Ревинская О.Г., Кравченко Н.С. Изучение моделей физических процессов и явлений на компьютере

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ɆɨɞɆ-04 Ɇɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ

ȿɫɥɢ ɭɝɥɨɜɚɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɧɟ ɦɟɧɹɟɬɫɹ ɫɨ ɜɪɟɦɟɧɟɦ (

const Z ), ɜɪɚ-

ɳɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɵɦ. ɉɪɨɦɟɠɭɬɨɤ ɜɪɟɦɟɧɢ

ZS /2

, ɜ ɬɟ-

ɱɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɬɟɥɨ, ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɜɪɚɳɚɹɫɶ, ɫɨɜɟɪɲɚɟɬ ɨɞɢɧ ɨɛɨɪɨɬ, ɧɚ-

ɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɟɪɢɨɞɨɦ ɜɪɚɳɟɧɢɹ.

Ʌɢɧɟɣɧɚɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɜɪɚɳɟɧɢɹ

ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ ɛɵɫɬɪɨɬɭ ɞɜɢɠɟɧɢɹ

ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɬɟɥɚ, ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɨɣ ɧɚ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɢ

r ɨɬ ɨɫɢ ɈɈ’, ɢ

ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɦɨɞɭɥɟɦ ɫɤɨɪɨɫɬɢ

v ɢ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɟɦ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɩɟɪɩɟɧ-

ɞɢɤɭɥɹɪɧɨ ɜɟɤɬɨɪɭ

(ɥɢɧɟɣɧɚɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɚ ɜɞɨɥɶ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ

ɤ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɤɢ):

],[ r

Z v

rZ v

ɍɝɥɨɜɨɟ ɭɫɤɨɪɟɧɢɟ

ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ ɛɵɫɬɪɨɬɭ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɭɝɥɨɜɨɣ

ɫɤɨɪɨɫɬɢ:

. Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɞɥɹ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɜɪɚɳɚɸɳɟɝɨɫɹ ɬɟɥɚ

ɭɝɥɨɜɨɟ ɭɫɤɨɪɟɧɢɟ ɪɚɜɧɨ ɧɭɥɸ.

ȼɟɥɢɱɢɧɚ

, ɪɚɜɧɚɹ ɫɭɦɦɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɣ ɦɚɫɫ

m ɜɫɟɯ ɦɚɬɟɪɢ-

ɚɥɶɧɵɯ ɬɨɱɟɤ, ɨɛɪɚɡɭɸɳɢɯ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɟ ɬɟɥɨ, ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɵ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɣ

ɞɨ ɨɫɢ ɜɪɚɳɟɧɢɹ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɨɦɟɧɬɨɦ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɟɥɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ

ɨɫɢ:

rmJ

ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɦɚɫɫ ɷɬɚ ɫɭɦɦɚ ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ

ɢɧɬɟɝɪɚɥɭ

dmrJ

ȿɫɥɢ ɜɪɚɳɚɸɳɟɟɫɹ ɬɟɥɨ ɩɨɫɬɭɩɚɬɟɥɶɧɨ ɧɟ ɞɜɢɠɟɬɫɹ, ɬɨ ɤɢɧɟɬɢɱɟ-

ɫɤɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɬɟɥɚ

E ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɨɣ ɫɭɦɦɨɣ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɢɯ

ɷɧɟɪɝɢɣ

E ɜɫɟɯ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɵɯ ɬɨɱɟɤ

Ⱦɥɹ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɜɪɚɳɚɸɳɟɝɨɫɹ ɬɟɥɚ

rZ v

, ɬɨɝɞɚ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɚɹ

ɷɧɟɪɝɢɹ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɜɪɚɳɚɸɳɟɝɨɫɹ ɬɟɥɚ

2222

¦¦¦

rmm

Ɇɟɯɚɧɢɤɚ

ɂɡ ɫɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɮɨɪɦɭɥɵ ɫ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟɦ ɞɥɹ ɤɢɧɟɬɢɱɟ-

ɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɬɟɥɚ ɩɪɢ ɩɨɫɬɭɩɚɬɟɥɶɧɨɦ ɞɜɢɠɟɧɢɢ (

), ɫɥɟɞɭɟɬ,

ɱɬɨ ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ

ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɦɟɪɨɣ ɢɧɟɪɬɧɨɫɬɢ ɬɟɥɚ ɩɪɢ ɜɪɚɳɚ-

ɬɟɥɶɧɨɦ ɞɜɢɠɟɧɢɢ.

