Семенов В.К. Кинетика и регулирование ядерных реакторов
Подождите немного. Документ загружается.
91
Несмотря на различие стержней по назначению,
действие их на АЗ одинаково, а методы их расчета одни и
те же. Их эффективность зависит не только от
дополнительного захвата нейтронов, но и от увеличения
утечки нейтронов из АЗ, обусловленного деформацией
нейтронного поля. На рис. 4.1 качественно показано
распределение Ф(r) по оси цилиндрической АЗ с
поглощающим стержнем (2) и без него при одинаковой
средней мощности (1). Увеличение потока Ф вблизи
границы приводит к увеличению вероятности утечки и
падению К
эф
.
H
Рис.4.1. Зависимость Ф(r) для цилиндрической зоны
В аварийной ситуации реактор может быть выведен
из строя вследствие интенсивного разогрева или
внезапного скачка температуры. Казалось бы, систему
безопасности можно базировать на изменениях
температуры. Но температура изменяется медленно, да и
затруднительно разместить в нужных местах датчики
температуры, поэтому введение аварийных стержней
производится на основе изменения нейтронного потока.
Аварийные стержни опускаются, если мощность
превосходит определенный уровень или слишком быстро
нарастает.
92
4.3. Материалы и форма поглощающих стержней
Как уже отмечалось, для поглощающих стержней
используют материалы с большим сечением поглощения
тепловых нейтронов. Эти стержни называют «черными» и
относят к «тяжелым» органам СУЗ, если размер стержней
в поперечнике достаточно велик. Основным недостатком
таких стержней является то, что они вызывают заметный
провал в распределении плотности потока нейтронов и,
как следствие, большой перекос в профиле
энерговыделения. Стержни с малым сечением
поглощения, выполненные из нержавеющей стали
(«легкие» органы СУЗ), лишены этого недостатка. Однако
для компенсации избыточной реактивности стержней
может понадобиться слишком много, так что разместить
их в зоне будет нельзя. Поэтому их применяют в
сочетании с тяжелыми органами регулирования.
К легким органам СУЗ относятся стержни,
выполненные из сильно поглощающего материала, но
малого поперечного размера. Эти стержни собирают в
пучки (кластеры) и используют в реакторах ВВЭР.
По аналогии с оптикой, стержень, поглощающий все
падающие на него тепловые нейтроны, называют
«черным». Но плотность потока, проходящего через
вещество, определяется законом
x
a
o
eФ Ф
∑−
= (рис.4.2).
Ф
x
Ф
o
Рис.4.2. Зависимость Ф(х)
93
Стержень считается «черным», если он поглощает
95 % падающих нейтронов. Отсюда определяется толщина
слоя, при которой стержень можно считать «черным»:
95,0e1
d
a
=−=
∑−
Ф
Ф
o
погл
,
т.е.
3≈∑ d
a
.
В табл.4.1 приведены значения
a
∑
и d для
некоторых веществ.
Таблица 4.1. Характеристики «черных» стержней
Вещество
a
∑
, см
-1
d, см
Бор
Кадмий
Железо
Ртуть
96
112
0,2
15
0,03
~0,03
15
0,2
При выборе материалов нужно учитывать
механическую прочность и коррозионную стойкость. Всем
требованиям удовлетворяет бористая сталь. 3%-я
бористая сталь может работать более 10 лет без
заметного выгорания изотопа бора. Широко применяют
карбид бора В
4
С. Он коррозионно стоек в натрии, гелии,
азоте, диоксиде углерода. В воде до температуры 250 °С
он слабо взаимодействует с ней, а при 360 °С уже
необходима защитная оболочка. Также используют
гафний. Он коррозионно стоек в воде, и до 400 °С его
механические свойства позволяют его использовать в
качестве стержней. В зависимости от конструкции АЗ
стержни могут быть круглыми, пластинчатыми,
крестообразными и пр. Стержень некруглой формы
эквивалентен круглому, если равны их эффективные
поверхности, на которых плотность потока тепловых
нейтронов обращается в нуль.
Тенденция уменьшить количество органов СУЗ
приводит к использованию поглощающих стержней в
комбинации с тепловыделяющими сборками (ТВС).
Используют двухэтажные стержни, в которых верхняя
94
часть выполняется из поглощающего материала, а нижняя
представляет собой обычную ТВС. В начале кампании
стержни своей поглощающей частью находятся в АЗ и
компенсируют избыточную реактивность. По мере
выгорания топлива стержни извлекаются, и на их место
вводится топливная часть.
Недостатком такой конструкции является то, что
подвижные ТВС работают в более тяжелых условиях по
сравнению с неподвижными и под АЗ требуется наличие
свободного пространства для размещения подвижных
ТВС, что приводит к увеличению размера корпуса
реактора.
Указанные недостатки можно устранить, если
поглотители сделать полыми, а внутри установить
неподвижные ТВС.
4.4. Теория поглощающего стрежня.
