Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями
Подождите немного. Документ загружается.
61
Óñëîâèå ïðîõîæäåíèÿ ýòîé ïëîñêîñòè ÷åðåç âòîðóþ òî÷êó è
óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè:
À + 3Â 5Ñ = 0,
À + Â + Ñ = 0.
Èñêëþ÷àÿ êîýôôèöèåíòû À, B è C èç ñèñòåìû óðàâíåíèé
=++
=−+
=−+++−
,0
,053
,0)4()1()2(
CBA
CBA
zCyBxA
ïîëó÷àåì èñêîìîå óðàâíåíèå â âèäå:
0
111
531
412
=
−+− zyx
èëè
4x 3ó z 7 = 0.
Ïðèìåð 1.24. Èç òî÷êè P(2; 3; 5) íà êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè
îïóùåíû ïåðïåíäèêóëÿðû. Íàéòè óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõî-
äÿùåé ÷åðåç èõ îñíîâàíèÿ.
Ðåøåíèå. Îñíîâàíèÿìè ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ íà êîîð-
äèíàòíûå ïëîñêîñòè, áóäóò ñëåäóþùèå òî÷êè Ì
1
(2; 3; 0), Ì
2
(2; 0; 5),
Ì
3
(0; 3; 5). Íàïèøåì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
òî÷êè Ì
1
, Ì
2
, Ì
3
, äëÿ ÷åãî âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì
;0
131313
121212
111
=
−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
íàõîäèì
0
502
530
32
=
−− zyx
èëè
15x + 10y 6z 60 = 0.
62
Ïðèìåð 1.25. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿ-
ùåé ÷åðåç òî÷êó Ì (2; 3; 5) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê âåêòîðó
.234 kjiN ++=
Ðåøåíèå. Äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó è ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê äàííîìó
âåêòîðó:
4(õ 2) + 3(ó 3) + 2(z 5) = 0, ò.å. 4x + 3y + 2z 27 = 0.
Ïðÿìàÿ.
1. Ïðÿìàÿ ìîæåò áûòü çàäàíà óðàâíåíèÿìè 2-õ ïëîñêîñòåé
=+++
=+++
,0
0
2222
1111
DzCyBxÀ
DzCyBxÀ
ïåðåñåêàþùèõñÿ ïî ýòîé ïðÿìîé.
2. Èñêëþ÷èâ ïîî÷åðåäíî õ è ó èç ïðåäûäóùèõ óðàâíåíèé, ïî-
ëó÷èì óðàâíåíèÿ õ = àz + c, ó = bz + d. Çäåñü ïðÿìàÿ îïðåäåëåíà
äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè, ïðîåêòèðóþùèìè åå íà ïëîñêîñòè õoz è yoz.
3. Åñëè äàíû äâå òî÷êè Ì(x
1
, y
1
, z
1
) è N(x
2
, y
2
, z
2
), òî óðàâíå-
íèÿ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íèõ, áóäóò èìåòü âèä:
.
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
=
−
−
4. Òàê íàçûâàåìûå êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ
=
−
=
−
m
yy
l
xx
11
n
zz
1
−
=
îïðåäåëÿþò ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó Ì(x
1
, y
1
, z
1
)
è ïàðàëëåëüíóþ âåêòîðó
knjmilS ++=
.  ÷àñòíîñòè, ýòè óðàâíå-
íèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå:
,
coscoscos
111
γβα
zzyyxx
−
=
−
=
−
ãäå
α
,
β
è
γ
óãëû, îáðàçîâàííûå ïðÿìîé ñ îñÿìè êîîðäèíàò.
63
Íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû ïðÿìîé íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì
.cos ,cos ,cos
222222222
nml
n
nml
m
nml
l
++
=
++
=
++
=
γβα
5. Îò êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïðÿìîé, ââîäÿ ïàðàìåòð t, íå-
òðóäíî ïåðåéòè ê ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèÿì ïðÿìîé:
.
1
1
1
+=
+=
+=
zntz
ymty
xltx
6. Óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè, çàäàííûìè èõ êàíîíè÷åñêèìè
óðàâíåíèÿìè
1
1
1
1
1
1
n
zz
m
yy
l
xx −
=
−
=
−
è
2
2
2
2
2
2
n
zz
m
yy
l
xx −
=
−
=
−
îïðå-
äåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
;cos
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
nmlnml
nnmmll
++⋅++
++
=
ϕ
óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïðÿìûõ:
;
2
1
2
1
2
1
n
n
m
m
l
l
==
ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ ïðÿìûõ:
l
1
l
2
+ m
1
m
2
+ n
1
n
2
= 0.
7. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàñïîëîæåíèÿ äâóõ
ïðÿìûõ, çàäàííûõ èõ êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè, â îäíîé ïëîñ-
êîñòè (óñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè äâóõ ïðÿìûõ):
.0
222
111
121212
=
−−−
nml
nml
zzyyxx
Åñëè âåëè÷èíû l
1
, m
1
, n
1
íåïðîïîðöèîíàëüíû âåëè÷èíàì l
2
, m
2
,
n
2
, òî óêàçàííîå ñîîòíîøåíèå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷-
íûì óñëîâèåì ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïðÿìûõ â ïðîñòðàíñòâå.
64
8. Óãîë ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé
n
zz
m
yy
l
xx
111
−
=
−
=
−
ñ ïëîñêîñòüþ
Àõ + Bó + Cz + D = 0 îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
,sin
222222
nmlCBA
CnBmAl
++++
++
=
ϕ
óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè:
Àl + Bm + Cn = 0,
óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè:
.
n
C
m
B
l
À
==
9. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé
=
−
=
−
m
yy
l
xx
00
n
zz
0
−
=
ñ ïëîñêîñòüþ Àõ + Bó + Cz + D = 0 íóæíî ðåøèòü ñîâìåñ-
òíî èõ óðàâíåíèÿ, äëÿ ÷åãî ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ ïàðàìåòðè-
÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ïðÿìîé x = lt + x
0
, y = mt + y
0
, z = nt + z
0
:
à) åñëè Àl + Bm + Cn ≠ 0, òî ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòü â
îäíîé òî÷êå;
á) åñëè Àl + Bm + Cn = 0 è Àõ
0
+ Bó
0
+ Cz
0
+ D ≠ 0, òî ïðÿìàÿ
ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè;
â) åñëè Àl + Bm + Cn = 0 è Àõ
0
+ Bó
0
+ Cz
0
+ D = 0, òî ïðÿìàÿ
ëåæèò â ïëîñêîñòè.
Ïðèìåð 1.26. Ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó óðàâíåíèÿ ïðÿ-
ìîé 2õ y + 3z 1 = 0 è 5õ + 4y z 7 = 0.
Ðåøåíèå. Èñêëþ÷èâ âíà÷àëå y, à çàòåì z, ïîëó÷èì:
13õ +11z 11 = 0 è 17õ + 11y 22 = 0.
Åñëè ðàçðåøèì êàæäîå èç óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî õ, òî áó-
äåì èìåòü:
,
13
)1(11
17
)2(11
−
−
=
−
−
=
zy
x
îòñþäà
.
13
1
17
2
11
−
=
−
=
−
zyx
65
Âòîðîé ñïîñîá: íàéäåì âåêòîð
,knjmilS ++=
ïàðàëëåëüíûé
èñêîìîé ïðÿìîé. Òàê êàê îí äîëæåí áûòü ïåðïåíäèêóëÿðåí ê íîð-
ìàëüíûì âåêòîðàì çàäàííûõ ïëîñêîñòåé
kjiN 32
1
+−=
è
,45
2
kjiN
−+=
òî çà íåãî ìîæíî ïðèíÿòü âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå
âåêòîðîâ
1
N
è
.
2
N
.131711
145
312
21
kji
kji
NNS ++−=
−
−=×=
Òàêèì îáðàçîì, l = 11; m = 17; n = 13.
Çà òî÷êó Ì
1
(x
1
, y
1
, z
1
), ÷åðåç êîòîðóþ ïðîõîäèò èñêîìàÿ ïðÿ-
ìàÿ, ìîæíî ïðèíÿòü òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ åå ñ ëþáîé èç êîîðäèíàò-
íûõ ïëîñêîñòåé, íàïðèìåð ñ ïëîñêîñòüþ yoz. Òàê êàê ïðè ýòîì
x
1
= 0, òî êîîðäèíàòû ó
1
è z
1
ýòîé òî÷êè îïðåäåëÿòñÿ èç ñèñòåìû
óðàâíåíèé çàäàííûõ ïëîñêîñòåé, åñëè â íèõ ïîëîæèòü õ = 0:
=−−
=−+−
.074
,013
zy
zy
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó, íàõîäèì y
1
= 2; z
1
= 1.
Èòàê, èñêîìàÿ ïðÿìàÿ îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè:
13
1
17
2
11
−
=
−
=
−
zyx
.
Ìû ïîëó÷èëè ïðåæíèé îòâåò.
Ïðèìåð 1.27. Ïîñòðîèòü ïðÿìóþ
2õ + 3y + 3z 9 = 0,
4õ + 2y + z 8 = 0.
