Рабинович С.Г. Погрешности измерений

Подождите немного. Документ загружается.

Недопустимо большими погрешностями по условию являются

погрешности, отвечающие неравенствам

∆+≤∆−≤

вн

ζζ , .

(9-13)

Возьмем пару составляющих

θ и

мi

θ и найдем такую точку на шкале

прибора

y , чтобы при

yy > было возможно выполнение одного из неравенств

(9-13). Целесообразно одновременно рассматривать только положительные или

только отрицательные составляющие.

С учетом приведенных выше соображений относительно выделения

случайных погрешностей неравенства (9-13) при этом примут вид ψϑθ −∆≥+

мyiaj

при положительных

θ и

мi

θ и вид ψϑθ +∆−≤+

мyiaj

при отрицательных

составляющих. Здесь

мiмyi

θϑ = .

Решение неравенств дает













+−∆

≥













−−∆

≥

мi

θψ

(9-14)

Таким образом, участок шкалы, где возможно появление недопустимо

больших погрешностей для каждой пары составляющих, равен

ijк

yy − .

3. Вычислим вероятность изготовления прибора с погрешностью,

меньшей заданного предела.

Вероятность одновременного появления выбранной пары составляющих

мi

θ , поскольку они независимы, равна

ajмi

ppp = .

(9-15)

Вероятность того, что выбранная аддитивная составляющая

θ окажется

на участке шкалы

ijк

yy − , определяется по одной из двух функций

(

)

yf и равна

()

∫

−

ijк

dyyfp .

Отсюда находим вероятность появления прибора с недопустимо большой

погрешностью при выбранных

мi

θ и

θ :

()

∫

−

ijк

ajмiij

dyyfppp

(9-16)

Каждой паре составляющих отвечает своя вероятность

p . Расчет надо

вести отдельно для положительных и для отрицательных

пар составляющих, так как в приведенной схеме вычислений отдельно

учитывается левая и правая ветвь функции распределения результирующей

систематической погрешности приборов.

Если мы рассматривали положительные составляющие

мi

θ и

θ , то для

отрицательных расчет нужно повторить: при несимметричной функции

(

)

f ϑ или

(

)

f θ и неравенстве

(

)

(

)

yfyf

θθ −+

≠ положительным и

отрицательным погрешностям будут соответствовать разные вероятности.

Но если функции симметричны, а

(

)

(

)

yfyf

θθ −+

= , то можно сократить

вычисления, принимая

()

∫

−

ijк

ijмiij

dyyfppp 2

(9-17)

где индексы i и

теперь обозначают номера и положительных и

отрицательных погрешностей.

В результате вычислений находим

∑

0θ

ijн

∑

0θ

ijв

а затем — искомую вероятность

p изготовления прибора с погрешностью,

меньшей заданного предела:

)(1

внГ

ppp −−= .

Мы получили ответ для случая, когда практически предельную случайную

погрешность

у всех приборов можно считать одинаковой. Часто, однако, как

уже отмечалось, нужно учитывать, что у разных приборов могут быть разные

случайные погрешности, т. е. разные

Для решения этой задачи нужно воспользоваться формулами (9-12).

Предварительно следует установить ряд дискретных значений

ψ и отвечающих

им вероятностей

p . Затем для каждого

ψ по приведенной выше схеме можно

найти

Г s

p . Усреднив полученные вероятности с весовыми коэффициентами

p ,

получим решение

∑

ГssГ

ppp

(9-18)

Таким образом можно найти вероятность изготовления прибора с

погрешностью, меньшей заданного предела, если прибор имеет один

диапазон измерений. Решение этой же задачи для многодиапазонных

приборов в принципе не отличается от приведенного.

Несколько диапазонов измерений приборы приобретают благодаря

включению в их структуру делителей напряжения, шунтов, измерительных

трансформаторов и тому подобных устройств с коммутируемыми

параметрами (например, с изменяющимся коэффициентом передачи). В

каждый прибор попадает по одному экземпляру подобных устройств того

или иного типа.

Казалось бы, чтобы оценить вероятность появлений прибора с

недопустимо большой погрешностью, нужно иметь функцию

распределения всех погрешностей приборов. Имея эту функцию, следует

затем перебрать возможные сочетания погрешностей в одном приборе и

выбрать из них те, которые дают погрешности, меньшие (или большие)

заданного предела. Это возможно, но сложно.

