Семенов В.К. Кинетика и регулирование ядерных реакторов
Подождите немного. Документ загружается.
71
Если в реакторе в качестве топлива используются
235
U и
239
Pu, то накопление шлаков определяется
уравнением
ФN-)ФNPNP(
dt
dN
ii
f
i
f
i
i
σσ+σ=
999555
. (3.25)
Здесь Р
i
– выход осколков в процессе деления; σ
i
–
сечение поглощения нейтронов. Полагая, что N
9
<<N
5
и что
шлаки поглощают только тепловые нейтроны, имеем
Фt
5
-
o
f
iii
i
e NPN
dt
dN
σ
σΦ=Φσ+
555
. (3.26)
Умножая левую и правую части уравнения (3.26) на
интегрирующий множитель
Фt
i
e
σ
, имеем
t)-(-
iФt
i5
e Фe
Ф
o5
f
5
i5i
NP)N(
dt
d
σσ
σ
σ= . (3.27)
После интегрирования (3.27) с учетом начального
условия N
i
(0) = 0, получим
)(
)(
NP
)t(N
Ф
Ф
i5
5505
i
t-
t-
5
i
ee
σ
σ
−
σ−σ
σ
=
. (3.28)
Для расчета шлаков нужно знать нейтронные
сечения всех осколков деления, а также продуктов их
радиоактивного распада. Поэтому детальный расчет
шлаков весьма сложен и громоздок. Обычно шлаки делят
на три группы: с высоким, средним и малым сечениями
поглощения. Поглощение нейтронов в шлаках по
отношению к поглощению в ядерном топливе называют
шлакованием и обозначают через q:
998855
NNN
N
q
aaa
ii
i
σ+σ+σ
σ
=
. (3.29)
При оценочных расчетах все шлаки объединяют в
одну группу с
50
=σ
шл
бн (барн). Кроме того, грубо
оценить количество шлаков можно по количеству
выгоревшего топлива. На основании закона сохранения
энергии количество выгоревшего топлива определяет
количество образовавшихся продуктов:
72
∑
+= QcMcM
iт
22
, (3.30)
где
A
т
f
N
M
EQ
µ
= – выделенная в результате делений
энергия.
Отсюда
∑
µ
−= )
c
NE
(MM
Af
тi
2
1 . (3.31)
Поскольку
1
2
<<
µc
NE
Af
, то количество образовавшихся
продуктов примерно равно сгоревшему топливу.
Следует заметить, что при глубоком выгорании
топлива в реакторе образуется не только плутоний, но и
другие трансурановые элементы: америций
242
Am,
243
Am,
кюрий
242
Cm, калифорний
250
Cf. Калифорний является
источником нейтронов с высокой интенсивностью
I ≈ 4,34⋅10
12
1/с. Он находит большое применение в
промышленности и научных экспериментах.
3.5. Отравление реактора ксеноном
Ксенон является продуктом деления урана со
сравнительно большим выходом и большим сечением
поглощения нейтронов. Он быстро накапливается и
приводит к отравлению реактора. Рождение ксенона
происходит по двум каналам:
Гибель ксенона идет по следующей радиоактивной
цепочке:
73
Составим уравнение рождения и гибели ксенона.
Концентрацию ядер йода обозначим через N
1
, а
концентрацию ядер Xe – N
2
. Поскольку период
полураспада теллура (Te) мал по сравнению с периодом
полураспада йода, то можно воспользоваться принципом
подчинения, согласно которому долгоживущие продукты
распада подчиняют себе короткоживущие, т.е. 0=
dt
dN
Te
, и
уравнение для теллура писать не нужно. Запишем
уравнения рождения и гибели для йода и ксенона:
11
1
N-Ф
dt
dN
1f
λ∑γ= , (3.32)
ФФNNN
dt
dN
f2
∑γ+σ−λ−λ=
222211
2
. (3.33)
Здесь
1
γ
и
2
γ
соответственно выход йода и ксенона при
делении урана.