ɐɟɧɬɪɨɦ ɦɚɫɫ ɢɥɢ ɰɟɧɬɪɨɦ ɢɧɟɪɰɢɢ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɭɸ

ɬɨɱɤɭ, ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɳɭɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɦɚɫɫ ɜ ɬɟɥɟ (ɫɢɫɬɟɦɟ ɦɚɬɟɪɢ-

ɚɥɶɧɵɯ ɬɨɱɟɤ). ɉɨɧɹɬɢɟ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɨɬɥɢɱɚɟɬɫɹ ɨɬ ɩɨɧɹɬɢɹ ɰɟɧɬɪɚ ɬɹ-

ɠɟɫɬɢ ɬɟɦ, ɱɬɨ ɩɨɫɥɟɞɧɟɟ ɢɦɟɟɬ ɫɦɵɫɥ ɬɨɥɶɤɨ ɞɥɹ ɬɟɥɚ (ɫɢɫɬɟɦɵ ɬɟɥ),

ɧɚɯɨɞɹɳɟɝɨɫɹ ɜ ɧɟɤɨɬɨɪɨɦ ɩɨɥɟ ɬɹɠɟɫɬɢ; ɩɨɧɹɬɢɟ

ɠɟ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɧɟ

ɫɜɹɡɚɧɨ ɧɢ ɫ ɤɚɤɢɦ ɫɢɥɨɜɵɦ ɩɨɥɟɦ ɢ ɢɦɟɟɬ ɫɦɵɫɥ ɞɥɹ ɥɸɛɨɣ ɦɟɯɚɧɢɱɟ-

ɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ. Ⱦɥɹ ɬɟɥɚ (ɫɢɫɬɟɦɵ ɬɟɥ), ɧɚɯɨɞɹɳɟɝɨɫɹ ɜ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɦ ɩɨɥɟ

ɬɹɠɟɫɬɢ, ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɢ ɰɟɧɬɪɚ ɬɹɠɟɫɬɢ ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ.

ȿɫɥɢ ɢɡɜɟɫɬɟɧ ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɟɥɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ, ɩɪɨɯɨɞɹ-

ɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɟɝɨ ɰɟɧɬɪ ɦɚɫɫ (ɰɟɧɬɪ ɢɧɟɪɰɢɢ), ɬɨ ɦɨɦɟɧɬ

ɢɧɟɪɰɢɢ ɨɬɧɨɫɢ-

ɬɟɥɶɧɨ ɥɸɛɨɣ ɞɪɭɝɨɣ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨɣ ɨɫɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɬɟɨɪɟɦɨɣ

ɒɬɟɣɧɟɪɚ: ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɟɥɚ

ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɥɸɛɨɣ ɨɫɢ ɜɪɚɳɟɧɢɹ

ɪɚɜɟɧ ɦɨɦɟɧɬɭ ɟɝɨ ɢɧɟɪɰɢɢ

ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨɣ ɨɫɢ, ɩɪɨɯɨ-

ɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɰɟɧɬɪ ɦɚɫɫ ɬɟɥɚ, ɫɥɨɠɟɧɧɨɦɭ ɫ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟɦ ɦɚɫɫɵ

ɬɟɥɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɹ

R ɦɟɠɞɭ ɨɫɹɦɢ.

CTC

RmJJ 

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɢɡ ɬɟɨɪɟɦɵ ɒɬɟɣɧɟɪɚ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɬɟɥɨ ɢɦɟɟɬ

ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ, ɤɨɝɞɚ ɜɪɚɳɚɟɬɫɹ ɜɨɤɪɭɝ ɨɫɢ, ɩɪɨɯɨɞɹ-

ɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɟɝɨ ɰɟɧɬɪ ɦɚɫɫ (ɢɧɟɪɰɢɢ).

ɉɨɥɨɠɟɧɢɟ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ (ɢɧɟɪɰɢɢ)

ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ

ɦɨɠɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:

ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɦɚɫɫ ɫɭɦɦɵ ɫɜɨɞɹɬɫɹ ɤ ɢɧ-

ɬɟɝɪɚɥɚɦ:

dmr

ɆɨɞɆ-04 Ɇɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ

1.2. Ⱦɢɧɚɦɢɤɚ ɜɪɚɳɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ

ȼ ɞɢɧɚɦɢɤɟ ɜɪɚɳɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɨɫɧɨɜɧɭɸ ɪɨɥɶ ɢɝɪɚɟɬ ɧɟ