Задача существенно упрощается, если ориентироваться на

распределение отдельно наибольших и наименьших погрешностей

устройств (делители напряжения, шунты), придающих приборам несколько

диапазонов измерений*

. Эти устройства будем называть многозначными

блоками.

Каждый многозначный блок, его конкретный экземпляр, можно

охарактеризовать только двумя наибольшими погрешностями по модулю:

погрешностями положительной и отрицательной. Множеству однотипных

звеньев тогда будут соответствовать функции распределения наибольших и

наименьших погрешностей.

Наибольшая (наименьшая) погрешность каждого прибора

складывается из наибольших (наименьших) погрешностей входящих в него

блоков. Соответственно этому функцию распределения наибольших

(наименьших) погрешностей приборов можно построить по аналогичным

функциям входящих в него блоков. Для многозначных блоков это функции

распределения наибольших и наименьших погрешностей по множеству

блоков. Однозначный блок имеет одну погрешность с распределением по

множеству блоков. Получив функцию распределения наибольших

погрешностей приборов, находим искомую вероятность.

При решении задачи нужно разделить погрешности на

мультипликативные и аддитивные, как это показано выше. Так же как

показано выше, нужно учитывать и случайные погрешности.

В заключение следует добавить, что точность вычислений, при

которых непрерывные распределения заменяются дискретными, зависит от

числа интервалов дискретизации и при применении вычислительных машин

может быть сделана очень высокой. Однако вероятность изготовить прибор

с погрешностью, меньшей заданного предела, не требуется находить с

большой точностью.

Если же исходные данные представлены в виде гистограмм, то при

рассмотренном решении используется вся содержащаяся в них информация

и неточность расчета определяется в основном неточностью гистограмм.

9-3. Пример. Расчет погрешностей токовых весов

Токовые весы представляют собой прибор, в котором сила взаимодействия

подвижной и неподвижной катушек, обтекаемых одним и тем же постоянным током,

уравновешивается силой тяжести гири. На основе данного принципа

Предложение вести расчет по наибольшим по модулю погрешностям блоков

было сделано независимо В. В. Березиной и И. Н. Рыбаковым [5] и Ж. Ф. Кудряшовой.

осуществлен государственный эталон единицы силы электрического тока (см. [14] и

ГОСТ 8.022–72).

Сила тока при равновесии токовых весов определяется выражением

FmgI = (9-19)

где

— масса уравновешивающей гири, g — ускорение силы тяжести, F — постоянная токовых

весов.

Постоянная токовых весов равна производной от взаимной индуктивности двух катушек

(подвижной и неподвижной) по вертикальному перемещению подвижной катушки и вычисляется по

их геометрическим размерам.

Отличие вычисленного по формуле (9-19) значения силы тока от ее истинного значения, т. е.

погрешность токовых весов, обусловлена неточностью определения всех величин, входящих в эту

формулу, а также влиянием поля проводов, подводящих ток к подвижной катушке. Отмеченные

источники погрешностей создают систематическую погрешность токовых весов.

Однако уравновешивание весов сопровождается и случайными погрешностями, которые

вызываются трением в опорах коромысла весов, колебаниями температуры окружающего воздуха,

изменениями внешнего магнитного поля, влиянием воздушных потоков и некоторыми другими

причинами.

Систематическую погрешность токовых весов нужно оценить путем расчета, экспериментально

ее установить нельзя (если не иметь в виду сравнение национального эталона единицы силы тока с

эталонами этой единицы других стран). Случайную же погрешность рассчитать практически

невозможно, но зато можно оценить на основе экспериментальных данных. Как указано в

ГОСТ 8.022–72, среднее квадратическое отклонение силы тока токовых весов в относительной форме

составляет

102

−

⋅=S .

Неточность определения величин, входящих в формулу (9-19), характеризуется следующими

данными. Для массы уравновешивающего груза относительная погрешность не выходит за границы

1025,1

−

⋅± , для ускорения силы тяжести — за границы

104

−

⋅± . (В настоящее время эта

погрешность может быть значительно меньшей).

Погрешность постоянной токовых весов в свою очередь вызывается рядом причин. В табл. 9-1

приведены границы погрешностей определения постоянной токовых весов (без учета знака),

обусловленных каждой из этих причин [14].

