Савина Н.В. Применение теории вероятности и методов оптимизации в системах электроснабжения
Подождите немного. Документ загружается.
1
Федеральное агентство по образованию
АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Энергетический факультет
Н.В. Савина
ПРИМЕНЕНИЕ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ
В СИСТЕМАХ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ
Учебное пособие
Рекомендовано ДВ РУМЦ
в качестве учебно-методического пособия
для студентов специальностей 140203 «Релейная защита и
автоматизация электроэнергетических систем»,
140204 «Электрические станции»,
140205 «Электроэнергетические системы и сети»,
140211 «Электроснабжение»
Благовещенск
2007
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
2
ББК 31.277.1 Печатается по решению
С 13 редакционно-издательского совета
энергетического факультета
Амурского государственного
университета
Савина Н.В.
Применение теории вероятностей и методов оптимизации в системах
электроснабжения: учебное пособие. – Благовещенск: Амурский гос. ун-т, 2007.
Предназначено для студентов очной, заочной и ускоренной формы
заочного обучения специальностей 140204 «Электрические станции», 140205
«Электроэнергетические системы и сети», 140211 «Электроснабжение»,
изучающих дисциплины «Математические задачи энергетики», «Оптимизация
систем электроснабжения», «Математические модели и методы расчета на
ЭВМ», «Надежность в электроэнергетике», а также для курсового и
дипломного проектирования.
В пособии приведены краткие теоретические сведения по основным
разделам, даны примеры решения, поясняющие изучаемый материал по
основным разделам пособия.
В авторской редакции
Рецензенты: В.С. Пастухов, зав. каф. электроэнергетики ДВГТУ,
канд.техн.наук, доцент;
Г.Е. Кувшинов, засл. энергетик РФ, д-р. техн. наук, проф.,
ДВГТУ;
А.Н. Рыбалев, зав. кафедрой АППиЭ АмГУ, канд.техн.наук,
доцент;
А.П. Севостьянов, нач. электротехнической службы ОАО
«Амурэнерго», канд. техн. наук
© Амурский государственный университет, 2007
© Савина Н.В., 2007
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 5
Вопросы для самопроверки ........................................................................... 17
Часть 1. Теория вероятностей в задачах электроэнергетики ............................... 18
Глава 1. Модель – случайное событие .............................................................. 18
1.1. Классификация случайных событий ...................................................... 18
1.2. Законы вероятностей сложных событий ................................................ 30
1.3. Схема независимых испытаний – частная теорема о повторении
опытов ............................................................................................................. 39
1.4. Общая теорема о повторении опытов .................................................... 44
1.5. Графики электрических нагрузок и построение упорядоченной
диаграммы по схеме независимых испытаний ............................................. 46
1.6. Примеры решения задач, возникающих в системах электроснабжения,
с помощью модели «случайное событие» .................................................... 60
Вопросы для самопроверки ........................................................................... 79
Глава 2. Модель - случайная величина ............................................................. 80
2.1. Классификация случайных величин ....................................................... 80
2.2. Законы распределения случайных величин ........................................... 82
2.3. Классификация случайных величин ....................................................... 90
2.4. Законы распределения вероятностей случайных величин .................. 100
2.5. Примеры решения практических задач систем электроснабжения,
основанных на модели «случайная величина» ........................................... 113
Вопросы для самопроверки ......................................................................... 118
Глава 3. Статистические исследования на уровне случайных величин ........ 119
3.1. Задачи, решаемые с помощью методов математической статистики в
электроэнергетике ........................................................................................ 119
3.2. Закон больших чисел и следствия из него ........................................... 120
3.3. Построение гистограммы ...................................................................... 127
3.4. Определение оценок числовых характеристик случайной величины 132
3.5. Доверительный интервал и доверительная вероятность ..................... 134
3.6. Аппроксимация статистического распределения вероятностей
теоретическим .............................................................................................. 140
3.7. Критерии согласия................................................................................. 141
3.8. Примеры статистических исследований случайных величин в
электроэнергетике ........................................................................................ 149
Вопросы для самопроверки ......................................................................... 157
Глава 4. Практическое применение моделей «случайное событие» и
«случайная величина» для анализа функционирования систем
электроснабжения ............................................................................................ 158
