Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями
Подождите немного. Документ загружается.
71
Òîãäà óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ ïðÿìóþ
è ïåðïåíäèêóëÿðíîé äàííîé ïëîñêîñòè, áóäåò:
(3 + 1)x (2 + 4 ·1)y (1 + 3 · 1)z + (4 2 · 1) = 0 èëè
2x 3y 2z + 1 = 0.
Ïðîåêöèÿ äàííîé ïðÿìîé íà äàííóþ ïëîñêîñòü îïðåäåëÿåòñÿ
êàê ïðÿìàÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé:
.07225
,01232
=−++
=+−
zyx
zyx
Çàïèøåì ýòó ïðÿìóþ â êàíîíè÷åñêîì âèäå. Íàéäåì íà ïðÿìîé
êàêóþ-ëèáî òî÷êó. Äëÿ ýòîãî ïîëîæèì, íàïðèìåð õ
0
= 1, è ñèñòå-
ìà çàïèøåòñÿ â âèäå:
=+
=+
.1
,323
00
00
zy
zy
Îòñþäà, ó
0
= 1, z
0
= 0, ò.å. òî÷êà Ì(1; 1; 0) ïðèíàäëåæèò èñêî-
ìîé ïðÿìîé.
Íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé
) ; ;( nmlS =
íàéäåì èç òîãî
óñëîâèÿ, ÷òî îí ïåðïåíäèêóëÿðåí íîðìàëüíûì âåêòîðàì
)2 ;3 ;2(
1
−−=N
è
)2 ;2 ;5(
2
=N
ïëîñêîñòåé, îïðåäåëÿþùèõ èñêîìóþ
ïðÿìóþ.
 êà÷åñòâå
S
áåðåì âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ
1
N
è
2
N
, ò.å.
).19 ;14 ;2(19142
225
232
21
−−=+−−=−=×= kji
kji
NNS
Òîãäà èñêîìîå óðàâíåíèå â êàíîíè÷åñêîì âèäå áóäåò:
.
1914
1
2
1 zyx
=
−
−
=
−
−
72
Ðàçäåë 2
ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÅ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ
2.1. Ôóíêöèè, ïðåäåë, íåïðåðûâíîñòü
Îäíèì èç îñíîâíûõ ïîíÿòèé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ÿâëÿ-
åòñÿ ïîíÿòèå ïðåäåëà ôóíêöèè.
Îïðåäåëåíèå. ×èñëî À íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f(x)
ïðè x → a, åñëè äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ñêîëü óãîäíî ìàëîãî
÷èñëà
ε
ñóùåñòâóåò
δ
(
ε
) > 0 òàêîå, ÷òî ïðè 0 < | x a | <
δ
(
ε
)
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | f(x) A | <
ε
.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò
Axf
ax
=
→
)(lim
.
Ïðè âû÷èñëåíèè ïðåäåëîâ ôóíêöèé èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå
ñâîéñòâà ïðåäåëîâ:
1.
cc
ax
=
→
lim
, ãäå c const,
2.
.lim ax
ax
=
→
3.
.)(lim)(lim
xfcxcf
axax
→→
=
4. Åñëè
)(lim xf
ax
→
è
)(lim x
ax
ϕ
→
ñóùåñòâóþò, òî
à)
,)(lim)(lim)]()([lim
xxfxxf
axaxax
ϕϕ
→→→
±=±
á)
,)(lim)(lim)()(lim xxfxxf
axaxax
ϕϕ
→→→
⋅=⋅
â)
,
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
x
xf
x
xf
ax
ax
ax
ϕϕ
→
→
→
=
åñëè
,0)(lim ≠
→
x
ax
ϕ
ã)
.)(lim)]([lim
)(lim
)(
x
ax
x
ax
ax
x
f
x
f
ϕ
ϕ
→
=
→→
73
Äëÿ âñåõ îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ëþáîé òî÷êå èõ
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî:
),(lim)(lim afxfxf
axax
=
=
→→
òî åñòü ïðåäåë ôóíêöèè íàõîäÿò íåïîñðåäñòâåííûé ïîäñòàíîâêîé
ïðåäåëüíîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà.
