Романов В.Н. Теория измерений. Основы теории точности средств измерений
Подождите немного. Документ загружается.
Для треугольного распределения вероятность попадания
y
δ
в
интервал
[]
α
α
,− равна по (3.2.22):
[
]
{
}
, 75%Py
δαα
∈− = ,
в то же время для равномерного распределения
[]
{
}
1, =−∈
α
α
δ
yP
.
Проведем аналогичное рассмотрение для k=3 (схема с тремя
элементами) при равномерном распределении погрешностей для
отдельных элементов. Будем, как и выше, считать что интервал
изменения погрешности для отдельного элемента
[]
α
α
,− , т.е.
одинаков для всех элементов. В этом случае плотность
распределения квадратично зависит от случайной величины,
поэтому будем называть это распределение в дальнейшем
квадратичным полиномиальным (треугольное распределение
является в этом смысле линейным полиномиальным). Плотность
распределения состоит из трех полиномов. Применяя условия
непрерывности плотности и ее первой производной, а также
условие
нормировки, после вычислений получаем выражение
функции плотности суммы трех величин, равномерно
распределенных в интервале
[
]
α
α
,
−
в виде:
()
()
()
[]
()
[]
()
()
[]
2
3
2
3
3
2
3
1
33,
16
13
,
88
1
3,3
16
при
при
при
xc xc c
px xc x c c
xc xc c
α
αα
α
α
α
αα
α
αα
α
⎧
−− ∈− −
⎪
⎪
⎪
=− −+ ∈− +
⎨
⎪
⎪
−+ ∈+ +
⎪
⎩
, (3.2.23)
где x – произвольная случайная величина, c – центр
распределения;
[]
α
α
3,3− – интервал изменения величины x.
Вероятность попадания погрешности в интервале
[]
Δ
Δ− ,
определяется соотношением:
[]
{}()
∫
Δ+
Δ−
=ΔΔ−∈
c
c
ydypyP
δδδ
3
,
(3.2.24)
Интеграл разбивается на три слагаемых:
() () () ()
3
3333
3
cccc
cc cc
p
yd y p yd y p yd y p yd y
αα α
αα α
δ
δδδδδδδ
+Δ − + +
−Δ − − +
=++
∫∫∫∫
(3.2.25)
После довольно громоздких расчетов для вероятности
получается следующее выражение:
[]
{}
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Δ
+
Δ
−
Δ
=ΔΔ−∈ 193
3
1
8
1
,
2
2
3
3
α
αα
δ
yP
. (3.2.26)
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
для этого распределения равны соответственно:
[
][]
2
;
αδδ
== yDcyM ,
в чем легко убедиться непосредственным вычислением.
Вероятность попадания
y
δ
в интервал
[
]
α
α
,
−
из (3.2.26) равна:
[]
{}
%67
3
2
, ≈=−∈
ααδ
yP . Рассмотрим несколько примеров на
применение полученных соотношений.
Пример 1. Предположим, что реальное распределение
погрешности является квадратичным полиномиальным с
функцией плотности, задаваемой соотношением (3.2.23).
Определим ошибку неадекватности модели для двух случаев: а)
при аппроксимации треугольным распределением; б) при
аппроксимации равномерным распределением. При
аппроксимации треугольным распределением дисперсия
погрешности составит по (3.2.20):
[]
2
2
2
2
3
2
3
3
2
α
α
δ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅=yD
. При
аппроксимации равномерным распределением дисперсия равна:
[]
()
2
2
1
3
3
3
α
α
δ
==yD . Для реального распределения (квадратичного
полиномиального), как следует из (3.2.23), дисперсия равна:
[]
2
3
αδ
=yD , т.е. ошибка неадекватности весьма значительная.
Вероятность попадания погрешности y
δ
в интервал
[] []
,Dy Dy
δδ
⎡⎤
−
⎣⎦
составляет для равномерного распределения:
[] []
{
}
{}
11
31
, 3, 3 58%
3
3
P y Dy Dy P y
α
δδδδαα
α
⎡⎤
⎡⎤
∈− = ∈− = = =
⎣⎦
⎣⎦
; для
треугольного распределения из (3.2.22):
[] []
[]
{}
[]
{}
%65
5,14
5,1
1
5,1
5,1
23,23,
22
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
−⋅=−∈=−∈
αα
ααδδδδ
yPyDyDyP .
Для квадратичного полиномиального (реального) распределения:
[] []
[
]
{
}
[
]
{}
%67,,
33
=−∈=−∈
ααδδδδ
yPyDyDyP
(см. выше).