4.1. Определение расчетной нагрузки статистическим методом .............. 158
4.2. Информационная обеспеченность задачи расчета потерь
электроэнергии ............................................................................................. 163
4.3. Оценка надежности передачи электроэнергии потребителям ............ 167
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
4
4.4. Анализ соответствия качества электроэнергии требованиям ГОСТ
13109-97 ........................................................................................................ 180
Вопросы для самопроверки ......................................................................... 196
Глава 5. Модель «Случайная функция» ......................................................... 197
5.1. Понятие о случайной функции и случайном процессе ....................... 197
5.2. Характеристики случайных процессов ................................................ 197
5.3. Экспериментальное определение характеристик ................................ 201
случайного процесса .................................................................................... 201
5.4. Стационарность и эргодичность случайных процессов ...................... 203
5.5. Применение случайных процессов в электроэнергетике. ................... 211
Вопросы для самопроверки ......................................................................... 221
Часть 2. Методы оптимизации в задачах систем электроснабжения ................ 222
Глава 6. Математическая модель оптимизации параметров режима ............ 222
систем электроснабжения ................................................................................ 222
6.1. Выбор критерия оптимальности и ограничений................................. 222
6.2. Основные технико-экономические показатели систем
электроснабжения ........................................................................................ 225
6.3. Основные задачи технико-экономического анализа ........................... 236
Вопросы для самопроверки ......................................................................... 240
Глава 7. Методы решения оптимизационных задач ....................................... 241
7.1. Общие замечания................................................................................... 241
7.2. Методы линейного программирования применительно к решению
задач оптимизации СЭС............................................................................... 242
7.3. Симплексный метод .............................................................................. 252
7.4. Методы нелинейного программирования применительно к решению
задач оптимизации СЭС............................................................................... 261
Вопросы для самопроверки ......................................................................... 268
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................................. 269
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
5
ВВЕДЕНИЕ
Роль математики в электроэнергетике
Инженерное творчество немыслимо без математики, независимо от того,
какой частью техники оно занимается. Но математика обширна, включает в
себя и элементарную, и высшую, и вычислительную математику. Нужно ли
знать всю математику инженеру-электрику? Наверное, нет. Необходимо
основательно знать те методы и приемы математики, которые применяются в
электроэнергетике. Для того, чтобы стать квалифицированным специалистом,
следует изучить дисциплины, позволяющие овладеть профессией. В них
большое внимание отводится применению математики к конкретным
техническим задачам. Чтобы понять содержание специальных дисциплин,
нужен «мостик» между теоретической (чистой) математикой, закладывающей
основы математического мышления инженера, и прикладной (инженерной)
математикой, служащей аппаратом для решения задач, возникающих в
условиях эксплуатации. В данном пособии, и являющемся таким «мостиком»,
сделана попытка связать математику, как общетеоретическую дисциплину, с
практическим ее применением в работе инженера и дать конкретный аппарат
для инженерных исследований, базирующихся на теории вероятностей и
методах оптимизации.
Важно знать: что же такое «математическая культура» инженера и какова
роль математики в электроэнергетических задачах.
Математическая культура – это умение дать правильную оценку того, что
математика может и чего она не может, каковы границы применения различных
методов, что понимать под строгостью и точностью в инженерно-
математических исследованиях. Научиться предостеречь себя от переоценок
математических методов, вырабатывать правильный дух применения
математики – значит овладеть математической культурой.
Инженеру необходимо знать и всегда помнить, что математическими
соотношениями, в частности, дифференциальными уравнениями, можно
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
6
описать все что угодно, если принять определенные постулаты. Можно при
этом получать соответствующим расчетом математики абсолютно строгие
результаты, не имеющие никакого реального смысла для инженера. С этими
соображениями связано основное положение, которое необходимо усвоить.
Прежде чем математический аппарат может быть использован для
изучения реального и бесконечно сложного явления, необходимо это явление
проанализировать и выделить его главную часть, которая представляет
интерес в данной задаче. Это и будет основная его модель.
