Савина Н.В. Применение теории вероятности и методов оптимизации в системах электроснабжения
Подождите немного. Документ загружается.
41
Если определить вероятность не рабочего, а аварийного состояния
различного числа элементов, то целесообразно записать тот же ряд в другом
виде:
(р+q)
n
= р
n
+n·р
(n-1)
·q+
(1)
12
nn
⋅−
⋅
· р
(n-2)
·q
2
+…+ С
m
n
· р
(n-m)
·q
m
+…+ q
n
=1. (20)
Нетрудно понять смысл членов разложения. Первый член q
n
соответствует вероятности того, что в n испытаниях событие А не произойдет
ни разу, то есть
0
n
р
; второй член – вероятность того, что в n испытаниях
событие А произойдет только один раз, то есть
1
n
р
.
Действительно, вероятность того, что событие произойдет при каком-то
одном определенном состоянии, будет р·q
n-1
, а вероятность того, что событие
произойдет при каком-то любом испытании, в n результатов больше и тому
подобное. Член разложения (m+1)-й, соответствующий вероятности того, что
событие произойдет m раз, равен С ·q
n-m
· р
m
, то есть р
m
n
.
Рассмотрим применение данной формулы на примере:
Рис. 13.Схема подключения ЭП к распределительному шкафу
От распределительного шкафа питаются три ЭП с коэффициентами
включения К
В1
=К
В2
=К
В3
=К
В
. Рассмотрим вероятность одновременной работы
ЭП1 и ЭП2, ЭП2 и ЭП3, ЭП1 и ЭП3. Согласно теореме умножения
независимых событий эти вероятности соответственно равны:
для ЭП1 и ЭП2:
2212
312030ВВВ
p
КККККрq
=⋅⋅=⋅= ;
для ЭП2 и ЭП3:
2212
301230ВВВ
p
КККККрq
=⋅⋅=⋅= ;
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
42
для ЭП1 и ЭП3:
2212
310230ВВВ
p
КККККрq
=⋅⋅=⋅= ,
где
0
1
В
КК
=−
.
Для вычисления вероятности появления двух событий из трех не имеет
значения какая комбинация ЭП это событие составляет, лишь бы m=2, то есть
221
30
В
рКК
=⋅
.
Таким образом, работа двух ЭП из трех может наблюдаться в трех
комбинациях. Количество комбинаций определяется сочетанием 3 по 2
С
2
3
=
123
121
⋅⋅
⋅⋅
=3 или в общем случае для m событий в результате n опытов
вероятность одной комбинации равно произведению вероятностей
0
mnm
В
K К
−
⋅ , а
количество комбинаций определяется сочетанием С
m
n
=
!
!()!
n
mnm
⋅−
.
Средняя длительность и частота возникновения m соответствий в
результате опытов определяются по выражениям:
( )
0
;
,
ВО
m
В
m
m
m
КК
t
mК nmК
P
t
λ
ν
=
+−
=
(21)
где
1
ц
t
λ
=
- интенсивность возникновения события в опытах.
Если в энергосистеме или в системе электроснабжения имеется несколько
групп однотипных элементов, то вероятности любых комбинаций
одновременных повреждений элементов можно найти из разложения
выражения:
(
)
(
)
(
)
12
1122
...1
nk
nn
kk
pqpqpq
+⋅+⋅⋅+=
. (22)
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
43
Для нескольких групп однотипных электроприемников или элементов
схема независимых испытаний записывается столько раз, сколько групп
однотипных элементов рассматривается, при этом между формулами ставится
знак умножения.
1
iiii
i
n
mmnm
m
nn
i
РПCpq
−
=
= , (23)
где i = 1, n - число групп однотипных электроприемников или элементов.
Под однотипными электроприемниками (элементами) понимаются такие
электроприемники (элементы), у которых одинаковые номинальные мощности
и коэффициенты включения (вероятности безотказной работы).
Рассмотрим на нескольких примерах прикладное применение схемы
независимых испытаний.
Определить вероятность одновременного выхода из строя двух
генераторов из четырех, одной ВЛ и одного трансформатора Т2 для схемы,
приведенной на рис. 14.
~
~
~
~
~
~
~
~
Рис. 14. Схема электропередачи
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
44
( ) ( ) ( ) ( )
.
222220111111
4ГГ 2Т1Т12лл 2Т2Т2
222
ГГТ1ллТ2Т2
222
ГГТ1ллТ2Т2
q=CpqЧCpqЧCpqЧCpq=
4!2!2!2!
= р q ЧрЧрqЧ
рq=
2!4-2!2!2-2!1!2-1!1!2-1!
