Ревинская О.Г., Кравченко Н.С. Изучение моделей физических процессов и явлений на компьютере

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ɆɨɞɆ-05 Ɋɚɛɨɬɚ ɢ ɷɧɟɪɝɢɹ

2. Ɋɚɛɨɱɢɟ ɮɨɪɦɭɥɵ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɟɞɭɸɳɭɸ

ɫɢɫɬɟɦɭ ɜɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯ

ɬɟɥ.

Ɍɟɥɨ ɲɚɪɨɨɛɪɚɡɧɨɣ ɮɨɪɦɵ

ɢɦɟɟɬ ɫɤɜɨɡɧɨɟ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ, ɩɪɨ-

ɯɨɞɹɳɟɟ ɱɟɪɟɡ ɞɢɚɦɟɬɪ. ɑɟɪɟɡ

ɷɬɨ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ ɩɪɨɩɭɳɟɧɚ ɫɬɚɥɶ-

ɧɚɹ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɚɹ, ɩɨ ɤɨɬɨɪɨɣ

ɬɟɥɨ ɦɨɠɟɬ ɫɤɨɥɶɡɢɬɶ ɫ ɬɪɟɧɢɟɦ.

ɇɚɩɪɚɜɥɹɸɳɚɹ ɡɚɤɪɟɩɥɟɧɚ ɧɚ

ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɣ ɨɩɨɪɟ ɢ ɢɦɟɟɬ

ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɵɣ ɢ ɤɪɭɝɨɜɨɣ ɭɱɚ-

ɫɬɤɢ (ɪɢɫ. 5). ɇɚɩɪɚɜɥɹɸɳɚɹ

ɨɛɟɫɩɟɱɢɜɚɟɬ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɬɟɥɚ ɩɨ

ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɜ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɣ

ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ. ɇɚ ɨɞɧɨɦ ɤɨɧɰɟ

ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɭɱɚɫɬɤɚ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɚ ɩɪɭɠɢɧɚ. ȼ ɧɚ-

ɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɬɟɥɨ ɪɚɫɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ ɜɩɥɨɬɧɭɸ ɤ ɩɪɭɠɢɧɟ. ɋɠɢɦɚɹ ɩɪɭ-

ɠɢɧɭ, ɢ ɭɞɟɪɠɢɜɚɹ ɜɨɡɥɟ ɧɟɟ ɬɟɥɨ, ɦɨɠɧɨ ɫɨɨɛɳɢɬɶ ɫɢɫɬɟɦɟ ɧɚɱɚɥɶɧɭɸ

ɷɧɟɪɝɢɸ. Ʉɨɝɞɚ ɬɟɥɨ ɢ ɩɪɭɠɢɧɭ ɩɟɪɟɫɬɚɸɬ ɭɞɟɪɠɢɜɚɬɶ, ɬɟɥɨ ɩɨɞ ɞɟɣɫɬ-

ɜɢɟɦ ɫɢɥɵ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ ɧɚɱɢɧɚɟɬ ɞɜɢɝɚɬɶɫɹ. Ʉɨɝɞɚ ɩɪɭɠɢɧɚ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ

ɪɚɫɩɪɹɦɢɬɫɹ, ɫɢɥɚ

ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ ɩɟɪɟɫɬɚɟɬ ɞɟɣɫɬɜɨɜɚɬɶ ɧɚ ɬɟɥɨ. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɬɟ-

ɥɨ ɧɟ ɫɨɟɞɢɧɟɧɨ ɫ ɩɪɭɠɢɧɨɣ, ɨɧɨ ɩɪɨɞɨɥɠɚɟɬ ɞɜɢɝɚɬɶɫɹ ɩɨ ɢɧɟɪɰɢɢ

ɜɞɨɥɶ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ.

ȼ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɬɨɝɨ ɤɚɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɟɣ ɨɛɥɚɞɚɥɚ ɫɢɫɬɟɦɚ ɜ ɧɚɱɚɥɶ-

ɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɬɟɥɨ ɦɨɠɟɬ: ɩɨɞɧɹɬɶɫɹ ɧɚ ɧɟɛɨɥɶɲɭɸ ɜɵɫɨɬɭ ɩɨ

ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɢ ɧɚɱɚɬɶ ɫɤɚɬɵɜɚɬɶɫɹ ɜɧɢɡ; ɩɨɞɧɹɬɶɫɹ

ɞɨ ɧɚɢɜɵɫɲɟɣ ɬɨɱɤɢ

ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ; ɩɪɟɨɞɨɥɟɬɶ ɧɚɢɜɵɫɲɭɸ ɬɨɱɤɭ ɧɚ-

ɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɢ ɧɚɱɚɬɶ ɫɤɚɬɵɜɚɬɶɫɹ ɜɧɢɡ ɩɨ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɣ ɫɬɨɪɨɧɟ

ɤɪɭɝɨɜɨɝɨ ɭɱɚɫɬɤɚ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ. ɇɚ ɜɫɟɦ ɩɭɬɢ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɞɟɣɫɬɜɭɟɬ

ɫɢɥɚ ɬɪɟɧɢɹ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɟɫɥɢ ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɫɢɫɬɟɦɚ ɨɛɥɚɞɚɥɚ ɞɨɫ-

ɬɚɬɨɱɧɨ ɦɚɥɨɣ ɷɧɟɪɝɢɟɣ, ɬɨ ɬɟɥɨ ɦɨɠɟɬ ɧɟ ɞɨɫɬɢɱɶ ɤɪɭɝɨɜɨɝɨ ɭɱɚɫɬɤɚ

ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ.

