Семенов В.К. Кинетика и регулирование ядерных реакторов
Подождите немного. Документ загружается.
101
изменить коэффициент размножения зоны на величину
k
∆
. Реактор в критическом состоянии описывается
уравнением
0
2
=+∆ ФBФ , (4.29)
где
22
1
2
BBB ∆+= внутри V
1
и
222
BBB
o
∆+= вне объема
V
1
;
2
B
∆
− изменение
2
B
всей зоны, необходимое для
компенсации
2
Bδ
в объеме V
1
. Умножим уравнение (4.26)
на Ф, а уравнение (4.29) на
o
Ф
, вычтем одно из другого и
проинтегрируем полученный результат по размеру зоны:
0ФdVФ)BB(Ф)dVФФ(Ф
o
V
o
V
oo
=−+∆−∆
∫∫
22
. (4.30)
Для вычисления первого интеграла воспользуемся
тождеством
ooo
ФФФФ)Ф(Ф
2
∇+∇∇=∇∇ .
Отсюда
ooo
ФФ)Ф(ФФФ ∇∇−∇∇=∇
2
. (4.31)
Используя (4.31), упростим подынтегральное
выражение
Ф)ФФ(ФФФФФ
oooo
∇−∇∇=∇−∇
22
.
Так как
∫∫
∂
∂
−
∂
∂
=∇∇∇
V
o
o
oo
V
dS )
n
Ф
Ф
n
Ф
Ф(Ф)dVФ-ФФ(
и на поверхности зоны в силу граничных условий
0
==
o1S1S
ФФ , то интеграл будет равен нулю. Второй
интеграл разобьем на два:
ФdVФ)BB(ФdVФ)BB(ФdVФ)BB(
o
V
oo
VV
oo
V
o
∫∫∫
−+−=−
−
1
22
1
2222
.
Подставляя сюда
2
B
, получим
0ФdVФ)BB(-ФdVФB
o
V
o
VV
=δ+∆∆−
∫∫
−
1
22
1
2
или
0ФdVФB-ФdVФB
o
V
o
V
=δ∆−
∫∫
−
1
22
,
102
отсюда
∫
∫
δ−=∆
V
V
22
1
BB
ФdVФ
ФdVФ
o
o
. (4.32)
Учитывая, что возмущение является малым, можно
положить
o
ФФ ≅
. При этом условии полученное
выражение примет вид
∫
∫
δ−=∆
V
2
o
V
2
o
dVФ
dVФ
BB
1
22
. (4.33)
Отсюда видно, что влияние возмущения
пропорционально невозмущенной плотности потока в
области возмущения. Так как
VV
<<
1
, то в пределах
1
V
можно
o
Ф
считать постоянным:
VФ
VФ
BB
2
o
1
2
o
><
δ−=∆
22
, (4.34)
где dVФ
V
Ф
V
2
o
2
o
∫
>=<
1
− среднеквадратичный поток.
Для определения изменения реактивности нужно
связать
2
B
∆
с
k
∆
и
2
B δ с
a
∑
δ .
Поскольку
2
2
1
L
k
B
−
=
∞
,
то
2
222
L
k
BBB
o
∆
=−=∆ , (4.35)
и
2
2
2
24
2
2
2
1
L
L
B
L
k
L
L )k(
L
k
B
δ
−
δ
=
δ−
−
δ
=δ
∞
. (4.36)
Используя выражения для
a
aU
k
∑
∑
ηεϕ=
∞
и
atr
L
∑∑
=
3
1
2
, получим
103
a
a
kk
∑
∑
δ
−=δ
,
a
a
22
LL
∑
∑δ
−=δ
, (4.37)
a
a
2
22
a
a
2
2
L
LB
L
k
B
∑
∑δ
+
∑
∑δ
−=δ
. (4.38)
Так как
1
<<
22
L
B
, то
a
a
2
2
L
k
B
∑
∑
δ
−=δ
. (4.39)
Подставляя (4.35) и (4.39) в формулу (4.34), получим
V
V
k
1
a
a
><
∑
∑δ
=
∆
=ρ∆
2
o
2
o
Ф
Ф
k
. (4.40)
4.7. Примеры по применению теории возмущений
4.7.1. Эффективность эксцентрично
расположенного стержня
Полученное выше выражение применяется для
расчета изменения реактивности зоны при внесении в нее
постороннего тела. Используя закон
1
VФ~k
2
o
∆ , можно
определить эффективность полностью погруженного
стержня на расстоянии r от оси зоны (рис.4.4).
