Семенов В.К. Кинетика и регулирование ядерных реакторов
Подождите немного. Документ загружается.
31
возможности высвобождения
эф
β≥ρ (разгон на
мгновенных нейтронах).
1.10. Обращенное решение уравнений кинетики.
Измерение реактивности
Реактивность является одним из важнейших
параметров, характеризующих состояние реактора: при
ρ = 0 реактор находится в критическом состоянии, при
ρ < 0 – в подкритическом, при ρ > 0 он надкритичен и при
β
≥
ρ
реактор уходит в неуправляемый разгон.
Реактивность реактора можно определить по измеренному
периоду реактора на основании уравнения Нордхейма,
однако это можно сделать напрямую.
Задача измерения реактивности заключается в
нахождении зависимости
)n(f=ρ
, так что по измеренной
зависимости мощности от времени можно будет
определить )t(
ρ
. Зависимость n(t) непосредственно не
измеряется. В процессе экспериментального определения
нейтронно-физических характеристик измеряются токи
ионизационных камер, расположенных за корпусом
реактора. При этом ток ионизационных камер
пропорционален потоку нейтронов, следовательно и n(t).
Метод измерения реактивности базируется на
точечной модели кинетики:
∑
λ+
τ
β−ρ
= )t()t(n
dt
)t(dn
i
iC
, (1.74)
∑
λ−
τ
β
= )t()t(n
dt
)t(dC
i
iC
ii
. (1.75)
Из первого уравнения определим реактивность,
измеренную в единицах β:
∑
λ
β
τ
−+
β
τ
=
β
ρ
6
1
1
i
iC
ndt
dn
n
)t(
. (1.76)
Зависимость С
i
(t) найдем из второго уравнения
кинетики:
32
n
dt
dC
i
iC
i
i
τ
β
=λ+ . (1.77)
Умножив все члены этого уравнения на
интегрирующий множитель
t
i
e
λ
, получим
t
i
i
t
i
i
ne)eC(
dt
d
λλ
τ
β
= . (1.78)
Используя начальные условия 0
0
=
/
i
dt
dC
и
)(n)(C
i
i
i
00
τλ
β
=
, получим
λ+
τ
β
=λ
λλ−
∫
'dte)'t(n)o(ne)t(C
't
i
t
i
t
i
i
ii
0
. (1.79)
Подставляя полученный результат в формулу (1.76),
получим
∑
−
β
τ
+=
β
ρ
6
1
1
1
i
T
ndt
dn
n
)t(
, (1.80)
где
λ+
β
β
=
λλ−
∫
'dte)'t(n)o(neT
't
i
t
i
t
i
i
i
0
. (1.81)
Беря последний интеграл по частям, реактивность можно
представить в следующем виде:
[ ]
td)tt(exp
td
)t(dN
)t(Ndt
)t(Nlnd)t(
t
ii
′
−
′
λ
′
′
β
β
+
β
τ
=
β
ρ
∫
∑
0
6
1
1
. (1.82)
Зависимость n(t) задается численно на основании
эксперимента, и, значит, выражение (1.81) рассчитывается
тоже численным интегрированием с использованием ЭВМ.
Так как эксперимент проводится при условии, что
реактор далек от мгновенной критичности, то второе
слагаемое в выражении (1.80) можно опустить.
Действительно,
1
1
<<
β
τ
=
β
τ
Tdt
dn
n
.
33
Здесь
Tdt
dn
n
11
= − величина, обратная периоду реактора.
Таким образом, подавая на вход прибора сигнал от
ионизационных камер, на выходе можно получить
значение реактивности реактора. Прибор может быть
аналоговым или цифровым, он может работать синхронно
(on line) при получении входного сигнала, а может
запоминать сигнал и давать ответ после обработки
сигнала.
Следует заметить, что в качестве периодомера и
реактиметра можно использовать персональный
компьютер. Используя стандартную программу
регрессионного анализа, можно по методу наименьших
квадратов определить показатель экспоненты ω,
аппроксимирующей оцифрованный сигнал n(t):
t
o
en)t(n
ω
= ,
T
1
=ω . (1.83)
Таким образом, подавая на вход персонального
компьютера оцифрованный сигнал n(t), можно определить
средний период и реактивность реактора.
Глава 2. КИНЕТИКА РЕАКТОРА В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ
РЕЖИМАХ
Как видно из рассмотрения кинетики холодного
реактора – он неустойчив. При изменении реактивности
холодного реактора в нем отсутствуют обратные связи,
которые оказывали бы влияние на это изменение. Для
реактора, находящегося в энергетических режимах,
реактивность зависит от температуры зоны. Поэтому такой
реактор имеет температурную обратную связь. Для того
чтобы реактор был устойчив, температурная обратная
связь должна быть обязательно отрицательной. В этом
случае при изменении реактивности в реакторе возникают
процессы, нивелирующие это изменение и возвращающие
реактор в исходное состояние.
