Семенов В.К. Кинетика и регулирование ядерных реакторов
Подождите немного. Документ загружается.
51
Рис.2.6. Зависимость мощности реактора от времени:
α =10
-3
1/с, τ =10
-4
с, δρ =10
-4
Рис.2.7. Зависимость средней температуры зоны от времени:
α =10
-3
1/с, τ =10
-4
с, δρ =10
-4
Рис.2.8. Фазовая диаграмма реактора: α =10
-3
1/с, τ=10
-4
с, δρ=10
-4
52
Рис.2.9. Зависимость мощности реактора от времени:
α =10
-3
1/с, τ =10
-4
с, δρ =3
.
10
-4
Рис.2.10. Зависимость средней температуры зоны от времени: α =10
-3
1/с,
τ =10
-4
с, δρ=3
.
10
-4
53
Рис.2.11. Фазовая диаграмма реактора: α =10
-3
1/с,
τ =10
-4
с, δρ = 3
.
10
-4
С увеличением времени жизни мгновенных
нейтронов при тех же выбросах реактивности снижается
амплитуда колебаний мощности и фазовая диаграмма
принимает более симметричный характер (рис.2.12–2.14).
Рис.2.12. Зависимость мощности реактора от времени:
α = 10
-3
1/с, τ = 10
-3
с, δρ =3
.
10
-4
54
Рис.2.13. Зависимость средней температуры зоны от времени: α =10
-3
1/с,
τ=10
-3
с, δρ =3
.
10
-4
Рис.2.14. Фазовая диаграмма реактора: α =10
-3
1/с, τ =10
-3
с, δρ = 3
.
10
-4
55
2.3. Кинетика мгновенно-надкритического
реактора
Как уже отмечалось ранее, при реактивности
β
>
ρ
происходит неконтролируемый разгон реактора на
мгновенных нейтронах. В этих условиях может произойти
расплав зоны, но конструкция ВВЭР такова, что на днище
корпуса критическая композиция невозможна. Несмотря на
это, последствия могут быть тяжелыми. Поэтому
проанализируем роль отрицательной обратной связи в
этих условиях. Запишем уравнения кинетики реактора:
. )TT(UCN
dt
dT
C
,NN
dt
dN
,NN
T
dt
dN
вхврвp
в
в
в
−γ−=
λ−
τ
β
=
λ+
τ
α−β−ρ
=
(2.28)
Здесь С
р
– теплоемкость реакторных материалов; С
рв
–
удельная теплоемкость теплоносителя при постоянном
давлении; U и γ – соответственно расход и плотность
теплоносителя.
Сделаем оценки. Так как β~
N
N
в
, то
1<<
τβ−ρ
τβ
β−ρ
τλ
зап
в
)(
~
N)(
N
. Далее можно показать, что
1
t
TC
TtUC
Tp
<<
τ
=
∆
∆ρ
врв
. Здесь
UC
C
pв
T
р
=τ
– время
установления стационарного теплообмена; t –
характерное время развития переходного процесса,
t ~
β−ρ
τ
.
С учетом оценок исходную систему уравнений можно
привести к виду
56
N
T
dt
dN
τ
α−β−ρ
= , (2.29)
N
dt
dN
в
τ
β
= , (2.30)
N
dt
dT
C
p
= . (2.31)
Поделим уравнение (2.29) на (2.31) и получим
уравнение
τ
α−β−ρ
=
]T)[(C
dT
dN
p
, (2.32)
интегрирование которого при
δρ
=
β
−
ρ
дает
τ
α
−
τ
δρ
=−
2
2
TC
T
C
NN
pp
o
. (2.33)
Результат совпадает с формулой для N
max
предыдущего раздела.
График зависимости мощности от температуры
представлен на рис.2.15.
Рис. 2.15. Фазовая диаграмма реактора: α =10
-3
1/с,
τ=10
-4
с, δρ=10
-4
57
Мощность достигает максимума при
α
δρ
=
/T :
ατ
δρ
=−
2
2
)(C
NN
p
omax
.
Отсюда видно, что максимальная мощность зависит
от скачка реактивности δρ квадратично.
Вследствие отрицательной обратной связи по
температуре мощность снижается, а температура
достигает максимального значения
α
δρ
≅
2
T
max
при
o
NN =
.
В этот момент реактивность реактора отрицательна
(
δρ
−
=
ρ
), а выделенная энергия может быть оценена по
формуле
α
δρ
==
p
maxp
C
TCE
2
.