ɫɢɥɚ

, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɚɹ ɧɚ ɬɟɥɨ, ɚ ɦɨɦɟɧɬ ɫɢɥɵ

. Ɇɨɦɟɧɬɨɦ ɫɢɥɵ

ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɬɨɱɤɢ

O ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɟɤɬɨɪɧɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ

ɪɚɞɢɭɫ-ɜɟɤɬɨɪɚ

, ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɨɝɨ ɢɡ ɬɨɱɤɢ O ɜ ɬɨɱɤɭ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹ ɫɢɥɵ,

ɧɚ ɫɢɥɭ

],[ FrM

ȼɟɤɬɨɪ

ɧɚɩɪɚɜɥɟɧ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ, ɤɨɬɨɪɭɸ ɨɛɪɚ-

ɡɭɸɬ ɜɟɤɬɨɪɚ

(ɪɢɫ. 2). ȼɟɥɢɱɢɧɚ ɦɨɦɟɧɬɚ ɫɢɥɵ ɪɚɜɧɚ

D sin

ɝɞɟ

– ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ

D sinrl – ɞɥɢɧɚ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹ-

ɪɚ, ɨɩɭɳɟɧɧɨɝɨ ɢɡ ɬɨɱɤɢ

Ɉ ɧɚ ɥɢ-

ɧɢɸ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɫɢɥɵ

. ȼɟɥɢɱɢɧɚ

ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɥɟɱɨɦ ɫɢɥɵ

ɉɨɥɭɱɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɢɧɚ-

ɦɢɤɢ ɞɥɹ ɜɪɚɳɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟ-

ɧɢɹ. Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɡɚɩɢɲɟɦ ɜɬɨɪɨɣ

ɡɚɤɨɧ ɇɶɸɬɨɧɚ

ɞɥɹ ɤɚɠ-

ɞɨɣ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɨɣ ɬɨɱɤɢ, ɨɛɪɚɡɭɸɳɟɣ ɬɜɟɪɞɨɟ ɬɟɥɨ (ɝɞɟ

– ɫɭɦɦɚɪɧɚɹ

ɫɢɥɚ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɚɹ ɧɚ

i-ɭɸ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɭɸ ɬɨɱɤɭ ɦɚɫɫɨɣ

m ;

– ɢɦ-

ɩɭɥɶɫ

i-ɨɣ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɨɣ ɬɨɱɤɢ). Ⱦɨɦɧɨɠɢɦ ɜɬɨɪɨɣ ɡɚɤɨɧ ɇɶɸɬɨɧɚ ɜɟɤ-

ɬɨɪɧɨ ɧɚ ɪɚɞɢɭɫ-ɜɟɤɬɨɪ

, ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɵɣ ɨɬ ɨɫɢ ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɜ ɬɨɱɤɭ ɩɪɢ-

ɥɨɠɟɧɢɹ ɫɢɥɵ

, ɢ ɩɪɨɫɭɦɦɢɪɭɟɦ ɩɨ ɜɫɟɦ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɵɦ ɬɨɱɤɚɦ:

¦¦

prd

],[

ɢɥɢ

prd

],[

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɫɨ ɜɪɟɦɟɧɟɦ ɜɟɤɬɨɪɧɨɝɨ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɪɚ-

ɞɢɭɫ-ɜɟɤɬɨɪɚ

ɧɚ ɫɭɦɦɚɪɧɵɣ ɢɦɩɭɥɶɫ ɬɟɥɚ

iii

mp v

prd

],[



,, =



iiii

,, .

ȼɟɤɬɨɪɧɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɵɯ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɪɚɜɧɨ

ɧɭɥɸ

iii

mvv

. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ,

prd

],[

, .

Ɋɢɫ. 2

Ɇɟɯɚɧɢɤɚ

ɍɱɢɬɵɜɚɹ ɫɜɹɡɶ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɜɪɚɳɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɫ

ɭɝɥɨɜɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ

],[

Z v , ɚ ɬɚɤɠɟ H

, ɩɨɥɭɱɢɦ

prd

],[



¦¦

rmr

iii

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɨɫɧɨɜɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɢɧɚɦɢɤɢ ɞɥɹ ɜɪɚɳɚɬɟɥɶɧɨɝɨ

ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ

ɢɥɢ

Ɂɚɤɨɧ ɞɢɧɚɦɢɤɢ ɜɪɚɳɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɬɜɟɪɞɨɝɨ

ɬɟɥɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɨɫɢ: ɭɝɥɨɜɨɟ ɭɫɤɨɪɟɧɢɟ

ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ

ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ ɩɪɹɦɨ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɨ ɫɭɦɦɚɪɧɨɦɭ ɦɨɦɟɧɬɭ ɫɢɥ

ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯ ɧɚ ɬɟɥɨ, ɢ ɨɛɪɚɬɧɨ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɨ ɦɨɦɟɧɬɭ ɢɧɟɪɰɢɢ

ɬɟɥɚ

2. Ɋɚɛɨɱɢɟ ɮɨɪɦɭɥɵ

2.1. Ɇɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɟɥɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɣ

ɨɫɢ ɜɪɚɳɟɧɢɹ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɬɜɟɪɞɨɟ ɬɟɥɨ ɦɚɫɫɨɣ

m , ɫɩɨɫɨɛɧɨɟ ɜɪɚɳɚɬɶɫɹ ɜɨɤɪɭɝ

ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɨɫɢ

OO’, ɪɚɫɩɨɥɨ-

ɠɟɧɧɨɣ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨ

ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɪɢɫɭɧɤɚ (ɪɢɫ. 3,

ɫɢɥɚ ɬɹɠɟɫɬɢ ɬɚɤɠɟ ɧɚɩɪɚɜ-

ɥɟɧɚ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨ ɪɢ-

ɫɭɧɤɭ ɢ ɫɤɨɦɩɟɧɫɢɪɨɜɚɧɚ).

Ɉɞɧɚ ɝɪɚɧɶ ɬɟɥɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ

ɩɪɹɦɨɣ. ɉɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨ

ɷɬɨɣ ɝɪɚɧɢ ɥɟɬɢɬ ɲɚɪɢɤ ɦɚɫ-

ɫɨɣ

ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ ɫɤɨɪɨ-

ɫɬɶɸ

. ɉɨɫɥɟ ɭɞɚɪɚ ɲɚɪɢɤ

ɨɬɥɟɬɚɟɬ ɜ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɦ

ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ ɫɨ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ

ɚ ɩɨɤɨɢɜɲɟɟɫɹ ɞɨ ɷɬɨɝɨ ɬɟɥɨ ɧɚɱɢɧɚɟɬ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɜɪɚɳɚɬɶɫɹ ɜɨɤɪɭɝ ɨɫɢ

OO’.

Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɭɝɥɨɜɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ Z, ɫ ɤɨɬɨ-

ɪɨɣ ɛɭɞɟɬ ɜɪɚɳɚɬɶɫɹ ɬɟɥɨ, ɡɚɩɢɲɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɢɧɚɦɢɤɢ

. ȼɪɚ-

Ɋɢɫ. 3

ɆɨɞɆ-04 Ɇɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ

ɳɟɧɢɟ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ ɬɨɥɶɤɨ ɡɚ ɫɱɟɬ ɭɞɚɪɚ ɲɚɪɢɤɚ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɡɚ ɜɪɟɦɹ ɭɞɚɪɚ

ɢɦɩɭɥɶɫ ɲɚɪɢɤɚ ɢɡɦɟɧɢɥɫɹ ɧɚ ɜɟɥɢɱɢɧɭ

. ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɜɬɨɪɨɦɭ ɡɚ-

ɤɨɧɭ ɇɶɸɬɨɧɚ ɫɢɥɚ

, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɚɹ ɧɚ ɲɚɪɢɤ, ɪɚɜɧɚ

. ɒɚɪɢɤ

ɭɞɚɪɹɟɬɫɹ ɨ ɬɟɥɨ ɜ ɬɨɱɤɟ, ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɨɣ ɧɚ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɢ

ɨɬ ɨɫɢ ɜɪɚ-

ɳɟɧɢɹ. Ɇɨɦɟɧɬ ɫɢɥɵ

, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɟɣ ɧɚ ɬɟɥɨ, ɪɚɜɟɧ

rFrM

,],[

. Ɂɚ ɜɪɟɦɹ ɭɞɚɪɚ ɭɝɥɨɜɚɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɬɟɥɚ ɢɡɦɟɧɢɥɚɫɶ

ɧɚ ɜɟɥɢɱɢɧɭ 'Z, ɢ ɭɝɥɨɜɨɟ ɭɫɤɨɪɟɧɢɟ ɬɟɥɚ ɜɨ ɜɪɟɦɹ ɜɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɢɹ ɫ

ɲɚɪɢɤɨɦ ɪɚɜɧɨ

. Ɍɨɝɞɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɢɧɚɦɢɤɢ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ:

ɢɥɢ Z' '

JPr ],[ .