=24р q ррqрq
Определить вероятность одновременной работы двух электроприемников
мощностью 20 кВт и трех электроприемников мощностью 10 кВт для схемы,
приведенной на рис. 15.
~
~
~
~
~
~
~
Рис. 15. Схема подключения ЭП
( ) ( )
.
2213312323
3
В1014В202 В101 В202 В101 В202
3!4!
р = СККЧСКК= ККЧ
КК=12КККК
2!3-2!3!4-3!
1.4. Общая теорема о повторении опытов
Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие
А
1i
(А
2i
) появляется с вероятностью К
Вi
(К
0i
), i= 1,2,3,…n, то вероятность р
m
того,
что событие 1i (2i) появится m раз, равна коэффициенту n при z
m
в разложении
по степеням z производящей функции:
ϕ
n
(z
i
)=
∏
=
n
i 1
(К
0i
+К
Вi
z), (24)
где
ϕ
n
(z) – производящая функция вероятности Р
m
;
n – количество опытов или серий опытов;
i – номер опыта или серии;
z – произвольный параметр;
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
45
К
0i
, К
Вi
– компоненты включения и отключения ЭП в i –момент времени.
Производящую функцию представим в виде многочлена:
∑
=
n
m 0
Р
m
·z
m
=
∏
=
n
i 1
(К
0i
+К
Вi
z). (25)
Раскрывая скобки и выполняя приведение подобных членов в правой
части данного выражения, получим вероятности р
0
, р
1
, р
2
,… , р
m
,…, р
n
как
компоненты при z в нулевой, первой, второй, m - ной и n - ной степенях.
События, вероятности которых вычисляются по (24) и (25), образуют полную
группу событий:
∑
=
n
m 0
Р
m
z
m
=1.
Общая теорема о повторении опытов формализует вычисление
вероятностей появления событий и позволяет избежать применения более
громоздкого математического аппарата теорем умножения и сложения.
Пример:
~
~
~
~
Рис. 16.
Определить вероятность одновременного включения всех ЭП, работы
трех и отключения одного, работы двух и отключения двух, работы одного и
отключения трех и отключения четырех ЭП. Определить вероятностный
максимум m
х
- количество практически достоверных событий при граничной
вероятности Е
х
=0,05. Для схемы, представленной на рис. 16, составим
производящую функцию вероятностей:
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
46
ϕ
4
(z)=
4
1i=
∏
(К
0i
+К
Вi
z)=(0.9+0.1·z)·(0.8+0.2·z)·(0.7+0.3·z)·(0.6+0.4·z)=
=0.3024+0.4404·z+0.2144·z
2
+0.0404·z
3
+0.024·z
4
.
Отсюда:
р
0
=0,3024 – вероятность одновременной работы четырех ЭП;
р
1
=0,4404 – вероятность работы трех и отключения одного ЭП;
р
2
= 0,2144 – вероятность работы двух и отключения двух ЭП;
р
3
= 0,0404 – вероятность работы одного и отключения трех ЭП;
р
4
= 0,024 – вероятность отключения четырех ЭП.
Составляя значения накопленных сумм вероятностей по
( )
1
1
10,3024;0,7428;0,9572;0,9976;1.
mx
i
pAi Ех
−
=
Σ<−=
убеждаемся, что условие
( )
1
1
1
mx
i
pAi
Ех
−
=
Σ≥− выполняется при
2
х
m
=
, то есть
вероятностный максимум нагрузки будет при работе двух электроприемников.
1.5. Графики электрических нагрузок и построение упорядоченной
диаграммы по схеме независимых испытаний
Основополагающим в электроснабжении является определение
электрической нагрузки (ЭН). Под ЭН подразумеваются токи, активная,
реактивная и полная мощности. От того, насколько правильно определены
электрические нагрузки зависит надежность и эффективность СЭС.
В условиях эксплуатации электрические нагрузки исследуют по графикам
электрических нагрузок (ГЭН), которые представляют собой графическое
изображение изменения ЭН во времени. ГЭН могут быть построены с
применением различных измерительных приборов: регистрирующих,
суммирующих (интегрирующих), самопишущих и др. (см. рис. 17).
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
47
Рис. 17. Графики электрических нагрузок.
Чаще используются последние два, которые соответственно называются
ступенчатыми и непрерывными. По числу ЭН, подключенных к узлу,
различают индивидуальные (подключен один ЭП) и групповые (подключено
несколько ЭП) ГЭН.
Рассмотрим основные типы индивидуальных ГЭН, необходимые для
выяснения физической картины формирования групповых графиков.
