Романов В.Н. Теория измерений. Основы теории точности средств измерений
Подождите немного. Документ загружается.
функции вида (3.3.2): ,
)(
)(
)(
pD
pB
pW = где
∏
=
+=
r
k
n
k
k
pppD
1
)()(
;
nn
r
k
k
=
∑
=1
весовую функцию можно записать в следующей форме (см.
Приложение 3):
∑∑
==
−
−
=
r
k
n
j
k
jn
k
kj
k
k
tpt
jn
B
tw
11
),exp(
)!(
)( (3.3.22)
где
k
k
pp
n
k
j
j
kj
pD
pBpp
dp
d
j
B
−=
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
)(
)()(
)!1(
1
1
1
(3.3.23)
Сравнивая (3.3.23) с (3.3.9) можно заметить, что система функций
должна иметь следующий вид:
{}
{
}
)exp()( tptt
i
n
i
i
=
ϕ
(3.3.24)
Этому условию удовлетворяют функции Лагерра, которые во
временной области и через изображение по Лапласу
определяются следующим образом:
∑
=
−
−
−
=
t
k
k
k
t
i
t
kki
i
et
0
2
)!()!(
)2(!
2)(
α
α
α
l , (3.3.25)
t
i
p
p
p
pL
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
α
α
α
α
2
)(
. (3.3.26)
Таким образом, при определении динамических характеристик
СИ путем аппроксимации весовой функции линейной
комбинацией базисных функций, решение ищется из
соотношения (3.3.9), которое при использовании функций
Лагерра принимает вид:
∑
=
=
n
i
ii
tctw
0
)()( l (3.3.27)
Параметры
i
c определяются из решения системы уравнений
(3.3.16), матрица которой образована коэффициентами
корреляции сигналов на выходах фильтра Лагерра и сигнала на
выходе СИ. В качестве входного сигнала целесообразно
использовать белый шум.
После того как определена передаточная функция СИ, его
параметры могут быть найдены из условия минимума
динамической погрешности. Погрешность передаточной функции
СИ равна
:
),0()()( WpWpW
−
=
Δ (3.3.28)
где W(p) – реальная передаточная функция; W(0) – идеальная
передаточная функция (в установившемся режиме).
При малых p (для медленных процессов) можно разложить
функцию
)( pWΔ в ряд Тейлора в окрестности p=0:
,
!2
)0(
!1
)0()(
2
K+
′′
+
′
=Δ
p
W
p
WpW (3.3.29)
где
WW
′′′
,
и т.д. – частные производные W(p) по p.
Для передаточной функции (3.3.2) производные равны:
;)0(
2
0
1001
a
abab
W
−
=
′
(
)
3
0
2
10110200
2
02
2
)0(
a
abbaaaabab
W
+−−
=
′′
(3.3.30)
и т.д.
Параметры
22110
,,,, abbaa выражаются через параметры СИ.
Условие минимума динамической погрешности:
∂Δ
W/
∂
p=0 Из
соотношения (3.3.29) следует, что
0)(
=
Δ
pW , если одновременно
выполняются условия:
0)0( =
′
W
0)0( =
′′
W
(3.3.31)
и т.д. Число уравнений в системе (3.3.31) равно числу
независимых параметров.
Решение системы уравнений (3.3.31) позволяет найти параметры
СИ, минимизирующие динамическую погрешность. Рассмотрим
примеры:
Пример 1. Пусть имеется система 1-го порядка, т.е.
описываемая дифференциальным уравнением 1-го порядка. Ее
переходная функция имеет вид:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−−=
T
tt
Kth
0
exp1)(
(3.3.32)
Весовая функция системы определяется как производная по
времени от переходной функции:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
T
tt
T
K
tw
0
exp)( (3.3.33)
Весовая функция связана с передаточной W(p) через обратное
преобразование Лапласа (см. Приложение 3):
∫
∞+
∞−
=
j
j
pt
dpepW
j
tw
σ
σ
π
)(
2
1
)( (3.3.34а)
или
∫
∞
−
=
0
)()( dtetwpW
pt
, (3.3.34б)
где
constj =−=
σ
,1 .
Подставляя в (3.3.34б) выражение для w(t), найдем:
pT
K
pW
+
=
1
)(
, (3.3.35)
т.е. в нашем примере
.;1;
100
TaaKb
=
=
=
Для
)0(W
′
из соотношения (3.3.30) получаем:
0)0(
=
−
=
′
KTW
,
т.е. T=0, и из (3.3.32)
)()(
∞
=
=
hKth . Таким образом, получаем
очевидный результат: для системы первого порядка
динамическая погрешность равна нулю в установившемся
режиме.
