Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями
Подождите немного. Документ загружается.
21
Ïðèìåð 1.2. Íàéòè ìàòðèöó À
1
, îáðàòíóþ ê ìàòðèöå
.
121
223
112
−
−
Âû÷èñëÿåì îïðåäåëèòåëü äàííîé ìàòðèöû (âû÷èñëåí â ïðåäû-
äóùåì ïðèìåðå è ðàâåí 5). Ò.ê. ∆ = 5 ≠ 0, òî ìàòðèöà À èìååò îá-
ðàòíóþ ìàòðèöó À
1
.
Íàõîäèì àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ
.7
23
12
)1(
;1
23
12
)1( ;4
22
11
)1(
;3
21
12
)1(
;1
11
12
)1( ;1
12
11
)1(
;8
21
23
)1(
;1
11
23
)1( ;6
12
22
)1(
33
33
23
32
13
31
32
23
22
22
12
21
31
13
21
12
11
11
=
−
⋅−=
−=⋅−=−=
−
⋅−=
=
−
−
⋅−=
=⋅−=−=
−
−
⋅−=
−=
−
⋅−=
−=⋅−==
−
⋅−=
+
++
+
++
+
++
A
AA
A
AA
A
AA
Ñîñòàâëÿåì ìàòðèöó (À
ij
) èç àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé
.
714
311
816
−−
−
−−
Òðàíñïîíèðóåì ïîëó÷åííóþ ìàòðèöó, ò.å. ïåðåõîäèì ê ìàò-
ðèöå
.
738
111
416
−
−−
−−
22
Óìíîæàÿ íà
,
5
1
ïîëó÷èì îáðàòíóþ ìàòðèöó
.
5
7
5
3
5
8
5
1
5
1
5
1
5
4
5
1
5
6
1
−
−−
−−
=
−
A
(1.7)
Ïðîâåðêà.
.
100
010
001
500
050
005
5
1
724321826
1421262316218
7183128112
5
1
738
111
416
121
223
112
5
1
5
7
5
3
5
8
5
1
5
1
5
1
5
4
5
1
5
6
121
223
112
=
=
++−+−−−+
+−−++−−−
++−+−−−+
=
=
−
−−
−−
⋅
−
−
⋅=
−
−−
−−
⋅
−
−
Âîçâðàùàåìñÿ ê ñèñòåìå (1.1).
Ìàòðèöà, ñîñòîÿùàÿ èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè íåèçâåñòíûõ, ò.å.
ìàòðèöà
,
21
22221
11211
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
K
LLLL
K
K
íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ñèñòåìû, à ìàòðèöà-ñòîëáåö, ñîñòàâëåííàÿ
èç âåëè÷èí b
1
, b
2
, , b
n
,
2
1
=
n
b
b
b
B
M
íàçûâàåòñÿ ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
23
Ñîñòàâèì åùå ìàòðèöó-ñòîëáåö íåèçâåñòíûõ
.
2
1
=
n
x
x
x
X
M
Òîãäà ñèñòåìà (1.1) â ìàòðè÷íîé ôîðìå ïðèìåò âèä
À · Õ = B. (1.8)
Åñëè det A ≠ 0, òî óìíîæàÿ (1.8) íà À
1
, ïîëó÷èì
Õ = À
1
· B (1.9)
Íà ýòîé ôîðìóëå îñíîâàí ìàòðè÷íûé ñïîñîá ðåøåíèÿ ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Ïðèìåð 1.3. Ðåøèòü ìàòðè÷íûì ñïîñîáîì ñèñòåìó
.
12
2223
22
321
321
321
=+−
−=++
=+−
xxx
xxx
xxx
Ðåøåíèå. Äëÿ äàííîé ñèñòåìû
.
1
2
2
; ;
121
223
112
3
2
1
−=
=
−
−
= B
x
x
x
XA
×òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (1.9), íàäî íàéòè ìàòðèöó,
îáðàòíóþ ê ìàòðèöå À. Â ïðèìåðå ïîêàçàíî, ÷òî ìàòðèöà À
1
èìå-
åò âèä (1.7). Ïîäñòàâëÿÿ â (1.9), èìååì:
.
3
1
2
5
7616
5
122
5
4212
1
2
2
5
7
5
3
5
8
5
1
5
1
5
1
5
4
5
1
5
6
3
2
1
−
−=
+−−
−−−
−+
=
−⋅
−
−−
−−
=
x
x
x
Îòâåò: x
1
= 2; x
2
= 1; x
3
= 3.
24
1.1.2. Ôîðìóëû Êðàìåðà
Ñîñòàâèì ãëàâíûé îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (1.1), ò.å. îïðåäåëè-
òåëü èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè íåèçâåñòíûõ â äàííîé ñèñòåìå.
