Рабинович С.Г. Погрешности измерений

Подождите немного. Документ загружается.

Чтобы исправить оценку, сделать ее несмещенной, нужно

умножить на

поправочный коэффициент

1−n

. Тогда получим

( )

∑

−

(3-13)

Эта оценка тоже состоятельная, но, как нетрудно проверить, уже

несмещенная. Некоторое отклонение от максимума функции правдоподобия для

нас менее существенно, чем смещенность оценки.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X — неслучайная

величина

[

]

XD=σ

. Вместо

приходится взять оценку дисперсии по

формуле (3-13) — случайную величину. Извлечение квадратного корня —

процедура нелинейная, она приводит к смещенности получаемой таким

образом оценки

. Чтобы исправить эту оценку, вводят множитель

зависящий от п следующим образом:

n………..

3 4 5 6 7 10

……… 1,13

1,08

1,06

1,05

1,04

1,03

Итак,

( )

∑

−

(3-14)

Оценки параметров нормального распределения получены. Но они также

являются случайными величинами: повторив измерение, получим другую группу

наблюдений, а для нее — другие значения

. Рассеивания этих оценок

можно охарактеризовать их средними квадратическими отклонениями

(

)

xσ

(

)

σσ

. Выше мы уже получили, что

()

. Следовательно,

()

[]

xDx

σ ==

(3-15)

Поскольку вместо

возьмем

, то получим оценку

(

)

xσ

, Пренебрегая

значением

k , приходим к известной формуле

()

( )

−

∑

(3-16)

Часто

(

)

xσ

обозначают символом

Аналогично находят оценку среднего квадратического отклонения

оценки среднего квадратического отклонения

()

( )

−

σσ

Отсюда

(

)

( )

−

(3-17)

Отношение (3.17) характеризует погрешность определения среднего

квадратического отклонения. Это отношение зависит только от числа

наблюдений в группе и при разных n составляет:

n………..…..

3 5 7 10 15

(

)

100

, %

50 35 29 24 15

Для надежной оценки погрешности в полученную характеристику

нужно ввести еще множитель, примерно равный двум.

Поскольку редко сразу делают очень много наблюдений, то

погрешность в определении среднего квадратического отклонения может

быть весьма значительной. Во всяком случае эта погрешность значительно

больше погрешности из-за смещенности оценки, обусловленной извлечением

квадратного корня и устраняемой поправочным коэффициентом

k . Поэтому

обычно на практике данной смещенностью можно принебречь и вместо

формулы (3.14) применять формулу

( )

−

∑

(3-18)

3-4 Практические методы проверки

нормальности распределения случайных

погрешностей

Обычно задача ставится так: имеется группа результатов наблюдений

и высказывается гипотеза о том, что эти наблюдения можно считать

реализациями случайной величины с выбранной формой функции

распределения. Затем методами математической статистики эта гипотеза

проверяется и либо принимается, либо отвергается.

При большом числе наблюдений (n>50) лучшими критериями проверки

данной гипотезы считают критерий согласия К. Пирсона (критерий

) для

группированных наблюдений и критерий Р. Мизеса — Н. В. Смирнова

(критерий

) для негруппированных наблюдений [49.]

Остановимся на критерии

. Идея этого метода состоит в контроле

отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с

таким же числом интервалов, построенной на основе нормального

распределения. Сумма квадратов разностей частот по интервалам не должна

превышать значений

, для которых составлены таблицы в зависимости от

уровня значимости критерия q и числа степеней свободы

−

, где

—

число интервалов.

Вычисления ведутся по следующей схеме [31].

1. Вычисляют среднее арифметическое наблюдений и оценку

среднего квадратического отклонений по формулам (3.11) и (3.18):

( )

−

∑

2. Группируют наблюдения по интервалам. При числе наблюдений

40–100 обычно принимают 5–9 интервалов. Для каждого интервала

вычисляют середину

и подсчитывают число наблюдений, попавшее в

каждый интервал,

3. Вычисляют число наблюдений для каждого из интервалов,

теоретически соответствующее нормальному распределению. Для этого

сначала от реальных середин интервалов

переходят к нормированным

−

Затем для каждого значения

находят значение функции плотности

вероятностей

()

ezf

−

Вычисление

(

)

ведется с помощью табл. П-1 приложения.

Теперь можно вычислить ту часть

ϕ общего числа имеющихся

наблюдений, которая теоретически должна была быть в каждом из

интервалов:

()

где

— общее число наблюдений,

010 ii

xxh −=

— длина интервала,

принятая при построении гистограммы.

4. Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше 5 наблюдений, то его в обеих гистограммах

соединяют с соседним

интервалом. Затем определяют число степеней свободы

−

, где L —

общее число интервалов (если произведено укрупнение интервалов, то

L — число интервалов после укрупнения).

5. Вычисляют показатель разности частот

χ :

∑

χχ , где

(

)

ϕϕ

−

6. Выбирают уровень значимости критерия q. Уровень значимости

должен быть достаточно малым, чтобы была мала вероятность отклонить

правильную гипотезу (совершить ошибку, первого рода). С другой

стороны, слишком малое значение q увеличивает вероятность принять

ложную гипотезу, т. е. совершить ошибку второго рода [49, стр. 250].

По уровню значимости q и числу степеней свободы k в табл. П-3

находим границу критической области

χ , так что

{

}

χχ

Вероятность того, что получаемое значение

χ превышает

χ равна q

и мала. Поэтому, если оказывается, что

χχ > , то гипотеза о нормальности

отвергается. Если

χχ < , то гипотеза о нормальности принимается.

Чем меньше q, тем при том же k больше значение

χ , тем легче

выполняется условие

χχ < и принимается проверяемая гипотеза. Но при

этом увеличивается вероятность ошибки второго рода. Поэтому

нецелесообразно брать q<0,01. При слишком большом q, как указывалось

выше возрастает вероятность ошибки первого рода и, кроме того,

снижается чувствительность критерия. Например, при q — 0,5 с равной

вероятностью

χ может быть и больше и меньше

χ и, следовательно,

теряется возможность сделать выбор в пользу проверяемой гипотезы или

против нее.

Для единообразия решения рассматриваемой задачи желательно

унифицировать применяемые уровни значимости. С этой целью можно

предложить попытаться ограничить выбор уровня значимости интервалом

1,002,0

≤

q .

Наряду с рассмотренной проверкой, при которой была принята

односторонняя критическая область, применяют и двусторонние

критические области, т.е. оценивается

{

}

вн

=<<

222

χχχ . В этом есть

определенный смысл, так как у реальной группы данных очень малое

значение

χ маловероятно. Уровень значимости критерия q делится на две

части:

qqq += . Для простоты часто считают

qq = . По табл. П-3 для

{

}

P χχ > находят

χ для уровня значимости

q и числа степеней свободы k

χ для уровня значимости 1—q

и того же k.. Гипотеза о нормальности

проверяемой группы данных принимается, если

χχχ ≤≤

Следует еще раз отметить, что данный критерий позволяет проверять

соответствие эмпирических данных любому теоретическому

распределению, а не только нормальному. Однако этот критерий, как,

впрочем, и другие критерии согласия, не позволяет установить вид

распределения наблюдений, а лишь дает возможность проверить,

допустимо ли отнести их к нормальному или иному, выбранному заранее

распределению.

В практике измерений часто возникает необходимость проверить

гипотезу о нормальности небольшой группы наблюдений. Гипотеза

согласно рекомендации [31] проверяется с помощью двух критериев.

Критерий 1. По данным наблюдений

xx ,...,

вычисляем значение

параметра d по формуле

∑

−

(3-19)

где

( )

∑

−

(3-20)

Выбираем затем уровень значимости критерия

и по табл. П-4 находим

−

Принимаем, что гипотеза о нормальности по критерию 1 не

отвергается, если

ddd ≤≤

−

В противном случае гипотеза отвергается.

Критерий 2. Этот критерий введен дополнительно для проверки

«концов» распределений.

Принимаем, что гипотеза о нормальности по критерию 2 не

отвергается, если не более m разностей

−

превзошли

, где

вычисляется по формуле (3-18), а

-верхняя

100

-процентная квантиль

нормированной функции Лапласа (табл. П-2);

определяем по п и уровню

значимости q как корень уравнения

( )

∑

−

=−−

11 αα

Для нахождения

по заданным п, q и m=1 или 2 составлена табл. П-5.

При

2010

следует принимать

. Если

2050

≥

, то т=2.

Если число разностей

−

, больших

, превышает т, то

гипотеза о нормальности отвергается.

Гипотеза о нормальности принимается, если для проверяемой группы

данных выполняются оба критерия.

Уровень значимости составного критерия

qqq +≤

где

q — уровень значимости для критерия 1,

q — уровень

значимости для критерия 2.

