Семенов В.К. Кинетика и регулирование ядерных реакторов
Подождите немного. Документ загружается.
11
∆k = 0,01 и τ = 0,001 с период реактора T = 0,1 с. Это
означает, что за 0,1 с мощность реактора увеличится в е
раз, т.е. за 1 с мощность возрастет в
10
e раз. Для
реактора с обогащенным ураном и обычной водой в
качестве замедлителя
5
105
−
⋅=τ с. При той же избыточной
реактивности через 1 с мощность реактора увеличится в
86
10 раз. Понятно, что при таком быстром увеличении
мощности реактора он представляет собой
неуправляемый объект. С учетом запаздывающих
нейтронов
c ,
iiз
10=τβ∑=τ
и T=10 с. При таком периоде
реактора им можно надежно управлять.
Из приведенных оценок видно, что для управления
цепным процессом нужно реактор по мгновенным
нейтронам держать в подкритическом режиме, а на
критический режим выводить за счет запаздывающих
нейтронов.
1.2. Уравнения кинетики холодного реактора
с распределенными параметрами
Запишем уравнения кинетики реактора с учетом
шести групп запаздывающих нейтронов в односкоростном
приближении, когда все нейтроны считаются тепловыми:
запмa
SSФФD
t
Ф
v
++∑−∆=
∂
∂1
, (1.16)
ii
ai
i
C
Фk
t
C
λ−
ϕ
∑
β
=
∂
∂
∞
. (1.17)
Здесь введены следующие обозначения: Ф – плотность
нейтронного потока; D – коэффициент диффузии;
a
∑
–
макроскопические сечения захвата нейтронов; С
i
–
концентрация запаздывающих нейтронов i-й группы; β
i
–
доля запаздывающих нейтронов i-й группы; ϕ –
вероятность избежать резонансного захвата;
м
S ,
зап
S –
источники мгновенных и запаздывающих нейтронов.
12
τ
∞
∑β∑−=
2
B-
aiм
e Фk)(S 1 , (1.18)
где
τ−
2
B
e – вероятность избежать утечки при замедлении.
τ
ϕλ=
∑
2
B-
i
iiзап
e )C(S
. (1.19)
При расчете мощности источника запаздывающих
нейтронов принята следующая схема их появления. Часть
мгновенных нейтронов, рожденных в результате цепной
реакции
ϕ
∑
β
∞
Фk
ai
, при захвате ядрами-
предшественниками переходит в связанное состояние.
Затем ядра-предшественники испытывают радиоактивный
распад, испуская нейтроны с постоянной распада λ
i
. Таким
образом, источник запаздывающих нейтронов
представлен формулой (1.19). В стационарном состоянии
00 =
∂
∂
=
∂
∂
t
C
,
t
Ф
i
,
ϕ
∑
β
=λ
∞
Фk
C
ai
ii
. Подставляя эти
выражения в (1.16), получим
0
2
=∑+∑∆
τ−
∞
B
aa
e ФkФ-ФD . (1.20)
При быстром возмущении реактора скачком
реактивности пространственные части распределения
)rФ(
r
и )r(C
i
r
остаются неизменными, поэтому анализ
решения системы уравнений (1.16) и (1.17) можно
упростить, проинтегрировав эти уравнения по объему
активной зоны. Более подробно этот подход изложен в
следующем параграфе.
1.3. Уравнения кинетики реактора
с сосредоточенными параметрами
(“точечный реактор”)
Рассмотрение кинетики реактора будем вести в
предположении, что условия работы реактора близки к
критическому состоянию и характерное время изменения
13
пространственного распределения нейтронов при
изменении реактивности реактора велико по сравнению со
временем переходного режима. В таких условиях при
анализе возмущенного движения реактора
пространственные распределения нейтронного потока и
концентрации ядер-предшественников в течение
переходного процесса можно считать неизменными, а
значит, для переходного процесса несущественными.
Принятые условия позволяют упростить исходную систему
уравнений кинетики реактора. С этой целью
проинтегрируем исходные уравнения (1.16)–(1.19) по
объему активной зоны.
Так как на поверхности активной зоны
диффузионный ток ФDj ∇−=
r
отсутствует, то слагаемое
∫∫ ∫
=∇∇=∆ SdjdvD Ф)(DФdv обращается в нуль.
При вычислении интеграла от источника мгновенных
нейтронов имеем
.)t(n
k)(
dV
)LB(
)LB(
nvek)(
V
эф
a
B
АЗ
>
τ
β−
=<
=
+
+
λ
β−
∫
τ−
∞
1
1
1
1
1
22
22
2
(1.21)
Вычисление интегралов от остальных слагаемых
уравнений (1.16)–(1.19) очевидно. Опуская знаки
усреднения по АЗ, получим уравнения кинетики
возмущенного движения реактора с сосредоточенными
параметрами:
∑
λ+
τ
β−−
=
6
1
1
)t(C)t(n
kk
dt
)t(dn
ii
эфэф
, (1.22)
)t(C)t(n
k
dt
)t(dC
ii
эфi
i
λ+
τ
β
= . (1.23)
Все входящие в эти уравнения величины усреднены
по активной зоне.