=∆
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
K
LLLL
K
K
21
22221
11211
è n âñïîìîãàòåëüíûõ îïðåäåëèòåëåé
.)(
..., ,)( ,)(
21
22221
11211
1
2221
1111
2
1
2222
1121
1
nnn
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
baa
baa
baa
x
aba
aba
aba
x
aab
aab
aab
x
K
LLLL
K
K
K
LLLL
K
K
K
LLLL
K
K
=∆
=∆=∆
Ýòè îïðåäåëèòåëè ñîñòàâëÿþòñÿ ïóòåì çàìåíû â ãëàâíîì îï-
ðåäåëèòåëå ñîîòâåòñòâóþùåãî ñòîëáöà ñòîëáöîì, ñîñòîÿùèì èç
ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
Åñëè ∆ ≠ 0, òî ðåøåíèå ñèñòåìû (1.1) íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì
Êðàìåðà
.
)(
..., ,
)(
,
)(
2
2
1
1
∆
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=
n
n
x
x
x
x
x
x
Ïðèìåð 1.4. Ðåøèòü ñèñòåìó.
.0584233922)23(1133
24
35
)2(
34
25
1
32
23
3
324
235
213
2324
4235
623
321
321
321
≠=−+=⋅−−⋅−⋅=
=
−
−
⋅−+
−
⋅−
−−
−
⋅=
−−
−
−
=∆
−=−−
−=+−
=−+
xxx
xxx
xxx
25
.0
58
0
)(
;3
58
174
)(
;1
58
58
)(
.012662661)2(3
24
35
6
24
45
1
22
43
3
224
435
613
)(
.174121384862)23(6163
24
45
2
34
25
6
32
24
3
324
245
263
)(
.584167822161136
22
34
2
32
24
1
32
23
6
322
234
216
)(
3
3
2
2
1
1
3
2
1
==
∆
∆
===
∆
∆
===
∆
∆
=
=+−−=⋅+⋅−−⋅=
=
−
−
⋅+
−
−
⋅−
−−
−−
⋅=
−−
−−=∆
=−+=⋅−−⋅−⋅=
=
−
−
⋅−
−
⋅−
−−
−
⋅=
−−
−
−
=∆
=−−=⋅−⋅−⋅=
=
−−
−−
⋅−
−−
−
⋅−
−−
−
⋅=
−−−
−−
−
=∆
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Îòâåò: x
1
= 1; x
2
= 3; x
3
= 0.
1.1.3. Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ
(ìåòîä Ãàóññà)
Îñíîâíàÿ åãî èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà ëèíåé-
íûõ óðàâíåíèé ïðåîáðàçóåòñÿ â ðàâíîñèëüíóþ åé ñèñòåìó ñïåöè-
àëüíîãî âèäà, ãäå îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû ñîäåðæèò âñå íå-
èçâåñòíûå, âòîðîå íà îäíî íåèçâåñòíîå ìåíüøå, è ò.ä., ïîñëå-
äíåå óðàâíåíèå ëèøü îäíî èç íåèçâåñòíûõ. Ïîêàæåì ýòî íà
ïðèìåðå.
Ïðèìåð 1.5. Ðåøèòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìåòîäîì
Ãàóññà.
=++
=++
=++
.3916255
,1812143
,01372
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Ðåøåíèå. Ïðèìåì çà ïåðâîå âåäóùåå óðàâíåíèå ïåðâîå óðàâíå-
íèå ñèñòåìû, à çà ïåðâîå âåäóùåå íåèçâåñòíîå x
1
; ïåðâûì âåäó-
ùèì ýëåìåíòîì áóäåò à
11
= 2. Èñêëþ÷èì x
1
èç âòîðîãî è òðåòüåãî
26
óðàâíåíèé, ïðèáàâèâ êî âòîðîìó óðàâíåíèþ âåäóùåå, óìíîæåí-
íîå íà
2
3
, à ê òðåòüåìó âåäóùåå, óìíîæåííîå íà
2
5
.
Ïîëó÷èì:
=−
=−
=++
.39
2
33
2
15
,18
2
15
2
7
,01372
32
32
321
xx
xx
xxx
Ïåðâûé øàã çàêîí÷åí. Âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ îáðàçóþò
ïåðâóþ ïîäñèñòåìó. Çà âòîðîå âåäóùåå óðàâíåíèå ïðèìåì âòîðîå
óðàâíåíèå ñèñòåìû, à çà âòîðîå âåäóùåå íåèçâåñòíîå x
2
; âòî-
ðûì âåäóùèì ýëåìåíòîì áóäåò
2
7
. Èñêëþ÷èì x
2
èç òðåòüåãî óðàâ-
íåíèÿ. Ïîëó÷èì:
=−
=−
=++
.
