Рабинович С.Г. Погрешности измерений

Подождите немного. Документ загружается.

диаметра, как у круга. Следовательно, выбранная модель не соответствует

свойствам реального объекта и поставленную задачу нельзя решить.

Таким образом, если в результате измерения нельзя получить какое-то

именованное число — оценку истинного значения измеряемой величины, то

измерение невозможно.

Конечно, и тогда, когда измерение диаметра диска считалось

возможным, в действительности диаметр диска не был абсолютно одним и

тем же в разных направлениях. Но пока это непостоянство было

пренебрежимо мало, мы могли считать, что круг как модель соответствует

объекту и, следовательно, существует какое-то постоянное, фиксированное

истинное значение измеряемой величины, а в результате измерения можно

найти его оценку. Больше того, если измерение выполнено, мы можем

считать, что истинное значение измеряемой величины лежит где-то вблизи

полученной оценки и отличается от нее не больше чем на погрешность

измерения.

Таким образом, идеализация, необходимая для построения модели,

обусловливает неизбежное несоответствие между параметром модели и

реальным свойством объекта. Назовем это несоответствие пороговым

несоответствием.

Как мы видели, погрешность, обусловленная пороговым

несоответствием модели и объекта, должна быть меньше полной

погрешности измерения. Если же эта составляющая погрешности превышает

предел допускаемой погрешности измерения, то измерение с требуемой

точностью становится невозможным. Последнее свидетельствует о

непригодности модели. Для продолжения эксперимента, если это допустимо

применительно к цели измерения, необходимо переопределить модель. Так,

в примере с измерением диаметра диска такой другой моделью мог бы быть

круг, описывающий диск.

Рассмотренный случай очень прост, но показанные на нем особенности

можно найти у любого измерения, хотя не всегда так легко и наглядно, как

при измерении линейных размеров.

Изложенные выше соображения сводятся, по существу, к трем

положениям:

измеряемому свойству объекта должен соответствовать некоторый

параметр его модели;

модель объекта должна позволять в течение времени, необходимого для

измерения, считать неизменным ее параметр, соответствующий

измеряемому свойству объекта;

погрешность из-за порогового несоответствия модели объекту должна

быть меньше той погрешности, которая допустима для использования по

назначению результата измерения.

Обобщая эти положения, сформулируем следующий принцип

метрологии: измерение с заданной точностью осуществимо только тогда,

когда измеряемому свойству объекта можно поставить в соответствие

неизменный параметр его модели.

Заметим, что значение определенного таким образом параметра

модели, идеально в количественном отношении отражающее

соответствующее свойство объекта, представляет собой истинное значение

измеряемой величины (качественное соответствие предопределено

моделью).

Данный принцип метрологии лежит, по существу, в основе постулата

, приведенного выше. Сохраняя постулаты

и руководствуясь

сформулированным принципом, нужно дополнить их постулатом

истинное значение измеряемой величины постоянно.

Вопрос о роли моделей объектов в метрологии в последние годы интенсивно

разрабатывается. Выше мы говорили о моделях конкретных объектов. Представления о моделях

более общего характера использует К. П. Широков, разрабатывая учение о величинах и

единицах.

Остановимся на некоторых примерах моделей, применяемых для конкретных задач

измерений.

Измерения на переменном токе. Исследуемый объект — переменный ток. Модель

объекта — синусоида

)sin(

tII

где t — время, I

— амплитуда, угловая частота и фазовый сдвиг тока относительно

напряжения — параметры модели.

Каждый из параметров модели соответствует некоторому реальному свойству объекта и

может быть измеряемой величиной. Но, кроме этих величин — аргументов, вводят еще ряд

параметров, функционально связанных с аргументами, эти параметры также могут быть

измеряемыми величинами. Некоторые параметры удается ввести так, что они по определению

оказываются не связанными с «деталями» явления. Например, действующий ток

∫

dti

где

— период синусоиды.

Действующим током характеризуют и несинусоидальный ток. Однако при создании

средств измерений и описании их свойств приходится учитывать форму тока, т.е. модель объекта

исследования.