ȼ ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɧɚ ɨɫɶ

OO’ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ

Z' D'

Pr sin .

ɍɱɬɟɦ, ɱɬɨ

lr Dsin – ɩɥɟɱɨ ɫɢɥɵ, ɚ ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɬɟɥɨ

ɩɨɤɨɢɥɨɫɶ (

Z ), ɩɨɷɬɨɦɭ Z ZZ Z'

. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɩɨɥɭɱɟɧ-

ɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ:

Z '

Pl .

ɋɤɨɪɨɫɬɶ ɲɚɪɢɤɚ ɞɨ ɫɬɨɥɤɧɨɜɟɧɢɹ ɪɚɜɧɚ

, ɚ ɩɨɫɥɟ ɫɬɨɥɤɧɨɜɟɧɢɹ

. ɂɡɦɟɧɟɧɢɟ ɢɦɩɭɥɶɫɚ ɲɚɪɢɤɚ ɪɚɜɧɨ vv mmummuP   ' )( .

Z 

mmul )( v

ɢɥɢ

mu 

ɑɬɨɛɵ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɲɚɪɢɤɚ ɩɨɫɥɟ ɫɬɨɥɤɧɨɜɟɧɢɹ, ɜɨɫɩɨɥɶ-

ɡɭɟɦɫɹ ɡɚɤɨɧɨɦ ɫɨɯɪɚɧɟɧɢɹ ɷɧɟɪɝɢɢ. Ⱦɨ ɫɬɨɥɤɧɨɜɟɧɢɹ ɲɚɪɢɤ ɞɜɢɝɚɥɫɹ

ɫɨ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ

, ɚ ɬɟɥɨ ɩɨɤɨɢɥɨɫɶ. ɉɨɫɥɟ ɫɬɨɥɤɧɨɜɟɧɢɹ ɬɟɥɨ ɧɚɱɚɥɨ

ɜɪɚɳɚɬɶɫɹ ɫ ɭɝɥɨɜɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ Z, ɚ ɲɚɪɢɤ ɩɨɥɟɬɟɥ ɜ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɭɸ

ɫɬɨɪɨɧɭ ɫɨ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ

. ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɡɚɤɨɧɭ ɫɨɯɪɚɧɟɧɢɹ ɷɧɟɪɝɢɢ

222



Jmumv

ɢɥɢ

222

Z

mmu v .

ȼɨɡɜɟɞɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɢɧɚɦɢɤɢ ɜ ɤɜɚɞɪɚɬ, ɚ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ, ɩɨɥɭɱɟɧ-

ɧɨɟ ɢɡ ɡɚɤɨɧɚ ɫɨɯɪɚɧɟɧɢɹ ɷɧɟɪɝɢɢ, ɞɨɦɧɨɠɢɦ ɧɚ ɦɚɫɫɭ ɲɚɪɢɤɚ.

)(



222

)()( Z mJmmu v .

ɉɪɢɪɚɜɧɹɜ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ, ɢɫɤɥɸɱɢɦ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɲɚɪɢɤɚ

ɩɨɫɥɟ ɫɬɨɥɤɧɨɜɟɧɢɹ:

Ɇɟɯɚɧɢɤɚ

)( Z



mJmm

vv .

Ɋɚɫɤɪɵɜ ɫɤɨɛɤɢ ɢ ɩɪɢɜɟɞɹ ɩɨɞɨɛɧɵɟ, ɩɨɥɭɱɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ

lmlmJ v2

ZZ .

Ɂɧɚɹ ɭɝɥɨɜɭɸ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɬɟɥɚ Z, ɦɚɫɫɭ

m ɢ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɲɚ-

ɪɢɤɚ

v , ɚ ɬɚɤɠɟ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ l ɨɬ ɨɫɢ ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɞɨ ɥɢɧɢɢ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɲɚ-

ɪɢɤɚ, ɦɨɠɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ

ɬɟɥɚ:

Z

mlJ

ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɞɥɹ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɜɪɚɳɚɸɳɟɝɨɫɹ ɬɟɥɚ ɭɝɥɨɜɚɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶ

ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɬɟɥɚ Z ɨɛɪɚɬɧɨ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɚ ɩɟɪɢɨɞɭ

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɦɨɠɧɨ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɦɨɦɟɧɬ

ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɟɥɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɣ ɨɫɢ ɜɪɚɳɟɧɢɹ.