3-5. Примеры проверки нормальности

распределения результатов наблюдений

Пример 1. В результате измерений получено 200 отклонений размера некоторой детали от

номинального значения. Эти данные сгруппированы в 14 интервалов, середины которых, число отклонений,

попавших в каждый интервал, и вспомогательные данные для расчетов по рассмотренной в § 3-4 схеме

приведены в табл. 3-1 [31].

Кроме того, по формулам (3-11) и (3-18) вычислены среднее отклонение от номинального размера и

оценка среднего квадратического отклонения

0284

−

0515,0

=σ

. Как показано в таблице, в итоге

получено

03,7

=χ

Так как после укрупнения интервалов L = 11, то k=L—3=8.

Возьмем двустороннюю критическую область, и

02,0

== qq

. По табл. П-3 из условия

{

}

P χχ >

находим

2,18

=χ

, а из условия

{

}

P −=> χχ

находим

03,2

=χ

Так как 2,03<7,03<18,2, то гипотеза о нормальности полученных отклонений принимается.

Пример 2. В табл. 3-2 приведены результаты наблюдений, полученные при измерении

напряжения исследуемого источника с помощью потенциометра. Проверим, можно ли считать полученные

данные реализациями случайной величины, имеющей нормальное распределение.

Сначала найдем оценки параметров распределения

∑

7994,2

xx В

( )

1052,6

101478

−

⋅=

⋅

=−=

∑

xxσ В.

и по формуле (3-20) найдем

S :

1041,6

1052,6

−−

⋅=⋅=S В.

Затем проверим выполнение критериев 1 и 2.

Таблица 3-1

Исходные данные и промежуточные выкладки для вычисления

Номер

интервала i

Середина

интервала

Эмпирическое

число

наблюдений в

интервале

−

(

)

()

Теоретическое

число

наблюдений в

интервале

1 -0,14 3 -0,1116 -2,17 0,038 0,015 3,0 0,27

2 -0,12 8 -0,0916 -1,78 0,082 0,032 6,4 0,27

3 -0,10 11 -0,0716 -1,39 0,174 0,068 13,6 0,50

4 -0,08 20 -0,0516 -1,00 0,242 0,094 18,8 0,08

5 -0,06 27 -0,0316 -0,61 0,333 0,130 26,0 0,04

6 -0,04 36 -0,0116 -0,23 0,388 0,151 30,2 1,11

7 -0,02 29 +0,0084 +0,16 0,394 0,154 30,8 0,10

8 0,00 18 +0,0284 +0,55 0,343 0,134 26,8 2,89

9 0,02 17 +0,0484 +0,94 0,256 0,099 19,8 0,40

10 0,04 17 +0,0684 +1,33 0,165 0,064 12,8 1,38

11 0,06 8 +0,0884 +1,72 0,091 0,035 7,0 0,14

12 0,08 4 +0,1084 +2,1 0,044 0,017 3,4 0,12

13 0,10 1 +0,1284 +2,49 0,018 0,007 1,4 0,12

14 0,12 1 +0,1484 +2,88 0,006 0,002 0,4 0,12

Сумма — 200 Примерно 0 — — — 200,4 7,03

Таблица 3-2

Результаты наблюдений, полученные при измерении напряжения источника, и

предварительные вычисления

Номер

наблюдения

Показания

потенциометра

, В

(

)

10⋅− x

( )

⋅− x

Номер

наблюдения

Показания

потенциометра

, В

(

)

10⋅− x

( )

⋅− x

2.7997

2.7991

2.7990

2.7997

2.7992

2.7976

2.7984

2.7999

2.7990

2.7989

2.7997

2.7993

2.8000

2.8006

2.7998

2.7995

2.7992

2.8011

-3

-4

-2

-18

-10

-4

-5

-1

+12

-2

+17

324

100

144

289

2.7988

2.7999

2.7998

2.7996

2.7992

2.8000

2.7993

2.7988

2.7993

2.7982

2.7999

2.7997

2.7999

2.7992

2.7999

2.7989

2.7994

2.7999

-2

-1

-6

-1

-12

-2

-5

144

Критерий 1. Для того чтобы согласно (3-19) вычислить значение d, сначала подсчитаем

10174

−

⋅=−

∑

xx .

Затем находим

754,0

1041,636

10174

⋅⋅

⋅

−

Выбрав уровень значимости 02,0

=q , из табл. П-4 находим 877,0

01,0

=d и

717,0

99,0

=d .

Так как 0,717<0,754<0,877, то критерий 1 выполняется.