14
1.4. Уравнение Нордхейма. Единицы реактивности
Так как уравнения (1.22) и (1.23) линейные и не
содержат времени в явном виде, то их решение будет
выражаться экспоненциальным законом
t
Ae)t(n
ω
= ,
t
ii
eB)t(C
ω
= . (1.24)
Подставляя (1.24) в (1.22) и (1.23), получим
∑
λ+
τ
β
−
−
=ω
ii
эфэф
BA
kk
A
1
, (1.25)
ii
эфi
i
B
Ak
B λ−
τ
β
=ω . (1.26)
Из второго уравнения
)(
Ak
B
i
эфi
i
λ+ωτ
β
=
. (1.27)
Поставляя (1.27) в (1.25), имеем
∑
λ+ωτ
λ
β
+
τ
β
−
−
=ω
)(
kkk
i
iэфiэфэф
1
. (1.28)
Умножая все члены уравнения на
эф
k
τ
, получим
)(
)(k
i
ii
i
i
ii
эф
∑∑
λ+ω
λ
β
−β=
λ−ω
λ
β
−β=
ωτ
−ρ
.
Так как
эфэф
эф
kk
k
1
1
1
−=
−
=ρ , то ρ−= 1
1
эф
k
, и
∑
λ+ω
ωβ
=ωτρ−−ρ
i
i
)(1
. Окончательно имеем
∑
λ+ω
ωβ
ωτ+
+
ωτ+
ωτ
=ρ
6
1
1
1
1
i
i
. (1.29)
График зависимости
)(
ω
ρ
приведен на рис.1.1.
Уравнение (1.29) имеет 7-й порядок относительно ω. Из
графика видно, что при
0
>
ρ
один корень положителен, а
остальные – отрицательны.
15
r
1
−
ρ
0
>
ρ
0
<
ρ
ω
2
λ
1
λ
3
λ
4
λ
5
λ
6
λ
Рис.1.1. Качественный график зависимости
)(
ω
ρ
τ
−
τ
+
ρ
=
)
T
(
y
τ
−
τ
+
ρ
−
=
)
T
(
y
∑
τ
i
i
B
1
λ
2
λ
3
λ
4
λ
5
λ
6
λ
Рис.1.2. Качественный график зависимости y = f(T)
16
Вместо ω можно ввести период реактора
T
1
=ω и
найти зависимость )(
τ
ρ
:
∑
λ+
β
+τ
+
+τ
τ
=ρ
TT
T
T
i
i
1
. (1.30)
График этой зависимости представлен на рис.1.2.
Уравнение (1.30) называют уравнением обратных
часов или уравнением Нордхейма. Если T
<<
τ
, то
формула допускает упрощение
∑
λ+
β
+
τ
=ρ
TT
i
i
1
. (1.31)
В связи с формулой (1.30) приняты следующие
единицы измерения реактивности. Во-первых,
реактивность измеряют в единицах β. Если
β
=
ρ
, говорят,
что реактивность равна 1 $, а сотую часть $ называют
центом. Во-вторых, реактивность измеряют в процентах.
Еще реактивность измеряют в обратных часах. Обратный
час – это реактивность, соответствующая периоду 1 час.
Подставляя в формулу (1.31) Т = 1 час, получим
5
10542
3600
−
⋅=
λ
β
=ρ
∑
,
i
i
.
Это очень малая единица реактивности, поэтому
этот способ измерения редко используется.
Выбор единиц измерения реактивности в β наиболее
естествен. При
ρ
=
β
реактор критичен по мгновенным
нейтронам, запаздывающие нейтроны роли не играют, т.е.
реактор становится неуправляемым.
В общем случае зависимость установившегося
периода реактора от реактивности определяется
формулой (1.30), что можно представить графически
(рис.1.3).
17
Рис.1. 3. Зависимость
установившегося периода
реактора от реактивности:
1 – τ = 5
.
10
-3
с; 2 – τ =
.
10
-3
с;
3 – τ =
.
10
-7
с.
Из графика видно, что при 0050,
<
ρ
все три кривые
совпадают, а далее установившийся период уменьшается
по мере сокращения времени жизни нейтронов. В связи с
этим управление реакторами с малым временем жизни
нейтронов (реакторы на быстрых нейтронах) значительно
труднее, чем реакторами на тепловых нейтронах.