2.2. Ɂɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɦɨɦɟɧɬɚ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɟɥɚ ɨɬ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ

ɨɫɢ ɜɪɚɳɟɧɢɹ

ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɬɟɨɪɟɦɟ ɒɬɟɣɧɟɪɚ ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɟɥɚ

ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶ-

ɧɨ ɥɸɛɨɣ ɨɫɢ ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɪɚɜɟɧ ɦɨɦɟɧɬɭ ɟɝɨ ɢɧɟɪɰɢɢ

J ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ

ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨɣ ɨɫɢ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɰɟɧɬɪ ɦɚɫɫ ɬɟɥɚ, ɫɥɨɠɟɧɧɨɦɭ ɫ

ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟɦ ɦɚɫɫɵ

m ɬɟɥɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɹ

R ɦɟɠɞɭ ɨɫɹɦɢ.

CTC

RmJJ  .

ȿɫɥɢ ɨɫɢ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵ, ɬɨ ɞɥɹ ɡɚɞɚɧɢɹ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɹ ɦɟɠɞɭ ɧɢɦɢ

ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɞɜɭɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɜ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ, ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨɣ ɨɫɹɦ. ȿɫɥɢ

ɜ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ, ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨɣ ɨɫɹɦ, ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɬɨɱɤɢ, ɱɟɪɟɡ ɤɨɬɨɪɭɸ

ɩɪɨɯɨɞɢɬ ɨɫɶ ɜɪɚɳɟɧɢɹ, ɡɚɞɚɟɬɫɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ

, ɚ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ

ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ (ɢɧɟɪɰɢɢ) – ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ

, ɬɨɝɞɚ ɤɜɚɞɪɚɬ ɪɚɫɫɬɨɹ-

ɧɢɹ ɨɬ ɨɫɢ ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɞɨ ɰɟɧɬɪɚ ɢɧɟɪɰɢɢ ɪɚɜɟɧ

222

)()(

COCOC

yyxxR  .

Ɇɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɜɵɛɪɚɧɧɨɣ ɨɫɢ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ

ɜɢɞɟ:

)()(

COTCOTC

yymxxmJJ  .

ɂɡ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɝɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɢɢ X-

ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɨɫɢ ɜɪɚɳɟɧɢɹ

x ɤ ɰɟɧɬɪɭ ɢɧɟɪɰɢɢ

xx o (ɩɪɢ ɧɟɢɡɦɟɧ-

ɆɨɞɆ-04 Ɇɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ

ɧɨɦ ɡɧɚɱɟɧɢɢ

y ) ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɟɥɚ

ɭɦɟɧɶɲɚɟɬɫɹ ɢ ɫɬɪɟɦɢɬɫɹ ɜ

ɜɟɥɢɱɢɧɟ

)(

COTC

yymJJ o .

Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ, ɩɪɢ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɢɢ Y-ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɨɫɢ ɜɪɚɳɟɧɢɹ

ɰɟɧɬɪɭ ɢɧɟɪɰɢɢ

yy o (ɩɪɢ ɧɟɢɡɦɟɧɧɨɦ ɡɧɚɱɟɧɢɢ

x ) ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪ-

ɰɢɢ ɬɟɥɚ

ɭɦɟɧɶɲɚɟɬɫɹ ɢ ɫɬɪɟɦɢɬɫɹ ɜ ɜɟɥɢɱɢɧɟ

)(

COTC

xxmJJ o .

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɝɪɚɮɢɤ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ

)(

xJJ ɛɭɞɟɬ ɧɨɫɢɬɶ

ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɫ ɦɢɧɢɦɭɦɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ

xx (ɩɪɢ ɥɸɛɨɦ ɡɧɚ-

ɱɟɧɢɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ

y ), ɢ ɝɪɚɮɢɤ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ )(

yJJ ɬɚɤɠɟ ɛɭɞɭɬ

ɧɨɫɢɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ, ɧɨ ɫ ɦɢɧɢɦɭɦɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ

yy (ɩɪɢ

ɥɸɛɨɦ ɡɧɚɱɟɧɢɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ

x ). ɉɨɷɬɨɦɭ ɢɡɭɱɟɧɢɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ

)(

xJJ

)(

yJJ

ɦɨɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɞɥɹ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨɝɨ

ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɰɟɧɬɪɚ ɢɧɟɪɰɢɢ (

3. ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɟ

3.1. Ɋɚɫɱɟɬ ɦɨɦɟɧɬɚ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɟɥɚ, ɜɪɚɳɚɸɳɟɝɨɫɹ

ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɨɫɢ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ, ɤɚɤ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢ ɪɚɫɫɱɢɬɚɬɶ ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ

ɬɟɥɚ

ɦɚɫɫɨɣ

m ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ U. Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɜɡɹɬɶ ɢɧ-

