàÿ îò îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ïî âåðõíåìó ïðå-

äåëó. Ôîðìóëà Íüþòîíà  Ëåéáíèöà. Ñâÿçü ìåæäó îïðåäåëåí-

íûì è íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëàìè.

47. Ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà; èíòåãðèðî-

âàíèå çàìåíîé ïåðåìåííîãî è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì.

48. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ñ áåñêîíå÷íûìè ïðåäåëàìè.

Ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

49. Âû÷èñëåíèå ïëîùàäåé â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ. Îïðå-

äåëåíèå è âû÷èñëåíèå îáúåìà òåëà ïî ïëîùàäÿì ïàðàëëåëüíûõ

ñå÷åíèé; îáúåì òåëà âðàùåíèÿ.

50. Îïðåäåëåíèå è âû÷èñëåíèå äëèíû äóãè ïëîñêîé êðèâîé.

Äâîéíûå èíòåãðàëû

51. Çàäà÷è ãåîìåòðè÷åñêîãî è ôèçè÷åñêîãî õàðàêòåðà, ïðèâî-

äÿùèå ê ïîíÿòèþ äâîéíîãî èíòåãðàëà. Äâîéíîé èíòåãðàë; ôîðìó-

ëèðîâêà òåîðåìû î åãî ñóùåñòâîâàíèè.

52. Âûðàæåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà â äåêàðòîâûõ è ïîëÿðíûõ

êîîðäèíàòàõ ÷åðåç ïîâòîðíûé èíòåãðàë.

53. Ïðèìåíåíèå äâîéíûõ èíòåãðàëîâ ê ãåîìåòðè÷åñêèì è ôè-

çè÷åñêèì çàäà÷àì. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà Ïóàññîíà

dxe

∫

∞

−

Ðàçäåë IV. ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Îáùèå ïîíÿòèÿ.

Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà

54. Çàäà÷è ãåîìåòðè÷åñêîãî è ôèçè÷åñêîãî õàðàêòåðà, ïðèâî-

äÿùèå ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Äèôôåðåíöèàëüíûå

óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè; ÷àñòíîå è îáùåå ðåøå-

íèÿ.

55. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåí-

íûìè. Îäíîðîäíûå è ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà.

Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà

56. Èíòåãðèðîâàíèå íåêîòîðûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà

ïóòåì ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà óðàâíåíèÿ.

57. Îáùèå ñâåäåíèÿ î ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-

íèÿõ âòîðîãî ïîðÿäêà. Ñòðóêòóðà îáùåãî ðåøåíèÿ.

58. Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà

ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå.

Îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâ-

íåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Îòûñêàíèå ÷àñòíîãî ðå-

øåíèÿ íåîäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ìåòîäîì íåîïðåäåëåí-

íûõ êîýôôèöèåíòîâ.

Ðàçäåë V. ÐßÄÛ

×èñëîâûå ðÿäû

59. ×èñëîâûå ðÿäû. Ñõîäèìîñòü è ðàñõîäèìîñòü. Íåîáõîäè-

ìûå óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè; îñíîâíûå ñâîéñòâà.

60. Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè è ðàñõîäèìîñòè ðÿäîâ

ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Ïðèçíàê Äàëàìáåðà. Îöåíêà îñòàò-

êà ðÿäà.

61. Ïðèçíàê Ëåéáíèöà î ñõîäèìîñòè çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ;

îöåíêà îñòàòêà ðÿäà.

62. Àáñîëþòíàÿ è íåàáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòè ðÿäîâ. Ñâîéñòâà

àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ.

Ñòåïåííûå ðÿäû

63. Ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä; îáëàñòü åãî ñõîäèìîñòè. Ñòåïåííîé

ðÿä. Òåîðåìà Àáåëÿ. Èíòåðâàë ñõîäèìîñòè; ðàäèóñ ñõîäèìîñòè.

64. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â ñòåïåííîé ðÿä. Äîñòàòî÷íûå óñëî-

âèÿ ðàçëîæèìîñòè ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà. Ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåé-

ëîðà (Ìàêëîðåíà) ôóíêöèé: å

, cos x, sin x, ln(1 + x), (1 + x)

65. Èíòåãðèðîâàíèå è äèôôåðåíöèðîâàíèå ñòåïåííûõ ðÿäîâ.

Â ó÷åáíîì ïîñîáèè áóäóò òàêæå ïðèâåäåíû íåêîòîðûå ñïåöè-

àëüíûå ðàçäåëû «Âûñøåé ìàòåìàòèêè».

Ðàçäåë VI. ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ

È ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ

66. Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ. Ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü. Àëãåáðà ñî-

áûòèé. Êëàññè÷åñêîå è ñòàòèñòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè.

Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü. Çàâèñèìûå è íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ. Òåî-

ðåìû ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ôîðìóëà ïîëíîé âå-

ðîÿòíîñòè.

67. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ðàñïðåäåëå-

íèå Ïóàññîíà. Ïðîñòåéøèé ïîòîê ñîáûòèé. ×èñëîâûå õàðàêòåðè-

ñòèêè. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè äèñêðåòíûõ è íåïðåðûâíûõ ñëó-

÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Íîðìàëüíîå ðàñ-

ïðåäåëåíèå. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë.

68. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ âûáîðêè. Ñïëîøíîå è âûáîðî÷-

íîå íàáëþäåíèÿ. Ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè. Òðåáîâàíèÿ, ïðåäúÿâ-

ëÿåìûå ê ñòàòèñòè÷åñêèì îöåíêàì. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ñòàòèñòè-

÷åñêèõ îöåíîê. Îöåíêà äîëè ïðèçíàêà. Òî÷å÷íûå îöåíêè äëÿ ñðåä-

íåé è äèñïåðñèè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Èíòåðâàëüíûå îöåíêè

ñðåäíåé è äèñïåðñèè íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ãåíåðàëüíîé ñî-

âîêóïíîñòè.

69. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ïðîâåðêà ãèïîòåç. Êðèòåðèé ïðîâåðêè. Êðè-

òè÷åñêàÿ îáëàñòü. Îáùàÿ ñõåìà ïðîâåðêè ãèïîòåçû. Ïðîâåðêà ãè-

ïîòåç îòíîñèòåëüíî ñðåäíåé. Ñðàâíåíèå äèñïåðñèé äâóõ ñîâîêóï-

íîñòåé. Ñðàâíåíèå äâóõ çàâèñèìûõ âûáîðîê. Êðèòåðèé ñîãëàñèÿ.

70. Ýëåìåíòû òåîðèè êîððåëÿöèè. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Îòûñ-

êàíèå ïàðàìåòðîâ âûáîðî÷íîãî óðàâíåíèÿ ïðÿìîé ëèíèè ðåãðåñ-

ñèè ïî íåñãðóïïèðîâàííûì è ïî ñãðóïïèðîâàííûì äàííûì. Êî-

ýôôèöèåíò êîððåëÿöèè è åãî ñâîéñòâà.

Ðàçäåë VII. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÐÎÃÐÀÌÌÈÐÎÂÀÍÈÅ

71. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ýêîíîìèêå. Ýêîíîìè÷åñêèå ïðè-

ìåðû. Îáùàÿ çàäà÷à ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (ñ îãðàíè÷å-

íèÿìè â ôîðìå óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ). Ïîíÿòèå ïëàíà, îïòè-

ìàëüíîãî ïëàíà.

72. Îñíîâíàÿ çàäà÷à ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (ñ îãðàíè-

÷åíèÿìè â ôîðìå óðàâíåíèé) è åå ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ.

Âûïóêëîñòü ìíîæåñòâà ïëàíîâ. Ïîíÿòèå îïîðíîãî ïëàíà (áàçèñ-

íîãî ðåøåíèÿ). Ýêñòðåìàëüíàÿ òî÷êà â ìíîæåñòâå ïëàíîâ.

73. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíîãî îïîð-

íîãî ïëàíà (òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ).