Критерий 2. Примем уровень значимости q

= 0,02. По табл. П-5 для

и 02,0

находим 99,0

. Тогда, обращаясь, к табл. П-2, находим 58,2

z . Отсюда

108,161052,658,2

−−

⋅=⋅⋅=σ

Согласно критерию 2, не более двух разностей xx −

могут превзойти

108,16

−

⋅ . По

данным, приведенным в табл. 3-2, видим, что разности xx −

только при

превышают критическое значение. Следовательно, критерий 2

выполняется.

Таким образом, с уровнем значимости 04,0

=+≤ qqq гипотеза о нормальности

полученных данных согласуется с данными наблюдений,

3-6. Обнаружение грубых погрешностей

Если в полученной группе результатов наблюдений одно-два резко

отличаются от остальных, а наличие описки, ошибки в снятии показаний и

тому подобных промахов не установлено, следует проверить, не являются

ли они грубыми погрешностями, подлежащими исключению. Задача

решается статистическими методами, основанными на том, что

распределение, к которому относится рассматриваемая группа

наблюдений, можно считать нормальным.

Для этого случая Ф. Е. Граббс рассчитал границы допустимых

максимальных и минимальных значений при п наблюдений.

В дальнейшем были табулированы q-процёнтные точки

распределения максимальных по модулю отклонений результатов

наблюдений от их среднего значения

max xx

−

(3-21)

здесь

— оценка среднего квадратического отклонения,

вычисляемая по формуле (3-18). Это распределение удобнее для расчетов

и приведено в табл. П-6 [6].

Чтобы проверить возможность отбросить наблюдение х

, нужно

сначала вычислить

−

(3-22)

где

вычисляют с учетом всех п результатов наблюдений.

Затем, выбрав уровень значимости q, нужно найти в табл. П-6

значение

, отвечающее этому уровню и числу наблюдений.

Если

tt >

, то х

можно отбросить: вероятность появления

наблюдения, дающего

tt >

, мала и равна принятому уровню значимости.

С уменьшением q растет

и условие

tt >

выполняется труднее.

Пример 1. Измерение силы тока дало следующую группу данных (сила тока в

миллиамперах): 10,07; 10,08; 10,10; 10,12; 10,13; 10,15; 10,16; 10,17; 10,20; 10,40. Наблюдение с

результатом 10,40 резко отличается от остальных. Проверим, нельзя ли его отбросить.

Воспользуемся приведенным критерием, хотя у нас и нет данных для того, чтобы считать эти

наблюдения удовлетворяющими нормальному распределению:

16,10

x мА,

094,0

мА,

55,2

094,0

16,1040,10

−

Примем q=1%. По табл. П-6 находим 62,2=

t . Так как

tt < , то наблюдение 10,40 нельзя

отбросить.

Пример 2. Рассмотренный критерий основан на предположении о нормальном распределении

наблюдений. Интересно посмотреть, что он даст в случае, когда о распределении ничего нельзя

сказать. Допустим, что 0

=x , 0

=x , 4

=x . Может быть,

x можно отбросить?

Приведем вычисления:

x ,2

5,1

−

=t .

Как видно из табл. П-6, при n=4 и любом

всегда 6,1>

t . Поскольку

tt < , то отбросить

x нельзя. По-видимому, целесообразно продолжить измерение и увеличить число наблюдений.

3-7. Доверительные интервалы

Получив оценку

, представляет интерес выяснить, насколько она может

изменяться при повторных измерениях, выполняемых в тех же условиях. Этот

вопрос выясняется с помощью построения доверительного интервала для

истинного значения измеряемой величины.

Доверительным интервалом называется интервал, который с заданной

вероятностью, называемой доверительной, накрывает истинное значение

измеряемой величины,

В общем случае доверительные интервалы можно строить на основе

неравенства Чебышева [49, стр. 183]

{ }

tAXP ≤≥− σ ,

Для случайной величины

имеем

AxP ≤













≥−

При этом не требуется знать вида распределения наблюдений, но нужно

знать

[

]

Xσ

. Однако получаемые с помощью неравенства Чебышева

интервалы оказываются слишком широкими для практики, и они не получили

применения.

Обычно доверительные интервалы строят, основываясь на распределении

Стьюдента, которым называют распределение случайной величины

−

(3-23)

вычисленное для X с нормальным распределением,

— оценка среднего

квадратического отклонения, среднего арифметического, вычисляемая по

формуле (3-16).

Доверительный интервал

[

]

xqxq

StxStx +− ,

отвечает вероятности

{

}

α=≤−

StAxP

(3-24)