Полагая
Cc/ ,
N
C
o
p
o
10=
, C1/
o4
10
−
=α , c
4
105
−
⋅≅τ ,
получим следующую численную оценку: Е =80N
о
.
На основании уравнений (2.31) и (2.33) можно найти
зависимость температуры зоны от времени:
2
2
T
C
T
C
N
dt
dT
C
pp
op
τ
α
−
τ
δρ
+= . (2.34)
После разделения переменных, получим
dt
)bT(a
dT
τ
α
=
−−
2
22
. (2.35)
Здесь
2
2
2
2
α
δρ
+
α
τ
=
)(
C
N
a
p
o
,
α
δρ
=b .
Интегрируя (2.35), имеем
ba
e
ba
e
T
t
a
t
a
+
+
−
−
=
τ
α
τ
α
1
1
. (2.36)
58
Заметим, что при
∞
→
t
δρ
α
τ
+
α
δρ
=+=
p
уст
C
N
baT
0
2
.
Найдя T(t), можно найти и N(t):
dt
dT
C)t(N
p
= .
Графики зависимости T(t) и N(t) представлены на
рис.2.16 и 2.17.
Рис.2.16. Зависимость температуры зоны от времени:
α =10
-3
1/с, τ =10
-4
с, δρ =10
-4
Рис.2.17. Зависимость мощности реактора от времени:
α =10
-4
1/с, τ=10
-4
с, δρ=10
-3
59
2.4. Влияние запаздывающих нейтронов
С учетом запаздывающих нейтронов уравнения
кинетики реактора при небольшом возмущении имеют
следующий вид:
в
NN
dt
dN
λ+
τ
β−ρ
= , (2.37)
в
в
NN
dt
dN
λ−
τ
β
= , (2.38)
op
NN
dt
dT
C −= . (2.39)
В стационарном состоянии 0
=
ρ
,
o
NN =
. В момент
t = 0 реактивность скачком изменяется на величину
o
δρ
.
Так как реактивность изменяется на небольшую величину,
теплоотвод от реактора N
о
будем считать в течение
переходного процесса постоянным. Исследование
переходного процесса проведем на основании теории
возмущений.
Для этого запишем уравнения возмущенного
движения в линейном приближении. При этом рассмотрим
малые времена, когда число запаздывающих нейтронов
не успевает измениться, т.е. N
В
остается величиной
постоянной. Заменяя N на NN
o
δ+ , Т на TT
o
δ+ и
пренебрегая слагаемым второго порядка малости
N
δρδ
,
получим уравнения возмущенного движения:
NN
dt
Nd
o
δ
τ
β
−
τ
δρ
=
δ
, (2.40)
N
dt
Td
C
p
δ=
δ
. (2.41)
Учитывая, что
T
o
αδ−δρ=δρ
, продифференцируем
(2.40) по времени:
dt
Nd
dt
Td
N
dt
Nd
o
δ
τ
β
−
δ
τ
α
−=
δ
2
2
.
Это уравнение с учетом (2.41) примет вид
60
0
2
2
=δ
τ
α
+
δ
τ
β
+
δ
N
C
N
dt
Nd
dt
Nd
p
o
. (2.42)
Уравнение (2.42) является уравнением затухающих
колебаний. Его решение ищем в виде
rt
AeN =δ .
Подставляя в (2.42), получим характеристическое
уравнение
0
2
=
τ
α
+
τ
β
+
p
o
C
N
rr
. (2.43)
Корни этого уравнения определяются формулой
τ
α
−
τ
β
±
τ
β
−=
p
o
,
C
N
r
2
2
21
4
2
. (2.44)
Так как
2
2
4τ
β
>
τ
α
p
o
C
N
, то корни мнимые, и решение
имеет вид
)}t itexp(ARe{N ω+
τ
β
−⋅=δ
2
.
Здесь Re – действительная часть от указанного
аргумента,
2
2
4τ
β
−
τ
α
=ω
p
o
C
N
.
Окончательно решение записывается следующим
образом:
tsinAeN
t
ω=δ
τ
β
−
2
. (2.45)
Постоянная интегрирования А находится из
начальных условий: при t = 0,
o
δρ=δρ
, 0
=
δ
N , 0
=
δ
T и
o
o
N
dt
Nd
τ
δρ
=
δ
. Подставляя (2.45) в начальные условия,
находим
τω
δρ
=
oo
N
A . (2.46)