2.1. Ɂɚɤɨɧ ɫɨɯɪɚɧɟɧɢɹ ɷɧɟɪɝɢɢ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɭɱɚɣ, ɤɨɝɞɚ ɬɟɥɨ ɩɨɞɧɹɥɨɫɶ ɩɨ ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ

ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɧɚ ɧɟɤɨɬɨɪɭɸ ɜɵɫɨɬɭ (ɦɟɧɶɲɟ ɧɚɢɜɵɫɲɟɣ ɬɨɱɤɢ ɧɚɩɪɚɜ-

ɥɹɸɳɟɣ) ɢ ɫɤɚɬɵɜɚɟɬɫɹ ɜɧɢɡ ɩɨ ɬɨɣ ɠɟ ɫɬɨɪɨɧɟ ɤɪɭɝɨɜɨɝɨ ɭɱɚɫɬɤɚ ɧɚ-

Ɋɢɫ. 5

Ɇɟɯɚɧɢɤɚ

ɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ, ɩɨ ɤɨɬɨɪɨɣ ɨɧɨ ɩɨɞɧɢɦɚɥɨɫɶ. ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɹ

ɬɟɥɚ ɢɦɟɟɬ ɬɨɱɤɭ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɨɞɴɟɦɚ

max

, ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɬɟɥɨ ɨɫɬɚɧɚɜ-

ɥɢɜɚɟɬɫɹ (

v = 0).

ɇɚ ɬɟɥɨ ɞɟɣɫɬɜɭɟɬ ɫɢɥɚ ɬɹɠɟɫɬɢ, ɫɢɥɚ ɬɪɟɧɢɹ ɢ ɫɢɥɚ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ.

ɋɢɥɚ ɬɹɠɟɫɬɢ ɢ ɫɢɥɚ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ (ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɟɟ ɨɩɢɫɚɧɢɹ ɦɨɠɧɨ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨ-

ɜɚɬɶɫɹ ɡɚɤɨɧɨɦ Ƚɭɤɚ) ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɤɨɧɫɟɪɜɚɬɢɜɧɵɦɢ, ɜ ɤɚɠɞɨɣ ɬɨɱɤɟ ɬɪɚɟɤ-

ɬɨɪɢɢ ɤɚɠɞɨɣ ɢɡ ɧɢɯ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɚɹ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɚɹ ɷɧɟɪ-

ɝɢɹ. ɋɢɥɚ ɬɪɟɧɢɹ – ɞɢɫɫɢɩɚɬɢɜɧɚɹ ɫɢɥɚ. ɋɢɥɚ ɬɹɠɟɫɬɢ ɢ ɫɢɥɚ ɬɪɟɧɢɹ

ɞɟɣɫɬɜɭɸɬ ɧɚ

ɩɪɨɬɹɠɟɧɢɢ ɜɫɟɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ. ɋɢɥɚ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ ɞɟɣɫɬ-

ɜɭɟɬ ɧɚ ɧɟɛɨɥɶɲɨɦ ɨɬɪɟɡɤɟ ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɭɱɚɫɬɤɚ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ, ɩɨɤɚ

ɫɠɚɬɢɟ ɩɪɭɠɢɧɵ ɨɬɥɢɱɧɨ ɨɬ ɧɭɥɹ. Ɂɚ ɧɚɱɚɥɨ ɨɬɫɱɟɬɚ ɜɵɫɨɬɵ (ɩɨɬɟɧɰɢ-

ɚɥɶɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ) ɩɪɢɦɟɦ ɜɵɫɨɬɭ, ɧɚ ɤɨɬɨɪɨɣ ɧɚɯɨɞɢɥɨɫɶ

ɬɟɥɨ ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɬɟɥɚ (ɪɢɫ. 5) ɢɡ ɬɨɱɤɢ 1 (ɧɚɱɚɥɶɧɨɟ ɩɨɥɨɠɟ-

ɧɢɟ ɬɟɥɚ) ɞɨ ɬɨɱɤɢ

2 (ɬɨɱɤɚ ɧɚɢɜɵɫɲɟɝɨ ɩɨɞɴɟɦɚ h

max

). ȼ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨ-

ɦɟɧɬ, ɜ ɬɨɱɤɟ 1 ɬɟɥɨ ɩɨɤɨɢɬɫɹ (

v = 0)

, ɩɨɷɬɨɦɭ ɟɝɨ ɩɨɥɧɚɹ ɦɟɯɚ-

ɧɢɱɟɫɤɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ

ɜ ɷɬɨɣ ɬɨɱɤɟ ɪɚɜɧɚ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɫɠɚɬɨɣ

ɩɪɭɠɢɧɵ (ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɭɸ ɷɧɟɪɝɢɸ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ ɜ ɷɬɨɣ ɬɨɱɤɟ ɩɪɢɧɹɥɢ

ɡɚ ɧɨɥɶ):

111

kUUEE



ȼ ɬɨɱɤɟ 2 ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɬɟɥɚ ɬɚɤɠɟ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ (

v = 0), ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɚɹ

ɷɧɟɪɝɢɹ

E . ɉɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ ɫɢɥɚ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ

ɧɚ ɬɟɥɨ ɧɟ ɞɟɣɫɬɜɭɟɬ. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɩɨɥɧɚɹ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ

ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɬɨɱɤɟ 2 ɪɚɜɧɚ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ

max222

mghUUEE

 .

Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɪɚɛɨɬɭ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɧɚ ɭɱɚɫɬɤɟ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɦɟɠɞɭ ɬɨɱ-

ɤɚɦɢ 1 ɢ 2 ɤɚɤ

A. Ɍɨɝɞɚ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɡɚɤɨɧɭ ɫɨɯɪɚɧɟɧɢɹ ɷɧɟɪɝɢɢ

AEE 

ɍɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ ɞɢɫɫɢɩɚɬɢɜɧɵɟ ɫɢɥɵ ɩɪɢɜɨɞɹɬ ɤ ɩɨɬɟɪɹɦ ɷɧɟɪɝɢɢ,

> E

AEE 

ɢɥɢ

AUU 

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɡɧɚɹ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɭɸ ɷɧɟɪɝɢɸ ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɬɨɱɤɟ

ɢ ɜ ɬɨɱɤɟ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɨɞɴɟɦɚ

max2

mghU , ɦɨɠɧɨ ɪɚɫ-

ɫɱɢɬɚɬɶ ɪɚɛɨɬɭ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɧɚ ɜɫɟɦ ɭɱɚɫɬɤɟ ɩɭɬɢ ɨɬ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɞɨ

ɬɨɱɤɢ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɨɞɴɟɦɚ.

ɆɨɞɆ-05 Ɋɚɛɨɬɚ ɢ ɷɧɟɪɝɢɹ

2.2. Ɋɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ

ɇɚɩɪɚɜɥɹɸɳɚɹ, ɩɨ ɤɨɬɨɪɨɣ ɞɜɢɠɟɬɫɹ ɬɟɥɨ, ɢɦɟɟɬ ɞɜɚ ɭɱɚɫɬɤɚ ɪɚɡ-

ɥɢɱɧɨɣ ɮɨɪɦɵ. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɫɢɥɚ ɬɪɟɧɢɹ – ɷɬɨ ɧɟɤɨɧɫɟɪɜɚɬɢɜɧɚɹ ɫɢɥɚ, ɬɨ ɟɟ

ɪɚɛɨɬɚ ɡɚɜɢɫɢɬ ɤɚɤ ɨɬ ɮɨɪɦɵ, ɬɚɤ ɢ ɨɬ ɞɥɢɧɵ ɩɭɬɢ, ɩɨ ɤɨɬɨɪɨɦɭ ɞɜɢɠɟɬ-

ɫɹ ɬɟɥɨ.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɪɚɛɨɬɭ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ

NF P . ɋɢɥɚ ɬɪɟɧɢɹ ɜɫɟɝɞɚ ɧɚ-

ɩɪɚɜɥɟɧɚ ɜ ɫɬɨɪɨɧɭ, ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɭɸ ɞɜɢɠɟɧɢɸ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ

ɬɪɟɧɢɹ ɜɫɟɝɞɚ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɚ

³³

P 

)( drNrdFA

P – ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɬɪɟɧɢɹ, |

N| – ɦɨɞɭɥɶ ɫɢɥɵ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɞɚɜɥɟɧɢɹ

ɬɟɥɚ ɧɚ ɨɩɨɪɭ, ɤɨɬɨɪɵɣ ɩɨ ɬɪɟɬɶɟɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɇɶɸɬɨɧɚ ɪɚɜɟɧ ɦɨɞɭɥɸ ɫɢ-

ɥɵ ɪɟɚɤɰɢɢ ɨɩɨɪɵ

ɨɩ



ɢɥɢ |N| = |R

ɨɩ

Ɋɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɩɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ

ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ

ɉɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɦɭ ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ ɧɚ-

ɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɞɥɢɧɨɣ

L ɫɢɥɚ ɪɟɚɤɰɢɢ ɨɩɨɪɵ

ɨɩ

ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɚ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨ

ɜɜɟɪɯ (ɪɢɫ. 6

ɚ) ɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɚ ɜɨ ɜɫɟɯ ɬɨɱɤɚɯ, ɱɟɪɟɡ ɤɨɬɨɪɵɟ ɩɪɨɯɨɞɢɬ ɬɟ-

ɥɨ. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, |

N| = mg. ɋɦɟɳɟɧɢɟ ɬɟɥɚ dr ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɜ ɨɞɧɨɦ ɧɚ-

ɩɪɚɜɥɟɧɢɢ

dr = dl. ɉɭɫɬɶ ɞɥɢɧɚ ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɭɱɚɫɬɤɚ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ,

ɩɨ ɤɨɬɨɪɨɣ ɞɜɢɝɚɥɨɫɶ ɬɟɥɨ, ɪɚɜɧɚ

L, ɬɨɝɞɚ ɪɚɛɨɬɭ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɧɚ ɷɬɨɦ

ɭɱɚɫɬɤɟ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɤɚɤ

mgLdlmgdlmgdrNA

ɩɪ

P P P P

³³³

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɧɚ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɦ ɩɪɹɦɨɥɢ-

ɧɟɣɧɨɦ ɭɱɚɫɬɤɟ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɩɪɹɦɨ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɚ ɞɥɢɧɟ ɩɪɨɣɞɟɧ-

ɧɨɝɨ ɬɟɥɨɦ ɩɭɬɢ.

Ɋɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɩɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ

ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ

ɉɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɫɢɥɚ ɪɟɚɤ-

ɰɢɢ ɨɩɨɪɵ

ɨɩ

ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɚ ɜɞɨɥɶ ɪɚɞɢɭɫɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ (ɤ ɰɟɧɬɪɭ ɢɥɢ ɨɬ

ɧɟɟ). ɉɨɥɨɠɟɧɢɟ ɬɟɥɚ ɧɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ (ɪɢɫ. 6

ɛ) ɭɞɨɛɧɨ ɡɚɞɚɜɚɬɶ ɜ ɩɨɥɹɪ-

ɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɯ

R ɢ M (R – ɪɚɞɢɭɫ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ, M – ɩɨɥɹɪɧɵɣ ɭɝɨɥ, ɡɚ

ɧɭɥɟɜɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɩɪɢɦɟɦ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ, ɤɨɝɞɚ ɬɟɥɨ ɩɟɪɟɯɨɞɢɬ ɫ

Ɇɟɯɚɧɢɤɚ

ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɭɱɚɫɬɤɚ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɧɚ ɤɪɭɝɨɜɨɣ – ɫɚɦɨɟ ɧɢɠɧɟɟ

ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɧɚ ɤɪɭɝɨɜɨɦ ɭɱɚɫɬɤɟ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ).

ɨɩ

= –N

ɬɪ

ɨɩ

= –N

ɬɪ

ɨɩ

max

Ɋɢɫ. 6

ɑɬɨɛɵ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɦɨɞɭɥɶ ɫɢɥɵ ɪɟɚɤɰɢɢ ɨɩɨɪɵ |

ɨɩ

|, ɡɚɩɢɲɟɦ

ɜɬɨɪɨɣ ɡɚɤɨɧ ɇɶɸɬɨɧɚ

Fam

ɜ ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɧɚ ɪɚɞɢɚɥɶɧɨɟ ɧɚɩɪɚɜɥɟ-

ɧɢɟ (ɜ ɩɨɥɹɪɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɯ):

Fma ɢɥɢ M Z cos

mgRmR

ɨɩ

ɝɞɟ

– ɫɭɦɦɚ ɪɚɞɢɚɥɶɧɵɯ ɩɪɨɟɤɰɢɣ ɜɫɟɯ ɫɢɥ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯ ɧɚ ɬɟ-

ɥɨ,

– ɭɝɥɨɜɚɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ ɩɨ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ,

RRa

– ɰɟɧɬɪɨɫɬɪɟɦɢɬɟɥɶɧɨɟ ɭɫɤɨɪɟɧɢɟ, R = const – ɪɚɞɢ-

ɆɨɞɆ-05 Ɋɚɛɨɬɚ ɢ ɷɧɟɪɝɢɹ

ɭɫ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ; ɫɢɥɚ ɬɪɟɧɢɹ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɚ ɩɨ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ, ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭ-

ɥɹɪɧɨ ɪɚɞɢɭɫɭ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɟɟ ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɧɚ ɪɚɞɢɚɥɶɧɨɟ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɪɚɜɧɚ

ɧɭɥɸ.

Ɍɨɝɞɚ ɫɢɥɚ ɪɟɚɤɰɢɢ ɨɩɨɪɵ:

)cos(

MZ gRmR

ɨɩ

ɉɪɨɚɧɚɥɢɡɢɪɭɟɦ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɫɢɥɵ ɪɟɚɤɰɢɢ ɨɩɨɪɵ ɩɪɢ ɩɨɞɴɟɦɟ ɩɨ

ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ.

ɉɪɢ ɩɨɞɴɟɦɟ ɩɨ ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɭɝɥɨɜɚɹ ɫɤɨ-

ɪɨɫɬɶ Z ɩɨɫɬɟɩɟɧɧɨ ɭɦɟɧɶɲɚɟɬɫɹ ɨɬ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɞɨ ɧɭɥɹ ɜ ɬɨɱ-

ɤɟ ɧɚɢɜɵɫɲɟɝɨ ɩɨɞɴɟɦɚ M

max

, ɤɨɬɨɪɨɣ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɜɵɫɨɬɚ h

max

ɉɨɥɹɪɧɵɣ ɭɝɨɥ M ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɜɨɡɪɚɫɬɚɟɬ ɨɬ 0 ɞɨ M

max

. ɋ ɪɨɫɬɨɦ M ɜɟ-

ɥɢɱɢɧɚ

g cos M ɭɦɟɧɶɲɚɟɬɫɹ ɢ ɩɪɢ M > S/2 ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨɣ.

ɍɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ ɰɟɧɬɪɨɫɬɪɟɦɢɬɟɥɶɧɨɟ ɭɫɤɨɪɟɧɢɟ

ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶ-

ɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɨɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɫɢɥɚ ɪɟɚɤɰɢɢ ɨɩɨɪɵ ɩɪɢ ɩɟɪɟɯɨɞɟ ɬɟɥɚ ɫ

ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɭɱɚɫɬɤɚ ɧɚ ɤɪɭɝɨɜɨɣ (M = 0) ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɚ ɢ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɚ

ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨ ɜɜɟɪɯ (ɤ ɰɟɧɬɪɭ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ). ɉɨ ɦɟɪɟ ɩɪɨɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ

ɩɨ ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɫɢɥɚ ɪɟɚɤɰɢɢ ɨɩɨɪɵ ɛɭɞɟɬ ɭɦɟɧɶ-

ɲɚɬɶɫɹ (ɪɢɫ. 6

ɜ). ɉɪɢ ɩɨɞɴɟɦɟ ɧɚ ɜɵɫɨɬɭ h, ɤɨɬɨɪɨɣ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɩɨ-

ɥɹɪɧɵɣ ɭɝɨɥ M > S/2, ɫɢɥɚ ɪɟɚɤɰɢɢ ɨɩɨɪɵ

|)cos|(

MZ gRmR

ɨɩ

ɦɨ-

ɠɟɬ ɫɬɚɬɶ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨɣ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɫɦɟɧɢɬ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɟ (ɨɬ ɰɟɧɬɪɚ ɨɤɪɭɠ-

ɧɨɫɬɢ).

