Рабинович С.Г. Погрешности измерений

Преобразуем это неравенство так, чтобы оно определяло

вероятность того, что отклонение случайной величины от ее

истинного значения меньше

. Кроме того, в качестве случайной

величины будем рассматривать среднее арифметическое

. После

простых преобразований получим

tAxP −≥













≤−

Оценку дисперсии результатов наблюдений можно найти,

воспользовавшись исходной формулой (3-8):

2222

)(])[(][ MXMXAXMxD −=−==σ

Приняв за оценку математических ожиданий величин их

средние арифметические, получим

−=

∑

Коэффициент t вычисляется по заданной доверительной

вероятности

из соотношения

/11 t−=α

, которое дает

α−

Если распределение случайных погрешностей можно считать

симметричным относительно А, то доверительный интервал можно

несколько сузить [29], пользуясь неравенством

tAxP ⋅−≥













≤−

Теперь

α−

К сожалению, построенные на основе неравенства Чебышева

доверительные интервалы являются приближенными, так как при

этом не учтено изменение вероятности из-за замены среднего

квадратического отклонения его оценкой. С ростом числа

наблюдений эта погрешность снижается.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

4-1. Классификация систематических погрешностей

Учет и устранение систематических погрешностей составляет

важнейшую задачу каждого точного измерения. Между тем в теории

погрешностей систематическим погрешностям до последнего времени

уделяется мало внимания. По существу, состояние теории этого раздела

метрологии полностью определяется трудом М. Ф. Маликова [36].

Большинство авторов книг, посвященных методам обработки наблюдений,

вопрос о систематических погрешностях или не поднимают, или делают

оговорку, что эти погрешности предполагаются исключенными.

Однако в действительности полностью исключить систематические

погрешности мы не можем, всегда остаются какие-то неисключенные остатки.

Эти остатки и нужно учесть, чтобы оценить границы неисключенной

систематической погрешности результата, определяющие его

систематическую погрешность.

Кроме того, многие измерения выполняют без специальных мер для

исключения систематических погрешностей, так как либо априори известно,

что они достаточно малы, либо условия измерения не позволяют их

устранить. Например, измеряется масса тела и к используемым гирям

поправки не вносятся или потому, что они малы, или потому, что

действительные значения массы гирь неизвестны (известны лишь границы их

погрешностей).

Иногда неисключенные остатки систематических погрешностей относят к

случайным погрешностям на том основании, что их значения нам

неизвестны, С такой точкой зрения согласиться нельзя. Относя погрешности к

систематическим или случайным, нужно ориентироваться на их свойства, а не

на то, знаем мы их значения или нет. Поэтому в результате измерения

неисключенный остаток систематической погрешности остается

систематической погрешностью.

Например, измеряется сопротивление резистора и вносится поправка на

влияние температуры. Систематическая погрешность была бы устранена, если

бы мы точно знали температурные коэффициенты резистора и температуру. И

то и другое мы знаем с ограниченной точностью, и поэтому полностью

данную погрешность не устраним, останется ее неисключенный остаток.

Он может быть малым или большим, это мы можем и должны оценить, но

его действительное значение остается неизвестным. Тем не менее эта

остаточная погрешность имеет какое-то определенное значение,

остающееся постоянным при повторении измерения в тех же условиях, и

поэтому является систематической.

Устраненные погрешности — уже не погрешности. Поэтому, как уже

было отмечено, под систематической погрешностью измерения нужно

понимать и неисключенный остаток систематической погрешности, если им

нельзя пренебречь. Часто в погрешность результата измерения входит ряд

неисключенных остатков систематических погрешностей, и при

оценивании погрешности результата нужно учитывать их совместное

действие.

Выделение систематических погрешностей, т. е. разделение

погрешностей на систематические и случайные, имеет большое значение,

но не всегда легко осуществимо. Например, нужно найти площадь диска, и

для этого измеряют его диаметр. Допустим, что объект — диск — имеет не

точно форму круга, но по определенным соображениям в качестве оценки

диаметра диска принимают среднее нескольких значений этого параметра,

измеренных в разных направлениях (так введена модель объекта и

определено истинное значение измеряемой величины). Вычисленная на

основе полученной оценки диаметра и принятой модели объекта площадь

диска, несомненно, не совпадает с ее истинным значением, т. е. имеет

погрешность.