34
2.1. Температурные эффекты
В энергетических реакторах материалы находятся
при весьма высоких температурах (например, в ВВЭР
средняя температура топлива C ~T
UO
o
1000
2
, а воды
~300 °С). Поэтому даже небольшие изменения режима
работы реактора приводят к значительным абсолютным
изменениям температуры. Поле температур определяется
координатами и временем, т.е. T = T(x, y, z, t). Однако
далее будем считать, что имеет место квазистационарное
распределение температур и можно говорить о средних
температурах по отдельным компонентам АЗ. В более
грубой модели можно говорить о средней температуре
всей зоны. Этот подход удобен при качественном анализе,
и мы далее будем им пользоваться.
Для качественной характеристики влияния
температуры на мультиплицирующие свойства среды
используются две величины: температурный эффект
реактивности (ТЭР) и температурный коэффициент
реактивности (ТКР).
ТЭР определяется следующим образом:
)(T)(TТЭР
12
ρ−ρ=ρ∆=
. (2.1)
Это интегральная характеристика, и измеряется она
в единицах реактивности.
Так как
эфэф
эф
kk
k
1
1
1
−=
−
=ρ , то
)T(k)T(k
)T(k)T(k
21
12
−
=ρ∆
. (2.2)
Напротив, температурный коэффициент
реактивности – дифференциальная характеристика
T
k
k
T
эф
эф
T
∂
∂
=
∂
ρ∂
=α
2
1
. (2.3)
Когда 1≅
эф
k
, то формула (2.3) может быть
упрощена
35
T
k
k
эф
эф
T
∂
∂
≅α
1
. (2.4)
В эксплуатационной практике различают несколько
температурных коэффициентов реактивности: по топливу,
теплоносителю и замедлителю. Температурный эффект
по топливу – самый “быстрый” эффект, т.к. изменение
мощности реактора практически мгновенно приводит к
изменению температуры топлива. Другие эффекты
проявляются с задержкой, что обусловлено большой
теплоемкостью теплоносителя и замедлителя.
Изменение коэффициента размножения при
изменении температуры обусловлено двумя причинами:
изменением ядерных свойств материалов и изменением
плотности материалов. Чтобы учесть то и другое,
напишем формулу (2.4) в развернутом виде. В
соответствии с двухгрупповым приближением
22
1 L
ek
k
эф
β+
=
βτ−
∞
. (2.5)
Для удобства дальнейших вычислений эту формулу
представим в виде
Pkekk
MB
эф ∞
−
∞
==
22
. (2.6)
Это видно из того, что
22
22
1
LBe
MB
+≅
, а
22
ML =τ+
– площадь миграции. Как известно,
22
MB
e
−
представляет
собой вероятность избежать утечки при замедлении и
диффузии нейтронов Р. Прологарифмируем выражение
(2.6), а затем продифференцируем по
T
T
≡
>
<
:
dT
dP
PTd
k d
k
эф
эф
T
11
+≅α . (2.7)
В соответствии с формулой четырех сомножителей
fk ηεϕ=
∞
и, значит,
dT
df
fdT
d
dT
d
dT
d
Td
k d
k
11111
+
ϕ
ϕ
+
ε
ε
+
η
η
=
∞
∞
. (2.8)
36
Поскольку изменение каждого из сомножителей
обусловлено двумя причинами, то имеет смысл
проанализировать роль каждой из них в отдельности.
Вначале учтем влияние температуры на ядерные
характеристики материалов. Число вторичных нейтронов
деления на один захваченный тепловой нейтрон η
определяется формулой
85
5
1
σ
−
+σ
σ
ν=η
C
C
f
. (2.9)
Здесь
),n(
f
γσ+σ=σ
555
, С – доля
235
U в смеси с
238
U. В
соответствии с формулами Брейта–Вигнера
v
~
1
σ . Если
бы этот закон выполнялся для всех сечений, то
dT
dη
= 0, т.к.
ν не зависит от Т в диапазоне реакторных температур. В
действительности зависимость )v(
σ
для ядерного топлива
слегка отклоняется от указанного закона
)T(g
v
v
oo
σ
=σ , (2.10)
где g(T) – температурный фактор. Так как g
5
(T) < 1, а
g
8
(T) > 1, то 0
1
≤
η
η dT
d
. Эффект незначителен и его можно
не принимать во внимание. К такому же результату
приводит и накопление плутония. При накоплении
плутония
998855
999555
NNN
NN
ff
σ+σ+σ
σν+σν
=η .
Коэффициент размножения на быстрых нейтронах
определяется шагом решетки и плотностью замедлителя
(рис.2.1).