Создание моделей, отвечающих экспериментально проверенным
условиям целей исследования, всегда остается центральной задачей
математики. Отступления от реальной модели могут привести инженера к
ошибкам, а теоретика – к нелепым, но математически «строгим» выводам.
Итак, при правильной постановке исследований необходимо определение
их строгости и точности, исходя из конкретной инженерной задачи.
При изучении технических задач и физических явлений точные (в смысле
процедуры решения) результаты, полученные от какого-либо расчетного
устройства, не гарантируют совпадения с действительными. Инженер должен
сопоставить результаты аналитических исследований с результатами опыта.
Однако при современных сложных системах, имеющих много влияющих
факторов, такое прямое сопоставление единичных расчетов с опытом зачастую
может дать совершенно нехарактерные результаты. Необходимо учесть, что в
технической системе, подверженной влиянию многих факторов, интенсивно
влияющих на характер ее поведения, в зависимости от сочетаний этих факторов
и случайных условий могут получаться существенно различные результаты.
Поэтому несовпадение результатов или совпадение единичного расчета и
опыта не может характеризовать неправильность или правильность теории и
расчетов.
Сопоставление расчета и опыта для любой системы должно
производиться с учетом вариаций в параметрах, в критериальной форме.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
7
Понятие инженерной строгости постановки задачи и точности расчета
различны. Первое вытекает из поставленных при исследовании целей и
определяется постановкой задачи и необходимостью получения после ее
решения нужных для практики результатов. Второе – точностью выбранного
математического аппарата и его реализацией.
Строгость в инженерных задачах не может определяться вне опыта, вне
проблемы, не может она определяться и характером дифференциальных
уравнений; нельзя также считать, что строгость полученных результатов тем
выше, чем точнее, т.е. с большим числом знаков проведен расчет.
Рассмотрим особенности прикладной математики
применительно к инженерным задачам
Целью теоретической математики является открытие абсолютно
истинных теорем. При этом используют дедуктивный способ (от общего к
частному), т.е. из аксиом и теорем, правильность которых уже доказана,
выводятся новые теоремы и аксиомы чисто логическим путем. В качестве
аргументов не применяются ни наблюдения, ни обобщения опыта, то есть
индукция (от частного к общему). Следовательно, в чистой математике метод
исследования дедуктивный, синтетический, формальный.
Синтетический характер математического метода проявляется в выборе
аксиом не только математических, но и логических.
Формализм математического метода основан на том, что в
математических рассуждениях разрешается использовать понятия лишь в том
смысле, какой вложен в них определением. Более того, из самого определения
исключается все то, что может допустить неоднозначное истолкование.
Таким образом, предмет теоретической математики определяется лишь
методом. В «чистой» математике все проблемы находятся в сфере самой
математики. Если же речь идет о применимости теории к опыту, то аксиомы
необходимо сравнить с опытом, что и делает прикладная математика.
Прикладная математика является наукой об отыскании и
усовершенствовании практически приемлемых методов решения
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
8
математических задач, возникающих на практике, т.е. вне математики.
Прикладная математика – это математика, опосредованная практикой.
При этом проявляются ее специфические особенности: невозможность
полного описания объекта; решения должны быть не только правильными, но и
своевременными, экономичными, доступными для существующих средств
вычисления, а результаты должны быть пригодными для практического
использования; точность решения должна быть соизмерима со строгостью
постановки задачи.
В прикладной математике, в отличие от чистой, часто бывает не важно,
как решили ту или иную задачу, главное – результат. Здесь используются
любые сочетания дедуктивных и рационально индуктивных рассуждений. При
этом важно, чтобы они наилучшим образом приводили к цели. А целью
является реальная практическая помощь в получении ответа на вопросы,
возникающие в практической деятельности инженера.
Итак, математики знают как, но не знают зачем, а инженеры знают зачем,
но не знают как. Для того, чтобы быть в курсе развития своей области техники,
инженер должен следить за специальной литературой. Однако это требует
высокого уровня математических знаний.