Áàçèñíûé ïëàí. Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî óëó÷øåíèÿ áàçèñ-

íîãî ïëàíà (ñèìïëåêñ-ìåòîä). Íåêîòîðûå âàðèàíòû ñèìïëåêñ-

ìåòîäà

74. Äâîéñòâåííûå çàäà÷è. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó çíà÷åíèÿìè

öåëåâûõ ôóíêöèé äâîéñòâåííûõ çàäà÷ (îñíîâíîå íåðàâåíñòâî äâîé-

ñòâåííîñòè). Òåîðåìû äâîéñòâåííîñòè è êðèòåðèè îïòèìàëüíîñ-

òè ïëàíîâ äâîéñòâåííûõ çàäà÷.

Ýêîíîìè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ äâîéñòâåííûõ çàäà÷. Êðèòå-

ðèé Êàíòîðîâè÷à îïòèìàëüíîñòè ïëàíà çàäà÷è èñïîëüçîâàíèÿ

ðåñóðñîâ.

75. Ïðîñòåéøèå ëèíåéíûå çàäà÷è ýêîíîìèêè: îñíîâíàÿ çàäà-

÷à òåêóùåãî ïðîèçâîäñòâåííîãî ïëàíèðîâàíèÿ; çàäà÷à î êîìïëåê-

ñíîì âûïóñêå ïðîäóêöèè; çàäà÷à î ðàñïðåäåëåíèè ïðîãðàììû

è ñïåöèàëüíûé ìåòîä åå ðåøåíèé (ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ìíî-

æèòåëåé).

76. Òðàíñïîðòíàÿ çàäà÷à â ìàòðè÷íîé è ñåòåâîé ïîñòàíîâêå.

Ìåòîä ïîòåíöèàëîâ.

77. Ïîíÿòèå î ðàñïðåäåëèòåëüíîé çàäà÷å.

78. Öåëî÷èñëåííîå ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå.

79. Ýëåìåíòû òåîðèè ìàòðè÷íûõ èãð.

80. Ïîíÿòèå î ãðàôàõ è ñåòåâîì ïëàíèðîâàíèè.

81. Ïîíÿòèå î âûïóêëîì ïðîãðàììèðîâàíèè.

82. Âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììè-

ðîâàíèÿ.

83. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.

Ðàçäåë 1

ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß.

ÂÅÊÒÎÐÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.

ÝËÅÌÅÍÒÛ ËÈÍÅÉÍÎÉ ÀËÃÅÁÐÛ

1.1. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà

Ðàññìîòðèì ðåøåíèå ñèñòåìû n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèç-

âåñòíûìè.

Ïîñòàíîâêà çàäà÷è: äàíà ñèñòåìà n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n

íåèçâåñòíûìè:











=+++

....

.............................................

,...

2211

22222121

11212111

nnnnnn

bxaxaxa

(1.1)

Òðåáóåòñÿ íàéòè ñîâîêóïíîñòü n çíà÷åíèé

) ...,, ,(

xxx

òà-

êèõ, êîòîðûå áû îòîæäåñòâëÿëè îäíîâðåìåííî âñå óðàâíåíèÿ ñèñòå-

ìû. Òàêàÿ ñîâîêóïíîñòü çíà÷åíèé íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû.

Ðàññìîòðèì ðåøåíèå ñèñòåìû (1.1) òðåìÿ ñïîñîáàìè: ìàòðè÷-

íûì ñïîñîáîì, ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà è ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ íå-

èçâåñòíûõ  ìåòîäîì Ãàóññà.

1.1.1. Ìàòðè÷íûé ñïîñîá

Îïðåäåëåíèå. Ìàòðèöåé âèäà m · n íàçûâàåòñÿ òàáëèöà âèäà













2 1

2 22 21

1 12 11

mnmm

aaa

LLLL

. (1.2)

×èñëà a

(i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n), îáðàçóþùèå ìàòðèöó,

íàçûâàþòñÿ åå ýëåìåíòàìè.

Îáîçíàþòñÿ ìàòðèöû áóêâàìè À, Â, Ñ,  èëè (a

), (b

), (c

),  .