37
ε
ε
U
3
3
S
S
γ
Рис.2.1. Качественная зависимость коэффициента ε от шага решетки
и плотности замедлителя
С ростом этих параметров он приближается к ε
единичного блока, т.к. роль перекрестного попадания
нейтронов в чужие блоки падает. Здесь γ
3
– плотность
замедлителя,
U
з
S
S
– отношение площади замедлителя и
топлива в ячейке. В разреженных уран-графитовых
решетках ε слабо зависит от температуры, решетка
редкая, а плотность графита слабо изменяется с ростом
температуры. В тесных водо-водяных решетках картина
обратная: перекрестный эффект велик и плотность воды с
ростом температуры уменьшается, т.е. ε растет:
0
1
>
ε
ε dT
d
.
Обратимся теперь к температурной зависимости
ϕ(Т). Как известно, вероятность избежать резонансного
захвата имеет вид
∑−=ϕ
∫
f
гр
E
a
(E)dE*Ф
E
)E(exp . (2.11)
Поскольку
E
1
~
Ф
*
S
>∑ξ<
, то зависимость ϕ(Т)
определяется влиянием роста температуры на ширину
38
резонанса в зависимости σ
а
(Е) (эффект Доплера) и
влиянием роста температуры на замедляющую
способность материалов АЗ.
Так как реакции тепловых нейтронов с ядрами
проходят через промежуточное ядро, то сечение реакции
Г
Г
*
i
i
σ=σ . Как известно из курса нейтронной физики,
сечение образования промежуточного ядра определяется
формулой
2
2
)
2
Г
()E(E
ГГ
)I(g*
2
o
n
+−
π=σ D .
Энергия возбуждения ядра Е находится из
соотношения
2
2
v
EE
n
µ
+∆=
, где
n
E∆
– энергия связи
нейтрона в промядре;
Mm
mM
+
=µ
– приведенная масса; v –
скорость нейтрона в лабораторной системе отсчета.
При учете теплового движения атомов среды нужно
v
заменить на vV
t
− . Тепловое движение изменит
ширину уровня:
2
2
22
)vV(v
D
t
−µ
−
µ
=
.
Учитывая, что скалярное произведение vVVv
tn
t
= ,
получим
яtn
T
M
vVD
µ
−µ= .
Здесь
tn
V − проекция скорости ядра
t
V на направление
v
.
Так как кинетическая энергия ядра
o
kT~T
я
и
22
1)A(
A
)Mm(
mM
+
=
+
, то, пренебрегая вторым слагаемым в
выражении для D, получим
39
A
kTT
D
n
o
2≅ .
Тепловое движение приводит к “размазыванию”
распределения )E(
ρ
и )E(
σ
, при этом площадь под кривой
остается неизменной (рис.2.2), т.к. по условию нормировки
∫
∞
∞−
=ρ 1dE)E( .
Поскольку вдали от резонанса нейтронный поток
является фермиевским, а в резонансе
)E(
1
~)EФ(
oa
o
σ
(рис.2.3), то для поглощенного в резонансе потока имеем
следующую оценку:
∫
+
−
=σ=
2/D
2
/
D
)E(N NCD(E)dE*ФФ
погл
,
где
)E(C
o
ao
)(E*Ф σ=
. Отсюда видно, что тепловое
движение увеличивает поглощенный поток.
Рис.2.2. Влияние теплового Рис.2.3. Зависимость Ф(Е)
движения на сечение при резонансе с энергией Е
о
резонансного захвата
Все это приводит к тому, что вероятность избежать
резонансного захвата с ростом температуры уменьшается.
a
σ
40
Замедляющая способность >∑ξ<
S
с ростом
температуры тоже уменьшается, т.к. уменьшается
плотность замедлителя, а
S
σ от температуры зависит
очень слабо. Таким образом, 0
1
<
ϕ
ϕ dT
d
, и этот вклад
весьма значителен.
Коэффициент использования f представляет собой
отношение потока, поглощенного топливом (включая
воспроизводящие материалы), к поглощению во всех
материалах зоны.
к
к
aз
з
au
u
a
u
u
a
ФФФ
Ф
f
∑+∑+∑
∑
=
. (2.12)
Здесь
з
Ф
– плотность нейтронного потока в замедлителе;
к
Ф
– плотность нейтронного потока в конструкционных
материалах. Так как
v
~
u
a
1
σ , а в других материалах
поглощение невелико, то в гомогенных реакторах, где
зu
ФФ ≅
, зависимость f от температуры весьма слабая. В
гетерогенных реакторах определяющую роль играет
изменение распределения Ф по ячейке (рис.2.4).
Ввиду того что поглощение в топливе больше, чем в
замедлителе,
~
Ф
Ф
топ
зам
><
>
<
1,15÷1,5. Для тесных решеток
оно близко к нижнему пределу, а для разреженных
решеток – к верхнему. С ростом температуры
уменьшается
v
~
u
a
1
σ
, и неравномерность потока
выравнивается. В свою очередь это приводит к
увеличению f, т.е. 0
1
>
dT
df
f
.