Ïðèìåð 2.1.
.011413)143(lim
22
1
=+⋅−⋅=+−
→
xx
x
Îäíàêî ÷àñòî ïðåæäå, ÷åì ïåðåéòè ê ïðåäåëó, ïðèõîäèòñÿ ïðî-
âîäèòü òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äàííîãî âûðàæåíèÿ.
Ïðèìåð 2.2. Íàéòè
.
3
9
lim
2
3
−
−
→
x
x
x
Çäåñü ïðåäåë çíàìåíàòåëÿ ðàâåí íóëþ:
.0333limlim)3(lim
333
=−=−=−
→→→
xxx
xx
Ñëåäîâàòåëüíî, òåîðåìó î ïðåäåëå ÷àñòíîãî ïðèìåíèòü íåëüçÿ.
Íî âáëèçè îò òî÷êè x
0
= 3 èìååì x
3 ≠ 0 (ïðè x ≠ 3), è ïîýòîìó
äðîáü ìîæíî ñîêðàòèòü íà x 3, ò.å.
.3
3
9
2
+=
−
−
x
x
x
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ x ≠ 3.
Çíà÷èò è
).3(lim
3
9
lim
3
2
3
+=
−
−
→→
x
x
x
xx
Íî òåïåðü ìîæíî ïðèìåíèòü òåîðåìó î ïðåäåëå ñóììû, ò.å.
îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
.6333limlim)3(lim
3
9
lim
333
2
3
=+=+=+=
−
−
→→→→
xxxx
xx
x
x
Ñîîáðàæåíèÿ î âîçìîæíîñòè òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé
ïîä çíàêîì ïðåäåëà ïðèìåíèìû íå òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà àð-
ãóìåíò ñòðåìèòñÿ ê êîíå÷íîìó ïðåäåëó x
0
, íî è ïðè x → ∞.
74
Ïðèìåð 2.3. Íàéòè
.
1
2
lim
3
3
−
+
∞→
x
xx
x
 ýòîì ñëó÷àå íè ÷èñëèòåëü, íè çíàìåíàòåëü íå èìåþò ïðåäå-
ëà, òàê êàê îáà íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàþò.
Íî åñëè ïðåäâàðèòåëüíî ïðåîáðàçîâàòü àíàëèòè÷åñêîå âûðà-
æåíèå ïîä çíàêîì ïðåäåëà, ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü íà
x
3
, òî ïîëó÷èì:
.2
01
02
1
1
1
2
1
lim1lim
1
lim2lim
1
1lim
1
2lim
1
1
1
2
lim
1
2
lim
3
2
3
2
3
2
3
3
=
−
+
=
∞
−
∞
+
=
−
+
=
=
−
+
=
−
+
=
−
+
∞→∞→
∞→∞→
∞→
∞→
∞→∞→
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
x
x
xx
Ïðèìåð 2.4. Íàéòè
23
132
lim
2
2
0
−−
+−
→
xx
xx
xx
ïðè: à) x
0
= 1; á) x
0
= 1,
â) x
0
= ∞.
à) Ïîäñòàâëÿåì â ïðåäåë x = x
0
= 1.
.3
2
6
2)1()1(3
1)1(3)1(2
23
132
lim
2
2
2
2
1
==
−−−−
+−−−
=
−−
+−
−→
xx
xx
x
á) Êàê è â çàäà÷å 2.2 çäåñü ïðåäåë çíàìåíàòåëÿ ðàâåí 0 ïðè
x → 1, íî â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå ìîæíî âûäåëèòü ìíîæèòåëü
(x x
0
) = (x 1) è òîãäà èìååì:
.
5
1
213
112
23
12
lim
)23)(1(
)12)(1(
lim
23
132
lim
11
2
2
1
=
+⋅
−⋅
=
+
−
=
+−
−−
=
−−
+−
→→→
x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
â) Íàéòè
.
23
132
lim
2
2
−−
+−
∞→
xx
xx
x
75
Åñëè âìåñòî x ïîäñòàâèòü ∞, òî èìååì îòíîøåíèå äâóõ áåñêî-
íå÷íî áîëüøèõ âåëè÷èí
.
