Рабинович С.Г. Погрешности измерений

Подождите немного. Документ загружается.

С. Г. Рабинович

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

«Энергия», 1978

Рецензент Л. Б. Фремке

Рабинович С. Г.

Р12 Погрешности измерений. — Л.: Энергия. 1978, — 262 с, ил.

В книге приведены исходные положения теории измерений и сведения об источниках погрешностей

измерений. Рассмотрены метрологические свойства средств измерений и методы их нормирования.

Освещены основы теории случайных и систематических погрешностей, и на этой базе даны методы

оценивания погрешностей прямых, косвенных, совместных и совокупных измерений. Методы в

соответствии с практикой различаются по точности, но все они ориентированы на такие исходные данные,

которыми располагают экспериментаторы. Изложены методы расчета погрешностей средств измерений, а

также вопросы теории поверочных измерений.

Книга рассчитана на широкий круг лиц, занимающихся измерениями в различных областях науки и

техники. Она может быть полезной приборостроителям, а также студентам приборостроительных

специальностей вузов и аспирантам.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Методам оценивания погрешностей измерений

посвящена обширная литература. Большое внимание этим

вопросам уделено в монографии М. Ф. Маликова [36], в

книгах В. П. Короткова и Б. А. Тайца [28], Г. Д. Бурдуна и

Б. Н. Маркова [11] и др.

Специально методам обработки результатов

наблюдений при измерениях посвящены книги В. Н.

Зимовного [24], А. С. Чеботарева [58], Н. Г. Видуева и

Г. С. Кондры [13], В. М. Щиголева [61], Е. Ф. Долинского

[20], А. Н. Зайделя [22] и др. Ряд вопросов оценивания

погрешностей динамических измерений рассмотрен в книге

Г. И. Кавалерова и С. М. Мандельштама [25].

Известны попытки использовать для оценивания

погрешностей измерений понятия теории информации [39].

В названных и других известных автору книгах

вопросы погрешностей измерений рассматриваются в

основном применительно к измерениям, выполняемым с

многократными наблюдениями. Вопросы оценивания

погрешностей измерений, при выполнении которых не

требуются повторные наблюдения, остались почти не

затронутыми. Между тем именно такие измерения наиболее

распространены.

Многие авторы не касаются систематических

погрешностей измерений. По существу, после работы М. Ф.

Маликова [36] теория систематических погрешностей не

получила дальнейшего развития.

Крайне мало внимания уделяется погрешностям

измерений, обусловленным свойствами

средств измерении, а также тому влиянию на результаты

измерений, которое оказывают свойства самих объектов

исследований.

Вследствие того, что названные разделы теории

погрешностей разработаны недостаточно, на практике

многие вопросы разные экспериментаторы решают по-

разному. Это делает получаемые ими результаты трудно

сопоставимыми, а иногда и вовсе несопоставимыми.

Предлагаемая вниманию читателя книга представляет

собой попытку восполнить отмеченные пробелы в теории

погрешностей и дать ответы на основные вопросы,

возникающие на практике, притом в форме, удобной для

практики. Имеется в виду, что рекомендации, связанные со

сложными выкладками, как указывал еще М. Ф. Маликов,

для практики бесполезны [36]. Это обусловлено не

сложностью расчетов (в настоящее время благодаря ЦВМ

сложность вычислений вообще не имеет принципиального

значения), а тем, что исходные данные для оценивания

погрешностей всегда неточны. Тем не менее, понятно, что

практические решения должны основываться на теории, и в

частности на теории вероятностей и математической

статистике.

Книга написана по материалам, накопленным автором

за годы работы в области теоретической метрологии во

ВНИИМ имени Д. И. Менделеева и отчасти

использованным в лекциях, прочитанных аспирантам

института.

Автор хранит благодарную память о д-ре техн. наук

проф. В. О. Арутюнове и И. А. Грачеве, результаты

совместных работ с которыми нашли отражение в книге;

пользуется возможностью выразить признательность канд.

техн. наук Е. Ф. Долинскому, д-ру техн. наук проф.

К. П. Широкову, а также В. А. Грановскому, Ж. Ф.

Кудряшевой и канд. физ.-мат. наук Т. Н. Сирой за

обсуждение ряда вопросов, отраженных в книге.

Автор благодарен д-ру техн. наук проф. А. В. Фремке

за труд по рецензированию книги и сделанные при этом

полезные замечания.