Ðåøåíèå. Èñêîìóþ ïðÿìóþ ìîæíî ïîñòðîèòü êàê ëèíèþ ïåðå-
ñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé. Äëÿ ýòîãî íàïèøåì óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòåé,
êîòîðûìè îïðåäåëåíà ïðÿìàÿ, â îòðåçêàõ íà îñÿõ:
.1
842
,1
335,4
=++
=++
zyx
zyx
66
Ïîñòðîèâ äàííûå ïëîñêîñòè, ìû ïîëó÷èì èñêîìóþ ïðÿìóþ êàê
ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïëîñêîñòåé (ðèñ. 20).
Ïðèìåð 1.28. Èç íà÷àëà êîîðäèíàò îïóñòèòü ïåðïåíäèêóëÿð
íà ïðÿìóþ
.
1
3
3
1
2
2 −
=
−
=
− zyx
Ðåøåíèå. Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
íà÷àëî êîîðäèíàò è ïåðïåíäèêóëÿðíîé çàäàííîé ïðÿìîé:
2õ + 3y + z = 0. (Äëÿ ýòîé ïëîñêîñòè ìîæíî ïðèíÿòü À = l; B = m;
C = n; D = 0; èñïîëüçîâàíî óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìîé è
ïëîñêîñòè, ñì. ï. 8 ââåäåíèÿ ê íàñòîÿùåìó ðàçäåëó).
Íàéäåì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé ïëîñêîñòè è äàííîé ïðÿìîé.
Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé èìåþò âèä:
x = 2t + 2,
y = 3t + 1,
z = t + 3.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ t èìååì óðàâíåíèå:
2(2t + 2) + 3(3t + 1) + t + 3 = 0.
Ðèñ. 20
0
z
y
x
67
Ñëåäîâàòåëüíî,
7
5
−=t
. Êîîðäèíàòàìè òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ áóäóò:
,
7
4
=x
,
7
8
−=y
,
7
16
=z
ò.å.
.
7
16
;
7
8
;
7
4
−
M
Îñòàåòñÿ ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà-
÷àëî êîîðäèíàò è ÷åðåç òî÷êó Ì (ñì. ï. 3 ââåäåíèÿ ê íàñòîÿùåìó
ðàçäåëó):
7
16
7
8
7
4
zyx
=
−
=
èëè
.
421
zyx
=
−
=
Ïðèìåð 1.29. Â óðàâíåíèÿõ ïðÿìîé
n
zyx
=
−
=
32
îïðåäåëèòü
ïàðàìåòð n òàê, ÷òîáû ýòà ïðÿìàÿ ïåðåñåêàëàñü ñ ïðÿìîé
,
12
5
3
1 zyx
=
+
=
+
è íàéòè òî÷êó èõ ïåðåñå÷åíèÿ.
Ðåøåíèå. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïàðàìåòðà n èñïîëüçóåì óñëîâèå
ïåðåñå÷åíèÿ 2-õ ïðÿìûõ:
.0
222
111
010101
=
−−−
nml
nml
zzyyxx
Îòñþäà ñëåäóåò:
0
32
123
051
=
− n
èëè
2n + 10 + 3 15n = 0, 13n = 13, n = 1.
Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèÿ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ òàêîâû:
èñêîìîé:
,
132
zyx
=
−
=
çàäàííîé:
.
12
5
3
1 zyx
=
+
=
+
68
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîîðäèíàò òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ
âûðàçèì èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ õ è ó ÷åðåç z: õ = 2z, ó = 3z. Ïîä-
ñòàâëÿÿ èõ çíà÷åíèÿ â ðàâåíñòâî
,
2
5
3
1 +
=
+ yx
èìååì
,
2
53
3
12 +−
=
+ zz
îòñþäà z = 1. Çíàÿ z, íàõîäèì õ è ó: õ = 2z = 2, y = 3z = 3.
Ñëåäîâàòåëüíî Ì(2; 3; 1).
Ïðèìåð 1.30. Ïðÿìàÿ çàäàíà êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè
.
1
3
5
1
3
2
−
−
=
+
=
− zyx
Ñîñòàâèòü îáùèå óðàâíåíèÿ ýòîé ïðÿìîé.
Ðåøåíèå. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé ìîæíî çàïèñàòü â
âèäå ñèñòåìû äâóõ íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé:
.0113
,01335
îòñþäà ,
1
3
3
2
,
5
1
3
2
=−+
=−−
−
−
=
−
+
=
−
zx
yx
zx
yx
Ïîëó÷èëè îáùèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, êîòîðàÿ òåïåðü çàäàíà
ïåðåñå÷åíèåì 2-õ ïëîñêîñòåé, îäíà èç êîòîðûõ 5õ 3ó 13 = 0
ïàðàëëåëüíà îñè Oz, à äðóãàÿ õ + 3z 11 = 0 ïàðàëëåëüíà îñè Oy.