Если повторно измерить диаметр диска в тех же направлениях, т. е.

между теми же точками, что и в первый раз, то будут получены прежние

результаты (в мысленном эксперименте мы не учитываем погрешности

средств измерений) и, следовательно, мы получим прежнее значение

площади диска. При этом погрешность результата измерения надо считать

систематической. Если же повторное измерение диаметра выполнить в

других направлениях, то получим несколько отличающиеся результаты и

погрешность измерения надо считать квазислучайной (см. § 3-1).

Приведенный пример показывает, что в зависимости от способа

выполнения одного и того же измерения погрешность результата может

быть как систематической, так и случайной.

Перейдем к классификации систематических погрешностей. При

этом будем опираться на классическую работу М. Ф. Маликова и, следуя

ей, различать систематические погрешности по их источникам и по

свойствам.

Источниками систематических погрешностей могут быть три

компонента измерения: метод измерения, средства измерений и

экспериментатор. Соответственно этому принято различать

систематические погрешности методические, инструментальные и личные.

Методические погрешности возникают из-за несовершенства метода

измерения, из-за ограниченной точности формул, примененных для

описания тех явлений, которые положены в основу измерения. К

методическим же погрешностям будем относить погрешности вследствие

влияния средств измерений на объект, свойство которого измеряется,

Например, вольтметр магнитоэлектрической системы по принципу

действия потребляет ток из цепи измерения. Вследствие падения

напряжения на внутреннем сопротивлении источника измеряемого

напряжения на зажимах вольтметра напряжения будет меньше

измеряемого. Показания же вольтметра пропорциональны напряжению на

его зажимах. Возникающая погрешность — методическая — при

правильно поставленном измерении должна быть незначительной.

Методическая погрешность может возникать и в связи с приемами

использования средств измерений.

Коэффициент усиления усилителя напряжения определяется путем

измерения напряжений на входе и выходе. Если эти напряжения измеряют

поочередно одним и тем же вольтметром, как это часто делают на

практике, то, помимо погрешности вольтметра, в погрешность измерения

войдет погрешность из-за неконтролируемого изменения напряжения на

входе усилителя за время переключения вольтметра и измерения

напряжения на выходе (или наоборот). Этой погрешности нет при

использовании двух вольтметров. При измерении одним вольтметром зато

уменьшается влияние погрешности вольтметра.

Заметим, что погрешность из-за порогового несоответствия модели и

объекта также относится к методическим погрешностям.

Инструментальные систематические погрешности —

погрешности, вызываемые несовершенством средств измерений.

Классическим примером рассматриваемых погрешностей являются

погрешности измерительного прибора, вызванные неточной градуировкой

его шкалы; погрешность резистивного делителя напряжения из-за

неточной подгонки сопротивлений его резисторов.

Другую группу рассматриваемых погрешностей составляют

дополнительные и динамические погрешности. Эти погрешности также

зависят от несовершенства средств измерений, но проявляются под

действием влияющих величин, неинформативных параметров входного

сигнала и под влиянием изменения измеряемой величины. Чаще всего

дополнительные и динамические погрешности являются

систематическими погрешностями. Однако при нестабильности влияющих

величин и формы входного сигнала они могут стать случайными.

Разновидностью инструментальных погрешностей являются

установочные погрешности, т. е. погрешности, обусловленные

расположением средств измерений и их взаимным влиянием.

Личные систематические погрешности — систематические

погрешности, связанные с индивидуальными особенностями наблюдателя.

При применении современных средств изменений личные погрешности обычно незначительны.

Однако не потеряло значения обобщение исследований органов чувств людей в связи с их

влиянием на результаты измерений, выполненное М. Ф. Малиновым [36]. В частности,

представляют интерес сведения о погрешностях отсчитывания показаний стрелочных приборов. В

основном они сводятся к следующему.