Несоответствие модели объекту в данном случае выражается в несоответствии синусоиде

кривой изменения силы тока во времени. Однако при этом простое повторение измерений тех

или иных параметров только в редких случаях позволяет обнаружить несоответствие модели

исследуемому процессу. Поэтому соответствие модели объекту контролируется иначе, например

путем измерения коэффициента искажения формы.

Переопределение модели обычно производится путем замены одной синусоиды суммой

определенного числа синусоид.

Измерение параметров случайных процессов. Обычная модель — стационарный

эргодический случайный процесс на интервале времени Т. Постоянными параметрами процесса

являются математическое ожидание М [X] и дисперсия D [X]. Предположим, нас интересует

М[X]. Оценивание М[X] возможно, например, по формуле













∑

где Т — интервал времени наблюдения;

x — оценки реализаций случайной величины,

изменение которой во времени образует случайный процесс, в моменты времени Tt

∈

; n —

общее число полученных реализаций.

Повторные измерения на других реализациях процесса могут дать несколько иные

значения

. Принятую модель можно считать соответствующей исследуемому физическому

явлению, если разности получаемых оценок математического ожидания процесса не будут

близки к погрешности, допускаемой целью измерения. Если же разности оценок измеряемой

величины окажутся близкими к этой погрешности или превышающими ее, модель нужно

переопределить. Простейший путь — увеличить длительность интервала наблюдения T.

Интересно отметить, что определения некоторых параметров на первый взгляд кажутся

позволяющими иметь любую точность измерений (если отвлечься от погрешностей средств

измерений). К таким параметрам относятся, например, параметры стационарных случайных

процессов; параметры распределений случайных величин; средние по определению величины.

Казалось бы, для достижения необходимой точности в этих случаях достаточно увеличить число

наблюдений при измерении. Однако в действительности точность измерений всегда ограничена,

и в частности ее ограничивает соответствие модели явлению, т. е., возможность считать, что

данному явлению соответствует стационарный случайный процесс или случайная величина с

известным распределением и т. д.

В последние годы часто пишут об измерениях переменных и случайных величин. Но у

этих величин, как таковых, нет истинного значения, и поэтому их нельзя измерить.

У случайной величины можно измерять параметры функции ее распределения, которые не

являются случайными; можно измерять реализации случайной величины. У переменной

величины можно измерять ее параметры, которые не являются переменными, можно также

измерять мгновенные значения переменной величины.

Остановимся несколько подробнее на измерении мгновенных величин. Пусть исследуется

переменный ток, модель которого — синусоида с амплитудой

I , угловой частотой

фазовым сдвигом

тока по отношению к напряжению. В момент времени

t мгновенному току

соответствует на модели мгновенное значение )sin(

tIi

. В другой момент времени

будет другое мгновенное значение, но в каждый момент оно имеет какое-то определенное

значение. Таким образом, измеряемому свойству объекта всякий раз соответствует

фиксированный параметр его модели.

Однако измерение требует некоторого времени. За время измерения измеряемая величина

изменится, и это создает специфическую погрешность данного измерения. Цель измерения

позволяет установить уровень, который не должна превышать погрешность измерение, а также

ее составляющая, обусловленная изменением измеряемой величины за время измерения.

Если это условие будет выполнено, то можно пренебречь влиянием времени измерения и

считать, что в результате мы получаем оценку измеряемого мгновенного тока, т. е. силу тока в

заданный момент времени.

Когда пишут об измерении переменных величин, чаще всего имеют в виду измерение

мгновенных значений, и выражение «измерение переменной величины» следует рассматривать

как неточное. Когда пишут об измерении случайной величины, обычно имеют в виду измерение

реализации случайной величины.

Физические величины делят на активные и пассивные. Активными называют величины,

которые без каких-либо вспомогательных источников энергии способны создавать сигналы

измерительной информации, т. е. воздействовать на средства измерений. Такими величинами

являются э. д, с., сила электрического тока, механическая сила и др. Пассивные величины сами

не могут воздействовать на средства измерений, и их для измерений нужно активировать.

Примеры пассивных величин: масса, индуктивность, электрическое сопротивление. Для

измерения массы обычно пользуются тем, что в гравитационном поле на тело действует сила,

пропорциональная его массе. Активация электрического сопротивления осуществляется

пропусканием электрического тока через резистор и т.д.