1.5. Анализ возмущенного движения реактора
в одногрупповом приближении
Из графиков зависимости )(
ω
ρ
и )T(
ρ
видно, что все
i
ω
, за исключением
o
ω
, отрицательны, поэтому
∑
ω
ω
+=
6
1
0
0
t
i
i
t
eAeAn . (1.32)
Все экспоненты, за исключением
t
e
0
ω
, затухают, и
остается основное решение
t
o
o
enn
ω
= .
В связи с этим период
o
у
T
ω
=
1
называют
установившимся, а остальные – переходными.
Чтобы качественно проанализировать характер
возмущенного движения, перейдем к одной группе
запаздывающих нейтронов. В этом случае
ρ
18
∑
=β=β 00640,
i
,
0770,
>=
λ
<
1/с, причем 1
<<
ωτ
, т.е.
возмущение мало,
β
<<
ρ
. Таким образом, уравнение
(1.29) принимает вид
λ+ω
ωβ
+ωτ≈ρ (1.33)
или
0
2
=
τ
ρλ
−ω
τ
ρ
−
τ
β
+λ+ω )( . (1.34)
Так как
1<<
ρ−β
λτ
, то
τ
ρ−β
≈
τ
ρ−β+λτ
=
τ
ρ
−
τ
β
+λ
)(
.
С учетом этого имеем
0
2
=
τ
ρλ
−ω
τ
ρ−β
+ω , (1.35)
и
ρ−β
ρλτ
+±
τ
ρ−β
−=ω
2
1
4
11
2
)(
,o
. (1.36)
Параметр
2
4
)(
x
ρ−β
ρλτ
=
является малым параметром,
т.е.
1
<<
x
. Раскладывая квадратный корень в ряд
Тейлора, получим
2
2
1
2
1
11
)(
xx
ρ−β
ρλτ
+=+≈+
,
ρ−β
ρλ
−=ω
o
;
τ
ρ−β
−≈
ρ−β
ρλτ
+
τ
ρ−β
−=ω
)
)(
(
2
1
2
2
2
.
Таким образом, возмущенное движение реактора
имеет решение
t
t
o
o
eAeAn
1
1
ω−
ω
+= , (1.37)
t
t
o
o
eBeBC
1
1
ω−
ω
+= . (1.38)
Для определения постоянных интегрирования
воспользуемся начальными условиями:
19
o
n)(n =0
;
o
C)(C =0
; 0=
o
)
dt
dC
( ;
oo
n)
dt
dn
(
τ
ρ
= . (1.39)
Подставляя решения в начальные условия, получим
. nAA
, BB
, nBB
, nAA
ooo
oo
oo
oo
τ
ρ
=ω+ω
=ω+ω
τλ
β
=+
=
+
11
11
1
1
0
(1.40)
Умножим первое из этих уравнений на
1
ω и сложим с
последним уравнением:
oooo
nn)(A
τ
ρ
+ω=ω+ω
11
. (1.41)
Подставляя сюда
o
ω и
1
ω , имеем
τ
β
=
τ
ρ−β
+
τ
ρ
=
τ
ρ−β
+
ρ−β
ρλ
o
oo
n
)(n)(A ,
τ
β
=
ρ−βτ
ρ−β−ρλτ
oo
n)
)(
)(
(A
2
.
Учитывая, что 1
)(
2
<<
ρ−β
ρλτ
, находим коэффициенты
o
A
и
1
A
:
ρ−β
β
=
oo
nA
,
ρ−β
ρ
−=
ρ−β
β
−=
oo
n)(nA
1
1
. (1.42)
Окончательно решение возмущенного движения
реактора имеет вид
)texp()texp(
n
)t(n
o
τ
ρ−β
−
ρ−β
ρ
−
ρ−β
ρλ
ρ−β
β
=
. (1.43)
В выражении (1.43) первое слагаемое определяется
поведением запаздывающих нейтронов, а второе –
мгновенных. Отсюда ясно, что второе слагаемое очень
20
быстро затухает, тогда как первое, по сравнению со
вторым, медленно растет, т.е.
1
1
<<
ω
ω
o
.
В качестве примера рассмотрим изменение
реактивности реактора скачком ρ = 0,003. Подставляя
β = 0,0064, λ = 0,077 1/с, τ ≅ 10
-3
с, получим следующие
значения параметров процесса разгона реактора:
43,=
τ
ρ−β
1/с, 070,=
ρ−β
ρλ
1/с,
81
,
n
A
o
o
=
,
80
1
,
n
A
o
=
.
Таким образом, после скачка реактивности ρ = 0,003
мощность практически скачком возрастает в 1,8 раза, а
далее будет нарастать с периодом
c ~T
o
o
15
1
ρλ
ρ−β
=
ω
=
.
Качественный вид графика изменения мощности
реактора во времени представлен на рис.1.4.
Рис.1.4. График зависимости мощности реактора во времени после скачка
реактивности: 1
–
запаздывающие нейтроны, 2
–
мгновенные нейтроны