И если же, прежде чем приступить к чтению статьи, придется изучать
соответствующий раздел математики, необходимый для понимания текста
статьи, то результат будет известен заранее – она прочитана не будет. Вот еще
одна из причин иллюстрации применения некоторых разделов математики в
задачах электроэнергетики.
Таким образом, данное учебное пособие предназначено для подготовки
студентов к восприятию специальных дисциплин, основанных в значительной
мере на применении к техническим задачам не вообще математики, а
некоторых, в первую очередь, необходимых инженеру-электрику, разделов
прикладной математики, таких как теория вероятностей и методы оптимизации.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
9
Общие сведения об электроэнергетических системах и системах
электроснабжения
Чтобы приблизить изложение материала пособия не только по
содержанию, но и по форме к специальным курсам, рассмотрим некоторые
понятия, относящиеся к технике исследования электроэнергетических систем
(ЭЭС) и систем электроснабжения (СЭС).
ЭЭС – это часть энергетической системы, т.е. совокупность элементов,
вырабатывающих, преобразующих, передающих, распределяющих и
потребляющих электроэнергию, связанных общностью режима при едином
процессе их управления. ЭЭС включает силовые элементы и элементы
управления. Взаимодействуя между собой, все элементы системы связаны
единством процессов производства, преобразования, передачи и потребления
электроэнергии. При этом под процессами понимают отдельные составляющие
явления, отражающие некоторые связи между переменными величинами,
которые отвечают явлениям, свойственным данному состоянию (или режиму)
системы.
При изучении систем производства, передачи и распределения
электроэнергии и управления ими необходимо рассматривать электрические и
связанные с ними механические процессы, а также единые
электромеханические процессы, например, у двигателей и генераторов. Для
расчета состояния (режима) системы необходим математический аппарат.
Инженер может подобрать готовый или сконструировать его частично сам.
Система электроснабжения – это подсистема энергосистемы,
обеспечивающая комплексное электроснабжение промышленных,
транспортных, коммунальных и сельскохозяйственных потребителей данного
района.
СЭС, состоящая из сетей напряжением до 1000В и выше,
трансформаторных, распределительных и преобразовательных подстанций,
служит для обеспечения требований производства путем подачи
электроэнергии от источника питания к месту потребления в необходимом
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
10
количестве и соответствующего качества в виде переменного тока,
однофазного или трехфазного, при различных частотах и напряжениях, и
постоянного тока.
Прежде чем рассматривать использование методов теории вероятностей и
оптимизации в задачах электроэнергетики, уточним применяемую
терминологию и остановимся на некоторых характеристиках условий работы
систем, т.е. создадим словесную модель их работы.
Работа ЭЭС, прежде всего, характеризуется значениями мощностей (и,
соответственно, энергии), вырабатываемых, преобразуемых и потребляемых
всеми ее элементами. Чтобы дать математическое описание системы, надо в
виде математической модели представить все связи между переменными
величинами процессов. Изучение этих процессов, включая их математическую
интерпретацию, направлено на обеспечение лучшей работы системы, основная
задача которой – выработка электроэнергии и обеспечение ею потребителей.
Элементами ЭЭС являются генераторы, силовые трансформаторы, линии
электропередачи и другие элементы, установленные на электростанциях и
подстанциях. Генераторы вырабатывают электроэнергию напряжением 6-20 кВ.
Передача большой мощности на таком напряжении на дальние расстояния
неэкономична ввиду значительных потерь мощности, а следовательно, и
энергии. Для их снижения напряжение повышают до 35- 1150 кВ. С этой целью
устанавливают повышающие трансформаторы. На повышенном напряжении
электроэнергия поступает к промышленному району, где на узловой районной
подстанции (УРП) происходит распределение электроэнергии по
промышленным предприятиям и другим потребителям электроэнергии. На УРП
обычно несколько уровней напряжения. Выбирается экономичный уровень для
каждого крупного потребителя, и с помощью линий электропередачи
электроэнергия подается на него. Электроприемники предприятия рассчитаны
на меньшие номинальные напряжения, поэтому на подстанциях потребителя
устанавливают трансформаторы, понижающие напряжение до 6-20 кВ. На этом
напряжении работают мощные электроприемники (ЭП) – электродвигатели
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com