При измерении пассивных физических величин, характеризующих те или иные объекты,

модели объектов строят применительно к тем активным величинам, которые образуются

активацией пассивных.

1-4. Классификация измерений

В метрологии с давних пор принято различать прямые, косвенные и

совокупные измерения. В последние годы совокупные измерения стали

делить на собственно совокупные и совместные (см. ГОСТ 16263–70).

Данная классификация важна для нас в особенности потому, что каждая

категория измерений связана с определенным способом обработки

экспериментальных данных для нахождения результата измерения и

оценивания его погрешностей.

При прямых измерениях объект исследования приводят во

взаимодействие со средством измерений и по показаниям последнего

отсчитывают значение измеряемой величины. Порой показания прибора

умножают на некоторый коэффициент, вводят соответствующие поправки к

ним и т. д.

При косвенных измерениях искомое значение измеряемой величины

находят на основании известной зависимости между этой величиной и

величинами-аргументами. Последние находят в результате прямых, а

иногда косвенных, совместных или совокупных измерений. Например,

плотность однородного твердого тела находят как отношение массы тела к

его объему, а масса и объем тела измеряются непосредственно.

Порой не так легко отличить прямое измерение от косвенного. Например, ваттметр

переменного тока имеет четыре зажима. К одной паре зажимов подключается напряжение,

приложенное к нагрузке, а вторая пара включается последовательно с нагрузкой. Как известно,

показания ваттметра пропорциональны мощности, потребляемой нагрузкой. Однако ваттметр

непосредственно на измеряемую мощность не реагирует. Ориентируясь на принцип действия

прибора, измерение мощности с помощью ваттметра надо было бы считать косвенным. Однако

нам важно то, что по показаниям прибора (в данном случае ваттметра) можно прямо отсчитать

искомое значение измеряемой величины. В этом смысле ваттметр ничем не отличается от

амперметра. Поэтому в данной книге нет необходимости различать измерение мощности с

помощью ваттметра и измерение силы тока с помощью амперметра: и тот и другой случай будем

относить к прямым измерениям. Иными словами, при отнесении конкретного измерения к той

или иной категории мы не будем учитывать устройство использованных средств измерений.

Совместные и совокупные измерения по способам нахождения

искомых значений измеряемых величин очень близки: и в том, и в другом

случае они находятся путем решения системы уравнений, коэффициенты в

которых и отдельные члены получены в результате измерений (обычно

прямых). Основное отличие состоит, в том, что при совокупных измерениях

одновременно измеряют несколько одноименных величин, а при

совместных — разноименных. Например, измерение, при котором

электрическое сопротивление резистора при температуре +20° С и его

температурные коэффициенты находят по данным прямых измерений

сопротивления и температуры, выполненных при разных температурах,

есть совместное измерение. А измерение, при котором массы отдельных

гирь набора находят по известной массе одной из них и по результатам

сравнения масс различных сочетаний гирь данного набора, — это

совокупное измерение.

Отмеченное различие обусловлено тем, что, совместные измерения

основываются на известных уравнениях, отражающих существующие в

природе связи между свойствами объектов, т. е. между величинами, а

совокупные — на уравнениях, отражающих произвольное комбинирование

объектов с измеряемыми свойствами. Поэтому совместные измерения

можно рассматривать как обобщение косвенных, а совокупные — как

обобщение прямых измерений. Следовательно, по физическому смыслу

измерения можно было бы делить только на прямые и косвенные.

Если иметь в виду различия в методах обработки экспериментальных

данных, то целесообразно различать три категории измерений: а) прямые,

б) косвенные, в) совместные и совокупные.

Измерения каждой из отмеченных категорий в зависимости от свойств

объекта исследования, принятой модели объекта и данного на ней

определения измеряемой величины, а также в зависимости от метода

измерения и свойств средств измерений выполняют либо с однократными,

либо с многократными наблюдениями. От числа наблюдений — много ли их

необходимо или достаточно одного-двух наблюдений для получения

результата измерения — зависит методика обработки экспериментальных

данных. Если измерение выполняют с многократными наблюдениями, то

для получения результата измерения приходится прибегать к

статистической обработке результатов наблюдений. Эти методы не

требуются в случае измерений с однократными наблюдениями. Поэтому

число наблюдений для нас является важным классификационным

признаком.

