Савина Н.В. Применение теории вероятности и методов оптимизации в системах электроснабжения
Подождите немного. Документ загружается.
21
ограниченную область возможных значений, например, значения кратности
тока двигателя по отношению к номинальному току при его пуске могут быть
от 2,5 до 7,5 (без устройств для ограничения пускового тока и без учета
апериодической составляющей этого тока), причем вероятность появления
пускового тока намного меньше вероятности его рабочего тока.
Случайной функцией называется величина, изменяющаяся при изменении
аргумента случайным образом. В отличие от обычной неслучайной функции,
имеющей определенное значение при заданном значении аргумента, случайная
функция при заданном значении аргумента является случайной величиной, т.е.
может иметь различные значения с различной их вероятностью.
Если аргументом случайной функции является время, то такая случайная
функция называется случайным процессом. Случайная функция в каждом
отдельном случае (опыте) представляется некоторой конкретной неслучайной
функцией аргумента. Эта конкретная функция называется реализацией
случайной функции в данном опыте. Аналогично, если аргументом случайной
функции является время t, то имеем реализацию случайного процесса. В
дальнейшем будем рассматривать в основном случайные процессы и
реализации случайных процессов, т.к. они нашли наибольшее применение в
электроэнергетике.
Их примером являются годовые, месячные, суточные, часовые
реализации случайного процесса изменения параметров режима: тока,
напряжения, мощности.
В энергетике случайные события имеют место. Например: условия
работы большой совокупности однородных технических устройств –
генераторов или силовых трансформаторов, резко отличаются друг от друга и
носят с точки зрения системы случайный характер. Электродвигатель или
лампочка могут быть включены или отключены, работать с той или иной
степенью использования. В результате наложения этих событий получается
разная величина спроса активной мощности.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
22
Различают два метода определения вероятности случайного события:
классическое и статистическое.
Классическое определение применимо только в том случае, если
изучаемые события образуют полную группу попарно несовместимых и
равновозможных событий. Например, бросание кубика или монеты. В этом
случае вероятность считают равной отношению числа случаев, когда данное
событие будет иметь место, m, к общему числу возможных случаев, n /4/:
m
p
n
=
.
Случай – это события, образующие полную группу попарно
несовместимых равновозможных событий.
Классическое определение вероятности может применяться в энергетике
весьма редко, т.к. обычно не известно ни общее число случаев, ни число
благоприятных случаев появления данного события. Кроме того, не всегда
удается доказать условие равной возможности тех или иных событий данной
группы. Поэтому в электроэнергетике пользуются только статистическим
определением вероятности.
Статистическое определение вероятности базируется на статистических
материалах. При достаточно большом числе наблюдений относительная
частота возникновения события колеблется около некоторой постоянной
величины, называемой статистической вероятностью данного случайного
события. Статистическая вероятность – это предел, к которому стремится
относительная частота появления события при достаточно большом числе
опытов:
lim
n
m
p
n
→∞
= .
Точность подсчета статистической вероятности зависит от количества
проведенных опытов n.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
23
Вспомним, что случайное событие A – это событие, которое в результате
опыта может появиться или не появиться. Его вероятность появления
(непоявления) заключена между 0 и 1:
0 < p(А) < 1.
В теории вероятностей случайные события классифицируются
следующим образом: несовместные, совместные, независимые, зависимые,
равновозможные и противоположные.
События делятся на несовместные и совместные.
События A и B несовместимы, если они не могут произойти
одновременно. Так, на рис.2 нормальная работа любого элемента: выключателя
В, кабельной линии КЛ, силового трансформатора Т – событие А, отказ любого
элемента в результате аварийного или преднамеренного отключения – событие
В. События А и В несовместны по физическому смыслу примера, т. е., любой
элемент (трансформатор, линия, выключатель) не может одновременно
находиться в рабочем и нерабочем (отказ) состоянии.
В результате измерения получен индивидуальный график электрической
нагрузки электроприемника, представленный на рис.3. Обозначим его работу за
время включения t
в
– как событие А, а его нерабочее состояние за время паузы
t
0
– как событие В.
Рис. 3. Индивидуальный график электрической нагрузки ЭП
События А и В несовместимы, т. к. электроприемник не может быть
одновременно в двух состояниях – рабочем и нерабочем.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
24
События А и В называются совместными, если они могут появиться
вместе в результате опыта, т. е. произойти одновременно. Для рис.2 отказы
выключателя В и кабельной линии КЛ, выключателя В и силового
трансформатора Т, кабельной линии и трансформатора, выключателя, линии и
трансформатора и т. д. соответственно являются совместными событиями. Это
объясняется тем, что нормальная работа участка системы электроснабжения
может быть нарушена не только в результате отказа одного какого-либо
элемента, но и двух, и трех, и четырех элементов одновременно.
