Рабинович С.Г. Погрешности измерений

Подождите немного. Документ загружается.

Такие погрешности могут возникать, например, вследствие резкого

кратковременного изменения напряжения в сети питания (если напряжение

в сети в принципе оказывает влияние на результаты измерений).

Грубые погрешности при статистических измерениях обнаруживают

статистическими методами и обычно исключают из рассмотрения.

Промахи — следствие неправильных действий экспериментатора. Это,

например, описка при записи результатов наблюдений, неправильно снятое

показание прибора и т. д. Промахи обнаруживают, нестатистическими

методами, и их следует всегда исключать из рассмотрения.

Погрешности измерений делят еще на статические и динамические.

Выше мы говорили о статических погрешностях. Динамические

погрешности — это погрешности измерений, обусловленные

инерционными свойствами средств измерений.

Если с помощью регистрирующего прибора осуществлена запись

изменяющейся величины, то разность полученной функции и

действительного процесса изменения регистрируемой величины во времени

(с учетом необходимых масштабных преобразований) представляет собой

динамическую погрешность данного динамического измерения. В этом

случае она также функция времени, и для каждого момента времени можно

определить мгновенную динамическую погрешность.

Теперь рассмотрим случай, когда процесс фиксируется путем

измерений его отдельных мгновенных значений. Ясно, что если за время

одного измерения изменение измеряемой величины незначительно, а

мгновенные значения процесса получены в известные моменты времени и

достаточно часто, то найденная в итоге совокупность точек дает картину

изменения измеряемой величины во времени с пренебрежимо малой

погрешностью. Таким образом, здесь не будет динамической погрешности.

Инерционные свойства прибора могут быть, однако, такими, что

изменения измеряемой величины за время измерения будут вызывать

определенную погрешность в результатах измерений

мгновенных значений.

В этом случае полученная совокупность мгновенных значений не будет

совпадать с процессом изменения измеряемой величины во времени и их

разность точно так же, как в случае с аналоговым самопишущим прибором,

даст динамическую погрешность. Соответственно погрешность измерения

отдельной мгновенной величины, обусловленную темпом изменения

измеряемой величины и инерционными свойствами средства измерений,

естественно назвать мгновенной динамической погрешностью.

Если измеряется какая-то одиночная мгновенная величина, например

амплитуда импульса, и измерение осуществляется специальным

показывающим прибором, то отличие формы импульса от той, при которой

прибор был отградуирован, вызовет в результате

измерения дополнительную погрешность. В свете изложенного ее можно

было бы назвать динамической погрешностью. Однако обычно, в таких

случаях избегают применять обобщенное наименование «динамическая

погрешность», а называют такую погрешность с указанием причины, ее

обусловившей. В данном примере рассмотренную погрешность естественно

назвать погрешностью из-за формы импульса. На практике форму импульса

характеризуют рядом параметров и с каждым из них связывают свою

составляющую погрешности.

Следует заметить, что по своим свойствам динамические погрешности

обычно являются систематическими погрешностями. При стохастических

процессах на входе средств измерений и динамические погрешности

приходится рассматривать как стохастические [25, 40].

1-6. Принципы оценивания погрешностей измерений

Погрешность измерения, как уже отмечалось, нельзя найти

непосредственно по ее определению, так как истинное значение измеряемой

величины неизвестно. Кроме того, погрешность измерения, найденная тем

или иным путем, перестает быть погрешностью, поскольку сейчас же

устраняется за счет внесения соответствующей поправки. Однако никакие

поправки не могут сделать результат измерения абсолютно точным, всегда

остается какая-то погрешность, какая-то неопределенность.

Задача оценивания погрешности результата измерения и состоит в

том, чтобы охарактеризовать неопределенность полученного результата.

Обычно это достигается указанием границ погрешности результата

измерения.

В связи с отмеченным метрологи Англии выступили с предложением

вместо термина «погрешность измерения» вообще пользоваться термином

«неопределенность измерения» [62, 63]. Но в смене терминов нет никакой

необходимости. Например, чтобы охарактеризовать зону неопределенности

результата, можно определить и указать границы зоны неопределенности,

или, что то же самое, границы погрешности результата. Оба выражения

эквивалентны и достаточно понятны. Термин «погрешность измерения»

привычен, и отказываться от него нет оснований.