Поскольку
12
γ<<γ
, то последним слагаемым в
уравнении (3.33) можно пренебречь. Характер решения
системы уравнений (3.32) и (3.33) зависит от начальных
условий, поэтому мы рассмотрим несколько типичных
ситуаций.
Пуск реактора. При пуске реактора со свежей
загрузкой топлива
0
21
==NN
при t = 0. Уравнение (3.32)
умножим на
t
e
1
λ
и запишем в виде
t
f
t
eФ)eN(
dt
d
1
1
1
1
λλ
∑
γ=
. (3.34)
Так как поток быстро достигает стационарного
состояния по сравнению с расходом йода, то Ф(t) можно
считать постоянной величиной. Решение уравнения (3.34)
имеет вид
)1eeN
t
1
f1
t
1
11
−
λ
Φ
∑
γ
=
λλ
(
или
)e-(1
Ф
)t(N
t
f
1
1
1
1
λ−
λ
∑
γ
=
.
74
При постоянном уровне мощности концентрация
йода достигает стационарного состояния:
1
1
1
λ
∑γ
=
Ф
N
f
ст
. (3.35)
Для решения уравнения (3.33) воспользуемся тем же
приемом – умножим все слагаемые на интегрирующий
множитель
tФ)(
e
22
σ+λ
:
(
)
tФ)(t
f
tФ)(
e)e(eN
dt
d
22122
1
12
σ+λλ−σ+λ
−ΣγΦ= . (3.36)
После интегрирования получим
1
Ф)
Ф)Ф)
-ФФ λσ+λ
−∑γ
−−
σ+λ
∑γ
=
σ+λ−λ
σ+λσ+λ
22
t(
f1
t(
22
f1
t(
2
)1e(
)1e(
Ф
eN
212
2222
.
или
)ee(
-Ф
Ф
)e(
Ф
Ф
)t(N
tФ)(t
1
f
tФ)(
f
221
22
22
1
22
1
2
1
σ+λ−λ−
σ+λ−
−
λσ+λ
∑γ
−
−−
σ+λ
∑
γ
=
. (3.37)
В стационарном состоянии
Ф
Ф
N
f
ст
22
1
2
σ+λ
∑γ
=
. (3.38)
Следует обратить внимание на то, что стационарная
концентрация йода прямо пропорциональна потоку, т.е.
мощности реактора, тогда как в зависимости N
2
(Ф)
имеется насыщение (рис.3.4).
2
f
σ
∑γ
Рис.3.4. Зависимость стационарной концентрации йода (N
1
) и ксенона
(N
2
) от плотности нейтронного потока
75
Отравление реактора принято определять
отношением
UU
Xe
Xe
N
P
∑
σ
=
∑
∑
=
22
. (3.39)
В частности, в стационарном состоянии
u
f
u
f
Xe
Ф
Ф
Ф)(
Ф
P
∑
∑
σ+λ
σγ
=
∑σ+λ
σ∑γ
=
22
2
22
2
. (3.40)
Здесь
U
∑
– сечение захвата нейтронов ядрами урана. При
температуре зоны ∼700 К σ
1
= 1,87⋅10
6
бн,
λ
2
= 2,1⋅10
-5
1/с,
U
f
∑
∑
= 0,55 для естественного урана и
U
f
∑
∑
=0,72,
U
f
∑
∑
= 0,76 для топлива с обогащением 2 % и
3 % соответственно. Для чистого
235
U
U
f
∑
∑
= 0,85.
В табл.3.1 приведены значения стационарного отравления
в зависимости от потока нейтронов для естественного
урана.