∞
∞
Òîãäà è ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü
äåëèì íà x
2
:
.
3
2
003
002
21
3
13
2
21
3
13
2
lim
23
132
lim
2
2
2
2
=
−−
+−
=
∞
−
∞
−
∞
+
∞
−
=
−−
+−
=
−−
+−
∞→∞→
x
x
x
x
xx
xx
xx
Ïðèìåð 2.5. Íàéòè
.
5
21
lim
5
−
−−
=
→
x
x
x
Çäåñü òàêæå èìååò ìåñòî íåîïðåäåëåííîñòü
.
0
0
Äëÿ ðàçðåøå-
íèÿ íåîïðåäåëåííîñòè óìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè
íà âûðàæåíèå, ñîïðÿæåííîå ÷èñëèòåëþ
.
4
1
215
1
21
1
lim
)21)(5(
41
lim
)21)(5(
)21)(21(
lim
5
21
lim
55
55
=
+−
=
+−
=
+−−
−−
=
=
+−−
+−−−
=
−
−−
→→
→→
xxx
x
xx
xx
x
x
xx
xx
Ïðèìåð 2.6. à) Íàéòè
.
5sin
3sin
lim
0
x
x
x
→
Ïðåîáðàçóåì çàäàííîå âûðàæåíèå:
.
5sin
5
3
3sin
5
3
5sin
3sin
x
x
x
x
x
x
⋅⋅=
Îáîçíà÷èì u = 3x, çàìåòèì, ÷òî
,0033limlim
00
=⋅==
→→
xu
xx
ò.å. ïðè
x → 0 òàêæå è u → 0, ñëåäîâàòåëüíî,
.1
sin
lim
3
3sin
lim
00
==
→→
u
u
x
x
ux
76
Àíàëîãè÷íî, ïîëîæèâ v = 5x, ïîëó÷èì
.1
sin
lim
5sin
5
lim
00
==
→→
v
v
x
x
vx
Ñëåäîâàòåëüíî,
.
5
3
11
5
3
5sin
5
lim
3
3sin
lim
5
3
5sin
5
3
3sin
5
3
lim
5sin
3sin
lim
00
00
=⋅⋅=
⋅
⋅=
=
⋅⋅=
→→
→→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
â) Íàéòè
.
2
lim
0
x
xarctg
x
→
Îáîçíà÷èì u = arctg 2x, òîãäà, î÷åâèäíî tgu = 2x è ïðè x → 0
èìååì u → 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
.20cos12coslim
sin
lim2
cos
sin
2lim
2
lim
2arctg
lim
00
000
=⋅⋅=⋅⋅=
=
⋅⋅==
→→
→→→
u
u
u
u
u
u
tgu
u
x
x
uu
uux
Ïðèìåð 2.7. Íàéòè
.
13
23
lim
12
+
∞→
−
+
n
n
n
n
Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå â ñêîáêàõ:
.
13
3
1
13
3)13(
13
23
−
+=
−
+−
=
−
+
nn
n
n
n
Îáîçíà÷èì òåïåðü
,
13
3
−
=
n
x
îòêóäà
3
11
+=
x
n
è
,
3
52
12 +=+
x
n
ïðè÷åì, ïðè n → ∞ èìååì x → 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
[]
.01][)1(lim)1(lim
)1()1(lim)1(lim
13
23
lim
22
0
2
0
2
00
12
3
5
3
5
1
3
5
1
3
5
2
eexx
xxx
n
n
xx
xx
n
n
x
xx
=+⋅=
+⋅
+=
=+⋅
+=+=
−
+
→→
→
+
→
+
∞→
77
Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ y = f(x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå
x = x
0
, åñëè îíà îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x
0
è
âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
).()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
Îïðåäåëåíèå. Òî÷êà x = x
0
, ïðèíàäëåæàùàÿ îáëàñòè îïðåäåëå-
íèÿ ôóíêöèè èëè ÿâëÿþùàÿñÿ ãðàíè÷íîé äëÿ ýòîé îáëàñòè, íàçû-
âàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà, åñëè â íåé íàðóøàåòñÿ óñëîâèå íåïðåðûâ-
íîñòè.
Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì íåïðåðûâíîñòè ôóíê-
öèè â òî÷êå ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå ðàâåíñòâ:
),()(lim)(lim
00
00
00
xfxfxf
xxxx
==
+→−→
ãäå f(x
0
0) è f(x
0
+ 0) îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû ôóíêöèè â òî÷êå
x
0
ñîîòâåòñòâåííî ñëåâà è ñïðàâà.
Åñëè ýòè ðàâåíñòâà íå âûïîëíÿþòñÿ èëè íå ñóùåñòâóåò õîòÿ
áû îäèí èç îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ, òî òî÷êà x = x
0
òî÷êà ðàç-
ðûâà ôóíêöèè, ïðè÷åì:
1) åñëè ñóùåñòâóþò îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû, íî
f(x
0
0) ≠ f(x
0
+ 0) èëè f(x
0
0) = f(x
0
+ 0) ≠ f(x
0
),
òî òî÷êà x
0
íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà 1-ãî ðîäà;
2) åñëè õîòÿ áû îäèí èç ïðåäåëîâ f(x
0
0) èëè f(x
0
+ 0) íå ñóùå-
ñòâóåò, òî òî÷êà x = x
0
íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà 2-ãî ðîäà.
Ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
1. Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà íåïðåðûâíûõ ôóí-
êöèé åñòü ôóíêöèÿ íåïðåðûâíàÿ.
2. ×àñòíîå îò äåëåíèÿ äâóõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé åñòü ôóíê-
öèÿ íåïðåðûâíàÿ âî âñåõ òî÷êàõ, ãäå äåëèòåëü íå ðàâåí 0.
3. Åñëè u =
ϕ
(x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x = x
0
è f(u) íåïðå-
ðûâíà â òî÷êå u = u
0
= f(x
0
), òî ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ f(
ϕ
(x)) íåïðåðûâ-
íà â òî÷êå õ
0
.
4. Âñÿêàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå,
â êîòîðîé îíà îïðåäåëåíà.
78
Ïðèìåð 2.8. Èññëåäîâàòü íà íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèþ
.
12
12
2
1
2
1
+
−
=
−
−
x
x
y
Ïðè x ≠ 2 ôóíêöèè, ñòîÿùèå â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå, íåïðå-
ðûâíû, è çíàìåíàòåëü íå îáðàùàåòñÿ â 0. Ïîýòîìó ïðè õ ≠ 2 ôóí-
êöèÿ
12
12
2
1
2
1
+
−
=
−
−
x
x
y
íåïðåðûâíà. Èññëåäóåì òî÷êó õ = 2. Íàéäåì
)(lim
02
xf
x
−→
è
.)(lim
02
xf
x
+→
Òàê êàê
−∞=
−
−→
2
1
lim
02
x
x
è, ñëåäîâàòåëüíî,
,02lim
2
1
02
=
−
−→
x
x
òî
.1
12
12
lim
2
1
2
1
02
−=
+
−
−
−
−→
x
x
x
Äàëåå, òàê êàê
+∞=
−
+→
2
1
lim
02
x
x
è, ñëåäîâàòåëü-
íî,
,2lim
2
1
02
+∞=
−
+→
x
x
òî ïðåîáðàçóåì äðîáü
;
21
21
12
12
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
−
−
−
−
+
−
=
+
−
.1
21
21
lim
2
1
2
1
02
=
+
−
−
−
+→
x
x
x
Òàêèì îáðàçîì,
1)(lim1)(lim
0202
=≠−=
+→−→
xfxf
xx
è, çíà÷èò,
â òî÷êå õ = 2 ôóíêöèÿ òåðïèò ðàçðûâ 1-ãî ðîäà. Ñêà÷îê ôóíê-
öèè f(2 + 0) f(2 0) = 1 (1) = 2.
Ïðèìåð 2.9. Íàéòè òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè
.