При анализе систематических погрешностей измерений и их

оценивании необходимо различать погрешности, которые имеют место, но

остаются нам неизвестными, и те оценки этих погрешностей, которые мы

так или иначе находим. Полученное в результате анализа значение

погрешности является каким-то приближением к ее действительному

значению; это значение будем называть оценкой погрешности. Оцененные

систематические погрешности из результатов измерений устраняются, и

поэтому оценки

погрешностей обычно фигурируют лишь при промежуточных выкладках.

Неопределенность результата измерения чаще всего характеризуют

указанием границ погрешности результата измерения. Если эти границы

находят как отвечающие некоторой вероятности, то согласно ГОСТ 16263–

70 их называют доверительными границами погрешности результата

измерения или доверительной погрешностью. Если же границы

погрешности оценивают так, что есть основания утверждать, что

погрешность, выходящую за эти границы, встретить нельзя, то их

называют предельной погрешностью измерения. Естественно, что под

предельной погрешностью измерения понимается минимальная

погрешность, которую не могут превзойти погрешности данного

измерения.

Доверительную погрешность, вычисленную при таком уровне

вероятности, что ее можно принять за предельную, будем называть

практически предельной погрешностью.

Точность измерений должна соответствовать цели измерения.

Излишняя точность ведет к неоправданному расходу средств.

Недостаточная точность в зависимости от цели измерения может привести к

признанию годным в действительности негодного изделия, к принятию

ошибочных решений и т. д. Последствия подобных ошибок могут быть

разными: иногда это простая переделка простого изделия; иногда же, —

настоящая катастрофа. Из анализа всей совокупности подобных

противоречивых условий вытекает требующаяся точность измерений.

В метрологическом отношении измерения считаются тем лучшими,

чем меньше их погрешности. Однако полученные при измерении результаты

должны быть воспроизводимы, так как иначе результаты измерений теряют

свои объективный характер и, следовательно, теряют смысл.

Мерой допускаемой экспериментатором невоспроизводимости

полученного им результата измерения служит оцененная

экспериментатором погрешность измерения.

Правильно оцененные погрешности измерения позволяют сравнивать

полученный результат с результатами других авторов. Подтверждение

правильности данной оценки в дальнейшем, при повышении точности

измерения, является свидетельством высокой квалификации

экспериментатора.

Исходя из приведенных соображений в метрологии сложилось

правило оценивать погрешности измерений сверху, что можно

рассматривать как принцип оценивания погрешностей. Этот принцип

означает, что лучше преувеличить погрешность измерения, чем ее

приуменьшить: в первом случае снижается качество измерения, во втором

возможно полное обесценивание всего измерения.

При оценивании погрешностей на основе методов теории вероятностей

приведенный принцип осуществляется путем использования таких

вероятностей, которые практически позволяют считать принятое решение

достоверным.

Вместе с тем, поскольку погрешности измерений определяют лишь

зону недостоверности результатов, их не требуется знать очень точно. В

окончательной записи погрешность измерения принято выражать числом с

одной или двумя значащими цифрами. Две цифры удерживают при

наиболее точных измерениях, а также если цифра старшего разряда числа,

выражающего погрешность, равна трем или меньше трех. При

приближенном оценивании погрешности, если ее выражают числом с одной

значащей цифрой, то цифру 9 не применяют; две значащие цифры

сохраняют, если цифра старшего разряда меньше трех, при этом для

младшего разряда обычно применяют только цифру 5.

Нужно, однако, заметить, что при промежуточных выкладках для того,

чтобы погрешности округления не слишком искажали результаты, нужно

удерживать по три-четыре значащие цифры в зависимости от выполняемых

вычислительных операций.

1-7. Правила округлений

Числовое значение результата измерения должно быть представлено

так, чтобы оно оканчивалось десятичным знаком того же разряда, что и

значение его погрешности. Большее число разрядов не имеет смысла, так

как не уменьшит неопределенности результата, характеризуемого его

погрешностью. Меньшее же число разрядов, которое можно получить

путем дальнейшего округления числа, увеличило бы неопределенность

результата, затрубило бы его и тем самым сделало бы неоправданными те

мероприятия, которыми определялась точность измерения.