Таким образом, систематическая ошибка неадекватности
модели для вероятности составляет –2% при замене реального
распределения треугольным и –9% при использовании
равномерного распределения (для доверительного интервала
[] []
,Dy Dy
δδ
⎡⎤
−
⎣⎦
).
Пример 2. Рассмотрим, как сказывается тип схемы на
значении доверительной вероятности при k=2 и k=3 в случае
равномерного распределения погрешностей для отдельных
элементов.
Последовательная схема. В этом случае, как показано выше
(см. §3.1), дисперсия возрастает и равна при
[
]
[
]
22 11
2: 2 ;kDyDy
δδ
==
при
[
]
[
]
33 11
3: 3kDyDy
δ
δ
==
, где
1
y
δ
–
погрешность для отдельного элемента схемы.
Определим доверительную вероятность попадания
погрешности в интервал
[] []
,Dy Dy
δδ
⎡
⎤
−
⎣
⎦
. Для отдельного
элемента схемы в случае равномерного распределения:
[] []
{
}
{
}
11 1 1 11
, 3 , 3 58%P y Dy Dy P y
δδδδαα
⎡⎤
⎡⎤
∈− = ∈− =
⎣⎦
⎣⎦
. При k=2
(треугольное распределение):
[] []
{
}
{
}
22 2 2 22
, 2 3 , 2 3 65%Py Dy Dy Py
δδδδαα
⎡⎤
⎡⎤
∈− = ∈− =
⎣⎦
⎣⎦
. При k=3
(квадратичное полиномиальное распределение):
[] []
{
}
[]
{}
33 3 3 33
, , 67%P y Dy Dy P y
δδδδαα
⎡⎤
∈− = ∈− =
⎣⎦
.
Вероятность попадания погрешности в интервал
[] []
2,2Dy Dy
δδ
⎡⎤
−
⎣⎦
равна для равномерного
распределения:
{
}
11
23,231Py
δαα
⎡⎤
∈− =
⎣⎦
, (интервал превышает
пределы изменения погрешности
[
]
α
α
,
−
т.е. является
недопустимым). Для треугольного:
{
}
22
223,223 96,5%Py
δαα
⎡⎤
∈− =
⎣⎦
, для квадратичного
полиномиального (схема из 3-х элементов)
[
]
{
}
%962,2
33
=
−
∈
α
α
δ
yP .
Часто интерес представляет обратная задача, а именно, какой
доверительный интервал соответствует заданной вероятности.
Предположим, что задана доверительная вероятность Р=96%.
Тогда для схемы с тремя элементами (k=3) интервал составляет
(см. выше)
2
α
Δ=
, т.е. 66,7% предельного интервала изменения
погрешности
[
]
α
α
3,3
−
; для схемы с двумя элементами (k=2)
интервал составит из соотношения (3.2.22):
α
6,1
=
Δ
т.е. 80%
предельного интервала
[
]
α
α
2,2
−
; наконец, для отдельного
элемента:
α
96,0=Δ
, т.е. 96% предельного интервала
[
]
α
α
,− . Отсюда
следует, что агрегирование элементов в схему позволяет
обеспечить запас надежности при относительно более низкой
точности функционирования (этот результат справедлив для
равномерного распределения погрешностей).
Параллельная схема. В этом случае, как показано в §3.1,
дисперсия уменьшается и равна при k=2:
[
][]
2
1122
yDyD
δ
δ
=
; при
k=3:
[] []
3
1133
yDyD
δ
δ
= . Определим те же величины, что и для
последовательной схемы. При k=2 (треугольное распределение) и
k=3 (квадратичное полиномиальное распределение) получим для
вероятности попадания в интервал
[] []
,Dy Dy
δδ
⎡
⎤
−
⎣
⎦
:
{
}
22
6 , 6 65%Py
δαα
⎡⎤
∈− =
⎣⎦
;
[
]
{
}
33
3 , 3 67%Py
δαα
∈− = , т.е. имеем те
же результаты, что и для последовательной схемы. При расчетах
по (3.2.22), (3.2.26) учтено, что в данном случае изменилась не
только дисперсия, но и интервал, а именно, при k=2:
2
2
α
α
= ; при
k=3:
3
3
α
α
= , где
[]
α
α
,− – интервал изменения погрешности для
единичного элемента схемы при равномерном распределении.