ɉɨɷɬɨɦɭ ɩɪɢ ɪɚɫɱɟɬɟ ɪɚɛɨɬɵ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɭɱɢɬɵɜɚɬɶ

ɦɨɞɭɥɶ ɫɢɥɵ ɪɟɚɤɰɢɢ ɨɩɨɪɵ

MZ cos

gRmR

ɨɩ

Ɍɨɝɞɚ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɦɟɠɞɭ ɬɨɱɤɚɦɢ 1 (

h = 0, M = 0) ɢ 2

(

h = h

max

, M = M

max

) ɧɚ ɤɪɭɝɨɜɨɦ ɭɱɚɫɬɤɟ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɪɚɜɧɚ

³³

MZP P

cos drgRmdrNA

ɤɪ

ɉɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ ɬɟɥɚ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɩɨ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ, ɩɨɷɬɨɦɭ

dr = R dM.

Ɍɨɝɞɚ ɱɬɨɛɵ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɪɚɛɨɬɭ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɩɨ ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ ɨɬ

ɬɨɱɤɢ 1, ɝɞɟ M = 0, ɞɨ ɬɨɱɤɢ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɨɞɴɟɦɚ M = M

max

, ɧɟɨɛɯɨɞɢ-

ɦɨ ɪɚɫɫɱɢɬɚɬɶ ɢɧɬɟɝɪɚɥ:

³³

MMZP MZP

max

coscos dgRmRdrgRmA

ɤɪ

Ɇɟɯɚɧɢɤɚ

Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ

³³

M MMZ M

maxmax

max

/cos)( dmRdgRI

ɨɩ

ɬɨɝɞɚ ɪɚɛɨɬɭ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ

)(

max

MP mRIA

ɤɪ

ɑɬɨɛɵ ɪɚɫɫɱɢɬɚɬɶ ɢɧɬɟɝɪɚɥ

I(M

max

), ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɡɧɚɬɶ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ

ɭɝɥɨɜɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɨɬ ɩɨɥɹɪɧɨɝɨ ɭɝɥɚ Z = Z(M). ɗɬɭ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɦɨɠɧɨ

ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɥɢɛɨ ɢɡ ɜɬɨɪɨɝɨ ɡɚɤɨɧɚ ɇɶɸɬɨɧɚ ɜ ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɧɚ ɨɪɬ ɩɨɥɹɪɧɨɝɨ

ɭɝɥɚ, ɥɢɛɨ ɢɡ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ. ɂ ɜ ɬɨɦ ɢ ɜ ɞɪɭɝɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɡɚ-

ɞɚɱɚ ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɱɢɫɥɟɧɧɨɦɭ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɸ.

ɉɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ

MMZP

max

cos dgRmRA

ɤɪ

ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ

ɤɚɱɟɫɬɜɟɧɧɨ ɩɪɨɚɧɚɥɢɡɢɪɨɜɚɬɶ ɪɚɛɨɬɭ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɩɪɢ

ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ.

1. Ɂɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɪɚɛɨɬɵ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɨɬ ɦɚɫɫɵ ɞɜɢɠɭɳɟɝɨɫɹ

ɬɟɥɚ ɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɬɪɟɧɢɹ.

Ɂɚɩɢɲɟɦ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ ɪɚɛɨɬɵ ɫɢɥɵ

ɬɪɟɧɢɹ ɩɪɢ ɩɨɞɴɟɦɟ ɬɟɥɚ ɞɨ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɬɨɱɤɢ, ɨɩɢɫɵɜɚɟɦɨɣ ɩɨɥɹɪɧɵɦ

ɭɝɥɨɦ M

d M

max

MMZP M

cos)( dgRmRA

ɤɪ

ɢɥɢ )()(

MP M mRIA

ɤɪ

ɝɞɟ

MMZ M

cos)( dgRI .

ɂɧɬɟɝɪɚɥ

I(M

) ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɧɢ ɨɬ ɦɚɫɫɵ ɬɟɥɚ m, ɧɢ ɨɬ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ

ɬɪɟɧɢɹ P. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɧɚ ɤɪɭɝɨɜɨɦ ɭɱɚɫɬɤɟ ɩɪɹ-

ɦɨ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɭ ɬɪɟɧɢɹ ɢ ɦɚɫɫɟ ɬɟɥɚ (ɬɚɤɠɟ ɤɚɤ ɢ ɧɚ

ɥɢɧɟɣɧɨɦ ɭɱɚɫɬɤɟ, ɢ ɩɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ).

2. Ɂɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɪɚɛɨɬɵ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɨɬ ɞɥɢɧɵ ɩɭɬɢ, ɩɪɨɣɞɟɧ-

ɧɨɝɨ ɬɟɥɨɦ.

