Пьянков В.П. Тексты лекций по элементарной математике
Подождите немного. Документ загружается.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Запорожский национальный технический университет
В.П. Пьянков
ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ
по элементарной математике
Избранные разделы
для слушателей факультета довузовской подготовки
(электронная версия в сокращенном варианте)
2002
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Пьянков В.П. Тексты лекций по элементарной математике. Избранные разделы для слушателей
факультета довузовской подготовки (электронная версия в сокращенном варианте). – Запорожье: ЗНТУ,
2002. – 93 с.
Рецензент: В.С. Левада, доцент, к.т.н.
Утверждено на заседании кафедры
общей математики
Протокол № 1 от 29.08.2002
В электронную версию автором были внесены изменения 21.12.2002.
2
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие...........................................................................................................................................................................6
Таблица математических символов и обозначений...........................................................................................................7
Пропорции..............................................................................................................................................................................9
Свойства пропорции
dcba
.................................................................................................................................10
Обобщенные производные пропорции.........................................................................................................................12
Система пропорций.........................................................................................................................................................13
Иррациональные уравнения с несколькими кубическими корнями..............................................................................14
Общий метод....................................................................................................................................................................14
Метод замены переменной.............................................................................................................................................18
Решение иррациональных неравенств...............................................................................................................................19
Неравенство вида
kk
xgxf
22
)(][)(
.....................................................................................................................21
Неравенство вида
)(][)(
2
xgxf
k
.......................................................................................................................22
Неравенство вида
)(][)(
2
xgxf
k
........................................................................................................................24
Другие виды неравенств.................................................................................................................................................26
Исследование квадратных трехчленов с параметром......................................................................................................43
3
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
1. При каких значениях параметра р трехчлен
Rxpxf 0],,[),(
?......................................................44
2.1. При каких значениях р уравнение
0),( pxf
имеет один корень на промежутке
);(
, другой
на
);(
?..............................................................................................................................................................49
2.2. При каких значениях р уравнение
0),( pxf
имеет один корень на интервале
);(
, другой на
);(
?.................................................................................................................................................................51
2.3. При каких значениях р уравнение
0),( pxf
имеет один корень на интервале
);(
, другой вне
отрезка
];[
?.......................................................................................................................................................52
2.4. При каких значениях р уравнение
0),( pxf
имеет один корень на интервале
);(
, другой вне
него?..........................................................................................................................................................................53
3.1. При каких значениях р уравнение
0),( pxf
имеет один корень на промежутке
);(
, другой на
);(
?.................................................................................................................................................................55
3.2. При каких значениях р уравнение
0),( pxf
имеет корни разных знаков?....................................................56
3.3. При каких значениях р уравнение
0),( pxf
имеет один корень на промежутке
);(
, другой на
);(
, где
?..............................................................................................................................................57
4.1. При каких значениях р уравнение
0),( pxf
имеет оба корня на промежутке
);(
];(),;(),;[
?...........................................................................................................................59
4.2. При каких значениях р уравнение
0),( pxf
имеет два положительных (отрицательных) корня?.............61
4
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
4.3. При каких значениях р уравнение
0),( pxf
имеет оба корня на промежутке
);(
?............................62
Оценки ограниченности функций......................................................................................................................................64
Алгебраические оценки..................................................................................................................................................64
Сравнение функций с аргументом и между собой.......................................................................................................68
Тригонометрические оценки..........................................................................................................................................70
«Нестандартные» методы решения уравнений с одним неизвестным...........................................................................72
Метод подбора для уравнений с монотонными функциями.......................................................................................72
Метод оценок для уравнений с ограниченными функциями......................................................................................76
Уравнения с двумя неизвестными.....................................................................................................................................88
Решение методом оценок ограниченности...................................................................................................................88
Решение путем сведения к анализу уравнения известного типа................................................................................91
Литература...........................................................................................................................................................................93
5
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Элементарная математика неисчерпаема, как атом.
Предисловие
Данные тексты лекций посвящены отдельным разделам элементарной математики. Эти разделы хуже
других усваиваются учащимися или реже описываются в учебной литературе. Однако задачи на эти
разделы довольно часто встречаются на конкурсных вступительных экзаменах в вузы.