В соответствии с формулой (9-3) найдем коэффициенты влияния относительных погрешностей

измерений массы

(

)

mε , ускорения силы тяжести

(

)

gε и расчета постоянной токовых весов

(

)

Fε .

Выражение (9-19) представим в форме произведения аргументов:

212121 −

= FgmI .

Как показано в § 6-4, в этом случае коэффициенты влияния равны показателям степеней

соответствующих аргументов, т. е.

V ,

−=

V .

Кроме перечисленных и оцененных составляющих погрешностей, нужно учесть

упомянутую выше погрешность от влияния поля проводов, подводящих ток к подвижной

катушке. Эксперимент показал, что это поле создает дополнительное воздействие на подвижную

часть, которое лежит в пределах

102

−

⋅±

номинальной силы взаимодействия катушек.

Поскольку сила взаимодействия (mg) имеет коэффициент влияния 21=

V , то и данная

погрешность имеет такой же коэффициент влияния, 21=

V .

Согласно формуле (9-6) суммарная систематическая погрешность токовых весов (в

относительной форме) будет

(

)

(

)

(

)

(

)

FVgVmVHV

FgmH

εεεεε +++=

∑

где

(

)

102

−

⋅≤Hε ,

(

)

1025,1

−

⋅≤mε ,

(

)

104

−

⋅≤gε , а для погрешности

(

)

Fε задан ряд

составляющих.

Таблица 9-1

Границы составляющих погрешностей ε (F)

Причина погрешности

Границы погрешности

постояной

−

⋅Fδ

Неточность измерения

радиальных размеров

неподвижной катушки

(

)

rFδ

первой части подвижной

катушки

(

)

1П

rFδ

второй части подвижной

катушки

(

)

2П

rFδ

Неточность измерения осевых

размеров

неподвижной катушки

(

)

lFδ

первой части подвижной

катушки

(

)

1П

lFδ

второй части подвижной

катушки

(

)

2П

lFδ

Отклонение катушек от

цилиндрической формы

(

)

RFδ

3,1

7,0

Все составляющие погрешности

∑

ε определены своими границами. Поэтому

воспользуемся формулой (9-10) и найдем доверительную систематическую погрешность

токовых весов. Примем 95,0

и 1,1

k . Тогда

( )

.1045,13101,1

107,03,132425,12

1,1

12222222

95,0

−−

−

⋅=⋅=

=⋅++⋅+++













=θ

Практически предельную случайную погрешность, зная

S можно оценить, имея какие-

либо суждения о виде распределения экспериментальных данных. Если можно считать, что они

соответствуют нормальному распределению, и принять доверительную вероятность также

равной 0,95, то

1042

−

⋅== Sψ . Тогда практически предельная относительная погрешность

токовых весов в режиме однократного уравновешивания согласно формуле (9-9) будет

95,0

108

−

⋅=+= ψθδI .

При измерении с помощью токовых весов э. д. с. нормальных элементов можно

осуществлять несколько уравновешиваний и благодаря усреднению получаемых данных

уменьшить погрешность результата.

9-4. Пример. Расчет процента приборов,

основная погрешность которых не превышает

заданного предела

Рассмотрим вольтметр ферродинамической системы. В соответствии с теорией приборов

этой системы [2] составим структурную схему прибора. Эта схема изображена на рис. 9-5. На

рис. 9-6 приведено графическое построение шкалы прибора. Блок 1 преобразует измеряемое

напряжение U

в силу тока

RUI

= ,

где R — входное сопротивление вольтметра.

Сила тока

с помощью блока 2 преобразуется во вращающий момент

KIМ

= ,

где

— электродинамическая постоянная прибора.

Противодействующий момент

M создается блоком 3:

αWМ

= ,

где W — жесткость пружины,

— угол поворота подвижной части.

В положении равновесия подвижной части

ПВ

ММ = и отсюда

=α .

(9-20)

При изготовлении прибора путем его регулировки

и градуировки шкалы фиксируется то конкретное

сочетание параметров WK, и

, которое в нем

осуществляется. Поэтому погрешности прибора будут

возникать лишь из-за изменений жесткости пружины и

входного сопротивления относительно тех их значений,

которые были в момент регулировки. Постоянная же

практически неизменна и погрешностей не вызывает.