ɏɚɪɚɤɬɟɪ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɪɚɛɨɬɵ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɨɬ ɞɥɢɧɵ ɩɪɨɣ-

ɞɟɧɧɨɝɨ ɬɟɥɨɦ ɩɭɬɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɦ

MMZ M

cos)( dgRI . Ɇɨɞɭɥɶ – ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɩɨɷɬɨ-

ɦɭ ɞɥɹ ɨɞɧɨɣ ɢ ɬɨɣ ɠɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ Z = Z(M) ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ

I(M

)

ɛɭɞɟɬ ɜɨɡɪɚɫɬɚɬɶ ɫ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɟɦ ɞɥɢɧɵ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ

[0, M

]. Ⱦɥɢɧɚ ɩɭɬɢ ɩɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɭɱɚɫɬɤɭ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ [0, M

] ɪɚɜɧɚ

ɆɨɞɆ-05 Ɋɚɛɨɬɚ ɢ ɷɧɟɪɝɢɹ

. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɫ ɪɨɫɬɨɦ ɞɥɢɧɵ ɩɭɬɢ,

ɩɪɨɣɞɟɧɧɨɝɨ ɬɟɥɨɦ ɩɨ ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ

ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ, ɜɨɡɪɚɫɬɚɟɬ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɢɧɬɟɝ-

ɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɢ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ

I(M

). Ɍɚ-

ɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɱɟɦ ɛɨɥɶɲɟ ɞɥɢɧɚ ɩɭɬɢ, ɩɪɨɣ-

ɞɟɧɧɨɝɨ ɬɟɥɨɦ ɩɨ ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ ɧɚ-

ɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ, ɬɟɦ ɛɨɥɶɲɟ ɦɨɞɭɥɶ ɪɚɛɨɬɵ

ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ. Ɉɞɧɚɤɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɷɬɨɣ ɡɚɜɢɫɢ-

ɦɨɫɬɢ ɧɟɥɢɧɟɣɧɵɣ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɜ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɞɜɢ-

ɠɟɧɢɹ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɫɢɥɚ ɪɟɚɤɰɢɢ ɨɩɨɪɵ.

ɉɪɨɚɧɚɥɢɡɢɪɭɟɦ ɜɡɚɢɦɨɫɜɹɡɶ ɯɚɪɚɤ-

ɬɟɪɚ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ (ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɹ) ɦɨɞɭɥɹ ɪɚ-

ɛɨɬɵ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɫ ɯɚɪɚɤɬɟɪɨɦ

ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ

ɫɢɥɵ ɪɟɚɤɰɢɢ ɨɩɨɪɵ. ȼ ɧɚɱɚɥɟ ɩɭɬɢ ɩɨ ɤɪɭ-

ɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɫɢɥɚ ɬɪɟɧɢɹ

ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɚ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɦɨɞɭɥɶ ɪɚɛɨɬɵ ɫɢɥɵ

ɬɪɟɧɢɹ ɪɟɡɤɨ ɜɨɡɪɚɫɬɚɟɬ. ɉɨ ɦɟɪɟ ɩɨɞɴɟɦɚ

ɫɢɥɚ ɬɪɟɧɢɹ ɭɦɟɧɶɲɚɟɬɫɹ (ɪɢɫ. 6

ɜ), ɢ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɭɜɟɥɢɱɢɜɚɟɬɫɹ

ɦɟɞɥɟɧɧɟɟ. ȼ ɨɛɥɚɫɬɢ, ɝɞɟ ɫɢɥɚ ɪɟɚɤɰɢɢ ɨɩɨɪɵ ɦɟɧɹɟɬ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɟ, ɫɢ-

ɥɚ ɬɪɟɧɢɹ ɜɧɨɜɶ ɧɚɱɢɧɚɟɬ ɜɨɡɪɚɫɬɚɬɶ, ɚ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɧɚɱɧɟɬ ɭɜɟ-

ɥɢɱɢɜɚɬɶɫɹ ɛɵɫɬɪɟɟ (ɪɢɫ. 7). Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɦɨɞɭɥɹ ɪɚɛɨ-

ɬɵ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɨɬ ɞɥɢɧɵ ɩɭɬɢ ɩɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ ɧɚ-

ɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɣ ɜ

ɨɬɥɢɱɢɟ ɨɬ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɧɚ ɥɢɧɟɣɧɨɦ

ɭɱɚɫɬɤɟ ɢɥɢ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ.

3. Ɂɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɪɚɛɨɬɵ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɨɬ ɪɚɞɢɭɫɚ R ɧɚɩɪɚɜɥɹɸ-

ɳɟɣ ɦɨɠɧɨ ɩɪɨɚɧɚɥɢɡɢɪɨɜɚɬɶ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨ.

Ⱦɥɹ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ, ɤɚɤ ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɫɱɢɬɚɬɶ

ɢɧɬɟɝɪɚɥ

I(M

max

) ɩɨ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ M(t) ɩɨ-

ɥɹɪɧɨɝɨ ɭɝɥɚ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɩɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ ɧɚɩɪɚɜ-

ɥɹɸɳɟɣ.