Округления при обработке результатов наблюдений и при записи

результатов измерений следует выполнять, руководствуюсь следующими

правилами:

1. Округлять результат измерения следует так, чтобы он оканчивался

цифрой того же разряда, что и значение его погрешности. Если десятичная

дробь в числовом значении результата измерения оканчивается нулями, то

нули отбрасывают только до того разряда, который соответствует разряду

числового значения погрешности.

2. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то

остающиеся цифры числа не изменяют. Лишние цифры в целых числах

заменяют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают.

Примеры. Числовое значение результата измерения 85,6342 при

погрешности в пределах ±0,04 следует округлить до 85,63. То же число при

погрешности в пределах ±0,012 следует округлить до 85,634.

Число 165 245 при сохранении четырех значащих цифр должно быть

округлено до 165 200, число 165,245 — до 165,2.

3. Если цифра старшего из отбрасываемых, разрядов больше или равна

5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю оставляемую

цифру увеличивают на единицу.

Примеры. При сохранении трех значащих цифр число 18 598

округляют до 18 600, число 152,56 — до 153.

4. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры

неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа не

изменяют, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная.

Примеры. Число 10,5 при сохранении двух значащих цифр

округляют до 10, число 11,5 — до 12.

Приведенные правила являются результатом выработанного практикой соглашения, и для

вычислений, выполняемых человеком, они были вполне удовлетворительными. Однако при

вычислениях с помощью вычислительных машин округление в зависимости от четности, или

нечетности последней сохраняемой цифры (п. 4) неудобно, так как усложняет расчеты. Было

внесено предложение отказаться от этого правила и последнюю сохраняемую цифру не

изменять независимо от того, четная она или нечетная. Это предложение, однако, не принято.

Основное возражение состоит в том, что подобные округления промежуточных результатов,

если их число велико, может привести к значительной смещенности окончательного результата.

Если руководствоваться приведенными выше правилами, то число

значащих цифр в числовом значении результата измерения дает

возможность ориентировочно судить о точности измерения. Для этого

нужно заметить, что предельная погрешность, обусловленная округлением,

равна половине единицы последнего разряда числового значения

результата измерения, а погрешность измерения может достигать двух

единиц предпоследнего и нескольких единиц последнего разряда.

Оценим влияние округления. Числовое значение результата измерения

представим в виде суммы

{

}

КККА 10...1010

⋅++⋅+⋅=

−

где

K , ... ,К

— десятичные цифры и

≠K

; r, р, s — целые числа, причем

r- р = s- 1.

Если погрешность обусловлена округлением, то абсолютная

предельная погрешность результата

⋅=∆

В качестве оценки относительной предельной погрешности можно

принять

−

⋅=⋅=

⋅

∆

110

так как деление абсолютной погрешности лишь на первый член суммы

{

}

ведет к увеличению числового значения оценки. Поскольку

≤≤ K

, то

нетрудно прикинуть, что при одной значащей цифре (s=1) предельная

погрешность округления

%50%6

≤

; при двух значащих цифрах

%5%6.0

≤

; при трех

%5.0%06.0

≤

и т. д. Таблица предельных погрешностей округлений для

всех

9,...,1

приведена Б. М. Щиголевым [61].

Полученные границы погрешностей показывают влияние округления

на погрешность результата измерения. Кроме того, эти данные позволяют

ориентироваться в минимальном необходимом для записи результата

измерения числе значащих

цифр при заданной точности

результата.

При обработке

результатов наблюдений, и в

особенности при оценивании

погрешностей, целесообразно

пользоваться методами и

формулами приближенных

вычислений [4].

1-8. Основные условные обозначения

Для обозначений измеряемых величин будем использовать буквы

латинского алфавита.

Погрешности будем обозначать буквами греческого алфавита.

Обозначения оценок величин будем отличать от обозначений истинных

значений величин добавлением знака ~ к соответствующему символу,

например

— оценка истинного значения А.

Среднее арифметическое будем обозначать с помощью черты над

соответствующим символом. Например,

— среднее арифметическое

полученных значений

(

)

nix

,...,1=

Кроме того, будем применять математические символы:

•

—

математическое ожидание, D — дисперсия.