Систематические погрешности, которые делает каждый наблюдатель при оценивании десятых

долей деления шкалы прибора, могут достигать 0,1 деления и во много раз превышают случайные

погрешности. Эти систематические погрешности проявляются в том, что для разных десятых долей

деления разным наблюдателям свойственны различные частоты оценок, причем каждый наблюдатель

сохраняет присущее ему распределение в течение длительного времени. Так, один наблюдатель

чаще, чем следует, относит показания к линиям, образующим края деления, и к значению 0,5

деления. Другой — к значениям 0,4 и 0,6 деления. Третий предпочитает значения 0,2 и 0,8 и

т. д. Десятые доли, симметрично расположенные в промежутке между отметками, оцениваются

одинаково часто.

Средняя погрешность оценок десятых долей делений зависит от толщины отметок-линий,

образующих шкалу. Оптимальной толщиной этих отметок можно считать 0,1 длины деления. Длина

деления существенно влияет на погрешность отсчитывания десятых долей. Шкалы приборов, которые

могут применяться с отсчитыванием десятых долей деления, обычно делают с длиной деления около

одного миллиметра (не менее 0,7 и не более 1,2 мм).

Приведенные данные основаны на известной работе X. Бэкстрема «Ошибки наблюдателя при

отсчитывании по шкалам измерительных приборов» (Пер. с нем. под. ред. Б. Н. Зимина. М.—Л.,

«Стандартизация и рационализация», 1934), в которой описано исследование с помощью бланков с

начерченными на них линиями, имитирующими деление шкалы и указатель прибора. Хотя реальные

отсчетные устройства приборов существенно отличаются от плоского рисунка, полученные

результаты не вызывают возражений. В целом, имея в виду случайно взятого наблюдателя,

распределение систематических погрешностей отсчитывания десятых долей деления множеством

наблюдателей можно считать равномерным с границами ±0,1 деления.

Интересно отметить, что составляющие случайной погрешности

обычно не выделяются. Вызвано это, по-видимому, тем, что случайная

погрешность измерения, как правило, оценивается по экспериментальным

данным и сразу вся, а систематическая погрешность — по составляющим.

Различают постоянные систематические погрешности и

систематические погрешности, закономерно изменяющиеся. Последние, в

свою очередь, подразделяют на прогрессирующие, периодические и

изменяющиеся по сложному закону.

Постоянная систематическая погрешность — погрешность,

остающаяся неизменной и поэтому повторяющаяся при каждом

наблюдении или измерении. Такая погрешность будет, например,

присутствовать в измерениях, выполняемых с использованием одних и тех

же мер, имеющих систематическую погрешность: гирь, резисторов и т. д.

К постоянным можно отнести и личные погрешности опытных

экспериментаторов (у неопытных они обычно носят характер случайных).

Прогрессирующие погрешности — погрешности, во время измерения

все время возрастающие или убывающие. Такие погрешности вызывает,

например, изменение рабочего тока потенциометра из-за падения

напряжения питающего его аккумулятора.

Периодические погрешности — погрешности, меняющиеся с

определенным периодом.

В общем случае систематическая погрешность может меняться по

сложному непериодическому закону.

Для систематических погрешностей типичны и поэтому наиболее

существенны постоянные погрешности. Их в свою очередь будем разделять

на условно постоянные и безусловно постоянные.

Условно постоянные систематические погрешности — это

погрешности, которые при каждом наблюдении в пределах данного

измерения остаются неизменными, но могут быть разными при разных

измерениях одной и той же величины данным методом. Такая погрешность

будет, например, присутствовать в измерениях, выполняемых с

использованием одних и тех же мер, имеющих систематическую

погрешность: гирь, резисторов и т. д. При измерениях с другими мерами

номинально той же точности эта погрешность будет другой. К условно

постоянным можно отнести и личные погрешности опытных

экспериментаторов (у неопытных они обычно носят характер случайных

погрешностей).