– y

(1) <

– y

(2) <

< ~

– y

~ (3)

– x

(1) <

– x

(2) <

< ~

– x

~ (3)

Ɇɟɯɚɧɢɤɚ

ɬɟɝɪɚɥ

dmrJ

ɩɨ ɜɫɟɦɭ ɨɛɴɟɦɭ ɬɟɥɚ V . ȿɫɥɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ U ɩɨɫɬɨɹɧ-

ɧɚɹ, ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ

³³

U dVrdmrJ

ȼ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ, ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɦɨɦɟɧɬɚ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɟɥɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ

ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɨɫɢ ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɸ ɬɪɨɣɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ. ȼ ɞɟɤɚɪɬɨ-

ɜɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɯ

³³³

U dzdydxrJ

, ɬɚɤ ɤɚɤ dzdydxdV .

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɬɟɥɨ, ɹɜɥɹɸɳɟɟɫɹ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɨɣ ɩɪɢɡɦɨɣ, ɜɫɟ ɪɟɛɪɚ

ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵ ɨɫɢ OZ (ɪɢɫ. 4). Ɍɟɥɨ ɢɦɟɟɬ ɩɨɫɬɨɹɧɧɭɸ ɬɨɥɳɢɧɭ

h (ɜ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ ɨɫɢ OZ) ɢ ɜɪɚɳɚɟɬɫɹ ɜɨɤɪɭɝ ɨɫɢ OO’, ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨɣ

OZ. Ɍɨɝɞɚ ɩɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ ɦɨɦɟɧɬɚ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɟɥɚ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ

r ɧɟ ɡɚɜɢ-

ɫɢɬ ɨɬ

, ɢ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɩɨ

ɥɟɝɤɨ ɛɟɪɟɬɫɹ. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɬɪɨɣɧɨɣ ɢɧɬɟ-

ɝɪɚɥ ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɞɜɨɣɧɨɦɭ:

³³³³³³³³

U U U dydxyxhdzdydxyxdzdydxrJ )()(

22222

³³

U dydxyxhJ )(

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ

ɦɨɦɟɧɬɚ ɢɧɟɪɰɢɢ ɨɛɴɟɦɧɨɣ ɮɢɝɭ-

ɪɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ

OO’ ɫɜɨɞɢɬɫɹ

ɤ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɸ ɦɨɦɟɧɬɚ ɢɧɟɪɰɢɢ

ɩɥɨɫɤɨɣ ɮɢɝɭɪɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɬɨɱ-

ɤɢ

Ɋɚɫɩɨɥɨɠɢɦ ɮɢɝɭɪɭ ɫɥɟ-

ɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ: ɫɨɜɦɟɫɬɢɦ ɩɪɹ-

ɦɨɥɢɧɟɣɧɨɟ ɪɟɛɪɨ ɮɢɝɭɪɵ (ɨ ɤɨɬɨ-

ɪɨɟ ɜ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɟ ɛɭɞɟɬ ɭɞɚɪɹɬɶ-

ɫɹ ɲɚɪɢɤ) ɫ ɨɫɶɸ OY (ɪɢɫ. 5) ɢ

ɧɚɣɞɟɦ ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɨɬɧɨɫɢ-

ɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɧɚɱɚɥɨ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ

O ( 0

x , 0

y ).

ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɩɨ

x ɜɫɟɝɞɚ ɛɭɞɟɬ ɩɪɨɜɨɞɢɬɶɫɹ ɧɚ

ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ

],0[ a . Ⱦɥɹ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɨ y ɮɢɝɭɪɭ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɪɚɡɛɢɬɶ

ɧɚ ɫɬɨɥɶɤɨ ɱɚɫɬɟɣ, ɫɤɨɥɶɤɢɦɢ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɵɦɢ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɹɦɢ

)(xfy

ɦɨɠɧɨ ɨɩɢɫɚɬɶ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ ɪɟɛɪɚ ɮɢɝɭɪɵ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɱɚɫɬ-

ɧɵɣ ɫɥɭɱɚɣ, ɤɨɝɞɚ ɜ ɜɵɛɪɚɧɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ ɝɪɚɧɢ ɮɢ-

ɝɭɪɵ ɨɩɢɫɵɜɚɸɬɫɹ ɞɜɭɦɹ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɵɦɢ ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ

)(

xfy ɢ

)(

xfy (ɪɢɫ. 5). Ɍɨɝɞɚ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ

ɦɨɦɟɧɬɚ ɢɧɟɪɰɢɢ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ

O’

Ɋɢɫ. 4

ɆɨɞɆ-04 Ɇɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ

³³

U

)(

dyyxdxhJ .