ɑɢɫɥɟɧɧɵɣ ɪɚɫɱɟɬ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ I(M

max

) ɫ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟɦ

ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ

Ⱦɥɹ ɱɢɫɥɟɧɧɨɝɨ ɪɚɫɱɟɬɚ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ

³³

M MMMZ M

maxmax

max

/cos)()( dmRdgRI

ɨɩ

ɤɪ

ɨɩ

max

Ɋɢɫ. 7

Ɇɟɯɚɧɢɤɚ

ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ [0, M

max

] ɜɵɛɢɪɚɸɬ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ (ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ

ɛɨɥɶɲɨɟ) ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɬɨɱɟɤ 0, M

, M

, … M

, … , M

max

. Ɍɨɝɞɚ ɢɫɤɨɦɵɣ ɢɧ-

ɬɟɝɪɚɥ

I(M

max

) ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɤɚɤ ɫɭɦɦɭ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ

³³³



M MM

MM M M

max

1max1

max

//.../

...///)(

ɨɩɨɩɨɩ

dmRdmRdmR

dmRdmRdmRI

ȿɫɥɢ ɤɚɠɞɵɣ ɢɡ ɨɬɪɟɡɤɨɜ [M

i–1

, M

] ɦɨɠɧɨ ɫɱɢɬɚɬɶ ɦɚɥɵɦ, ɬɨ ɫɢɥɭ

ɪɟɚɤɰɢɢ ɨɩɨɪɵ |

ɨɩ

/m|, ɨɬɧɟɫɟɧɧɭɸ ɤ ɦɚɫɫɟ ɬɟɥɚ, ɧɚ ɷɬɨɦ ɨɬɪɟɡɤɟ ɦɨɠɧɨ

ɫɱɢɬɚɬɶ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ ɢ ɪɚɜɧɨɣ

ɫɪ

ɨɩ

mR – ɫɪɟɞɧɟɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ

i–1

, M

]. Ɍɨɝɞɚ ɢɧɬɟɝɪɚɥ

ɫɪ

ɨɩii

ɫɪ

ɨɩ

ɫɪ

ɨɩɨɩ

mRmRdmRdmR

M' MM M|M



³³



/)(///

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɢɫɤɨɦɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ

I(M

max

) ɦɨɠɧɨ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨ

ɪɚɫɫɱɢɬɚɬɶ ɤɚɤ

M'|M

max

/)(

ɫɪ

ɨɩ

mRI

ɝɞɟ

1

MM M'

iii

, ɚ

cos/

ɫɪɫɪ

ɫɪ

ɨɩ

gRmR

MZ .

Ⱦɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɨɬɪɟɡɤɚ [M

i–1

, M

] ɨɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɭɝɥɚ

ɫɪ

ɪɚɜɧɨ

)(

1

MM M

iiɫɪ

ȿɫɥɢ ɢɡ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɢɡɜɟɫɬɧɨ, ɜ ɤɚɤɨɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ

ɬɟɥɨ

ɧɚɯɨɞɢɥɨɫɶ ɧɚ ɜɵɫɨɬɟ

, ɬɨ ɦɨɠɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɣ ɷɬɨɣ

ɜɵɫɨɬɟ ɩɨɥɹɪɧɵɣ ɭɝɨɥ





arcsin

ɋɪɟɞɧɸɸ ɭɝɥɨɜɭɸ ɫɤɨɪɨɫɬɶ

ɫɪ

ɩɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɨɬɪɟɡɤɭ [M

i–1

, M

]

ɦɨɠɧɨ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨ ɪɚɫɫɱɢɬɚɬɶ ɤɚɤ





MM

ɫɪ

ttt

ɆɨɞɆ-05 Ɋɚɛɨɬɚ ɢ ɷɧɟɪɝɢɹ

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɩɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸ-

ɳɟɣ ɨɬ M = 0 ɞɨ ɬɨɱɤɢ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɨɞɴɟɦɚ M

max

ɢɧɬɟɝɪɚɥ I(M

max

), ɧɟ-

ɨɛɯɨɞɢɦɵɣ ɞɥɹ ɪɚɫɱɟɬɚ ɪɚɛɨɬɵ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ, ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨ ɦɨɠɧɨ ɪɚɫ-

ɫɱɢɬɚɬɶ ɤɚɤ ɫɭɦɦɭ

M'|M

max

/)(

ɫɪ

ɨɩ

mRI

Ɍɨɝɞɚ ɪɚɛɨɬɚ ɢ ɞɥɢɧɚ ɩɭɬɢ ɧɚ ɷɬɨɦ ɭɱɚɫɬɤɟ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ [0, M

max

] ɪɚɜɧɵ

)()(

maxmax

MP M mRIA

ɤɪ

max

RL .

2.3. ɗɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɪɚɛɨɬɵ

ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɨɬ ɞɥɢɧɵ ɩɭɬɢ

Ʌɸɛɨɦɭ ɭɝɥɭ M

d M

max

ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɢɧɬɟɝɪɚɥ I(M

), ɤɨɬɨɪɵɣ ɬɚɤ-

ɠɟ ɦɨɠɧɨ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨ ɪɚɫɫɱɢɬɚɬɶ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɫɭɦɦɵ, ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɣ

ɦɟɧɶɲɟɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ

M'|M M

ɫɪ

ɨɩɨɩk

mRdmRI

//)(

Ɍɨɝɞɚ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɢ ɞɥɢɧɚ ɩɭɬɢ ɩɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɬɟɥɚ ɧɚ ɨɬ-