Из обозначений, применяемых для конкретных понятий, приведем

следующие: р — вероятность наступления события,

— доверительная

вероятность, q — уровень значимости,

— дисперсия случайной

величины,

— среднее квадратическое отклонение.

Обозначения погрешностей, а также их границ приведены в табл. 1-1.

Таблица 1.1

Наименование

погрешности

Обозначение

погрешности

границы

погрешности

Систематическая

Случайная

Общая абсолютная

∆

Общая относительная

ГЛАВА ВТОРАЯ

СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ СВОЙСТВА

2-1. Классификация средств измерений

Современные средства измерений делят на меры, измерительные

преобразователи, измерительные приборы, измерительные установки и

измерительные системы.

Мера — средство измерений, воспроизводящее физическую величину известного размера.

Примеры мер: гири, измерительные резисторы, измерительные конденсаторы.

Различают однозначные меры, многозначные меры и наборы мер. Примерами

многозначных мер могут служить линейки с делениями, измерительные рулетки, магазины

резисторов и т. д.

Наряду с многозначными мерами, воспроизводящими дискретные значения величин,

существуют многозначные, меры с непрерывным воспроизведением величин в некотором

диапазоне, например измерительный конденсатор переменной емкости. Точность мер с

непрерывным интервалом обычно ниже точности мер с дискретными значениями

воспроизводимых величин.

При измерениях с использованием мер сравнивают измеряемые величины с известными

величинами, воспроизводимыми мерами. Сравнение осуществляется разными путями, но

специфическим средством сравнения величин являются так называемые компараторы. Примером

наиболее распространенных компараторов служат обычные равноплечные чашечные весы.

В некоторых случаях роль компаратора может выполнять человек. Так, при измерении

длины тела с помощью линейки последняя накладывается на это тело и благодаря зрительному

восприятию наблюдатель фиксирует те деления линейки (и их доли), с которыми совпадают

соответствующие точки тела.

Измерительный преобразователь — средство измерений, предназначенное для

преобразования сигналов измерительной информации в форму, целесообразную для передачи,

обработки или хранения. Измерительная информация на выходе измерительного

преобразователя, как правило, недоступна для непосредственного восприятия наблюдателем.

Нужно различать измерительные преобразователи и преобразовательные элементы

сложного прибора. Первые представляют собой средства измерений и как таковые имеют

нормируемые метрологические свойства (см. ниже). Вторые же не имеют самостоятельного

метрологического значения и отдельно от того прибора, в который они входя г, не применяются.

Измерительные преобразователи очень разнообразны. Это термопары, термометры

сопротивлений, измерительные шунты, измерительные электроды рН-метров и т. д.

Измерительные трансформаторы тока или напряжения, измерительные усилители — тоже

измерительные преобразователи. Но для этой группы преобразователей характерно то, что у них

сигналы на входе и выходе представляют собой физическую величину одного и того же вида,

изменяется лишь ее размер. Поэтому эти измерительные преобразователи называют

масштабными измерительными преобразователями.

Измерительный прибор — средство измерений, предназначенное для преобразования

сигналов измерительной информации в форму, доступную для непосредственного восприятия

наблюдателем.

По устройству входных цепей измерительные приборы так же разнообразны, как

измерительные преобразователи, и трудно обозреть все их многообразие. К тому же подобный

обзор и даже классификация более важны для конструирования приборов, чем для описания их

общих свойств.

Общим для всех измерительных приборов является наличие отсчетных устройств. Чаще

всего последние выполняются в виде шкалы и указателя-стрелки. В этом случае показания

прибора являются непрерывной функцией измеряемой величины. Такие приборы называют

аналоговыми.

В последние годы все большее распространение получают приборы, автоматически

вырабатывающие дискретные сигналы измерительной информации. Показания этих приборов

имеют цифровую форму, и их называют цифровыми.