Ìàòðèöû âèäà n · n (÷èñëî ñòðîê ðàâíî ÷èñëó ñòîëáöîâ) íàçû-

âàþòñÿ êâàäðàòíûìè n-ãî ïîðÿäêà. Â ÷àñòíîñòè, êâàäðàòíàÿ ìàò-

ðèöà n-ãî ïîðÿäêà âèäà













100

010

001

LLLL

íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íîé è îáîçíà÷àåòñÿ áóêâîé Å. Äëÿ íåå a

= 0,

åñëè i ≠ j, è a

= 1, åñëè i = j.

Ìàòðèöû âèäà:

(à

, à

, , à

)

íàçûâàþòñÿ ìàòðèöàìè-ñòðîêàìè, à ìàòðèöû âèäà:













 ìàòðèöàìè-ñòîëáöàìè.

Îïðåäåëåíèå. Ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèöû (1.2) íà ÷èñëî

íàçû-

âàåòñÿ ìàòðèöà (

×òîáû óìíîæèòü ìàòðèöó íà ÷èñëî

, íàäî óìíîæèòü êàæäûé

åå ýëåìåíò íà ýòî ÷èñëî.

Íàèáîëåå âàæíûì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.

Îïðåäåëåíèå. Ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèöû À (1.2) íà ìàòðèöó













2 1

2 22 21

1 12 11

npnn

bbb

LLLL

íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà

......,,...

......................................................................................................

......,,...

22111212111

22221211221221121

12121111121121111













++++++

npmnpmpmnmnmm

npnppnn

bàbàbàbàbàbà

Íàïðèìåð,

3312

536

)1()3(301)3()2(04)3(10

)1(13211)2(24112

11 4

3 21

1 2













−−

−













−⋅−+⋅⋅−+−⋅⋅−+⋅

−⋅+⋅⋅+−⋅+⋅













−













−

Ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö èìååò ñìûñë òîëüêî òîãäà, êîãäà ÷èñëî

ñòîëáöîâ ïåðâîé ìàòðèöû ðàâíî ÷èñëó ñòðîê âòîðîé ìàòðèöû.

Ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö íå êîììóòàòèâíî, ò.å. AB ≠ BA.

Îïðåäåëåíèå. Åñëè â ìàòðèöå À ïåðåñòàâèòü ìåñòàìè ñòðîêè è

ñòîëáöû: 1-é ñòîëáåö çàìåíèòü 1-é ñòðîêîé, 2-é ñòîëáåö  2-é ñòðî-

êîé è ò.ä., òî ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ òðàíñ-

ïîíèðîâàííîé ïî îòíîøåíèþ ê ìàòðèöå À è îáîçíà÷àåòñÿ À

Íàïðèìåð, åñëè

30 1

015

12 3













−=A

òî

30 1

012

15 3













−=A

Îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëèòåëåì êâàäðàòíîé ìàòðèöû (a

) n-ãî

ïîðÿäêà, êîòîðûé îáîçíà÷àåòñÿ |a

|, det A èëè ∆ íàçûâàåòñÿ ÷èñ-

ëî, âû÷èñëÿåìîå ïî ôîðìóëå

∑

−=

MaA

)1(det

(1.3)

èëè

,)1(det

∑

−=

MaA

(1.4)

ãäå M

 îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû (n  1)-ãî ïîðÿäêà, ïîëó÷àåìîé

èç ìàòðèöû À âû÷åðêèâàíèåì i-îé ñòðîêè è j-ãî ñòîëáöà:













+−

+++−+++

−+−−−−−

+−

nnnjnjnn

nijijiii

njj

nijij

aaaaa

LLLLLLL

1121

111111211

212122221

1111211

. (1.5)

Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû n-ãî ïî-

ðÿäêà ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ îïðåäåëèòåëåé ìàòðèö (n  1)-ãî

ïîðÿäêà, êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, âûðàæàþòñÿ ÷åðåç îïðåäåëèòå-