7
3
7
3
,18
2
15
2
7
,01372
3
32
321
x
xx
xxx
Âòîðîé øàã çàêîí÷åí. Âòîðàÿ ïîäñèñòåìà ñîñòîèò èç îäíîãî
òðåòüåãî óðàâíåíèÿ. Ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà çàêîí÷åí. Îáðàò-
íûì õîäîì ïîëó÷àåì:
()
.4)]1(1337[
2
1
137
2
1
,3)1(
2
15
18
7
2
2
15
18
7
2
,1
321
32
3
−=−+⋅−=+−=
=
−+=
+=
−=
xxx
xx
x
Èòàê, ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû áóäåò: x
1
= 4, x
2
= 3, x
3
= 1.
27
Ïðèìåð 1.6. Ðåøèòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
=−+
=−+
=−+
.1755
,59153
,8452
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Ðåøåíèå. Ïðåîáðàçóåì ñèñòåìó ïî ìåòîäó Ãàóññà:
−=
−=−
=−+
−=+−
−=−
=−+
.260
,73
2
15
,8452
,193
2
15
,73
2
15
,8452
32
321
32
32
321
xx
xxx
xx
xx
xxx
Óðàâíåíèå 0 = 26 íå èìååò ñìûñëà, ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ñè-
ñòåìà íåñîâìåñòíà.
Çàìå÷àíèå. Íåñîâìåñòíîñòü äàííîé ñèñòåìû ìîæíî óñìîòðåòü
óæå ïîñëå ïåðâîãî øàãà: â ïîëó÷åííîé ñèñòåìå ëåâûå ÷àñòè âòî-
ðîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèé îòëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêîì, òîãäà êàê
ïðàâûå ÷àñòè îäèíàêîâû ïî çíàêó è ðàçëè÷íû ïî ìîäóëþ.
Ïðèìåð 1.7. Ðåøèòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
=−+
=−+
=−+
.27755
,59153
,8452
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Ðåøåíèå. Ïðåîáðàçóåì ñèñòåìó ïî ìåòîäó Ãàóññà:
−=−
=−+
=+−
−=−
=−+
.73
2
15
,8452
;73
2
15
,73
2
15
,8452
32
321
32
32
321
xx
xxx
xx
xx
xxx
28
Ïîñëå âòîðîãî øàãà èç òðåõ óðàâíåíèé îñòàëîñü äâà, òàê êàê
òðåòüå óðàâíåíèå ïðèíÿëî âèä 0 = 0 è óäàëåíî èç ñèñòåìû. Â äàí-
íîì ñëó÷àå ðàíã ñèñòåìû r = 2, à ÷èñëî íåèçâåñòíûõ n = 3, ò.å. r < n.
Èç òðåõ óðàâíåíèé èñõîäíîé ñèñòåìû òîëüêî äâà íåçàâèñèìûõ
(m = 3, r < m). Â ïåðâîé ïîäñèñòåìå äâà óðàâíåíèÿ, âòîðàÿ ïîäñè-
ñòåìà îòñóòñòâóåò. Ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà çàêîí÷åí. Èñêëþ-
÷àÿ òåïåðü ñ ïîìîùüþ âòîðîãî óðàâíåíèÿ x
2
èç ïåðâîãî óðàâíå-
íèÿ, ïðèâåäåì ñèñòåìó ê âèäó
−=−
=−
,73
2
15
,
3
38
22
32
31
xx
xx
îòêóäà ëåãêî íàõîäèì îáùåå ðåøåíèå:
+−=
+=
.
5
2
15
14
,
3
19
32
31
xx
xx
Íåèçâåñòíûå x
1
, x
2
áàçèñíûå, x
3
ñâîáîäíîå. Ïðèäàâàÿ
íåèçâåñòíîìó x
3
ïðîèçâîëüíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ, ìîæíî ïîëó-
÷èòü ìíîæåñòâî ÷àñòíûõ ðåøåíèé:
õ
1
=
3
19
, õ
2
=
15
14
, õ
3
= 0;
õ
1
=
3
22
, õ
2
=
15
8
, õ
3
= 1 è ò.ä.
1.1.4. Òåîðåìà Êðîíåêåðà Êàïåëëè
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ñî-
äåðæàùóþ m óðàâíåíèé è n íåèçâåñòíûõ:
=⋅+++
=⋅+++
=⋅+++
....
.....................................................
,...
,...
2211
22222121
1212111
mnmnmm
nn
nin
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(1.10)
29
Ñîñòàâèì ìàòðèöó ñèñòåìû À è ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó
A
,
ïîëó÷åííóþ ïðèñîåäèíåíèåì ê À ñòîëáöà èç ñâîáîäíûõ ÷ëå-
íîâ b
i
(i = 1, 2, , m).