Таблица 3.1. Зависимость отравления реактора от потока нейтронов
Ф, 1/(см
2
⋅с)
10
12
10
13
10
14
Р
Хе
0,003 0,017 0,029
В табл.3.2 приведены предельные значения
отравления для больших потоков (
2
Ф λ>>σ
2
) при
различных значениях обогащения топлива:
U
f
пр
Xe
P
∑
∑γ
=
. (3.41)
Таблица 3.2. Зависимость предельного отравления от обогащения
топлива
Обогащение,
%
Естеств. уран,
0,72
2 3 100 чист
5
U
пр
Xe
P
0,035 0,045 0,048 0,054
76
На рис.3.5 показаны зависимости
)t(P
Xe
для разных
значений Ф.
Рис.3.5. Зависимость отравления реактора от времени при пуске
реактора: 1 − Ф
1
= 10
14
1/(см
2
⋅с); 2 − Ф
2
= 3⋅10
12
1/(см
2
⋅с);
3 − Ф
3
= 10
12
1/(см
2
⋅с)
Отключение реактора
При отключении реактора исходная система
уравнений имеет вид
11
1
N
dt
dN
λ−= , (3.42)
2211
2
NN
dt
dN
λ−λ= . (3.43)
Начальными условиями являются стационарные
концентрации йода и ксенона:
1
f
Ф
N
λ
∑γ
=
1
10
;
Ф
Ф
N
2
f
2
20
σ+λ
∑γ
=
. (3.44)
Первое уравнение интегрируется сразу:
t
e N)t(N
1
101
λ−
= . (3.45)
Интегрирование второго уравнения осуществим с
использованием интегрирующего множителя
t
e
2
λ
. Для
этого умножим все члены уравнения (3.43) на этот
множитель:
t)(t
e N)e N(
dt
d
12
101
2
2
λ−λλ
λ= . (3.46)
После интегрирования получим
77
C)e (
N
e N
t)(t
+−
λ−λ
λ
=
λ−λλ
1
12
12
101
2
2
. (3.47)
При t = 0 и N
20
= С решение имеет вид
)e e (
N
e N N
ttt
20
12
21
101
2
2
λ−λ−λ−
−
λ−λ
λ
+=
, (3.48)
а зависимость P(t) соответственно
)]e e (
Ф
e
[
Ф
)t(P
tt
1
1
t
U
2f
12
222
2
λ−λ−
λ−
−
λ+λ
γ
+
σ+λ
γ
∑
σ∑
= . (3.49)
Для определения времени, когда отравление
достигает максимума, нужно производную по времени от
P(t) приравнять нулю:
0
1
2
1
2
2
2
22
2
2
=
λ−λ
λγ
+
λ−λ
λγ
−
σ+λ
γλ
−=
λ−
λ−λ−
t
11
tt
e
e
Ф
e
dt
dP
. (3.50)
Отсюда
)
Ф
)((
e
1
1
t)(
2
222
2
1
21
11
λ
λ−λ
+
σ+λ
λ−λ
λ
=
λ−λ
и
)
Ф
(
nt
1
1
1
2
22
2
2
1
λ−λ
σ+λ
λ−λ
+λ
λ
= l . (3.51)
Подставляя данные, получим при
14
102⋅=
o
Ф 1/(см
2
⋅с), 11≅
max
t ч 510,P
max
= против 0,029 в
режиме номинальной мощности. Характер зависимости
приведен на рис 3.6.
Качественно такой характер зависимости P(t) можно
объяснить следующим образом. При отключении реактора
прекращается рождение йода и захват нейтронов
ксеноном. Таким образом, зависимости концентрации йода
и ксенона определяются их радиоактивным распадом.
78
Рис.3.6. Зависимость отравления ксеноном от времени после останова
реактора (с=3 %): 1 – Ф = 10
13
1/(см
2
⋅с); 2 – Ф = 3⋅10
13
1/(см
2
⋅с);
3 – Ф = 10
14
1/(см
2
⋅с)
Поскольку Т
1/2 I
< Т
1/2 Хе
, то реакция лимитируется
ксеноном, идет его накопление и концентрация ксенона
растет. Когда йода остается мало, рождения ксенона
почти нет и идет распад ксенона. В свете сказанного,
концентрация ксенона сначала нарастает, а затем будет
уменьшаться. Точно так же будут протекать процессы при
переходе реактора с высокого уровня энергии на более
низкий уровень, только отравление будет меньше, чем при
отключении.