Измерения, выполняемые с однократными наблюдениями, условимся

называть обыкновенными измерениями, а измерения с многократными

наблюдениями — статистическими измерениями*

Косвенное измерение, при котором искомое значение каждой из

величин-аргументов находится в результате однократного наблюдения,

нужно считать обыкновенным измерением.

Совместные и совокупные измерения можно считать обыкновенными

измерениями, если при их выполнении число наблюде-

Приведенное определение статистических измерений охватывает измерения

параметров случайных процессов, при которых пользуются статистическими методами

обработки экспериментальных данных. В настоящее время эти измерения уже называют

статистическими. Смотри, например, обобщающий доклад Г. Я. Мирского и др.

«Измерения вероятностных характеристик случайных процессов (статистические

измерения)» в книге «IV Всесоюзная научно-техническая конференция по

перспективным направлениям развития электроприборостроения», ЦП и ЛОП

НТОприборпром, Л., 1975.

ний равно числу неизвестных, так что из получаемой системы уравнений

однозначно определяется каждое из неизвестных.

Обыкновенные и статистические измерения находятся в интересном диалектическом

противоречий. Статистическое измерение связано в общем случае с длительной процедурой

получения экспериментальных данных и их обработкой. Обыкновенное измерение выполняется

более быстро, и для практики оно предпочтительно. Поэтому и для тех случаев, когда

измеряемой величиной является, например, параметр случайного процесса и, казалось бы,

естественны многократные наблюдения, приборостроители стремятся создавать средства

измерений, способные выполнять все необходимые вычислительные операции и давать в итоге в

готовом виде оценку истинного значения измеряемой величины. Осуществление этой цели

приводит к тому, что статистическое измерение отмирает и заменяется обыкновенным. Однако

при совершенствовании прибора и повышении его чувствительности на известном этапе

обнаруживается либо пороговое несоответствие между моделью и некоторыми объектами, либо

большая случайная погрешность самого прибора, и тогда обычно вновь обращаются к

статистическим измерениям.

Измерения делят еще на статические и динамические. Придерживаясь

концепции, изложенной в работе [40], к статическим измерениям будем

относить измерения, при которых в соответствии с поставленной задачей

средства измерений применяются в статическом режиме; к

динамическим — при которых они применяются в динамическом режиме.

При этом под статическим режимом средства измерений следует

понимать режим, при котором выходной сигнал применительно к

назначению средства измерений можно считать неизменным. Например,

для показывающего прибора — неизменным в течение времени,

достаточного для отсчитывания его показания. Под динамическим режимом

будем понимать режим, при котором выходной сигнал изменяется во

времени так, что для получения результата измерения или для оценивания

его точности необходимо это изменение учитывать.

Согласно этим определениям, к статическим измерениям, кроме

тривиальных измерений длины, массы и т. п., относятся также измерения

показывающими приборами средних и действующих (средних

квадратических) величин переменного тока. К динамическим измерениям

относятся измерения последовательных значений величины, изменяющейся

во времени (в том числе стохастически). Типичным примером подобных

измерений является запись (регистрация) изменения величины во времени.

В этом случае логично считать, что производится не одно, а множество

измерений.

Другими примерами динамических измерений являются измерение

магнитного потока баллистическим методом [2]; измерение высокой

температуры некоторого объекта по начальному участку переходной

функции термопары, приведенной в контакт с объектом на короткое время

(при длительном контакте термопара разрушилась бы) [15].

К статическим измерениям нужно относить и измерения, выполняемые

с помощью показывающих цифровых приборов. В соответствии с

определением статических измерений для такого за-

ключения не имеет значения то, что при измерении в самом приборе

изменяется состояние элементов (триггеров, реле и т. п.). Измерение

останется статическим и тогда, когда показания прибора время от времени

будут изменяться, но каждое показание будет сохраняться в течение

времени, достаточного для его отсчитывания или автоматической

регистрации.

Характерным признаком динамических измерений является то, что

для получения результатов и оценивания их точности при этих измерениях

необходимо знать одну из полных динамических характеристик средств

измерений: дифференциальное уравнение, передаточную функцию и т. д.