В лекциях, как правило, в начале излагается теория, а затем приводятся примеры решения соответс-
твующих задач. В текстах можно найти разъяснения ряда нюансов, на которые обычно не заостряется
внимание абитуриентов, что приводит к появлению типичных ошибок в экзаменационных работах.
В данном электронном учебнике страницы лучше листать клавишами на экране, а не на клавиатуре. Если в
оглавлении (содержании) щелкнуть по какому-либо номеру страницы, удерживая клавишу Ctrl (в некоторых
редакторах Word без Ctrl), то произойдет переход на эту страницу текста лекций. В тексте все заголовки и
подзаголовки, которые указаны в оглавлении, выделены, синим цветом, фразы и формулы с особенно важным
смыслом – желтым или зеленым. Зеленым цветом также помечены слова «Пример» и «Ответ». Фиолетовым цветом с
подчеркиванием выделены ссылки на другие пункты текстов. Если по ним щелкнуть дважды, удерживая клавишу Ctrl
(в некоторых редакторах Word одним щелчком без Ctrl), то произойдет соответствующий переход. Фиолетовым без
подчеркивания помечены пункты, куда осуществляются переходы, если они не являются заголовками и
подзаголовками.
6
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Таблица математических символов и обозначений
– символ следования.
Запись
BA
означает, что из формулы или утверждения A следует формула или утверждение B.
– символ эквивалентности или равносильности.
BA
означает, что из A следует B и, наоборот, из B следует A.
– символ, читаемый “для любого”, “для всякого”, “для каждого” (квантор всеобщности).
– символ, означающий слово “существует” (квантор существования).
{} – объединение элементов во множество.
– обозначение пустого множества.
– знак принадлежности элемента множеству:
Aa
.
– знак непринадлежности.
, – символы включения одного множества в другое.
– символ объединения множеств.
– символ пересечения множеств.
\ – символ вычитания множеств.
7
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
В качестве условия может быть уравнение,
неравенство (или множество их решений).
Квадратная скобка означает объединение множеств
решений условий, охваченных скобкой, т.е. множество
всех элементов, которые удовлетворяют хотя бы одному условию совокупности.
Примеры:
7
51
x
x
);7()5;1( x
;
3
51
x
x
);1( x
.
Фигурная скобка означает пересечение множеств решений
условий, охваченных скобкой, т.е. множество всех элементов,
которые удовлетворяют одновременно всем условиям системы.
Примеры:
7
51
x
x
x;
3
51
x
x
)5;3(x
.
8
условий. тьсовокупнос
...
2 условие
1 условие
условий. система
...
2 условие
1 условие
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Пропорции
Отношением числа а к числу b называют частное от их деления, для обозначения которого
используют одно из следующих выражений:
b
a
baba :
. При этом число а называют предыдущим
членом отношения, b – последующим. Отношение более широкое понятие, чем простая дробь. В отношении
могут присутствовать действительные числа, тогда как в простой дроби согласно определению только
целые. Основное свойство дроби справедливо и для отношения: отношение не изменится, если
предыдущий и последующий члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное 0.
Пропорцией называют равенство отношений
dcba ::
,
где
0b
и
0d
. Числа а и d именуют крайними членами пропорции, b и c – средними.
Свойства пропорции
dcba
1) Произведение крайних членов равно произведению средних:
cbda
.
Далее для упрощения формулировок свойств полагаем, что все члены пропорции не равны 0.
9
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
2) Крайний (средний) член равен произведению средних (крайних) членов, деленному на другой крайний
(средний) член:
dbca
,
cadb
,
3) В пропорции можно одновременно поменять местами предыдущий и последующий члены обеих
отношений:
cdab
.
4) В пропорции можно менять местами крайние или средние члены:
acbd
,
dbca
.
5) Производные пропорции (т.е. пропорции, вытекающие из данной):
d
dc
b
ba
;
d
dc
b
ba
;
c
dc
a
ba
;
c
dc
a
ba
;
dc
dc
ba
ba
и др.
Все они – частные случаи обобщенных производных пропорций (см. далее).
Замечание.
Иногда в пропорции допускают обращение в ноль какого-либо предыдущего члена (т.е. деление на 0). Если
такое происходит, то формально переходят к одному из равенств свойств 1- 4, где этот член в числителе.
10