Объясняется это тем, что из соотношения (3.1.18) погрешность
y
δ
для параллельной схемы равна взвешенной сумме погрешностей
отдельных элементов. При равенстве погрешностей вес равен 1/k,
т.е. статистически дело обстоит так, как если бы суммировались
величины, равномерно распределенные в интервале
[
]
,kk
αα
− с
дисперсией
2
3k
α
. Фактически погрешность схемы равна
погрешности отдельного элемента (см. соотношение (3.1.18)), т.е.
изменяется в интервале
[
]
α
α
,
−
. Вероятность попадания в
удвоенный интервал равна:
[
]
{
}
%5,9662,62
22
=−∈
ααδ
yP ;
[
]
{
}
%9632,32
33
=
−
∈
α
α
δ
yP .
При решении обратной задачи получаем, что вероятность
%96
3
=P реализуется для доверительного интервала
[
]
23,23
αα
− ,
который составляет
32 или 66,7% предельного интервала; %96
2
=P
реализуется для интервала
0,8
α
, который составляет 80%
предельного, т.е. результаты аналогичны последовательной схеме.
Следует отметить, что в параллельной схеме при той же
доверительной вероятности, доверительные интервалы
оказываются гораздо меньшими, что свидетельствует о большей
точности функционирования.
Таким образом, взаимосвязь доверительного интервала и
доверительной погрешности зависит от типа схемы и вида закона
распределения ошибок для элементов схемы.
Пример 3. Рассмотрим связь между доверительным
интервалом и вероятностью при
больших и малых k для
равномерного распределения погрешностей. В этом случае
дисперсия дается выражением
[]
2
3
k
Dy
δ
α
= , где
[
]
α
α
,
−
– интервал
изменения погрешности
1
y
δ
отдельного элемента схемы.
Математическое ожидание
[
]
cyM
=
δ
. Связь между вероятностью и
доверительным интервалом при больших k определяется
соотношением (3.2.15) с функцией плотности
()
[]
()
[]
2
1
2
2
exp
xc
py
Dy
Dy
δ
δ
πδ
⎧⎫
−
⎪⎪
=⋅−
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
, (3.2.27)
где
[]
2
3
k
Dy
δ
α
= .
Последовательная схема. Вероятность попадания
погрешности для схемы из 10 элементов в доверительный
интервал, определяемый дисперсией для отдельного элемента,
равна:
{
}
(
)
10 0
0, 30 1 10 0,62 0,5 0,13 13%Py Pt P
δα
⎡⎤
∈==−=−==
⎣⎦
. Для
удвоенного интервала:
()
0
2 10 0,73 0,5 0, 23 23%Pt P=−=−==.
Параллельная схема. Вероятность попадания погрешности для
схемы из 10 элементов в доверительный интервал, определяемый
дисперсией для отдельного элемента равна:
{
}
()
10 0
0, 3 10 10 0,999 0,5 0,499Py Pt P
δα
⎡⎤
∈⋅==−=−=
⎣⎦
; Для
удвоенного интервала:
()
0
210 1 0,5 0,5Pt P=−=−=.
При малых k расчеты проводятся по соотношениям (3.2.22) и
(3.2.26).
Последовательная схема. Вероятность попадания
y
δ
в
интервал
[] []
11
,Dy Dy
δδ
⎡⎤
−
⎣⎦
, где
1
y
δ
– погрешность для отдельного
элемента при k=2 равна из (3.2.22):
[] []
{
}
{
}
12 1 1 12
,3,349,5%Py Dy Dy Py
δδδδαα
⎡⎤
⎡⎤
∈− = ∈− =
⎣⎦
⎣⎦
. При
удвоенном интервале
[] []
{
}
22 1 1
2,2P y Dy Dy
δδδ
⎡⎤
∈−
⎣⎦
{
}
22
2 3 , 2 3 82%Py
δαα
⎡⎤
=∈− =
⎣⎦
.
Для k=3 соответствующие величины по (3.2.26) равны:
1
41%,P =
2
74%P = .
Параллельная схема. В тех же обозначениях, что и выше, при
k=2 имеем:
[] []
[
]
{
}
[
]
{
}
%823,3,
211121
=−∈=−∈
ααδδδδ
yPyDyDyP ;
[
]
%5,97
22
=yP
δ
.
При k=3:
[] []
{
}
{
}
13 1 1 13
,3,391,5%P y Dy Dy P y
δδδδαα
⎡⎤
⎡⎤
∈− = ∈− =
⎣⎦
⎣⎦
,
[
]
23
1Py
δ
= .