Замечания и соображения по содержанию книги

просьба направлять по адресу: 192041, Ленинград, Марсово

поле, д. 1, Ленинградское отделение издательства

«Энергия». Автор

ГЛАВА ПЕРВАЯ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИЗМЕРЕНИЯХ

1-1. Основные понятия

Анализ и оценивание погрешностей измерений представляет собой

один из разделов метрологии — науки об измерениях. Основные понятия и

термины, необходимые для решения относящихся к этому разделу задач,

предусмотрены в ГОСТ 16263–70 «Государственная система обеспечения

единства измерений. Метрология. Термины и определения»*

Остановимся на терминах, наиболее важных для данной книги.

Погрешностью измерения называется отклонение результата измерения

от истинного значения измеряемой величины. По форме выражения

погрешностей измерений различают погрешности абсолютные и

относительные. Абсолютная погрешность измерения — это погрешность,

выраженная в единицах измеряемой величины. Так, если

— истинное

значение измеряемой величины,

— результат измерения,

— абсолютная

погрешность измерения, то

AA −=

Относительная погрешность измерения — это погрешность,

выраженная в долях истинного значения измеряемой величины:

AA −

Чаще всего на практике относительные погрешности выражают в

процентах, иногда — в промилле (в тысячных долях, обозначаемых %

). В

долях измеряемой величины принято выражать только очень малые

погрешности, встречающиеся при метрологических исследованиях.

Погрешности измерений характеризуют несовершенство измерений.

Позитивной характеристикой измерений является их точность. Под

точностью измерений понимается качество измерений,

В дальнейшем вместо выражения «Государственная система обеспечения

единства измерений» будем использовать сокращенную запись «ГСИ».

отражающее близость их результатов к истинному значению измеряемой

величины.

Измерение тем более точно, чем меньше его погрешность. Однако

абсолютные погрешности в общем случае зависят от значения измеряемой

величины и поэтому не годятся для количественной характеристики

точности измерений. Этого недостатка не имеют относительные

погрешности. Поэтому точность количественно можно охарактеризовать

числом, равным обратному значению относительной погрешности,

выраженной в долях измеряемой величины. Так, например, если

погрешность измерения составляет 2 10

-3

%=2 10

-5

, то точность этого

измерения будет

105⋅ .

Хотя таким образом и возможно ввести количественную

характеристику точности, в метрологии и при практических измерениях

точность, как правило, количественно не оценивается, а характеризуется

косвенно, с помощью погрешности измерения.

В приведенном определении погрешности измерения использованы

понятия «результат измерения» и «истинное значение измеряемой

величины». Под результатом измерения понимается оценка измеряемой

физической величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц,

полученная путем измерения.

Истинное значение физической величины — значение физической

величины, которое идеальным образом отражало бы в качественном и

количественном отношении соответствующее свойство объекта.

Для полноты остается определить понятие «измерение». Хотя

интуитивно этот термин представляется понятным, точно определить его

трудно. Дискуссия, проведенная в середине 60-х годов на страницах

журнала «Измерительная техника», не привела к решению этого вопроса.

Наиболее полно смысл данного понятия раскрывают совместно два

определения, одно из которых дано М. Ф. Маликовым-[36], второе —

К. П. Широковым (ГОСТ 16263–70):

«Измерением мы называем познавательный процесс, заключающийся в

сравнении путем физического эксперимента данной величины с некоторым

ее значением, принятым за единицу сравнения».

В ГОСТ 16263–70 этот термин определен как нахождение значения

физической величины опытным путем с помощью специальных

технических средств. Другие понятия и термины будут поясняться при

необходимости по мере их введения; термины, предусмотренные ГОСТ

16263–70, как правило, будут применяться без пояснений.

1-2. Предварительные сведения об измерениях

и о погрешностях измерений

Измерениями люди пользуются с незапамятных времен. Первыми

измеряемыми величинами, по-видимому, были длина, масса, объем.

Поскольку процедура сравнения естественна для челове-

ческого мышления, то понятно, что для сопоставления однородных величин,

характеризующих разные объекты, размер одной из них был принят за

единицу и с ней сравнивались все другие измеряемые величины. Так

появились эталоны — объекты, размер соответствующей физической

величины которых принят за единицу или за известное число единиц.

Развитие техники и науки, общение между народами и международная

торговля побудили многие страны применять одни и те же единицы

физических величин. В настоящее время для этой цели разработана

Международная система единиц (SI), и большинство стран мира уже

применяет эту систему.

В связи с принятой в стране системой единиц создается национальная

система эталонов.

Современные эталоны единиц физических величин создаются на основе последних

достижений науки и техники и представляют собой весьма сложные устройства. Перечень

эталонов не повторяет перечня принятых единиц физических величин. Для ряда единиц эталоны

не создаются. Эталон не создается в том случае, когда нет возможности непосредственно

сравнивать соответствующие физические величины. Например, нет необходимости в эталоне

единицы площади, так как площади не поддаются непосредственному сравнению. Не создаются

эталоны также в том случае, когда единица физической величины воспроизводится с

достаточной точностью на основе сравнительно простых средств измерений других физических

величин.