Формально под приведенное определение цифровых приборов подпадают как

автоматические цифровые вольтметры, мосты и тому подобные приборы, так и индукционные

счетчики электрической энергии. Однако у названных приборов большая часть измерительных

преобразований осуществляется в дискретной форме, а у индукционных счетчиков все

измерительные преобразования сигналов протекают в аналоговой форме, и лишь выходной

сигнал принимает дискретную форму. Преобразования измерительной информации в

дискретной форме обладают рядом специфических особенностей. Поэтому в настоящее время

обычно под цифровыми приборами понимают только те приборы, в которых измерительные

преобразования происходят в дискретной форме.

Показания цифровых приборов легко фиксируются и удобны для введения в ЦВМ. Кроме

того, обычно их устройство позволяет получать существенно большую точность, чем та, которая

доступна для аналоговых. К тому же при применении цифровых приборов отсутствует

погрешность отсчитывания показаний. Однако аналоговые приборы значительно проще

цифровых, поэтому надежнее и дешевле. Кроме того, при их применении легче судить о

тенденциях изменения измеряемых величин.

В ряде случаев измерительные приборы конструируют так, чтобы осуществлялась

регистрация их показаний. Такие приборы называют регистрирующими.

Регистрация может осуществляться в виде непрерывной записи изменения величины во

времени или в виде ряда точек этой зависимости. Такие регистрирующие приборы принято

называть самопишущими. Регистрация может также осуществляться путем печатания показаний

прибора в цифровой форме. Такие приборы называют печатающими.

Иногда измерительные приборы снабжают индукционными, фотооптическими или

контактными устройствами и реле в целях управления или регулирования. Подобные приборы

называют регулирующими. Приспособления для регулирования стремятся конструировать так,

чтобы они не снижали точность измерительного прибора. Однако это удаётся редко.

К измерительным приборам принято относить и компараторы для сравнения мер и

нулевые индикаторы, например гальванометры. Возможно, это объясняется тем, что компаратор

с набором мер становится измерительным прибором сравнения, а гальванометр можно

использовать как высокочувствительный показывающий прибор.

Измерительная установка — совокупность функционально и конструктивно

объединенных средств измерений и вспомогательных устройств, предназначенная для

рациональной организации измерения.

Измерительная установка позволяет предусмотреть определенный метод измерения и

заранее оценить погрешность измерений.

Измерительная система — совокупность функционально объединенных средств

измерений и вспомогательных устройств, соединенных между собой каналами связи,

предназначенная для преобразования сигналов измерительной информации в форму, удобную

для автоматической обработки, передачи, использования в автоматических системах управления

и (или) доступную для непосредственного восприятия наблюдателем.

Классическим примером измерительных систем являются телеизмерительные системы. В

энергетике обычно в телеизмерительных системах используют проводную связь.

Телеизмерительные системы космических аппаратов, естественно, построены с использованием

радиосвязи.

Приведенное выше определение измерительной системы взято из ГОСТ 16263–70. В

учебных пособиях по специальности информационно-измерительная техника» измерительные

системы рассматриваются как частный случай измерительных информационных систем.

Последние в свою очередь считаются разновидностью информационных систем [57]. К

измерительным информационным системам, кроме измерительных, относят также системы

автоматического контроля, системы технической диагностики и системы опознавания образов.

Объединение перечисленных систем в одну категорию технических средств отражает

общность их устройства, но из приведенного в работе [57] определения этого не видно: «под

измерительными информационными системами понимаются системы, предназначенные для

автоматического получения количественной информации непосредственно от изучаемого

объекта путем измерения и контроля, обработки этой информации и выдачи ее в виде

совокупности именованных чисел, высказываний, графиков и т. д., отражающих состояние

объекта».

Измерительная система определена в работе [57] как средств измерений, предназначенное

для автоматического сбора и обработки измерительной информации.

Как видно из приведенного выше, измерительные информационные системы несут, кроме

измерительных, еще и другие функции. Поэтому они, по существу, представляют собой нечто

большее, чем только средство измерений, и естественно, что в их общем названии эта

особенность отражена дополнительным словом. Затруднение вызывает, однако, определение

измерительных систем как разновидности измерительных информационных систем.

Измерительная система является средством измерений, но признаки, отграничивающие ее от

других видов средств измерений, в работе [57] не выявлены. Если считать, что слова «сбор

информации» в определении системы говорят о ее пригодности к измерению нескольких

величин, то этим качеством может обладать и измерительная установка. То же самое можно

сказать и относительно автоматизации сбора, а также обработки измерительной информации.