Рис.4.4. Эксцентрично расположенный стержень
104
Его эффективность выражается через
эффективность центрального стержня:
)r(Ф
)r(k
)(Ф
k
2
o
2
o
∆
=
∆
0
. (4.41)
Отсюда
)(Ф
)r(Фk
)r(k
2
o
2
oo
0
∆
=∆ . (4.42)
Если в зоне имеется много стержней, находящихся
на различном расстоянии от оси, то
∑
∆
≅∆
i
2
i
2
o
o
)r(Ф
)(Ф
k
k
0
. (4.43)
Это выражение справедливо при малых
возмущениях и вдали от границ зоны. Кроме того, здесь не
учитывается интерференция стержней.
Эффект «интерференции» стержней обусловлен их
взаимным затенением друг друга. Как следует из рис.4.1
при одинаковой средней мощности внутри стержня
происходит резкое снижение потока нейтронов, а за
пределами стержня, начиная с некоторого расстояния,
увеличение потока. Так как эффективность стержня
пропорциональна квадрату невозмущенной плотности
потока нейтронов, то при близком расположении двух
стержней их эффективность будет меньше удвоенной
эффективности одного стержня, а, начиная с некоторого
расстояния (там, где происходит возрастание потока
нейтронов), их эффективность будет больше удвоенной
эффективности одного стержня.
Рис.4.5 иллюстрирует интерференцию двух
стержней. Кривая 1 показывает зависимость
эффективности одного стержня от удаленности его от оси
реактора. Кривая 2 показывает половину эффективности
двух стержней
)r(k
)r(k
1
2
2
1
∆
∆
в зависимости от расстояния
между ними при симметричном расположении
относительно оси цилиндрической активной зоны.
105
Рис.4.5. Интерференция двух стержней в зависимости от их
расположения
4.7.2. Зависимость эффективности поглощающего
стержня от глубины погружения
Оценку эффективности частично погруженного
стержня проведем на основе теории возмущений,
согласно которой
∫
∫
∆=∆
H
o
2
z
o
2
o
dz)z(Ф
dz)z(Ф
k)z(k , (4.44)
где
o
k∆
– эффективность полностью погруженного
стержня; Н – высота реактора. Вблизи конца стержня
поток искажен, так что, строго говоря, длину стержня
нужно увеличить на длину диффузии L, но при
H
L
<<
концевым эффектом можно пренебречь. Если
)
H
z
sin(ФФ
o
π
= , то
106
∫
∫
π
π
∆=∆
H
o
z
o
o
dz)
H
z
(sin
dz)
H
z
(sin
k)z(k
2
2
. (4.45)
Так как
2
21
2
α−
=α
cos
sin , то
)
H
z
sin
H
z(
H
kk
o
π
π
−∆=∆
2
2
1
. (4.46)
Выражение (4.46) перепишем в более удобном виде:
)
H
z2
H
z2
sin
1(
H
z
kk
o
π
π
−∆=∆ . (4.47)
При
2
/
H
z
=
o
kk ∆=∆
2
1
, а при малых
H
/
z
6
1
2
x
x
xsin
−≅
и
k
∆
меняется в зависимости от z по закону кубической
параболы:
3
2
6
4
)
H
z
(kk
o
π
∆=∆
. (4.48)
На рис.4.6 и 4.7 приведены графики интегральной и
дифференциальной эффективности управляющего
стержня в зависимости от его глубины погружения в
активную зону для реактора ВВЭР-1000.
107
Рис.4.6. Интегральная эффективность управляющего стержня
Рис.4.7. Дифференциальная эффективность управляющего стержня
Из приведенных графиков видно, что эффективность
на торцах зоны минимальна и достигает максимального
значения в центре. Отсюда ясно, что регулирующий
стержень нужно располагать так, чтобы его конец
находился посередине высоты активной зоны.
