Пьянков В.П. Тексты лекций по элементарной математике
Подождите немного. Документ загружается.
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Подобное уравнение:
24
32214594
xyyxxyyx
. Ответ: (1; 2); (2; 1).
Пример. Решить уравнение
2
3
2
2
2
3
)(log1
2
log)(log yx
xy
yx
.
Решение. ОДЗ:
0
0
xy
yx
0
0
y
x
.
0
2
log1||log2)(log
2
23
2
3
xy
yxyx
0
2
log1)(log
2
2
2
3
xy
yx
0
2
log
01)(log
2
3
xy
yx
2
3
xy
yx
1
2
2
1
y
x
y
x
Ответ: (1; 2); (2; 1).
Пример ([7], №1141, измененный).
xyyx 2cos)cos(sinsin22
.
Решение.
xyx
2
sin21)4sin(sin222
;
01)4sin(sin22sin2
2
yxx
;
91
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
0)4(cos)4(sin)4sin(sin22sin2
222
yyyxx
0)4(cos)4sin(sin2
2
2
yyx
)2()4sin(sin2
)1(0)4cos(
yx
y
Из (1) находим:
ny
24
,
Znny ,4
.
Подставляем в (2):
)2sin(sin2 nx
;
n
x )1(sin2
;
2)1(sin
n
x
;
Zkkx
n
k
,
2
)1(
arcsin)1(
;
kx
nk
2
1
arcsin)1()1(
;
Zkkx
nk
,
4
)1(
.
Ответ:
ZnZknk
nk
,,
4
;
4
)1(
.
Решение путем сведения к анализу уравнения известного типа
В другом способе с помощью обозначений заданное уравнение сводят к уравнению известного типа,
например, квадратному, и анализируют условие существования его корней.
Пример [7], №1139. Решить уравнение
02
4
sin tg22tg
2
yxx
.
92
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Решение. Обозначим
xt tg
.
02)4/sin(22
2
tyt
.
Условие существования решения квадратного уравнения
0D
.
08)4/(sin8
2
y
;
1)4/(sin
2
y
1)4/sin(
y
.
Решаем квадратное уравнение при этом условии:
0222
2
tt
;
0)2(
2
t
;
02 t
;
2t
.
Итак, данное уравнение равносильно совокупности систем:
2tg
1)4/sin(
2tg
1)4/sin(
x
y
x
y
Zkkx
Znny
Zkkx
Znny
,2arctg
,2/34/
,2arctg
,2/4/
Ответ:
4
;2arctg
nk
,
4
5
;2arctg
nk
,
Znk ,
.
Замечание. Это уравнение можно решить и предыдущим способом:
0)4/(cos2)4/(sin2)4/sin( tg22tg
222
yyyxx
;
0)4/(cos2)4/sin(2 tg
2
2
yyx
.
93
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Уравнения примеров предыдущего пункта можно также решить, сводя к анализу квадратного уравнения.
Попробуйте это сделать.
94
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Литература
1. Алексеев В.М. Элементарная математика. Решение задач. – К.: Вища школа, 1989.
2. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1974.
3. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы. Избранные вопросы
элементарной математики. – М.: Наука, 1973.
4. Математика. Сборник задач. Пособие для подготовительных отделений. / Л.К.Головко, З.В.Демьяненко,
А.Е.Журавель, В.Г.Стеценко. – К.: Вища школа, 1986.
5. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. Пособие для школьников и абитуриентов. –
К.: А.С.К., 1997.
6. Назаренко А.М., Назаренко Л.Д. Тысяча и один пример. Равенства и неравенства. Пособие для абитуриентов. –
Сумы: Слобожанщина, 1994.
7. Пособие по математике для поступающих в вузы. / Б.И.Александров, В.М.Максимов, М.В.Лурье,
А.В.Колесниченко. – М.: МГУ, 1972.
8. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы. / Под ред. М.И.Сканави.
9. Сборник задач по математике с решениями. / Сост. Д.Н.Кравчук, Е.В.Кравчук, С.И.Клемина. – Донецк: ПКФ
БАО, 1997.
10. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для
учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1997.
95