Безусловно постоянные систематические погрешности — это

погрешности, которые остаются неизменными при любом измерении данной

величины данным методом с заданной точностью. Примером может служить

погрешность, обусловленная неточностью формулы, принятой для

определения измеряемой величины. Безусловно постоянных

систематических погрешностей редко бывает больше одной-двух. При

подготовке к измерениям обычно добиваются того, чтобы их можно было

считать малыми. Но при апостериорном анализе результатов измерений

одной и той же величины, выполненных разными методами, исходя из

разных предпосылок иногда удается обнаружить наличие таких

погрешностей. Их выявление ведет к уточнению представлений об объекте

исследования, переопределению его модели и тому подобным

принципиальным результатам.

4-2. Обнаружение и устранение

систематических погрешностей

Обнаружение систематических погрешностей представляет собой

сложную задачу. Особенно трудно обнаружить постоянную

систематическую погрешность. Для решения задачи в этом случае

целесообразно выполнить измерение несколькими, хотя бы двумя,

принципиально разными путями. Этот способ является в конечном счете

решающим. Часто он осуществляется путем сравнения результатов

измерения одной и той же величины, полученных разными

экспериментаторами в разных лабораториях.

Изменяющиеся систематические погрешности обнаружить легче. Для

этого можно использовать статистические методы, в частности методы

Стьюдента, Фишера и Аббе (см, гл. 3), а также корреляционный и

регрессионный анализ [1]. Но не следует избегать и нематематических

возможностей. Так, в процессе выполнения измерения полезно пользоваться

графиком, на который наносят результаты наблюдений в той

последовательности, в какой они были получены. Общая картина

расположения полученных точек позволяет обнаружить наличие

систематического

изменения результатов наблюдений без математического анализа.

Способность человека улавливать подобные закономерности в метрологии

широко используется, хотя в настоящее время это свойство людей, по-

видимому, изучено еще плохо [53].

Если обнаружено закономерное изменение результатов наблюдений и

известно, что измеряемая величина при этом не изменялась, это

свидетельствует о наличии закономерно изменяющейся систематической

погрешности.

Полезно также одну и ту же величину измерить двумя разными

приборами или взамен неизвестной величины измерить известную.

В принципе для обнаружения (и нахождения оценки) систематической

погрешности какого-то измерения можно это же измерение выполнить с

параллельным применением более точных средств измерений.

Применение такого способа оправдано при изучении новых средств

измерений, которые разрабатываются не для повышения точности, а ввиду

других своих качеств.

Если обнаружено наличие систематической погрешности, то обычно

удается ее оценить и устранить. Однако при точных измерениях это часто

вызывает большие трудности и даже не всегда возможно.

В большинстве областей измерений известны важнейшие источники

систематических погрешностей и разработаны методы измерений,

исключающие возникновение этих погрешностей или устраняющие их

влияние на результат измерения. Иными словами, устранение

систематических погрешностей осуществляется не путем математической

обработки экспериментальных данных, а применением соответствующих

методов измерений. Анализ методов измерений, их систематизация и

обобщение представляют собой весьма актуальную задачу, но выходящую

за рамки проблем обработки экспериментальных данных, которым

посвящена данная книга. Поэтому мы ограничимся лишь кратким обзором

наиболее распространенных общих методов решения этих задач.

Устранение постоянных систематических погрешностей. Метод

замещения. Этот метод дает наиболее полное решение задачи. Он

представляет собой разновидность метода сравнения, когда сравнение

осуществляется путем замены измеряемой величины известной величиной

и так, что при этом в состоянии и действии всех используемых средств

измерений не происходит никаких изменений.

Рассмотрим, например, взвешивание по способу Борда [36]. Метод

направлен на устранение погрешности из-за неравноплечности весов.