Иногда признаком для выделения измерительных систем считают признак их построения

из блоков, выпускаемых как законченные изделия и имеющих нормированные метрологические

свойства. Однако ясно, что и простой прибор, например, амперметр, можно собирать из

отдельных блоков, а их свойства — нормировать, но из-за этого измерительный прибор

называть измерительной системой не следует.

По мнению автора, термин «измерительная система» нужно понимать в том смысле, как он

определен в ГОСТ 16263–70. Подчеркнутые этим определением особенности, и прежде всего

наличие канала связи, отграничивают измерительные системы от других видов средств

измерений и по устройству и по применению. Попутно следует заметить, что устройство для

измерений нескольких величин может быть и измерительной установкой и измерительной

системой в зависимости от отсутствия или наличия канала связи. Особенности же, связанные с

множеством входных величин, можно учесть введением в эти термины слова, говорящего о

централизации измерений, например централизованная измерительная установка и

централизованная измерительная система.

Наконец, нужно отметить, что целесообразно различать измерительные системы, все

блоки которых должны в соответствии с назначением системы находиться в одних и тех же

условиях, и системы, блоки которых должны находиться в разных условиях. Первые назовем

однородными, вторые — неоднородными измерительными системами. Эта классификация

облегчает рассмотрение вопросов метрологического обеспечения измерительных систем и

расчета их погрешностей.

2-2. Метрологические характеристики средств

измерений

Под метрологическими характеристиками будем понимать такие

характеристики средств измерений, которые позволяют судить об их

пригодности для измерений в известном диапазоне с известной точностью.

Метрологической характеристикой, свойственной всем видам средств

измерений, кроме одиночных мер, является диапазон измерения

(преобразования — для измерительных преобразователей). Для мер

аналогичную роль играет номинальное значение воспроизводимых ими

величин.

Внутри диапазона измерения связь между сигналами на входе и

выходе средств измерений определяется функцией преобразования. У

показывающих приборов функция преобразования фиксируется шкалой.

Функция преобразования также является метрологической характеристикой

измерительного преобразователя.

Действительные свойства средств измерений не совпадают с

номинальными. Их различие определяет погрешности средств измерений.

Погрешности средств измерений и нормы для этих погрешностей относятся

к числу наиболее важных метрологических характеристик средств

измерений.

Погрешности средств измерений выражают не только в форме

абсолютных и относительных погрешностей, принятых для оценивания

погрешностей измерении, но и в форме приведенных погрешностей.

Под приведенной погрешностью понимается отношение абсолютной

погрешности средства измерений к некоторому нормирующему значению.

Последнее устанавливается стандартами на отдельные виды средств

измерений. Для показывающих приборов, например, нормирующее

значение устанавливается в зависимости от особенностей и характера

шкалы (см. § 2-3). Благодаря применению приведённых погрешностей

можно сравнивать по точности средства измерений, имеющие разные

пределы измерений, если абсолютные погрешности каждого из них в

принципе не зависят от номинального значения измеряемой величины.

Например, можно сравнивать точность амперметров с пределами

измерений 0–1 и 0–100 А.

Кроме того, встречаются случаи, когда погрешности показывающих

приборов выражают определенным числом делений шкалы.

Поскольку свойства средств измерений зависят от внешних условий,

то и их погрешности также от них зависят. Поэтому погрешности средств

измерений принято делить на основные и дополнительные.

Основной погрешностью называется погрешность средств измерений в

условиях, которые определены нормативно-техническими документами как

нормальные для данных средств измерений.

Под дополнительными погрешностями понимается изменение

погрешности средств измерений вследствие отклонения влияющих величин

от нормальных значений или выхода их за пределы нормальных областей

значений. Для измерительных приборов вместо дополнительных

погрешностей принято определять изменения показаний.

Погрешность средства измерений может иметь и систематическую, и

случайную составляющую.

Систематические составляющие вызываются неточным нанесением

отметок на циферблат, изменением со временем упругих свойств пружины,

создающей противодействующий момент, неточной подгонкой

сопротивлений резисторов и т. д.