Таким образом, параллельная схема обеспечивает более
высокую достоверность (надежность) результата измерения,
которая возрастает с увеличением числа элементов в схеме. Для
последовательной схемы наблюдается обратная закономерность, а
именно, увеличение числа элементов в схеме снижает
достоверность результата измерения. Из полученных результатов
следует, что в параллельной схеме нет смысла объединять
большое число элементов,
так как уже при k =2…3 обеспечивается
достаточный уровень надежности. Для последовательной же
схемы снижение надежности с увеличением числа элементов не
носит катастрофического характера
3.3. Оптимизация динамических характеристик СИ
Рассмотрим СИ с передаточной функцией W (р), которая
определяется как отношение преобразований Лапласа выходного
сигнала y (t) к входному x (t):
[
]
[]
)(
)(
)(
txL
tyL
pW =
(3.3.1)
Для большого класса СИ передаточная функция может быть
представлена в виде отношения полиномов:
,
)(
)(
)(
0
0
∑
∑
=
=
==
n
j
j
j
m
i
i
i
pa
pb
pD
pB
pW
(3.3.2)
где m
≤
n .
На практике для определения передаточной функции
используют в зависимости от вида входного контрольного
сигнала переходную функцию, импульсную (весовую) функцию
или комплексную частотную характеристику. Наиболее просто
передаточная функция определяется через весовую. Весовая
функция w(t) линейной системы при условии
некоррелированности внутренних возмущений с входными
сигналами СИ определяется интегральным уравнением Винера-
Хопфа:
∫
∞
−=
0
,)()()( dttwtRR
xxxy
ττ
(3.3.3)
где
)(
τ
−tR
xx
- ковариационная функция входного сигнала x (t);
)(
τ
xy
R - взаимная ковариационная функция входного и выходного
сигналов.
Определение w(t) из соотношения (3.3.3) является
некорректной задачей, т. е. малые погрешности функций
)(),(
τ
τ
−tRR
xxxy
приводят к сколь угодно большим ошибкам в
определении w(t). Отметим, что среднеквадратичное отклонение
весовой функции, найденной из уравнения (3.3.3), от
действительной весовой функции может быть незначительным,
но эта функция не имеет физического смысла. Поэтому интерес
представляют только гладкие решения уравнения (3.3.3). Чтобы
это показать, применим к уравнению Винера-Хопфа
преобразование Фурье, и
получим следующее соотношение:
() ()(),
xy xx
Sj HjS
ω
ωω
=
(3.3.4)
где
)(
ω
jS
xy
и )(
ω
xx
S - спектральные плотности сигналов на выходе
и входе соответственно;
()Hj
ω
- комплексная частотная
характеристика СИ. Отсюда следует, что
()
()
()
xy
xx
Sj
Hj
S
ω
ω
ω
= (3.3.5)
При конечной длине реализаций x(t) и y(t) спектральная
плотность
)(
ω
xx
S для некоторых значений
ω
близка к нулю, и
малые изменения в значении
)(
ω
xx
S из-за помех или
вычислительных ошибок приводят к сколь угодно большим
изменениям значения величины
().Hj
ω
Для нахождения гладких решений уравнения Винера-Хопфа
используются методы регуляризации. Один из таких методов
состоит в использовании сглаживающих функций. Весовая
функция при этом определяется путем минимизации
функционала:
2
1
0
() ( ) ( ) ( ())FEyt wxt d Fwt
τττα
∞
⎡⎤
⎛⎞
⎢⎥
=− −+
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
∫
(3.3.6)
где
α
- положительное число, E- математическое ожидание,
1
F -
сглаживающий функционал вида:
22
1
0
( ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ,
t
Fwt k w p w d
τ
ττττ
=+
∫
&
(3.3.7)
где
0)( >
τ
k , 0)( >
τ
p ,
()
() .
dw
w
d
τ
τ
τ
=
&
Условие минимума функционала F можно записать в
альтернативной форме:
0
() ( ) ()
xy xx
dw
R
kpwRtwtdt
dt
τα τ
τ
∞
⎧∂ ⎫
⎛⎞
=++−
⎨⎬
⎜⎟
∂
⎝⎠
⎩⎭
∫
(3.3.8)
причем
0)()0( =∞= ww
&&
.
Уравнение (3.3.8) отличается от уравнения Винера-Хопфа
(3.3.3) дополнительным слагаемым в правой части,
обеспечивающим единственность и гладкость решения.