. ,
21
222221
111211
21
22221
11211
=
=
mmnmm
n
n
mnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
A
aaa
aaa
aaa
A
K
LLLL
K
K
K
LLLL
K
K
(1.11)
Ìàòðèöå À ñîîòâåòñòâóåò ñèñòåìà èç m âåêòîðîâ
).,1 èëè ...,,2,1( ) ...,, ,(
21
mimiaaaa
imiii
===
(1.12)
Âåêòîðû
m
aaa
...,,,
21
ëèíåéíî çàâèñèìû, èëè, ÷òî òîæå ñàìîå,
îáðàçóþò ëèíåéíî çàâèñèìóþ ñèñòåìó, åñëè îäèí èç íèõ ëèíåéíî
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äðóãèå.
Ïðèìåð 1.8. Ñèñòåìà
1
a
= (1,2),
2
a
= (2,1),
3
a
= (0,5) ëèíåéíî
çàâèñèìà, òàê êàê
213
2
aaa +=
.
Èç ñèñòåìû âåêòîðîâ (1.12) âûäåëèì ïîäñèñòåìó
, ...,,,
21
k
iii
aaa
(1.13)
ãäå i
1
, i
2
, , i
k
êàêèå-òî k ÷èñåë èç íàáîðà
m,1
.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîäñèñòåìà (1.13) ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíîé
ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ïîäñèñòåìîé èëè áàçèñîì ñèñòåìû (1.12),
åñëè âåêòîðû (1.13) ëèíåéíî íåçàâèñèìû, à ëþáîé äðóãîé âåêòîð
ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ èõ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé.
Ðàíãîì ñèñòåìû âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî âåêòîðîâ â ëþáîì
áàçèñå ñèñòåìû.
Ïðèìåð 1.9. Â ñèñòåìå
1
a
= (0, 1, 2,1),
2
a
= (3, 1, 1,0),
3
a
= (6, 2, 2,0),
âåêòîðû
1
a
è
2
a
îáðàçóþò áàçèñ, òàê êàê èõ êîýôôèöèåíòû íå-
ïðîïîðöèîíàëüíû. Âåêòîð
3
a
= 0 ·
1
a
2
2
a
ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé
30
êîìáèíàöèåé
1
a
è
2
a
. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî âåêòîðû
1
a
,
3
a
îáðàçó-
þò áàçèñ.
Òàê êàê ñèñòåìà âåêòîðîâ (1.12) îáðàçîâàíà èç ìàòðèöû À, òî
ìîæíî ãîâîðèòü î ðàíãå ìàòðèöû À, êîòîðûé ñîâïàäàåò ñ ðàíãîì
ñèñòåìû (1.12).
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàíãà ñèñòåìû ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ìåòî-
äû. Ìû áóäåì îïðåäåëÿòü ðàíã ìàòðèöû À êàê ìàêñèìàëüíûé
ïîðÿäîê åå ìèíîðîâ, îòëè÷íûõ îò íóëÿ.
Ïðèìåð 1.10. Îïðåäåëèòü ðàíã ìàòðèöû
.
3511
0122
1111
−−
−=À
Âûäåëÿåì 1-þ, 2-þ ñòðîêè, à òàêæå 2-é è 3-é ñòîëáöû, ïîëó÷à-
åì ìèíîð âòîðîãî ïîðÿäêà
.03
12
11
≠=
Âîîáùå, â ìàòðèöå À èìååòñÿ 3 · 6 = 18 ìèíîðîâ 2-ãî ïîðÿäêà.
Ìèíîðû 3-ãî ïîðÿäêà (èõ òðè) ðàâíû íóëþ:
.0
351
012
111
,0
311
022
111
,0
511
122
111
===
Ðàíã èñõîäíîé ìàòðèöû ðàâåí äâóì.
Ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ ðàíãà ìàòðèöû:
ïðè âû÷èñëåíèè ðàíãà ìàòðèöû ñëåäóåò ïåðåõîäèòü îò ìèíî-
ðîâ ìåíüøèõ ïîðÿäêîâ ê ìèíîðàì áîëüøèõ ïîðÿäêîâ;
åñëè óæå íàéäåí ìèíîð k-ãî ïîðÿäêà, îïðåäåëèòåëü êîòîðîãî
îòëè÷åí îò íóëÿ, òî òðåáóþò âû÷èñëåíèÿ ëèøü ìèíîðû (k + 1)-ãî
ïîðÿäêà, îêàéìëÿþùèå ìèíîð k-ãî ïîðÿäêà, åñëè âñå îíè ðàâíû
íóëþ, òî ðàíã ìàòðèöû r ðàâåí k.
Ïðèìåð 1.11. Íàéòè ðàíã ìàòðèöû
.
54474
13110
24121
01342
=A