От шин распределительного шкафа ШР получают питание три
электроприемника ЭП (см. рис. 4).
ЭП1
А
1
ШР
ЭП2
А
2
ЭП3
А
3
Рис. 4. Схема распределительного шкафа
Событие А
1
– рабочее состояние электроприемника ЭП1, А
2
– рабочее
состояние электроприемника ЭП2, А
3
– рабочее состояние электроприемника
ЭП3. Тогда события А
12
(А
23
, А
13
), т.е. совпадения времени включения ЭП1 и
ЭП2 (ЭП2 и ЭП3, ЭП1 и ЭП3) являются совместными событиями, так как
электроприемники могут работать одновременно.
События делятся на независимые и зависимые.
События А и В считаются независимыми, если наступление одного из них
не влияет на вероятность наступления другого.
Рабочее состояние ЭП1 (включен), т. е. событие А
1
, не зависит от того в
каком состоянии (включенном или отключенном) находятся электроприемники
ЭП2 и ЭП3, т. е. от события А
2
или А
3
. (см. рис. 4). Это независимые события.
В схеме на рис. 2 если произойдет отказ кабельной линии, то вероятность
безотказной работы силового трансформатора не изменится, то есть
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
25
повреждения трансформатора по причине отказа линии не будет – события
независимые.
Событие А считается зависимым от события В, если вероятность события
А в результате опыта меняется в зависимости от того, произошло событие В или
нет.
Например, в электрической сети произошло однофазное замыкание на
землю, событие А (см. рис. 5); при этом вероятность возникновения
двухфазного (событие В) и трехфазного короткого замыкания (событие С)
увеличилась. События А и В, А и С – зависимые события.
Рис. 5. Развитие однофазного замыкания в сети в многофазное
В воздушной линии Л (см. рис. 6) произошло короткое замыкание
(событие А), которое должен автоматически отключить выключатель В.
Рис. 6. Короткое замыкание в линии
При этом вероятность отказа выключателя (событие В) изменилась, так
как он может отказать при автоматическом отключении указанного короткого
замыкания. События А и В зависимые.
Равновозможные события – это события, вероятность появления которых
в результате опыта одинакова:
р(А)=р(В).
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
26
В двухцепной линии электропередачи отказ каждой из цепей –
равновозможные события.
Противоположные события. События А и В называются
противоположными, если они являются несовместимыми и образуют полную
группу событий. Если происходит событие A, то не происходит событие B в
полной группе событий, и наоборот.
Что же такое полная группа событий? С этим важным понятием теории
вероятностей в электроэнергетике встречаются довольно часто.
Случайные события А
1
, А
1
,…, А
n
образуют полную группу событий, если
в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Сумма
вероятностей случайных событий, составляющих полную группу событий,
равна 1:
р(А)=р(А
1
)+ р(А
2
)+ р(А
3
)+…+ р(А
n
)=1. (1)
Отсюда, сумма вероятностей противоположных событий А и В равна 1:
р(А)+р(В) =1. (2)
Например, зная вероятность отказа элемента электрической цепи q(t),
можно найти вероятность его безотказной работы p(t), т. к. отказ и работа –
противоположные случайные события:
p(t)=1-q(t). (3)
Практическое значение понятия полной группы событий заключается в
том, что оно позволяет осуществлять проверку решения задач, определять
вероятность одного из противоположных событий, зная вероятность появления
других.
Для графика электрических нагрузок (см. рис. 3) события А – работа ЭП,
и В – отключеное состояния ЭП, являются не только не совместимыми, но и
противоположными, т.к. ЭП может быть либо включен, либо отключен.
Определим вероятность появления события А за время цикла t
ц
(время
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
27
наблюдения), пользуясь классическим определением вероятности. За время t
ц
произошло два события А и В. Событие А – ожидаемое, тогда
1
0,5
2
m
p
n
=== .
Очевидно, вероятность появления события В также равна 0,5.
Следовательно, эти события равновозможные, и кроме того, образуют полную
группу событий, т.к. за время наблюдения обязательно появится хотя бы одно
из них.
Однако, глядя на график, приведенный на рис.3, явно видно, что
вероятность появления события А, р(А), не равна вероятности появления
события В, и следовательно события не равновозможные. Следовательно,
применять классическое определение вероятности в данном случае нельзя.
Необходимо отметить, что в практических расчетах систем
электроснабжения классическое определение вероятности для подсчета
вероятностей появления ожидаемого события применяется редко, так как в
большинстве задач электроснабжения случайные события не являются
равновозможными. В задачах электроэнергетики широко применяется понятие
«геометрической» вероятности, т.е. отношение меры области, в которую может
попасть точка, к мере всей рассматриваемой области.