ëè ìàòðèö (n  2)-ãî ïîðÿäêà è ò.ä., äî îïðåäåëèòåëåé ìàòðèö 2-ãî

ïîðÿäêà, êîòîðûå âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå

21122211

2221

1211

aaaa

−=

Íàïðèìåð, äëÿ ìàòðèö 3-ãî ïîðÿäêà ôîðìóëà (1.3) ïðè i = 1

ïðèíèìàåò âèä

3231

2221

3331

2321

3332

2322

333231

232221

131211

aaa

⋅+⋅−⋅=

ïî êîòîðîé è âû÷èñëÿþò îïðåäåëèòåëè ìàòðèö 3-ãî ïîðÿäêà. Ìîæ-

íî êîíå÷íî ïîëüçîâàòüñÿ è äðóãèìè ôîðìóëàìè, ïîëó÷àþùèìèñÿ

èç (1.3) ïðè i = 2, 3 èëè (1.4), íî îêîí÷àòåëüíûé îòâåò áóäåò îäèí è

òîò æå.

Îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû (1.5), îáîçíà÷àåìûé Ì

íàçûâàåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì ìèíîðîì ýëåìåíòà à

(ñòîÿùåãî â

ïåðåñå÷åíèè âû÷åðêèâàåìîé ñòðîêè è ñòîëáöà), à ÷èñëî (1)

i+j

íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà à

è îáîçíà÷à-

åòñÿ À

, ò.å.

= (1)

i + j

· M

. (1.6)

Ôîðìóëà (1.3) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòå-

ëÿ ïî i-îé ñòðîêå, à ôîðìóëà (1.4)  ðàçëîæåíèåì ïî j-îìó ñòîëá-

öó. Ó÷èòûâàÿ (1.6), ôîðìóëû (1.3, 1.4) äëÿ êðàòêîñòè çàïèñûâàþò

â âèäå

∑

ijij

AaA

det

èëè

.det

∑

ijij

AaA

Ïðèìåð 1.1. Âû÷èñëèòü

121

223

112

−

Ðåøåíèå:

.58112)26(1)23(1)42(2

)1(

121

223

112

=−+=−−⋅+−⋅++⋅=

−

⋅+⋅−−

−

⋅=

−

Ðàññìîòðèì ïîíÿòèå îáðàòíîé ìàòðèöû.

Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü äàíà ìàòðèöà À n-ãî ïîðÿäêà. Åñëè åå ïðî-

èçâåäåíèå íà íåêîòîðóþ ìàòðèöó B n-ãî ïîðÿäêà ðàâíî åäèíè÷-

íîé ìàòðèöå Å, ò.å. À · B = E èëè B · A = E, òî ìàòðèöó Â íàçûâàþò

îáðàòíîé ê ìàòðèöå À è îáîçíà÷àþò À

1

Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè À · À

1

= Å, òî À

1

· À = Å, ò.å. âçà-

èìíî îáðàòíûå ìàòðèöû ïåðåñòàíîâî÷íû.

Òåîðåìà 1. Êàæäàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà À, îïðåäåëèòåëü êî-

òîðîé ∆ ≠ 0, èìååò åäèíñòâåííóþ îáðàòíóþ ìàòðèöó À

1

= B, ýëå-

ìåíòû êîòîðîé b

íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå

∆

Èç òåîðåìû âûòåêàåò ïðàâèëî: ÷òîáû íàéòè îáðàòíóþ ìàòðè-

öó ê ìàòðèöå (1.2), ãäå m = n, íàäî ñäåëàòü ñëåäóþùèå ïðåîáðàçî-

âàíèÿ:

1. Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü ∆ ìàòðèöû À (∆ ≠ 0).

2. Êàæäûé ýëåìåíò ìàòðèöû À çàìåíèòü åãî àëãåáðàè÷åñêèì

äîïîëíåíèåì, ò.å. ñîñòàâèòü ìàòðèöó (À

3. Òðàíñïîíèðîâàòü ìàòðèöó (À

), ò.å. çàïèñàòü ìàòðèöó (À

4. Ìàòðèöó (À

) óìíîæèòü íà

∆

Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ìàòðèöó À

1