Пусть х — измеряемая масса, Р — масса уравновешивающих гирь,

— длины плеч коромысла весов. Измерение осуществляется следующим

образом. Сначала взвешиваемое тело помещается на одну из чашек весов и

весы уравновешиваются с помощью тары с массой Т. При этом

Затем, сняв груз кассой х, на освободившуюся чашку помещаем гири

такой массы Р, чтобы вновь получить равновесие весов:

Поскольку правые части обоих равенств одни и те же, то равны и

левые, т, е. х=Р, и то, что

ll ≠

, на результат не влияет.

Аналогично можно поставить измерение сопротивления резистора,

располагая чувствительным, но неточным мостом и точным магазином

сопротивлений, и измерение ряда других величин.

Метод противопоставления. Этот метод измерений является

разновидностью метода сравнения, при котором измерение выполняется с

двумя наблюдениями, проводимыми так, чтобы причина постоянной

погрешности оказывала разные, но известные по закономерности

воздействия на результаты наблюдений.

Примером данного метода служит способ взвешивания Гаусса.

Сначала взвешиваемый груз уравновешиваем гирями

. Сохраняя

обозначения предыдущего примера, имеем

x =

Затем переставляем груз на ту чашку, где были гири, и вновь

уравновешиваем весы. Теперь получаем

x =

Из этих двух равенств исключаем отношение

ll и находим

PPx =

Метод компенсации погрешности по знаку. Этот метод

предусматривает измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так,

чтобы постоянная систематическая погрешность в результат каждого из

них входила с разными знаками.

Например, рассмотрим измерение э. д. с. х с помощью потенциометра

постоянного тока, имеющего паразитную термо-э. д. с. Выполнив одно

наблюдение, получаем

. Затем переключаем полярность измеряемой

э. д. c., изменяем направление рабочего тока в потенциометре и вновь

уравновешиваем измеряемую э. д. с. Получаем

. Если термо-э. д. с. дает

погрешность

ϑ+= xE

, то

ϑ−= xE

. Отсюда

Устранение прогрессирующих систематических погрешностей.

Простейшим, но частным случаем прогрессирующей погрешности является

погрешность, изменяющаяся по линейному закону, например

пропорционально времени.

Такой характер имеет погрешность измерения напряжения с

помощью потенциометра, если происходит заметное падение напряжения

аккумулятора, создающего рабочий ток. Формально, если известно, что

рабочий ток потенциометра изменяется линейно во времени, то для

устранения возникающей погрешности достаточно двух наблюдений,

выполненных с фиксацией времени после регулировки рабочего тока по

нормальному элементу. Пусть

KtxE +=

где

— интервалы времени между регулировкой рабочего тока и

наблюдениями, К — коэффициент пропорциональности между

погрешностью измерения и временем,

— результаты наблюдений.

Отсюда

1221

tEtE

−

Однако при точных измерениях целесообразно пользоваться

несколько более сложным методом симметричных наблюдений. Сущность

этого метода состоит в том, что несколько наблюдений выполняют через

равные промежутки времени и затем вычисляют средние арифметические

симметрично расположенных наблюдений. Теоретически все эти средние

должны быть равны, и это предоставляет возможность контролировать ход

эксперимента, а также устранять эти погрешности.

При более сложных закономерностях изменения погрешностей

методы их устранения усложняются, однако знание этих закономерностей

всегда позволяет решить задачу. Если же закономерность настолько

сложна, что ее выявление или нецелесообразно, или не удается, то

представляется возможным свести систематические погрешности к

случайным, сделать их квазислучайными. Для этого нужно выполнить ряд

наблюдений, располагая их так, чтобы погрешности наблюдений были

самыми разнообразными и похожими на случайные. Однако этот прием

менее эффективен, чем выявление погрешности и ее прямое устранение.

Перечисленные методы не исчерпывают всех возможностей

устранения систематических погрешностей. Так, для устранения из

результата измерения систематической погрешности средства измерений

измерение можно выполнять не одним, а одновременно несколькими

приборами (при условии, что погрешности приборов некоррелированы).

Принимая за результат измерения определенную комбинацию показаний

всех приборов, можем получить,

Рабинович С.Г. Погрешности измерений

Подождите немного. Документ загружается.