Определим вероятность включения р(А) (см. рис. 3) и отключения р(В)
электроприемника. Мера всей рассматриваемой области – t
ц
= 10 мин. Мерой
области, соответствующей ожидаемым событиям: включению и отключению
ЭП, является время включения t
B
= 7 мин и отключения t
O
= 3 мин. Искомые
вероятности определяются отношениями:
7
()0,7
10
B
ц
t
pA
t
===;
0
3
()0,3
10
ц
t
pB
t
===.
Включенное и отключенное состояния – события несовместные и
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
28
противоположные, поэтому образуют полную группу событий:
2
1
0,30,71
i
i
p
=
=+=
∑
.
Рассматриваемые события не являются равновозможными.
В электроэнергетике при анализе графиков электрических нагрузок
(ГЭН), расчете электрических нагрузок вероятность включенного состояния ЭП
называют коэффициентом включения, К
В
, а вероятность отключенного
состояния, К
О
, – коэффициентом отключения. Для данного примера р(А) и
будет коэффициентом включения, а р(В) – коэффициентом отключения.
Численное определение вероятностей отказов и нормальной
(безотказной) работы элементов СЭС также основывается на понятии
геометрической вероятности.
Здесь в качестве меры всей рассматриваемой области принят год Т = 8760
ч. Так как отказ любого элемента СЭС может произойти в результате
аварийного или преднамеренного отключения, то соответствующие
вероятности отказов определяются по выражению:
ав
AB
Г
t
p
T
= ;
np
np
Г
t
p
T
= , (4)
где
,
ав np
tt
– соответственно длительности аварийного и преднамеренного
отключения элемента, ч.
Вероятность надежной (безотказной) работы любого элемента СЭС
находится по выражению:
,
раб
н
Г
t
P
Т
= (5)
где
раб
t
– длительность нормальной работы элемента, ч.
Принято обозначать вероятность безотказной работы р(t), а вероятность
отказа – q(t).
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
29
Принцип практической уверенности
В задачах систем электроснабжения вместо невозможных и достоверных
событий используются понятия практически невозможных и практически
достоверных событий. Практически достоверным является событие с
вероятностью близкой к 1. Практически невозможным является событие с
вероятностью близкой к 0. Эти события вводятся согласно принципу
практической уверенности: если вероятность А в опыте весьма мала р(А)≤E
x
,
то можно быть практически уверенным в том, что при однократном
воспроизведении опыта событие А не произойдет. Принцип практической
уверенности исключает из рассмотрения события с вероятностью меньше Е
x
.
Е
x
- граничная вероятность, и ее значения задаются при каждой задаче в
соответствии с принятым критерием оптимальности или исходя из условий
безопасности или надежности. В основном, в задачах электроснабжения
граничная вероятность Е
x
принимается равной 0,05. Поэтому практически
невозможным является событие с вероятностью меньше 0,05, а практически
достоверным – событие с вероятностью больше или равной 0,95.
Принцип практической уверенности является одним из основных
принципов практического использования теории вероятности. В повседневной
жизни мы непрерывно пользуемся этим принципом, например, вылетая
самолетом, мы все свое поведение организуем, не считаясь с возможностью
катастрофы, хотя некоторая весьма малая возможность этого события имеется.
Принцип практической уверенности не может быть доказан математически, он
подтверждается всем практическим опытом человечества.
Обычно приходится изучать вероятности не простых случайных событий,
а сложных – комбинаций ряда простых, элементарных событий. Определение
вероятности сложного события через известные значения вероятности простых
событий производится, исходя из законов вероятностей сложных событий. В
электроэнергетике состояние любого элемента: нормальная работа, аварийный
простой, профилактический ремонт – простое событие. Состояние всей
системы в целом или ее части – сложное событие.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
30
1.2. Законы вероятностей сложных событий
Прежде чем формулировать основные теоремы теории вероятностей
вспомним понятия суммы событий и произведения событий.
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в
выполнении события А или В, или обоих вместе.
Рассмотрим пример.
Событие С – отсутствие
2
U
- напряжения на шинах; А – отказ кабельной
линии (КЛ); В – отказ силового трансформатора (СТ), тогда С=А+В, т.е.
отсутствие
2
U
может быть или при отказе КЛ, или при отказе СТ, или при их
одновременном отказе. Это совместные события (см. рис. 7).
Рис. 7. Схема участка сети
Если события несовместные, то естественно, что появление обоих этих
событий сводится к появлению либо «А» либо «В».
Итак, суммой двух событий А и В называют событие С, которое состоит
в появлении хотя бы одного из событий А и В.
Суммой нескольких событий называют событие, состоящее в появлении
хотя бы одного из них.
Отсутствие питания у ЭП – событие, состоящее из отказа либо
генератора, либо одного из трансформаторов, либо линии: С=Г+
12
ТЛТ
++
(см. рис. 8).
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com