ɪɟɡɤɟ [0, M

] ɤɪɭɝɨɜɨɣ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ ɛɭɞɟɬ ɪɚɜɧɚ

M'P|MP M

ɫɪ

ɨɩkkɤɪ

mRmRmRIA

/)()( ɢ

ɑɬɨɛɵ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɪɚɛɨɬɵ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɨɬ ɞɥɢɧɵ

ɩɪɨɣɞɟɧɧɨɝɨ ɬɟɥɨɦ ɩɭɬɢ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɪɚɛɨɬɭ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ

ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɚɯ ɪɚɡɥɢɱɧɨɣ ɞɥɢɧɵ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɚɯ [0, M

], [0, M

], …

[0, M

], … , [0, M

max

], ɩɪɢ ɨɞɧɢɯ ɢ ɬɟɯ ɠɟ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɩɪɨɜɟɞɟɧɢɹ ɷɤɫɩɟɪɢ-

ɦɟɧɬɚ. Ʉɚɠɞɨɦɭ ɨɬɪɟɡɤɭ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɞɥɢɧɚ ɩɭɬɢ, ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɢ ɪɚɛɨɬɚ

ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ:

[0, M

/)( M'|M

ɫɪ

ɨɩ

mRI ,

)()(

MP M mRIA

ɤɪ

;

[0, M

RL ,

M'|M

/)(

ɫɪ

ɨɩ

mRI , )()(

MP M mRIA

ɤɪ

;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

[0, M

M'|M

ɫɪ

ɨɩk

mRI

/)(

)()(

kkɤɪ

mRIA MP M

;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ɇɟɯɚɧɢɤɚ

[0, M

max

RL ,

M'|M

max

/)(

ɫɪ

ɨɩ

mRI ,

)()(

maxmax

MP M mRIA

ɤɪ

Ɂɞɟɫɶ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ ɜ ɫɭɦɦɚɯ ɩɨɫɬɟɩɟɧɧɨ ɜɨɡɪɚɫɬɚɟɬ ɫ ɭɜɟɥɢɱɟ-

ɧɢɟɦ ɞɥɢɧɵ ɩɭɬɢ.

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɭɸ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ

ɪɚɛɨɬɵ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɨɬ ɞɥɢɧɵ ɩɭɬɢ, ɩɪɨɣɞɟɧɧɨɝɨ ɬɟɥɨɦ ɩɨ ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ

ɭɱɚɫɬɤɭ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ. ɍɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ ɫɢɥɚ ɪɟɚɤɰɢɢ ɨɩɨɪɵ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨ

ɦɟɧɹɟɬɫɹ ɩɪɢ ɩɨɞɴɟɦɟ, ɫɥɟɞɭɟɬ ɨɠɢɞɚɬɶ, ɱɬɨ ɷɬɚ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɨɤɚɠɟɬɫɹ

ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɣ.

ɋɥɟɞɭɟɬ ɡɚɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ ɞɥɹ

ɨɩɢɫɚɧɧɵɯ ɜɵɲɟ ɪɚɫɱɟɬɨɜ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ

ɡɧɚɧɢɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɬɪɟɧɢɹ P.

2.4. Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɬɪɟɧɢɹ

ȿɫɥɢ ɜ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɟ ɩɨɞɨɛɪɚɧɵ ɭɫɥɨɜɢɹ ɬɚɤ, ɱɬɨ ɬɟɥɨ, ɩɨɞɧɹɜ-

ɲɢɫɶ ɩɨ ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ ɧɚ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɭɸ ɜɵɫɨɬɭ (ɧɢɠɟ ɧɚɢɜɵɫɲɟɣ

ɬɨɱɤɢ), ɧɚɱɢɧɚɟɬ ɫɤɚɬɵɜɚɬɶɫɹ ɜɧɢɡ, ɬɨ ɢɡ ɡɚɤɨɧɚ ɫɨɯɪɚɧɟɧɢɹ ɷɧɟɪɝɢɢ ɦɨ-

ɞɭɥɶ ɪɚɛɨɬɵ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɧɚ ɜɫɟɦ ɩɭɬɢ ɞɨ ɬɨɱɤɢ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɨɞɴɟɦɚ

ɪɚɜɟɧ

UUA  , ɝɞɟ

max2

mghU .

Ⱦɨ ɬɨɱɤɢ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɨɞɴɟɦɚ ɬɟɥɨ ɞɜɢɠɟɬɫɹ ɫɧɚɱɚɥɚ ɩɨ ɥɢ-

ɧɟɣɧɨɦɭ ɭɱɚɫɬɤɭ ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɟɣ, ɚ ɡɚɬɟɦ ɩɨ ɤɪɭɝɨɜɨɦɭ, ɩɨɷɬɨɦɭ

ɤɪɩɪ

AAA 

, ɝɞɟ

mgLA

ɩɪ

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)(

max

MP mRIA

ɤɪ

ɝɞɟ

M'|M

max

/)(

ɫɪ

ɨɩ

mRI

ɪɚɫɫɱɢɬɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɦ

ɞɚɧɧɵɦ ɞɨ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɭɝɥɚ ɩɨɞɴɟɦɚ.

Ɍɨɝɞɚ

))((

max

MP mRImgLA

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max

M

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ɢɥɢ

)(

max

M



mRImgL

mgh

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɧɚ ɨɫɧɨɜɟ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɢɡ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɯ

ɞɚɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ |A|, mgL ɢ mRI(M

max

) ɦɨɠɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ

ɬɪɟɧɢɹ P.