Пример 2. Рассмотрим систему 2-го порядка с переходной
функцией вида:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
−
tteKth
t
ω
ω
α
ω
α
sincos1)( (3.3.35)
Действуя аналогично предыдущему примеру, получим:
2
10
0
222
22
2
)(
)(
ppaa
b
pp
K
pW
++
=
+++
−
=
ααω
ωα
, (3.3.36)
где
.1;2;);(
21
22
0
22
0
==+=−= aaaKb
αωαωα
Из соотношений (3.3.30) найдем:
()
()
()
,0
2
0
2
22
22
=
+
−−
=
′
αω
αωα
K
W
()
(
)
(
)
()
.0
2
0
3
22
2222
=
+
−−
=
′′
αω
ωαωα
K
W
(3.3.37)
Производные обращаются в нуль при
22
ωα
= , где
α
- показатель
затухания колебаний,
ω
- собственная частота демпфированных
колебаний:
22
0
2
αωω
−=
, что эквивалентно равенству: 2
0
ωω
=
или
21
0
=
ωα
, где
0
ω
- собственная частота не демпфированных
колебаний,
0
ω
α
- степень успокоения. Этому случаю
соответствует нулевое значение максимальной ширины полосы
пропускания измерительной системы. Другое физически
осмысленное решение:
∞
=
α
, 0
=
ω
, и
Khth
=
∞
=
)()(
, т.е. система
находится в установившемся режиме. Аналогично могут быть
изучены системы 3-го и 4-го порядков; для систем более высоких
порядков решения находятся приближенно численными
методами. Из приведенных примеров следует, что точные
решения, соответствующие
0
=
Δ
W , являются предельными и
представляют скорее теоретический интерес. На практике ищут
решения, соответствующие определенному заданному допуску на
значение динамической погрешности; при этом уравнение имеет
вид:
Δ≤Δ )( pW
(3.3.38а)
или
Δ≤−
0
)( hth , (3.3.38б)
так как погрешность симметрично распределена относительно
0
h ,
где
0
h - значение функции в стационарном режиме.
Уравнение решается относительно безразмерных параметров,
характеризующих систему. Возможны различные постановки
задачи в зависимости от вида входного воздействия. При
ступенчатом воздействии определяют минимальную
длительность переходного процесса; при гармоническом -
максимизируют ширину полосы пропускания измерительной
системы [6, 10].
Рассмотрим в виде примера задачу минимизации длительности
переходного процесса при заданном значении
динамической
погрешности для системы 2-го порядка.
Пример 3. Имеется система 2-го порядка с вращательным
движением, т.е. описываемая дифференциальным уравнением 2-
го порядка. При ступенчатом воздействии ее полной
динамической характеристикой является переходная функция:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
−
ttehth
t
ω
ω
α
ω
α
sincos1)(
0
(3.3.39)
где
α
,
ω
- параметры системы:
α
- показатель затухания,
ω
-
собственная частота демпфированных колебаний;
J
K
2
=
α
;
22
0
αωω
−= ;
J
C
=
0
ω
- собственная частота недемпфированных
колебаний; K, J и C – коэффициент демпфирования, момент
инерции и жесткость системы соответственно. Перепишем
(3.3.39) в безразмерном виде, обозначив
t
ω
τ
=
;
ω
α
ϕ
= и разделив
на значение
(
)
∞=tприh
0
:
(
)
τϕτ
ϕτ
sincos1)( +−=
−
eth (3.3.40)
Динамическая погрешность
Δ
равна:
(
)
τϕτ
ϕτ
sincos)(
0
+−=−=Δ
−
ehth . (3.3.41)
Требуется определить минимальное время
τ
переходного
процесса при заданном значении погрешности
Δ
. Так как
Δ
может принимать и положительные, и отрицательные значения,
то имеем два уравнения для определения двух параметров
системы
τ
и
ϕ
.