Одногрупповое приближение
Рассмотрим цилиндрический гомогенный реактор без
отражателя с эффективными размерами R и Н, внутрь
которого по оси введен цилиндрический поглощающий
стержень радиусом R
ст
. Нашей задачей является расчет
эффективности управляющего стержня. Задачу будем
решать в предположении, что R>>М (длина миграции) и
R
ст
<<R. Кроме того, вначале найдем решение задачи в
одногрупповом приближении, когда все нейтроны считаем
тепловыми.
Запишем уравнение диффузии
0SФФD
a
=+∑−∆
, (4.1)
где
ФkS
a
∑=
∞
– источник нейтронов.
Подставив значение S, получим
0=+−∆
∞
22
L
Фk
L
Ф
Ф . (4.2)
Здесь
a
2
D
L
∑
=
– квадрат длины диффузии.
95
Группируя два последних слагаемых, получим
2
1
B
L
k
2
=
−
∞
или 1=
+
∞
22
L
B
1
k
. (4.3)
Это уравнение критичности реактора в
одногрупповом приближении, связывающее значение
геометрического параметра B
2
с параметрами решетки.
Подставив (4.3), получим
0ФBФ
2
=+∆ . (4.4)
Найдем решение волнового уравнения в отсутствие
стержня. Запишем уравнение (4.4) в развернутом виде:
0ФB
z
Ф
)
r
Ф
r(
rr
o
=+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
2
2
2
1
, (4.5)
где
2
o
B – геометрический параметр в отсутствие стержня.
Решение уравнения ищем методом разделения
переменных (r)f(z)z)
Ф
(x,
ϕ=
:
0
111
22
2
2
=β+α++
ϕ
ϕ
)(
dz
fd
f
)
dr
d
r(
dr
d
r
, (4.6)
где
222
o
B=β+α .
0
2
2
2
=β+ f
dz
fd
. (4.7)
0
1
2
=ϕα+
ϕ
)
dr
d
r(
dr
d
r
. (4.8)
Решение уравнения (4.7) имеет вид
zsinBzcosAf β+β=
11
. (4.9)
Так как решение симметрично относительно
середины )z(f)z(f −= АЗ (z= 0), то В
1
= 0.
На краях при
2
H
z = Ф = 0, т.е.
2
2
π
=β
H
, отсюда
H
π
=β . (4.10)
Уравнение (4.8) после подстановки
2
α принимает
вид
96
0
1
2
2
2
=ϕ
π
−+
ϕ
)
H
B()
dr
d
r(
dr
d
r
o
. (4.11)
Это уравнение Бесселя. Его решение выражается
через цилиндрические гармоники – функции Бесселя:
)r(BY)r(AI
oo
α+α=ϕ
. (4.12)
Здесь
o
I
,
o
Y
− соответственно функции Бесселя нулевого
порядка первого и второго рода. Их качественный вид
показан на рис.4.3.
Рис.4.3. Зависимость
o
I
,
o
Y
от r
10 =)(I
o
,
−∞=)(Y
o
0
. Так как
−∞=)(Y
o
0
, то второе
решение нужно отбросить, т.е. В = 0. Окончательно
решение записывается в виде
H
z
cos)r(CI
o
π
α= z)Ф(r, . (4.13)
Первый корень 0=α )r (Y
o
отвечает α = 2,405, т.е.
экстраполированный радиус зоны
α
=
4052,
R . Таким
образом, зависимость Ф(r,z) имеет вид
H
z
cos)
R
r ,
(CIz)Ф(r,
o
π
=
4052
, (4.14)
22
2
2
4052
R
,
H
B
2
o
+
π
= . (4.15)
97
Поместим теперь по оси зоны центральный
поглощающий стержень и определим α и β в этом случае.
При наличии стержня, расположенного по всей высоте
зоны, граничные условия по z сохраняются, поэтому
распределение по оси z остается прежним и
o
β=β
.
Уравнение для )r(
ϕ
тоже остается прежним, только
граничные условия будут другими. Внутри стержня поток
будет равен нулю на экстраполированной границе
эф
ст
R .
Поэтому 0
=
ϕ
)r( при r = R и
эф
ст
Rr = ,
.)R(BY)R(AI
,)R(BY)R(AI
эф
ст
o
эф
ст
o
oo
0
0
=α+α
=
α
+
α
(4.16)
Из приведенных условий находится параметр α:
)R(Y
)R(I
)R(Y
)R(I
o
o
эф
стo
эф
ст
o
α
α
=
α
α
. (4.17)
Компенсирующая способность стержня
определяется соотношением
. B)(
,L)(kkk
oo
222
222
=β+α
α−α=−=∆
∞∞
(4.18)
Поскольку
АЗст
RR
<< , то вытеснением среды
поглотителем можно пренебречь, а L
2
считать величиной
постоянной. Кроме того, в больших реакторах
RR
эф
ст
<< ,
так что изменение α при введении стержня мало:
α∆+α=α
o
и
1
<<
α
α∆
o
.
Функцию
)R(I
o
α разложим в ряд Тейлора:
R)R(I)R(IR
)R(d
dI
)R(I)R(I
ooo
o
o
ooo
α∆α−α=α∆
α
+α≅α
1
,
0
=α
)R(I
oo
при
4052,R
o
=α , а
519,0)R(I
)R(d
dI
o1
o
−=α−=
α
.