108
4.7.3. Стержень типа нейтронной ловушки
Эффективность стержня может быть увеличена,
если наряду с тепловыми нейтронами он поглощает и
быстрые. Если стержень выполнить полым с оболочкой из
сильного поглотителя, а внутри полости расположить
хороший замедлитель, быстрые нейтроны, проходя сквозь
оболочку, будут замедляться внутри стержня и
поглощаться оболочкой (нейтронная ловушка). При этом
внутренний диаметр стержня должен удовлетворять
условию
τ>
вн
R
. Здесь τ − возраст нейтронов. Такие
стержни нашли применение в водо-водяных реакторах,
обладающих компактной зоной. Вода является сильным
замедлителем, поэтому размер стержня будет весьма
компактным. Расчет ведут по отдельной ячейке,
определив размеры зоны, на один стержень.
4.7.4. Калибровка управляющих стержней
При использовании большого количества стержней
методы расчета не позволяют определить эффективность
стержней с требуемой точностью, поэтому это делают
экспериментально. Операция калибровки заключается в
определении эффективности стержня или группы
стержней в зависимости от их положения и положения
других регулирующих органов при различных уровнях
мощности, т.к. эффективность стержней зависит от
температуры. В процессе работы реактора происходит
изменение изотопного состава и выгорание поглотителя в
самих стержнях. Это приводит к изменению
эффективности стержней и требует уточнения и проверки
их характеристик.
Калибровка управляющих стержней представляет
задачу первостепенной важности. Нужно знать точную
полную реактивность регулирующего стержня, которая
должна быть меньше β. Также важна калибровка
компенсирующих стержней, чтобы знать, при какой
109
скорости нарастания реактивности реактор становится
критическим во время пуска.
Существуют различные методы калибровки
стержней. Один из основных методов основывается на
уравнении Нордхейма:
∑
τ+
τ
β
+
τ
=ρ
i
ii
эф
Tk T
. (4.49)
Здесь Т – установившийся период реактора.
Этот метод используется при незначительной
мощности реактора, когда можно пренебречь
температурными эффектами. Реактор приводится в
критическое состояние при определенном положении всех
стержней. Далее калибруемый стержень (группа)
смещается в направлении положительной реактивности,
реактор выдерживается в течение нескольких поколений
нейтронов и измеряется установившийся период.
Реактивность определяется по формуле (4.49). Если Т
велик, т.е. T
<<
τ
, то первым слагаемым можно
пренебречь. Далее реактор приводится в критическое
состояние, и процедура повторяется. При этом геометрия
системы должна оставаться неизменной. Компенсация
избыточной реактивности наилучшим образом может быть
осуществлена за счет равномерного распределения
поглотителя по всему объему вследствие его растворения
в замедлителе или теплоносителе. Если количество
поглотителя, равномерно введенного в объем реактора,
известно, то этим методом можно осуществить
калибровку. Калибровочную кривую, определяющую
реактивность стержня в зависимости от его положения,
можно получить последовательным добавлением
поглотителя. При этом реактивность стержня
определяется соотношением
a
a
f
f
~
k
k
∑
∑∆
≅
∆∆
≅ρ
∞
, (4.50)
где f – коэффициент использования тепловых нейтронов;
a
∑
– полное сечение поглощения.
110
Калибровка по методу изменения периода или по
методу введения поглотителя может проводиться
одновременно.
Для измерения подкритичности реактора
используется метод сброса стержня. Если стержень
сбрасывается в реактор, находившийся в критическом
состоянии, то сначала происходит быстрый спад
плотности нейтронов за счет уменьшения мгновенных
нейтронов, а потом он становится медленным и
определяется запаздывающими нейтронами. Эти
закономерности позволяют определить реактивность
стержня.
Как следует из (1.41),
ρ+β
β
=
0
N
N
и 1
0
−=
β
ρ
N
N
. (4.51)
При этом необходимо, чтобы сигнал от датчиков
нейтронного потока был пропорционален средней
плотности потока нейтронов.
Кроме указанных методов существуют и другие:
осциллирующего источника, осциллирующего стержня,
осциллирующей плотности нейтронов. Суть этих методов
заключается в периодическом изменении плотности
нейтронов или реактивности около среднего значения. Эти
методы не дают прямого измерения реактивности и
требуют специальной обработки результатов
эксперимента.