Общие вопросы теории эталонов мало освещены в литературе. В книге М. Ф. Маликова

[36] этой теме посвящена отдельная глава. Ряд интересных соображений по этому вопросу

высказан Е. Ф. Долинским [20]. Признакам необходимости создания эталонов посвящена работа

[44].

Накопленный опыт создания эталонов единиц физических величин обобщен

К. П. Широковым в ГОСТ 8.057–73 «ГСИ. Порядок утверждения, хранения и применения

эталонов и образцовых средств измерений».

Набросанная выше схема обеспечения единства измерений

чрезвычайно упрощена. В действительности эталоны не используются

непосредственно для измерений — это немыслимо и нецелесообразно, а

служат только для воспроизведения единиц соответствующих величин и

передачи их размера другим средствам измерений.

Последние в зависимости от назначения и использования делятся на

рабочие и образцовые средства измерений. Рабочие средства измерений —

это те измерительные приборы, меры, измерительные преобразователи,

измерительные установки и измерительные системы, с помощью которых

выполняются бесчисленные измерения в технике, в сельском хозяйстве, при

научных исследованиях, в быту — во всех сферах деятельности людей.

Образцовые средства измерений находятся в ведении метрологических служб и для

практических измерений, как правило, не применяются, они служат только для передачи

размеров единиц от эталонов рабочим средствам измерений.

Передача размеров единиц рабочим средствам измерений осуществляется прежде всего

при их изготовлении: в результате градуировки шкал показывающих приборов, подгонки мер и

определения действительных значений величин, ими воспроизводимых, и т. д. В дальнейшем

контроль средств измерении и сохранность переданных им размеров единиц обеспечиваются

путем периодических

поверок, обязательных для всех средств измерений. Этот контроль регламентирован ГОСТ

8.002–71 «ГСИ. Организация и порядок проведения поверки, ревизии и экспертизы средств

измерений». Поверка осуществляется органами государственной или ведомственной

метрологической службы.

При измерении некоторого свойства конкретного объекта последний

приводят во взаимодействие со средством измерений. Так, для измерения

диаметра стержня его обжимают измерительными губками

штангенциркуля, для измерения напряжения электрической сети к ней

присоединяют вольтметр.

В результате измерения мы получаем оценку измеряемой величины —

именованное число. Это число можно получить как непосредственным

отсчитыванием показаний прибора в единицах измеряемой величины так и с

помощью некоторых, вспомогательных вычислений. Например, число

отсчитанных по шкале прибора делений умножается на определенный

множитель. В ряде случаев результат измерения находят путем

математической обработки показаний прибора или нескольких приборов.

Так, например, измеряют плотность твердых тел, температурные

коэффициенты сопротивления резисторов и многие другие физические

величины. Неизбежное несовершенство реальных средств измерений и

неточность передачи рабочим средствам измерений размеров единиц

соответствующих физических величин служат существенными источниками

погрешностей измерений. Несовершенство средств измерений приводит к

тому, что условия выполнения измерений, например температура

окружающей среды, влажность воздуха, внешние электрические и

магнитные поля, вибрации фундаментов и т. д., также создают погрешности

измерений.

В погрешность измерения может входить погрешность, обусловленная

несовершенством применяемого метода измерения.

Обычно измерения выполняются людьми. Участие человека в силу

физиологической ограниченности его возможностей также сопровождается

погрешностями.

Однако есть еще один источник погрешностей измерений. Это

погрешности, обусловленные неточным соответствием между свойствами

реальных объектов и тем, что подразумевается под измеряемой величиной.

Ниже мы подробно рассмотрим этот источник погрешностей, а сейчас

ограничимся лишь некоторыми поясняющими примерами.

Предположим, измеряется длина цилиндрического стержня.

Интуитивно ясно, что под длиной стержня понимается длина его

образующей. Однако, если торцевые поверхности стержня неточно

параллельны и к тому же неидеально плоски, то разные образующие будут

иметь разную длину. Пока разница между длинами разных образующих

мала, т. е. заметно меньше той погрешности, с которой допускается, исходя

из цели измерения, измерить длину стержня, это обстоятельство не

привлекает особого внимания, хотя и приводит к появлению некоторой

погрешности. Если же разница между длинами образующих превысит

уровень

допускаемых погрешностей измерения, установленный исходя из цели

измерения, то окажется, что измерение длины данного стержня с заданной

точностью невозможно.