Продифференцируем (3.3.41) по
τ
и приравняем нулю
производную, получим:
()( )
0cossinsincos =+−++−=
∂
Δ∂
−−
τϕττϕτϕ
τ
ϕτϕτ
ee (3.3.42)
Решая уравнение относительно
τ
, найдем:
0sin
=
τ
, т.е.
n
π
τ
±
= 0
(3.3.43)
Физически осмысленное решение
π
τ
=
. Подставляя это значение
в (3.3.41), имеем:
πϕ
−
=Δ e (3.3.44а)
или
Δ
=
Δ
−=
1
ln
1ln
π
π
ϕ
. (3.3.44б)
Подставив это выражение для
ϕ
в (3.3.41), получим соотношение
между
τ
и Δ:
Δ=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−Δ
τ
π
τ
π
τ
sin
ln
cos (3.3.45)
Выражения в правой и левой частях взяты по модулю. Задавая
значения динамической погрешности, можно определить
соответствующие значения длительности переходного процесса.
Решения находятся приближенно численными методами.
Результаты расчетов для наиболее характерных значений
погрешности представлены ниже, в таблице 1.
Таблица 1
Значения безразмерной минимальной длительности
τ
переходного процесса для системы 2-го порядка при ступенчатом
воздействии.
Δ
ϕ
min
τ
0
∞
∞
0,01 1,465 2,36
0,025 1,175 2,21
0,05 0,955 2,07
0,1 0,733 1,88
0,25 0,441 1,52
Переход к физическому времени очевиден:
ω
τ
=t . В качестве еще
одного примера рассмотрим задачу максимизации ширины
полосы пропускания в системе 2-го порядка.
Пример 4. Пусть входной сигнал является гармоническим,
тогда полной динамической характеристикой является
комплексная частотная характеристика (КЧХ), состоящая из
амплитудной и фазовой составляющих. Амплитудная
характеристика имеет вид:
()
()
.
22
2
2
0
νν
ν
KJC
M
A
+−
=
(3.3.46)
Вводя безразмерные параметры:
0
ω
ν
γ
=
- относительная частота
вынужденных колебаний и
00
ω
α
ϕ
=
- степень успокоения, можно
выражение (3.3.46) привести к виду:
()
,41
1
22
0
2
2
0
γϕγ
+−
=
A (3.3.47)
где
0
A - относительная амплитуда: A
0
= A(
ν
)/A(0).
Требуется определить оптимальные параметры
γ
и
0
ϕ
,
соответствующие заданной погрешности
Δ
.
Имеем систему неравенств:
0
11A−Δ≤ ≤ +Δ (3.3.48)
Вводя обозначения x=
γ
2
, y=
ϕ
0
2
, представим (3.3.48) в виде:
22
22
24 1(1) 0
24 1(1) 0
xxxy
xxxy
−
−
−+ +−−Δ≤
−+ +−+Δ≥
(3.3.49)
Проанализируем первое неравенство, рассматривая левую часть
как квадратичный полином относительно x. Полином не
положителен в промежутке между двумя корнями:
221/2
1,2
(1 2 ) ((1 2 ) 1 (1 ) )xyy
−
=− ± − −+−Δ (3.3.50)
Следовательно, подкоренное выражение должно быть не
отрицательно, что имеет место при любом y, так как подкоренное
выражение является суммой неотрицательных величин. Для y
получаем очевидное соотношение (при Δ=0)
1/ 2y
≤
(3.3.51)
Физический интерес представляет предельный случай, когда
y=
ϕ
0
2
=1/2 и x=0.
Проанализируем второе из неравенств (3.3.49). Аналогично для
корней полинома можно записать
221/2
1,2
(1 2 ) ((1 2 ) 1 (1 ) )xyy
−
=− ± − −++Δ (3.3.52)
Так как нас интересуют действительные корни, то подкоренное
выражение должно быть не отрицательно, что дает
21/2
1/2(1(1(1 )) )y
−
≤ −−+Δ (3.3.53)
Отсюда находим предельное значение
ϕ
0
2
221/2
0
1/2(1(1(1 )) )y
ϕ
−
== −−+Δ
(3.3.54)
или
21/2 1/2
0
(1 / 2(1 (1 (1 ) ) ))
ϕ
−
= −−+Δ (3.3.55)
Подставляя полученное выражение для y=
ϕ
0
2
в соотношение
(3.3.50), имеем для x
21/2 2 21/2
1,2
1(1(1(1 )) )((1 ) (1 ))x
−−−
= − − − +Δ ± −Δ − +Δ
(3.3.56)
Из последнего выражения получаем физически осмысленное
решение для
γ
=x
1/2
:
21/2 2 21/21/2
max
((1(1)) ((1) (1)))
γ
−−−
=−+Δ +−Δ−+Δ (3.3.57)
Выражения (3.3.55) и (3.3.57) определяют оптимальные
(предельные) значения параметров
γ
,
0
ϕ
, соответствующие
заданному значению динамической погрешности
Δ. В табл. 2
приведены результаты расчетов
γ
и
0
ϕ
при различных значениях
Δ.