(Динамические характеристики средств измерений кратко рассмотрены в

гл. 2).

Деление измерений на статические и динамические оправдано

различием в методах обработки экспериментальных данных. Однако в

настоящее время динамические измерения как раздел метрологии

находятся еще в стадии становления.

Важнейшей характеристикой качества измерений является их

точность. Материальной основой, обеспечивающей точность бесчисленных

измерений, выполняемых в народном хозяйстве, служат эталоны и

образцовые средства измерений. Точность каждого конкретного измерения

определяется точностью использованных средств измерений, примененным

методом измерений, а иногда и мастерством экспериментатора. Однако,

поскольку истинное значение измеряемой величины всегда неизвестно,

погрешности результатов измерений приходится оценивать расчетным

путем, теоретически. Эта задача решается по-разному, с разной точностью.

По точности оценивания погрешностей, введем следующую классификацию

измерений.

Измерения с точным оцениванием погрешностей — измерения, при

которых учитывают индивидуальные свойства средств измерений и

контролируют условия измерений.

Измерения с приближенным оцениванием погрешностей — измерения,

при которых учитывают нормативные данные о свойствах средств

измерений и приближенно оценивают условия измерений; наиболее

существенные влияющие величины иногда измеряют.

Измерения с предварительным оцениванием погрешностей —

измерения, при которых регламентированы типы (марки) применяемых

средств измерений, условия выполнения измерений и заранее оценены

погрешности. Заметим, что измерения с предварительным оцениванием

погрешностей часто называют техническими измерениями.

Приведенная классификация относится, естественно, и к

обыкновенным, и к статистическим, и к статическим, и к динамическим

измерениям.

Здесь нужно обратить внимание на одно обстоятельство,

справедливость которого будет ясна из дальнейшего. Представим себе, что

измерения с разной точностью оценивания погрешностей вы-

полняются с помощью одних и тех же средств измерений. Примечательно,

что при этом и результаты измерений получатся разной точности. Самым

точным будет результат измерения с точным оцениванием погрешностей.

Результат измерения с приближенным оцениванием погрешностей в

большинстве случаев будет точнее результата измерения с

предварительным оцениванием погрешностей, только в отдельных случаях

эти результаты могут оказаться равными по точности.

Во всех рассмотренных выше случаях измерения были направлены на

получение оценки истинного значения измеряемой величины, что,

собственно, и является задачей всякого измерения. Однако часто измерения

выполняют в процессе предварительного изучения явления. Такие

измерения будем называть предварительными.

Предварительные измерения направлены на выявление условий, при

которых некоторый признак явления можно наблюдать неоднократно и

изучать его закономерные связи с другими свойствами объекта, системы

объектов или с внешней средой. Поскольку установление и изучение

именно закономерных связей между объектами и явлениями составляет

предмет научного познания мира, предварительные измерения очень

важны. Так, Л. Бриллюэн, пишет, что первая задача физика, изучающего

какое-то явление, состоит в определении тех условий, при выполнении

которых данное явление можно наблюдать повторно в других

лабораториях, проверить и подтвердить [8].

Предварительные измерения, как видно из изложенных выше

концепций, необходимы для построения модели объекта. Поэтому

предварительные измерения очень важны и для метрологии.

Кроме предварительных измерений, по метрологическому назначению

можно выделить еще вспомогательные измерения. Вспомогательные

измерения — это измерения влияющих величин с целью определения и

внесения поправок в результаты наблюдений или измерений.

1-5. Классификация погрешностей измерений

В результате измерения физической величины с истинным значением А

получаем ее оценку А. По определению погрешность измерения

есть

разность

AA−=

Однако приведенное соотношение нельзя использовать для

нахождения погрешности измерения по той простой причине, что истинное

значение измеряемой величины всегда неизвестно;

если же его можно считать известным, то измерение не нужно*

. Поэтому

погрешности измерений приходится оценивать с использованием

косвенных данных.