Несколько иначе проявляется рассматриваемое явление, когда

измеряемое свойство объекта зависит от внешних условий. Возьмем,

например, резистор из медной проволоки, служащий для компенсации

температурной погрешности магнитоэлектрического милливольтметра. Для

приборов кл. 0,2 допуск на сопротивление такого резистора при

температуре +20° С установлен равным 0,1%. Если попытаться измерить

сопротивление резистора, в обычных условиях, внося поправку на

отклонение температуры резистора от +20° С, то окажется, что разброс

результатов намерений одного и того же сопротивления превышает 0,1%, и

измерение невозможно. Это неудивительно, так как температурный

коэффициент меди, как известно, равен примерно 4% на 10° С. Поэтому,

чтобы отклонения результатов измерений были заметно меньше 0,1%,

необходимо, чтобы температура резистора была известна с погрешностью,

меньшей 0,25° С. В обычных условиях, когда резистор свободно

обдувается воздухом помещения, как показал опыт, это невозможно. Для

выполнения поставленных требований оказалось достаточным помещать

резистор в термоизолирующую камеру и до измерения сопротивления

выдерживать его в ней несколько часов.

Такова в общих чертах картина возникновения погрешностей

измерений.

1-3. Исходные положения теории измерений

Измерения настолько привычны и интуитивно понятны, что, казалось

бы, вообще нет необходимости выявлять те положения, которые лежат в их

основе. Однако ясность в исходных посылках нужна для развития любой

науки, и в настоящее время выявлению исходных положений теории

измерений уделяется много внимания. Большой круг вопросов,

относящихся к этой проблеме, рассмотрен К. П. Широковым [60].

Введение физических величин и установление их единиц является

необходимой предпосылкой измерений. Однако всякое измерение всегда

выполняется применительно к конкретному объекту. И общее определение

измеряемой физической величины необходимо конкретизировать,

учитывая свойства данного объекта и цель измерения. Так, по существу,

вводится и определяется истинное значение измеряемой величины. К

сожалению, этот важный этап подготовки измерения обычно не

формулируется и вообще не выделяется.

В этой связи большой интерес представляет работа В. М. Свириденко,

который сделал попытку сформулировать постулаты теории измерений

[48]. В этом же направлении выполнена работа автора с В. А. Грановским

[16]. Близкие вопросы рассмотрены

в монографии В. Я. Розенберга*

, а также в статье У. Винера, касающейся

построения аксиоматической теории измерений [68].

В. М. Свириденко в качестве постулатов теории измерений

сформулировал два положения:

существует истинное значение измеряемой величины (постулат

);

истинное значение измеряемой величины отыскать невозможно

(постулат

Эти положения не вызывают возражений, но их явно недостаточно. Из

опыта мы знаем, что измерения с требуемой точностью не всегда

осуществимы, а приведенные постулаты не позволяют оценить ситуацию и

установить, возможно ли измерение. Следовательно, что-то важное еще не

найдено.

Для того чтобы разобраться в поставленном вопросе, рассмотрим

простейшую измерительную задачу — измерение диаметра диска.

Остановимся на формулировке задачи. Указание на то, что нужно

измерить диаметр диска, обычно означает, что диск — объект

исследования — мы считаем имеющим форму круга. Отметим, что понятия

«круг» и «диаметр круга» — понятия математические, т.е. абстрактные.

Круг — это образ данного тела, его модель. Диаметр круга — параметр

модели — математически строгое определение измеряемой величины.

Теперь в соответствии с общим определением истинного значения

измеряемой величины можно сказать, что истинное значение диаметра

диска — это такое значение параметра модели (диаметра круга), которое

идеально в количественном отношении отражает интересующее нас

свойство объекта; идеальное качественное соответствие должно быть

предопределено моделью.

Вернемся к нашему примеру. Назначение диска позволяет определить

допускаемую погрешность измерения и выбрать соответствующее средство

измерений. Приведя объект во взаимодействие со средством измерений,

получаем результат измерения. Но диаметр круга по определению

инвариантен к направлению. Поэтому измерение нужно выполнить в

нескольких разных направлениях. Если разности результатов измерений

будут меньше возможной погрешности измерения, то в качестве результата

измерения можно взять любой из полученных результатов. Найдя значение

измеряемой величины — именованное число, которое является оценкой

истинного значения измеряемой величины, измерение можно считать

законченным.

Но может оказаться, что разность результатов измерений в разных

направлениях превышает уровень погрешности данного измерения, В этой

ситуации приходится констатировать, что при требующейся точности

измерения у нашего диска нет одного

В. Я. Розенберг. Введение в. теорию точности измерительных систем. М.,

«Советское радио», 1975.