Таблица 2
Максимальная ширина полосы пропускания для системы 2-го
порядка при гармоническом воздействии.
Δ
0
ϕ
max
γ
0 0,707 0
0,01 0,656 0,584
0,025 0,627 0,729
0,05 0,593 0,863
0,1 0,538 1.03
0,25 0,448 1,29
Переход к физической ширине полосы пропускания
осуществляется из соотношения
0maxmax
ω
γ
ν
=
.
Вопросы, изложенные в данной главе, рассмотрены в [5-10, 14,
21, 24, 29-32, 34, 39, 41, 42, 45, 46].
4. Повышение точности и помехоустойчивости СИ
4.1. Методы повышения точности СИ
Методы повышения точности СИ можно подразделить условно
на три группы: алгоритмические, технологические и
структурные. Алгоритмические методы основаны на
совершенствовании алгоритмов измерений и обработки
результатов и позволяют уменьшить методические погрешности.
Технологические методы используются при конструировании и
изготовлении СИ и позволяют уменьшить инструментальные
погрешности. Структурные методы позволяют уменьшить
инструментальные, а в ряде случаев
и методические
погрешности. Рассмотрим подробно структурные методы,
применяемые при функционировании СИ.
Методы уменьшения статических погрешностей. Различают
две группы методов: основанные на постоянстве структуры СИ и
на изменении структуры СИ во времени.
Методы первой группы используют введение в измерительную
цепь вспомогательных каналов, содержащих корректирующие
звенья, осуществляющие снижение погрешностей за счет
снижения уровня возмущений, вносимых влияющими факторами,
или за счет уменьшения влияния погрешностей элементов СИ на
выходной сигнал. Снижение уровня возмущений, вызванных
влияющими факторами, достигается введением внешних
корректирующих звеньев (последовательных или параллельных),
а уменьшение влияния погрешностей элементов СИ
осуществляется внутренними корректирующими звеньями.
Рассмотрим последний случай.
Погрешность преобразования согласно результатам §1.3
имеет вид:
01
2
()
m
k
po k
k
f
fgxaaxax
=
Δ= − =Δ = + +
Σ
, (4.1.1)
где
01
0
0
1
(0); ;
!
k
k
k
gg
aga a
xkx
⎛⎞
∂Δ ∂ Δ
⎛⎞
=Δ = =
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
Эффективность структурных методов можно оценить, например,
отношением математических ожиданий квадрата ошибки в
исходном СИ и в СИ с коррекцией:
2
2
[]
[]
k
M
M
α
Δ
=
Δ
(4.1.2)
или отношением соответствующих дисперсий.
Для уменьшения аддитивной составляющей погрешности
часто используют последовательные корректирующие звенья.
Пусть элемент СИ имеет характеристику
1
yfx= и погрешность,
приведенную к входу Δ
1
= а
01
, где
1
f
- оператор,
соответствующий преобразованию, причем функцию
преобразования
f
можно изменять.
Пусть в измерительную цепь включено последовательно
вспомогательное корректирующее звено с функцией
2
f
и
погрешностью Δ
2
=а
02
между входным сигналом х и исходным
СИ (см. рис. 13,а). Для случая линейных элементов, т.е.
постоянных функций преобразования сигнал на выходе имеет
вид
02 01
12 12 1
yffxffa fa=+ +. (4.1.3)
За счет уменьшения
1
f
можно снизить составляющую
01
1
f
a ,
т.е. аддитивную погрешность выходного сигнала; при этом а
02
должна быть пренебрежимо мала.
Для уменьшения мультипликативной составляющей
погрешности широко используется параллельная коррекция с
обратной связью (см. рис. 13,д). Пусть элемент СИ имеет
функцию преобразования
1
f
и погрешность, приведенную ко
входу Δ
1
= а
01
+ а
11
х
1
. Корректирующее звено подключено
параллельно и имеет функцию преобразования
2
f
и
погрешность Δ
2
(y) = а
02
+ а
12
y. Тогда на выходе СИ с
коррекцией имеем следующие соотношения (при отрицательной
обратной связи)
111
1
[()]yfx x=+Δ,