По отношению к параметрам

формула (9-

20) является строгой и позволяет найти погрешности

прибора из-за их изменений. По своей структуре она

совпадает с формулой (6-23). Поэтому можно сразу

написать значения коэффициентов влияния

относительных изменений жесткости

сопротивления

1−=

V , 2−=

V .

Кроме нестабильности параметров блоков,

причинами погрешности прибора являются еще трение в

опорах подвижной части и неточность выполнения

шкалы. Источники этих погрешностей отмечены на рис. 9-5. Поскольку эти погрешности аддитивные, их

целесообразно выражать в форме абсолютных погрешностей. Будем выражать их в единицах угла

поворота подвижной части.

Погрешность, вызываемая трением (М

— момент трения), есть погрешность случайная. Ее принято

характеризовать вариацией, т. е. разностью показаний прибора, получаемой при плавном подходе справа

и слева к одной и той же отметке шкалы. Для вариации устанавливают наибольшее значение (см.,

например, стандарты на электроизмерительные приборы). Наибольшая случайная погрешность от трения

равна половине вариации. Следовательно, при известной наибольшей вариации известны и границы

этой погрешности. В пределах этих границ принято считать распределение случайных погрешностей

каждого прибора равномерным. Сами же границы у разных приборов могут быть разными.

Погрешность выполнения шкалы прибора

α для каждой отметки шкалы конкретного

прибора является погрешностью систематической. Но от отметки к отметке эта погрешность

изменяется. Изменяется она и от прибора к прибору.

Для каждого конкретного прибора можно найти наибольшую погрешность шкалы. Можно считать,

что эта погрешность с равной вероятностью встречается на любой отметке шкалы. Множество приборов

характеризуется распределением этих наибольших погрешностей шкал.

Итак, погрешности приборов имеют составляющие:

погрешность от изменения жесткости пружин

εϑ −=

погрешность от изменения входного сопротивления

εϑ 2

−= ,

погрешность от трения

αψ = ,

погрешность от неточного выполнения шкалы

αϑ =

Погрешности

ϑ и

ϑ — погрешности мультипликативные и выражены в процентах; погрешности

ϑ и

— погрешности аддитивные, выражены в единицах угла поворота подвижной части вольтметра

(в градусах), т. е. приведены к выходу. Поэтому погрешность прибора, приведенная к выходу,

определяется соотношением

( )

ψϑϑϑ

+++=

321

100

(9-21)

где

— угол поворота подвижной части прибора, соответствующий его показанию

U , для которого

вычисляется погрешность.

Для каждой из составляющих будем считать известными данные, приведенные в табл. 9-2.

Таблица 9-2

Исходные данные об источниках систематической погрешности

приборов

Источник

погрешности или

погрешность

Интервал

распределения

погрешности

Частость

интервала

Левая

границу

Правая

граница

Относительное

изменение жесткости

пружин

-0,3%

-0,2%

-0,1%

-0,2%

-0,1%

0,2

0,5

0,3

Относительное

изменение

сопротивления

-0,3%

-0,1%

+0,1%

-0,1%

+0,1%

+0,3%

0,2

0,6

Абсолютная

погрешность

выполнения шкалы

прибора

-0,6°

-0,2°

+0,2°

-0,2°

+0,2°

0,6°

0,5

Известно также, что у 30% приборов практически наибольшая вариация не превосходит 0,8°, а у

70% — 0,4°. Таким образом, случайная погрешность 30% приборов лежит в границах °±= 4,0

ψ , а

70% — в границах °±= 2,0

ψ .

Располагая приведенными данными, нужно найти вероятность того, что приведенная погрешность

вольтметров не будет выходить за пределы %1

±=∆ .

Приведенную погрешность нужно перевести в форму абсолютной погрешности. Мы выразим ее в

градусах угла поворота подвижной части, что можно сделать с помощью графика, подобного

приведенному на рис. 9-6. Пусть у нас предел допускаемой погрешности в градусах

∆

(без учета

знака).

Ориентируясь на формулу (9-21), найдем сначала композицию мультипликативных погрешностей

ϑ и

ϑ . Пользуясь данными, приведенными в табл. 9-2,

и найденными коэффициентами влияния, нетрудно составить описания гистограмм

распределений этих погрешностей. Эти описания даны в табл. 9-3.