)5)(2(
1
−−
=
xx
y
Î÷åâèäíî, ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà ïðè õ ≠ 2 è õ ≠ 5. Íàéäåì ïðå-
äåëû â óêàçàííûõ òî÷êàõ:
.
)5)(2(
1
lim;
)5)(2(
1
lim
0202
−∞=
−−
+∞=
−−
+→−→
xxxx
xx
Ñëåäîâàòåëüíî, õ = 2 òî÷êà ðàçðûâà 2-ãî ðîäà.
.
)5)(2(
1
lim;
)5)(2(
1
lim
0505
+∞=
−−
−∞=
−−
+→−→
xxxx
xx
Ñëåäîâàòåëüíî, õ = 5 òî÷êà ðàçðûâà 2-ãî ðîäà.
79
Ïðèìåð 2.10. Íàéòè òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöè
≥
<<+
≤
=
.1,
,10,1
,0,cos
)(
2
xx
xx
xx
xf
Ïîñêîëüêó ñosx, x
2
+ 1, x íåïðåðûâíû âñþäó è, â ÷àñòíîñ-
òè íà óêàçàííûõ èíòåðâàëàõ, òî ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà íà
èíòåðâàëàõ (∞, 0), (0,1), (1, +∞). Òî÷êàìè ðàçðûâà ìîãóò ÿâëÿòü-
ñÿ òîëüêî òî÷êè õ = 0 è õ = 1. Èññëåäóåì ýòè òî÷êè íà íåïðå-
ðûâíîñòü:
;10coscoslim)(lim
0000
===
−→−→
xxf
xx
;1)1(lim)(lim
2
000
=+=
→+→
xxf
xx
f(0) = cos0 = 1.
Òàêèì îáðàçîì,
,)0()(lim)(lim
0000
fxfxf
xx
==
+→−→
ñëåäîâàòåëüíî,
õ = 0 òî÷êà íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f (x).
1, lim)(lim ;2)1(lim)(lim
0101
2
0101
===+=
+→+→−→−→
xxfxxf
xxxx
òî åñòü
),(lim)(lim
0101
xfxf
xx
+→−→
≠
ñëåäîâàòåëüíî, õ = 1 òî÷êà ðàç-
ðûâà 1-ãî ðîäà. Ãðàôèê ôóíêöèè
≥
<<+
≤
=
.1,
,10,1
,0,cos
2
xx
xx
xx
y
èìååò âèä (ðèñ. 21).
Ðèñ. 21
1
y
x
y = x
y
= cos x
y = x
2
+ 1
2
1
0
80
2.2. Ïðîèçâîäíàÿ è äèôôåðåíöèàë
Ïóñòü ôóíêöèÿ ó = f(x) îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè
òî÷êè õ
0
è y
0
= f(x
0
). Åñëè õ ïîëó÷èò íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå
èëè îòðèöàòåëüíîå ïðèðàùåíèå ∆õ è ïðèìåò çíà÷åíèå õ
0
+ ∆õ, òî
è ôóíêöèÿ ó ïîëó÷èò íåêîòîðîå ïðèðàùåíèå ∆y = f(õ
0
+ ∆õ) f(õ
0
).
Ñîñòàâèì îòíîøåíèå ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè ê ïðèðàùåíèþ àðãó-
ìåíòà
.
x
ó
∆
∆
Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé
â òî÷êå õ
0
, åñëè ñóùåñòâóåò
.
)()(
limlim
00
00
x
xfxxf
õ
ó
xx
∆
−∆+
=
∆
∆
→∆→∆
Ýòîò ïðåäåë íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå
õ
0
è îáîçíà÷àåòñÿ f ′(x
0
) èëè
.
dx
dy
Ãåîìåòðè÷åñêè ïðîèçâîäíàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óãëîâîé êî-
ýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f(x) â òî÷êå
x
0
, òî åñòü y = tg
ϕ
(ðèñ. 22). Ôèçè÷åñêè ïðîèçâîäíàÿ åñòü ñêîðîñòü
èçìåíåíèÿ ôóíêöèè â òî÷êå x
0
.
x
y
x
0
0
y
0
y = f(x)
ϕ
Ðèñ. 22