Ïðèìåð 1.31. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè Ì, äåëÿùåé ïîïàëàì
îòðåçîê ïðÿìîé
,
1
3
5
1
3
2
−
−
=
+
=
− zyx
çàêëþ÷åííûé ìåæäó ïëîñêîñòÿìè õîz è xîy.
Ðåøåíèå. Íàéäåì òî÷êó À ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé ñ ïëîñêîñòüþ
õîz, ïîëàãàÿ â óðàâíåíèÿõ ïðÿìîé y = 0. Òîãäà ïîëó÷èì:
=
−
−
=
−
−
−
==
−
,
5
1
1
3
,
5
1
3
2
èëè,
1
3
5
1
3
2
z
x
zx
îòñþäà x = 2,6; z = 2,8. Òîãäà À(2,6; 0; 2,8).
69
Àíàëîãè÷íî, ïîëàãàÿ â óðàâíåíèÿõ ïðÿìîé z = 0, íàéäåì êî-
îðäèíàòû òî÷êè  ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé ñ ïëîñêîñòüþ õîy:
=
+
=
−
=
+
=
−
,3
5
1
,3
3
2
èëè3
5
1
3
2
y
x
yx
îòñþäà x = 11, y = 14, èëè B(11; 14; 0).
Îïðåäåëÿåì êîîðäèíàòû òî÷êè Ì, äåëÿùåé îòðåçîê ÀÂ
ïîïîëàì:
.4,1
2
08,2
2
;7
2
140
2
;8,6
2
116,2
2
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
BA
M
BA
M
BA
M
zz
z
y
y
y
xx
x
Ñëåäîâàòåëüíî, êîîðäèíàòû èñêîìîé òî÷êè Ì áóäóò:
Ì(6,8; 7; 1,4).
Ïðèìåð 1.32. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç ïðÿìóþ
=+++
=+++
,0434
,06523
zyx
zyx
ïàðàëëåëüíîé ïðÿìîé
.
3
1
2
5
3
1
−
+
=
−
=
− zyx
Ðåøåíèå. Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïó÷êà ïëîñêîñòåé, ïðîõîäÿùèõ
÷åðåç ïåðâóþ èç äàííûõ ïðÿìûõ:
α
(3x + 2y + 5z + 6) +
β
(x + 4y + 3z + 4) = 0,
êîòîðîå äåëèì íà
α
≠ 0, è ïóñòü
β
/
α
=
λ
:
3x + 2y + 5z + 6 +
λ
(x + 4y + 3z + 4) = 0, èëè
(3 +
λ
)x + (2 + 4
λ
)y + (5 + 3
λ
)z + (6 + 4
λ
) = 0.
70
 ýòîì ïó÷êå íóæíî âûáðàòü ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ 2-é
äàííîé ïðÿìîé. Èç óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè ïëîñêîñòè è ïðÿìîé,
èìååì:
3(3 +
λ
) + 2(2 + 4
λ
) 3(5 + 3
λ
) = 0.
Îòñþäà
λ
= 1.
Ïîäñòàâëÿÿ
λ
= 1 â óðàâíåíèå ïó÷êà ïëîñêîñòåé, ïîëó÷èì:
(3 + 1) · x + (2 + 4 · 1)y + (5 + 3 · 1)z + (6 + 4 · 1) = 0.
Òîãäà èñêîìîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè áóäåò:
4x + 6y + 8z + 10 = 0 èëè
2x + 3y + 4z + 5 = 0.
Ïðèìåð 1.33. Äàíà ïðÿìàÿ
.0234
,0423
=−−−
=+−
zyx
zyx
Íàéòè åå ïðîåêöèþ íà ïëîñêîñòü
5x + 2y + 2z 7 = 0.
Ðåøåíèå. Íóæíî íàéòè ïëîñêîñòü, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç
äàííóþ ïðÿìóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî ê äàííîé ïëîñêîñòè; òîãäà èñ-
êîìàÿ ïðîåêöèÿ îïðåäåëèòñÿ êàê ïåðåñå÷åíèå ýòîé ïëîñêîñòè
ñ äàííîé.
Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïó÷êà ïëîñêîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç äàí-
íóþ ïðÿìóþ:
(3x 2y z + 4) +
λ
(x 4y 3z 2) = 0 èëè
(3 +
λ
)x (2 + 4
λ
)y (1 + 3
λ
)z + (4 2
λ
) = 0.
Ýòà ïëîñêîñòü äîëæíà áûòü ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê äàííîé ïëîñ-
êîñòè, ÷òî ìîæíî çàïèñàòü êàê:
5(3 +
λ
) 2(2 + 4
λ
) 2(1 + 3
λ
) = 0,
îòñþäà
λ
= 1.