Таким образом,
98
R,)R(I
o
α∆−=α 5190
.
Аналогично
510,)R(YR
)R(d
dY
)R(Y)R(Y
oo
o
o
ooo
=α=α∆
α
+α≅α
,
так как 10,)R(Y
)R(d
dY
oo
o
≅α−=
α
.
Далее при 1<<α
эф
ст
R 1≅α )R(I
эф
стo
, а
)
R ,
R
n,()R(Y
эф
ст
эф
стo
4052
1160
2
l+
π
−≅α
.
Подставляя полученные оценки в (4.17), получим
510
5190
4052
1160
2
1
,
R,
)
R ,
R
n,(
эф
ст
α∆
=
+
π
l
и
R)
R405,2
R
n116,0(519,02
51,0
эф
ст
l+⋅
π
=α∆ . (4.19)
Так как
o
α−α=α∆ мало, то формулу (4.18) можно
переписать в виде
2
0
2
oo
22
o
2
L2L))((L)(k α∆α=α−αα+α=α−α=∆ ,
и, подставляя
α
∆
, получим для эффективности стержня
следующую формулу:
)
R ,
R
n,(R
L,
k
эф
ст
4052
1160
57
2
2
l+
=∆ . (4.20)
4.5. Двухгрупповое приближение
В двухгрупповом приближении все нейтроны делятся
на две группы – замедляющиеся и тепловые. Быстрые
нейтроны будем помечать индексом 1, а тепловые –
99
индексом 2. Для реактора в стационарном состоянии
имеем:
0
2111
=∑+∑−∆
2a1
ФkФФD
, (4.21)
0
1222
=∑+∑−∆
12a
ФФФD
, (4.22)
0
111
=∑−∆
1ccc
ФФD
, (4.23)
0
1222
=∑+∑−∆
1cc2ccc
ФФФD
, (4.24)
Первые два уравнения описывают диффузию в АЗ, а
вторые – в поглощающем стержне.
1
∑
− сечение
замедления быстрых нейтронов в зоне и в стержне. Его
часто называют сечением мнимого захвата. Заметим, что
при двухгрупповом приближении для диффузии
замедляющихся нейтронов можно использовать
уравнение Ферми для возраста нейтронов.
Все нейтронные потоки должны быть конечными и
положительными. Граничные условия на поверхности
стержня следующие. Быстрые нейтроны материалом
стержня не поглощаются, т.е. число быстрых нейтронов,
входящих в стержень, равно числу нейтронов, выходящих
из стержня. Отсюда следует, что на поверхности стержня
0=∇
1
Ф
, а на внешней границе
0=)R(Ф
э1
. Для тепловых
нейтронов сохраняется прежнее граничное условие. Поток
тепловых нейтронов равен нулю на экстраполированной
границе: dRR
эф
ст
−= , где d – длина линейной
экстраполяции, и
0
=)R(
Ф
э2
.
Решение системы уравнений (4.21) –(4.24) с учетом
граничных условий записывается в виде
эф
ст
эф
ст
MR
L
n
L
R ,
R
n)
L
( ,
R
M,
k
ττ
++
τ
+
=∆
ll
22
2
2
42
11160
157
.(4.25)
Полученное выражение представляет собой
максимальную величину коэффициента размножения,
который может быть «перекрыт» управляющим стержнем
при двухгрупповом приближении.
100
4.6. Теория возмущений
Теория возмущений находит большое применение в
физике при анализе устойчивости систем. Ее суть состоит
в том, что величинам, определяющим процесс, придаются
возмущения и определяются уравнения, описывающие
возмущенное движение. Из решения этих уравнений
определяется устойчивость системы.
Указанный метод можно использовать для оценки
эффективности поглощающих стержней. Если введение
стержня является малым возмущением, то изменение
реактивности зоны можно найти на основе знания
распределения первоначальной плотности потока
нейтронов до внесения возмущения.
Рассмотрим теорию возмущений в одногрупповом
приближении. Пусть до введения стержня реактор
находился в стационарном состоянии:
0
2
=+∆
ooo
ФBФ , (4.26)
где
2
2
1
L
k
B
−
=
∞
. Иногда для уточнения одногруппового
приближения заменяют
22
ML → . Этот результат можно
получить из двухгруппового приближения.
Введем в малый объем реактора V
1
поглощающий
стержень, что приведет к изменению поглощения
нейтронов в этом объеме:
aoaa
)()( ∑δ+∑=∑
1
, (4.27)
Здесь
oa
)(∑
− сечение поглощения вне объема V
1
;
a
∑δ
−
возмущение в объеме V
1
.
Материальный параметр В
2
в объеме V
1
тоже
изменится:
22
o
2
1
BBB
δ+=
. (4.28)
В остальном объеме параметр В
2
будет иметь
первоначальное значение. Понятно, что после внесения
возмущения реактор выйдет из стационарного состояния.
Чтобы он остался в критическом состоянии, нужно