Другой способ нахождения весовой функции состоит в ее
аппроксимации рядом:
∑
=
=
n
i
ii
tctw
0
),()(
ϕ
(3.3.9)
где )(t
i
ϕ
- базисная система функций;
i
c - неизвестные параметры.
Подставляя (3.3.9) в первое слагаемое выражения (3.3.6),
получим:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−=
∫
∑
∞
=
2
0
0
2
)()()(
n
i
ii
dctxtyE
ττϕτε
(3.3.10)
Введем обозначения:
{
}
n
cccc ,,,
10
K
=
∫
∞
−=
0
,)()()(
τττϕ
dtxtz
ii
(3.3.11)
Величины
)(tz
i
называют выходными реакциями фильтров с
весовыми функциями
)(t
i
ϕ
на входной сигнал )(tx . С учетом
обозначений (3.3.11) выражение (3.3.10) запишется в виде:
2
2
0
() ()
n
ii
i
Eyt czt
ε
=
⎧
⎫
⎡
⎤
⎪
⎪
=−
⎨
⎬
⎢
⎥
⎣
⎦
⎪
⎪
⎩⎭
∑
. (3.3.12)
Компоненты вектора c, минимизирующие величину
2
ε
,
находятся из (n+1) уравнений:
2
0; 0,1, , .
j
j
n
c
ε
∂
==
∂
K (3.3.13)
Проводя дифференцирование, получим систему уравнений для
определения вектора c:
{}{}
.,,1,0;)()()(),(
0
njtztzEctztyE
n
i
ijij
K==
∑
=
(3.3.14)
Величины
{
}
)(),( tztyE
j
и
{
}
)(),( tztzE
ij
представляют собой
начальные значения соответствующих взаимных
ковариационных функций:
{
}
)()( tztyER
jyj
=
(3.3.15)
{
}
)()( tztzER
jiij
=
.
Из (3.3.15) следует, что
jiij
RR
=
. С учетом (3.3.15) система
уравнений (3.3.14) запишется в виде:
∑
=
==
n
i
ijiyj
njRсR
0
.,,1,0; K (3.3.16)
Левые части уравнений (3.3.16) рассчитываются по
экспериментальным данным, поэтому на них сильно влияют
помехи на выходе СИ. Выразим
ij
R
через спектральную
плотность:
1
()( )(),
2
ij i j xx
R
Hj H j S d
ω
ωωω
π
∞
−∞
=−
∫
(3.3.17)
где
()
i
Hj
ω
- КЧХ фильтра с весовой функцией )(t
i
ϕ
; )(
ω
xx
S -
спектральная плотность входного сигнала
)(tx
. Достаточное
условие существования решения системы уравнений (3.3.17)
имеет вид:
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
.0
,1
jiесли
jiесли
R
ij
(3.3.18)
Из определения
ij
R (3.3.15) следует, что для выходных сигналов
фильтров базисной системы функций должны выполняться
условия ортонормировки, причем по (3.3.17)
ортонормированность может быть обеспечена лишь совместным
выбором
()
i
Hj
ω
и )(
ω
xx
S или соответственно )(t
i
ϕ
и
)(tx
. Из
ортогональности функций
)(t
i
ϕ
во временной области имеем:
0
, если
() ()
0, если
ij
Aij
ttdt
ij
ϕϕ
∞
=
⎧
=
⎨
≠
⎩
∫
(3.3.19а)
а в частотной области:
, если ,
1
()( )
0, если .
2
ij
Aij
Hj H j d
ij
ωωω
π
∞
−∞
=
⎧
−=
⎨
≠
⎩
∫
(3.3.19б)
Сравнивая (3.3.19б) и (3.3.17) можно сделать вывод, что условие
(3.3.18) имеет место, если спектральная плотность входного
сигнала x(t) постоянна, т.е. если:
)()(
0
ω
ω
constSS
xx
=
=
(3.3.20)
Это означает, что входным сигналом должен быть белый шум;
тогда матрица
ij
R является единичной при ортогональной системе
базисных функций. Корреляционная функция белого шума
представляет собой
δ
- функцию. Если ее подставить в уравнение
Винера-Хопфа вместо
)(
τ
xx
R , то получим:
)()()()(
0
ττδτ
wdtttwR
xy
=−=
∫
∞
. (3.3.21)
Поэтому из экспериментальных данных нужно определить
только
)(
τ
xy
R . Таким образом, для решения задачи определения
)(tw следует выбрать систему базисных функций. Этот выбор
зависит от вида передаточной функции. Для передаточной