Они делятся на периодические, циклические, нециклические,
нерегулярные.
ц
t
о
t
р
t
ц
t
о
t
р
t
;;
рoц
tconsttconsttconst
===
ц1
t
о1
t
р
t
ц2
t
о2
t
р
t
;
р o
tconsttvar
==
ц3
t
о3
t
р
t
ц1
t
о1
t
р1
t
ц2
t
о2
t
р2
t
;
р o
tvartvar
==
3
ц
t
3
р
t
3
о
t
Рис. 18. Типы ГЭН
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
48
Периодические ГЭН (рис.18, 1) отвечают строго ритмичному, с периодом
t
ц
процессу производства, как правило, поточному или автоматизированному
по жесткой программе.
Циклические ГЭН (рис.18, 2) отвечают непоточному, неавтоматизирован-
ному, но цикличному производству, причем продолжительность t
р
одна и та
же, характер соответствующих участков ГЭН цикличен. Но периодичность
нарушена из-за разных t
о
отдельных циклов. В этом случае можно говорить
только о средней длительности одного цикла t
ц.
Нецикличные ГЭН (рис.18, 3). Выполняемые агрегатом операции
повторяющиеся, строго не регламентированы, вследствие чего характер
графика существенно меняется на рабочих участках, причем их длительность
нестабильна.
Нерегулярные ГЭН (рис.18, 4) – редкий случай столь нерегулярного
режима работы ЭП, что условия стабильности ЭП уже не соблюдаются. Это
означает, что технологический процесс в силу своей природы имеет
неустановившийся характер.
Всегда стремятся привести ГЭН к периодическому типу.
На практике чаще всего приходится иметь дело с групповыми графиками
ЭН. Групповые графики получаются в результате суммирования
индивидуальных ГЭН.
Графики групповой нагрузки
Для групповых графиков степень регулярности определяется не только
типами слагающих индивидуальных графиков, но и взаимодействиями
нагрузок отдельных ЭП по условиям технологического процесса.
Различают периодический, почти периодический и нерегулярный
графики.
Нерегулярный – неустановившийся процесс, который характеризуется
пониженной производительностью, нерегулярным режимом работы отдельных
ЭП.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
49
Периодический ГЭН – периодично работающие ЭП жестко связаны
между собой общим потоком технологического процесса – автоматизированной
линией.
Почти периодический - непоточное производство, характеризуется при
установившемся режиме работы обобщенной периодичностью, означающей
стабильность расхода электроэнергии. Для них начальный момент времени
цикла не является произвольным как для периодических графиков и должен
отвечать началу одного из циклов, например, смены.
Построение упорядоченных диаграмм индивидуальных и групповых
графиков нагрузки
Упорядоченной диаграммой (УД) называется график изменения
параметра, характеризующего электрическую нагрузку, в порядке убывания ее
значений во времени или расположение ординат графика в порядке убывания.
Упорядочную диаграмму можно построить по графикам электрической
нагрузки или с помощью схемы независимых испытаний.
Построение упорядоченной диаграммы по графику нагрузки показано на
рис. 19 для индивидуального графика и на рис. 20 - для группового.
1
t
о
t
2
t
ц
t
в
t
ц
t
2
t
1
t
о
t
Рис. 19. Графическое построение упорядоченной диаграммы индивидуального
ГЭН за время цикла
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
50
1
t
2
t
3
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
t
6
t
7
t
8
t
9
t
4
t
5
t
6
t
7
t
8
t
9
t
Рис. 20. Построение УД группового графика нагрузки
Построение упорядоченной диаграммы с помощью схемы независимых
испытаний
Исходными данными для построение УД являются число и мощность
электроприемников каждого типа, режим работы или коэффициент включения
К
В
, время наблюдения.
Порядок построения УД следующий.
1. Определяются возможные нагрузки (мощности), Рi рассматриваемого
узла путем сочетаний различного числа включенных ЭП от 0 до максимального
значения: 0; Р1; Р2; … Рmax.
2. Рассчитываются вероятности возможных нагрузок узла по схеме
независимых испытаний
( )
0
1
iiii
i
n
mmnm
m
innВ
i
рррПсКК
−
=
== , (26)
где
( )
!
!!
i
i
m
i
n
iii
n
с
mnm
=
−
.
3. Определяется длительность протекания каждой возможной нагрузки
узла
t
(
)
(
)
ii
Н
tppp
Т
= . (27)
4. Строится упорядоченная диаграмма по значениям, полученным в п. 1 и
в п. 4.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com