3.6. Отравление ксеноном в переходных режимах
При переводе реактора с одного уровня мощности на
другой начальными условиями для системы уравнений
(3.32) и (3.33) являются стационарные концентрации йода
и ксенона в исходном режиме. При нахождении решений
будем считать, что поток меняется от Ф
о
до Ф очень
быстро по сравнению с периодами полураспада йода и
ксенона.
Решение уравнения (3.32) имеет вид
tt
f
e N)e(
Ф
)t(N
1
10
1
1
1
1
λ−λ−
+−
λ
∑γ
=
, (3.52)
79
где
1
10
λ
∑γ
=
Ф
N
f
– начальная концентрация йода.
В уравнение (3.36) также добавляется одно
слагаемое:
.e Ф)N(e Фe N
e )e(Ф)e N(
dt
d
t)Ф(
f
Ф)t(
f
t)Ф(
Ф)t(t
f
Ф)t(
21222122
22122
110110
12
1
σ+λ−λσ+λλ−σ+λ
σ+λλ−σ+λ
∑γ−+∑γ=+
+−∑γ=
(3.53)
Интегрирование (3.53) даст следующее решение:
.e N)e e(
Ф
ФN
)e-(1
Ф
Ф
(t)N
t)Ф(Ф)t(t
f
Ф)t(
f
22
20
221
212
10
22
22
1
2
σ+λ−σ+λ−λ−
σ+λ−
+−
σ+λ−λ
∑γ−
+
+
σ+λ
∑
γ
=
(3.54)
Соответственно определяется и степень отравления
реактора:
U
)t(N
)t(P
∑
σ
=
22
. (3.55)
Следует обратить внимание на то, что характер
решений уравнений (3.32) и (3.33) таков, что вначале при
снижении мощности степень отравления реактора растет,
а при увеличении мощности уменьшается. Это видно как
из полученных решений, так и непосредственно из
уравнений (3.32) и (3.33). Увеличение отравления со
снижением мощности мы уже объяснили, теперь
проанализируем обратный процесс. При увеличении
мощности увеличивается Ф, следовательно, и слагаемое
ФN
22
σ в уравнении (3.33), т.е. происходит поглощение
нейтронов ксеноном, что и приводит к снижению его
концентрации. Процесс подчиняется следующей
логической цепочке:
ρ
ρ
80
Отсюда видно, что по ксенону имеет место
положительная обратная связь.
3.7. Связь отравления с реактивностью.
Йодная яма
Установим связь отравления реактора ксеноном с
его реактивностью. Отравление приводит к изменению
изотопного состава зоны, что сказывается на
коэффициенте размножения:
22
2
1
L
B
e
f K
B
эф
+
ϕηε=
τ−
. (3.56)
Как известно, возраст нейтронов определяется
рассеивающими свойствами среды и, поскольку
концентрация ксенона мала по сравнению с
концентрацией рассеивателя, то влиянием отравления на
вероятность утечки в процессе замедления можно
пренебречь. Длина диффузии уменьшается за счет
появления дополнительного поглотителя, но для больших
реакторов
1
22
<<
L
B
. Напомним, что
2
2
1
R
~B , где R –
размер зоны. Поэтому влиянием отравления на
вероятность избежать утечки в процессе диффузии можно
также пренебречь. Влияние отравления проявляется
через коэффициент использования тепловых нейтронов f.
ЗU
U
f
∑+∑
∑
=
. (3.57)
При отравлении коэффициент использования
тепловых нейтронов принимает значение
XeЗU
U
f
∑+∑+∑
∑
=
′
. (3.58)
Поэтому изменение коэффициента размножения
определяется формулой