Пьянков В.П. Тексты лекций по элементарной математике
Подождите немного. Документ загружается.
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Обе части неотрицательны – можно возвести в квадрат:
2
)1(52 xx
;
1252
2
xxx
;
04
2
x
;
);2(
0)2)(2(
0
x
xx
x
.
);2(
)0;5,2[
x
x
Ответ:
);2()0;5,2[ x
.
31
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Если в знаменателе находится иррациональное выражение, могущее быть как положительным, так и
отрицательным, то иногда может помочь умножение числителя и знаменателя на сопряженное
иррациональное выражение.
Пример [9], с.63. Решить неравенство
4
132
2
x
x
.
Решение.
xx 0132
ОДЗ.
Умножая числитель и знаменатель на
132 x
, получим неравенство, эквивалентное данному,
4
132
)132)(2(
2
x
xx
;
4
)2(2
)132)(2(
x
xx
02
4
2
132
x
x
;
2
732
x
x
2
032
4932
x
x
x
;
2
5,1
26
x
x
x
Ответ:
)26;2()2;5,1[ x
.
32
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Если иррациональное выражение положительно при всех допустимых значениях х, то можно
умножить на него неравенство.
Пример. Решить неравенство
1
132
2
x
x
.
Решение. Это неравенство равносильно неравенству
1322 xx
, т.к.
0132 x
на ОДЗ.
032
)3(32
03
332
2
x
xx
x
xx
5,1
9632
3
2
x
xxx
x
;0128
;3
2
xx
x
.6;2
21
xx
Ответ:
);6( x
.
33
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Положительным может быть сопряженное выражение. Можно попробовать умножить на него
неравенство. В некоторых случаях это приводит к успеху.
Пример. Решить неравенство
2
1112
x
x
.
Решение. ОДЗ:
0
012
x
x
;
0
5,0
x
x
;
);0()0;5,0[ x
.
xx 0112
ОДЗ.
Умножая данное неравенство на
)112(2 x
, получим эквивалентное неравенство:
112
)112(2
2
x
x
x
;
112
4
x
x
x
.
1124 x
;
312 x
;
912 x
;
82 x
.
);0()0;5,0[
4
x
x
Ответ:
)4;0()0;5,0[ x
.
34
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Пример [9], с.63. Решить неравенство
2452 xxx
.
Решение. ОДЗ:
05
02
x
x
;
0
0
2
x
x
x
.
xxx 052
ОДЗ.
Умножая данное неравенство на
xx 52
, получим равносильное неравенство
)52)(24(52 xxxxx
;
024)52)(24( xxxx
;
0)152)(24( xxx
0
024
x
x
,
т.к.
xxx 0152
ОДЗ.
0
2/1
x
x
.
Ответ:
)5,0;0[x
.
35
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
При умножении неравенства на неотрицательное выражение, обращающееся в ноль в некоторых
точках ОДЗ, следует проводить дополнительные действия. В этих точках надо делать проверку
неравенства. Иначе можно потерять решения или приобрести посторонние.
Пример. Решить неравенство
xxxxx 2132
22
.
Решение. ОДЗ:
0)13(
0)2(
xx
xx
);0[]2;( x
.
Сопряженное выражение
xxxxx 032
22
ОДЗ.
Оно обращается в ноль только при
0x
.
1) Проверим, является ли
0x
решением данного неравенства.
100
;
10
– верное неравенство. Вывод:
0x
– решение.
2) При
);0(]2;( x
выражение
032
22
xxxx
. Умножим на него заданное неравенство:
xxxxxxxxx
2222
32)21()3(2
;
xxxxxxx
22
32)21()21(
;
032)21(
22
xxxxxx
.
а) При
]2;( x
имеем:
0 x
;
032
22
xxxxx
;
021 x
,
36
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
т.е. данное неравенство выполняется.
б) При
);0( x
2
xx
и неравенство принимает вид
0132)21( xxxxx
Функция
t
возрастающая. Поэтому
xx 2
, тем более
xxx 132
.
Т.к.
00132 xxxxx
, из неравенства следует:
021 x
;
.5,0x
Итак,
)5,0;0(x
– решения.
)5,0;0(
]2;(
0
x
x
x
.
Ответ:
).5,0;0[]2;( x
37
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Такую же проверку надо делать и в случае, когда выполняется деление неравенства на
неотрицательное выражение, обращающееся в ноль в некоторых точках ОДЗ. Так, например, надо
поступать, решая однородные неравенства.
Кроме того, напомним о методе замены переменной.
Пример. Решить неравенство
4
2
13121 xxx
.
Решение.
ОДЗ:
01
01
01
2
x
x
x
;
01
01
0)1)(1(
01
01
x
x
xx
x
x
;
]1;1[
1
1
x
x
x
.
012)1)(1(31
4
xxxx
.
Это однородное неравенство 2-го порядка относительно выражений
4
1 x
и
4
1 x
.
1) Проверим, является ли
1x
решением данного неравенства.
0011
;
02
– верное неравенство. Вывод:
1x
– решение.
2) При
)1;1[x
разделим неравенство на
x1
.
02
1
1
3
1
1
4
x
x
x
x
. Замена
4
1
1
x
x
t
.
2
1
023
2
t
t
tt
.
38
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
2
1
1
1
1
1
4
4
x
x
x
x
;
16
1
1
1
1
1
x
x
x
x
. Учтем, что
01 x
при
)1;1[x
.
);1(161
11
xx
xx
;1517
02
x
x
)1;17/15()0;1[
)1;1[
17/15
0
x
x
x
x
.
Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем
ответ:
]1;17/15()0;1[ x
.
39
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Пример [6], №426. Решить неравенство
612168 xxxx
.
Решение. ОДЗ ограничено, по крайней мере, неравенством
01 x
.
Выделим под корнями полные квадраты:
6112191321 xxxx
61131
22
xx
61131 xx
ОДЗ:
1x
.
1) При
031 x
,
31 x
имеем:
5131 xx
;
53
– неверно.
2) При
31 x
имеем:
5131 xx
;
812 x
.
17
01
161
41
31
41
x
x
x
x
x
x
.
Ответ:
);17( x
.
40