ɉɨ ɬɟɨɪɟɦɟ ɒɬɟɣɧɟɪɚ ɞɚɥɟɟ

ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ

ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɥɸɛɨɣ ɞɪɭɝɨɣ ɨɫɢ,

ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨɣ

OO’.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɪɢɦɟɪɵ.

Ɇɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɨɣ

ɩɪɢɡɦɵ, ɫɟɱɟɧɢɟɦ ɤɨɬɨɪɨɣ ɹɜɥɹ-

ɟɬɫɹ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɵɣ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤ

Ɍɟɥɨ ɢɦɟɟɬ ɩɨɫɬɨɹɧɧɭɸ ɜɵɫɨɬɭ

ȼ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ XOY ɮɢɝɭɪɚ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɚ

ɩɪɹɦɵɦɢ

0 y

)(

y 

(ɪɢɫ. 6). Ɍɨɝɞɚ ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɟɥɚ ɜɵ-

ɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:

U

³³

)(

dyyxdxhJ

U

)(

yyxdxh

U

dxax

axxh

)(

U

dxax

axxh

)(

U

axxh

)(

U

124

aah



bah

U

(x)

Ɋɢɫ. 5



(x – a)

O’

Ɋɢɫ. 6

Ɇɟɯɚɧɢɤɚ

ɍɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ ɦɚɫɫɚ ɬɟɥɚ

U U

, ɩɨɥɭɱɢɦ, ɱɬɨ ɦɨɦɟɧɬ

ɢɧɟɪɰɢɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɩɪɹɦɨɣ ɭɝɨɥ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢ-

ɤɚ ɢ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨɣ ɜɵɫɨɬɟ ɩɪɢɡɦɵ, ɪɚɜɟɧ



 .

Ɇɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɫɟɝɦɟɧɬɚ ɤɪɭɝɨɜɨɝɨ ɞɢɫɤɚ ɬɨɥɳɢɧɨɣ h

Ɍɟɥɨ ɢɦɟɟɬ ɩɨɫɬɨɹɧɧɭɸ ɜɵɫɨɬɭ

h, ɩɨɷɬɨɦɭ ɬɪɟɯɦɟɪɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ

ɭɤɚɡɚɧɧɵɦ ɫɩɨɫɨɛɨɦ ɦɨɠɧɨ ɫɜɟɫɬɢ ɤ ɞɜɭɦɟɪɧɨɦɭ. Ɉɞɧɚɤɨ, ɭɱɢɬɵɜɚɹ

ɮɨɪɦɭ ɮɢɝɭɪɵ, ɞɜɭɦɟɪɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɭɞɨɛɧɟɟ ɛɪɚɬɶ ɜ ɩɨɥɹɪɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢ-

ɧɚɬɚɯ, ɝɞɟ

M drdrdzdV :

³³

MU drdrrhJ

Ɏɢɝɭɪɚ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɚ ɩɪɹɦɵɦɢ

0 M ,

, ɚ ɬɚɤɠɟ ɤɪɢɜɨɣ

(ɪɢɫ. 7). Ɍɨɝɞɚ

ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛ-

ɪɚɡɨɦ:

³³

ddrrhJ



ɍɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ ɦɚɫɫɚ ɬɟɥɚ

U U

, ɩɨɥɭɱɢɦ, ɱɬɨ ɦɨɦɟɧɬ

ɢɧɟɪɰɢɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ

ɭɝɨɥ ɫɟɝɦɟɧɬɚ ɤɪɭɝɨɜɨɝɨ ɞɢɫɤɚ ɢ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨɣ ɜɵɫɨɬɟ ɞɢɫɤɚ, ɪɚɜɟɧ

3.2. Ɋɚɫɱɟɬ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɰɟɧɬɪɚ ɢɧɟɪɰɢɢ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ, ɤɚɤ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢ ɪɚɫɫɱɢɬɚɬɶ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ

(ɰɟɧɬɪɚ ɢɧɟɪɰɢɢ) ɬɟɥɚ.

Ⱦɥɹ ɬɟɥɚ ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ U ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɡɚɞɚ-

ɟɬɫɹ ɪɚɞɢɭɫ-ɜɟɤɬɨɪɨɦ

, ɩɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɟɪɟɣɬɢ ɤ

ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɸ ɩɨ ɨɛɴɟɦɭ

r= a

O’

Ɋɢɫ. 7