Таблица 9-3

Описания гистограмм распределений

мультипликативных составляющих

погрешности приборов

Погрешность

Интервал распределения

погрешности, %

Частость

интервала

Левая

граница

Правая

граница

+1,2

+0,1

+0,3

+0,2

+0,1

0,2

0,5

0,3

+0,2

-0,2

-0,6

+0,6

+0,2

-0,2

0,2

0,6

Решение удобно выполнить методом перебора, описанным в § 4-5. Для этого гистограммы

нужно заменить дискретными распределениями. Каждому интервалу приписывается

погрешность, равная его середине. Вероятность появления этой погрешности принимается

равной частости этого интервала.

Пусть погрешность

ϑ отображена

дискретной случайной величиной

η , а

погрешность

ϑ — дискретной

случайной величиной

η . Получим

η … +0,25

+0,15 +0,05

p … 0,2 0,5 0,3

…

+0,4 0 -0,4

p … 0,2 0,2 0,6

Погрешности

ϑϑ +

соответствует

ηηη += . Ее реализации

приведены в табл. 9-4. Предельные значения суммарной погрешности %6,0

min

−=η и

%9,0

max

+=η (им отвечают вероятности 0 и 1 соответственно). По полученным данным строим

интегральную функцию распределения. Числовые значения сведены в табл. 9-5.

По этим данным строим ступенчатую кривую как первое приближение к искомой функции

распределения мультипликативной погрешности приборов, а затем ее сглаживаем методом

линейной аппроксимации. Полученная функция распределения приведена на рис. 9-7.

Теперь выразим мультипликативную погрешность в форме абсолютных погрешностей — в

долях угла поворота подвижной части. Найдем наибольшую погрешность, т. е. погрешность при

максимальном отклонении. Примем, что °=100

max

α . При этом числовые значения

погрешности

( )

100

max

ϑϑϑ +=

будут

Таблица 9-4

Дискретное отображение распределения

мультипликативной погрешности приборов

№ пп.

ηηη +=

ppp =

+0,25+0,4=+0,65

+0,25+0,0=+0,25

+0,25-0,4=-0,15

+0,15+0,4=+0,55

+0,15+0,0=+0,15

+0,15-0,4=-0,25

+0,05+0,4=+0,45

+0,05+0,0=+0,05

+0,05-0,4=-0,35

0,04

0,12

0,10

0,30

0,06

0,18

Таблица 9-5

Таблица вычисленных значений интегральной функции

распределения мультипликативной погрешности приборов

-0,6 -0,35 -0,25 -0,15 +0,05

0 0,18 0,30 0,12 0,06

∑

0 0,18 0,48 0,60 0,66

+0,15 +0,25 0,45 0,55 0,65 0,9

0,10 0,04 0,06 0,10 0,04 0

∑

0,76 0,80 0,86 0,96 1,0 1,0

равны значениям, приведенным в табл. 9-5. Пользуясь этими данными и графиком на рис. 9-7,

построим гистограмму мультипликативной погрешности прибора при максимальном угле

поворота подвижной части. Данные этой гистограммы таковы:

Номер интервала

1 2 3 4 5

Граница интервала для

погрешности

(градусы)

Левая

Правая

+0,6

+0,9

+0,3

+0,6

+0,3

-0,3

-0,6

-0,3

Среднее значение

мi

…………………….

+0,75

+0,45

+0,15

-0,15

-0,45

Вероятность

попадания в интервал

мi

……………………

0,05

0,15

0,20

0,42

0,18

Аналогично по данным табл. 9-2 получим средние значения интервалов распределения

наибольших погрешностей выполнения шкал приборов и отвечающие им вероятности:

Номер интервала

……………..

1 2 3

Среднее значение

погрешности в интервале……….

+0,4

-0,4

Вероятность попадания в

интервал

……………………..

0,5

В соответствии с формулами (9-14) найдем участки шкалы, где возможно забракование

прибора. У нас °=−∆=∆ 6,0

ψ , а °=−∆=∆ 8,0

ψ (для 30 и 70% приборов

соответственно).

Для 0>

θ , 0>

мi

θ и °=∆ 6,0

получаем:

.20,0 и 0,8

75,0

6,0

,55,0 и 0,45

45,0

4,06,0

,73,0 и 0,27

75,0

4,06,0

−

кк

yyy