Обязательными компонентами всякого измерения являются метод

измерения и средства измерений; очень часто измерения выполняются с

участием человека. Несовершенство каждого компонента измерения вносит

вклад в погрешность измерения. Поэтому в общем виде

лим

ζζζζ ++=

где

— погрешность методическая;

— погрешность инструментальная;

— погрешность личная.

Каждая из составляющих погрешности измерения в свою очередь

может вызываться рядом причин. Так, методические погрешности могут

возникать вследствие недостаточной разработанности теории тех явлений,

которые положены в основу измерения, и неточности тех соотношений,

которые используются для нахождения оценки измеряемой величины. В

частности, погрешность вследствие порогового несоответствия модели

конкретного объекта самому объекту является также методической

погрешностью.

Инструментальные погрешности измерения — погрешности из-за

несовершенства средств измерений. Обычно различают основную

погрешность средств измерений — погрешность в условиях, принятых за

нормальные, и дополнительные погрешности, т.е. погрешности,

обусловленные отклонением влияющих величин от их нормальных

значений. Погрешности средств измерений будут подробно рассмотрены в

гл. 2.

Личные погрешности. Обычно измерения выполняются людьми.

Человек отсчитывает показания приборов, фиксирует момент исчезновения

изображения нити накаливания на экране оптического пирометра и т. д.

Индивидуальные особенности лица, выполняющего измерения,

обусловливают появление индивидуальных, свойственных данному лицу

погрешностей. К ним относят погрешности из-за неправильного

отсчитывания десятых долей деления шкалы прибора, асимметричной

установки штриха оптического индикатора между двумя рисками и т. п.

Совершенствование конструкций отсчетных и регулировочных

устройств средств измерений привело к тому, что при применении

современных средств измерений личные погрешности обычно

незначительны; при применении, например, цифровых приборов они

вообще исчезают.

Исключение составляют измерения при поверке средств измерений. В этом случае

значение измеряемой величины должно быть известно с такой точностью, чтобы для

данной цели его можно было использовать вместо истинного значения этой величины.

Такое значение измеряемой величины называется действительным значением.

Приведенная классификация погрешностей измерении —

классификация по причинам возникновения погрешностей.

Другая важная классификация погрешностей измерений — это

классификация по их свойствам. В этом отношении различают погрешности

систематические и случайные.

Систематической погрешностью измерения называется составляющая

погрешности измерения, которая остается постоянной или закономерно

изменяется при повторных измерениях одной и той же величины.

Обнаруженная и оцененная систематическая погрешность исключается

из результата измерения путем введения поправки. Однако таким образом

полностью устранить систематическую погрешность не представляется

возможным, какая-то часть погрешности останется неустраненной, и тогда

эта остаточная погрешность будет, представлять собой систематическую

составляющую погрешности результата измерения.

Для того чтобы дать определение случайной погрешности измерения,

представим себе, что измерение какой-то величины выполнено несколько

раз. Если между результатами отдельных измерений имеются различия и

эти различия индивидуально непредсказуемы, а какие-либо присущие им

закономерности проявляются лишь на значительном числе результатов, то

погрешность, обусловленную таким рассеиванием результатов, называют

случайной погрешностью.

Деление погрешностей измерений на систематические и случайные

очень важно, так как эти составляющие по-разному проявляют себя, и их

оценивание требует разного подхода.

Если случайные погрешности обнаруживаются путем повторения

измерения одной и той же величины в одних и тех же условиях, то

систематическую погрешность измерения экспериментально можно

обнаружить либо сопоставлением данного результата с результатом

измерения этой же величины, но полученным другим методом, либо путем

использования более точных средств измерений. Однако обычно

систематические погрешности оценивают путем теоретического анализа

условий измерения, основываясь на известных свойствах средств

измерений.

Качество измерений, отражающее близость к нулю систематических

погрешностей результатов измерений, называют правильностью измерений.

Качество измерений, отражающее близость результатов измерений,

выполненных в одних и тех же условиях, называют сходимостью измерений.

Хорошая сходимость свидетельствует о малости случайных погрешностей.

Говоря о свойствах погрешностей, будем различать также грубые

погрешности и промахи. Грубой погрешностью называют погрешность,

существенно превышающую погрешность, оправданную условиями

измерения, свойствами примененных средств измерений, методом

измерения, квалификацией экспериментатора.