Пьянков В.П. Тексты лекций по элементарной математике
Подождите немного. Документ загружается.
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
3)
xx sin
;0x
,
xx arcsin
1 0;x
.
4)
xx tg
2 ;0
x
,
xx arctg
;0x
.
5) Из предыдущего следует:
xxx tgsin
2 ;0
x
и тому подобное.
В пунктах 3 – 5 равенства выполняются только при
0x
.
Используя перечисленное, приходим к выводу, например, что уравнения
)(2
)(
xf
xf
,
)(log3
3
)(
xf
xf
,
где
)(xf
– какое-либо выражение, не имеют решений.
Привлекая еще и оценку
t
t
arctg05
)0 ;(t
, то же самое можно сказать и об уравнении
xxf
xf
)( arctg 5
)(
,
что нельзя сказать об уравнении
)( tg)(lg xfxf
.
71
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Тригонометрические оценки
1)
1sin
,
1cos
R .
2)
2arcsin
t
,
tarccos0
1 ;1 t
;
2 arctg
t
,
t arcctg0
Rt
.
Следуют из определений (главных значений) обратных тригонометрических функций.
3)
1sinsin
,
1cossin
,
1coscos
,
R.
Подобных множителей может быть больше.
4)
22
cos sin baba
R .
Оценка получается, если
cos sin ba
преобразовать, вводя вспомогательный угол.
5)
baba
cos sin
,
R.
Здесь может быть сумма синусов или сумма косинусов с различными коэффициентами и аргументами,
большее число подобных слагаемых.
6)
2
sinsin
n
,
2
coscos
n
n
N, n2,
R.
Эти оценки следуют из неравенства подпункта 1 пункта «Сравнения функций».
72
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Кроме того, здесь учтено, что положительное число больше отрицательного.
Если сложить данные неравенства при различных значениях n и учесть, что
1cossin
22
, то
получим оценки:
1cossin
mn
n,m
N, n2, m2,
R
(сочетания знаков может быть любым).
7)
2
sinsin
n
,
2
coscos
n
]2 ;0(n
,
R .
Если просуммировать данные неравенства, то получим оценку
1cossin
mn
]2 ;0(n
,
]2 ;0(m
,
R .
73
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
«Нестандартные» методы решения уравнений с одним неизвестным
Некоторые уравнения, содержащие функции различных видов, невозможно решить обычными
методами, но их можно решить нетрадиционными способами.
Метод подбора для уравнений с монотонными функциями
Если уравнение не поддается решению «стандартными» методами, то можно попробовать подобрать
его корни. Метод подбора – приемлемый метод. Мы им уже неоднократно пользовались. Однако он имеет
существенный недостаток. После подбора одного или нескольких корней обычно остается открытым
вопрос, остались ли еще ненайденные корни. Сколько еще надо гадать? Ведь решить уравнение – это
значит найти все его корни. Для закрытия этого вопроса могут помочь следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть уравнение
)()( xgxf
имеет на промежутке
) ;( ba
корень
0
x
. Если функции
)( и )( xgxf
на
) ;( ba
непрерывны, одна строго возрастает, а другая строго убывает, то
0
x
–
единственный на
) ;( ba
корень. (Сделайте рисунок.)
74
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Теорема 2. Пусть уравнение
cxf )(
, где
constc
, имеет на
) ;( ba
корень
0
x
. Если функции
)(xf
на
) ;( ba
непрерывна и строго монотонна (только строго возрастает или только строго убывает), то
0
x
– единственный на
) ;( ba
корень. (Сделайте рисунок.)
В качестве примера рассмотрим два внешне очень похожих уравнения.
Уравнение
68383
xx
с помощью замены
x
t 83
приводится к квадратному уравнению,
т.к. числа
83
и
83
являются взаимно обратными:
1898383
.
Следующее же уравнение подобным образом не решается.
Пример. Решить уравнение
x
xx
68383
.
Решение. Подбором находим, что
1x
– корень. Проверка:
68383
; 6=6.
Теперь осталось доказать, что найденный корень – единственный.
1-й способ. Разделим уравнение, на
x
6
, что можно делать без потери корней, т.к.
Rx
x
06
.
1
6
83
6
83
xx
.
75
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Слева – две убывающие показательные функции, т.к. основания меньше 1. Их сумма – строго убывающая
функция. Справа – константа. Значит, один корень.
2-й способ. Разделим уравнение на
x
83
:
x
x
83
6
83
83
1
.
Слева строго убывающая функция (основание
1a
), справа возрастающая (
1a
). Значит, корень
единственный.
Ответ: х=1.
Часто не поддаются решению «стандартными» методами уравнения, содержащие функции различных
видов. Ниже приведены в качестве примеров некоторые из них, легко решаемые описанным способом. В
первом примере, кроме того, обращаем внимание на необходимость непрерывности функций на
рассматриваемых промежутках.
Пример. Решить уравнение
x
x
331
.
Решение. ОДЗ:
0x
.
При
0x
равенства не может быть, т.к. слева больше 0, справа меньше 0.
Подбором находим, что
1-x
– корень. Проверка:
)1(331
1
; 3=3.
76
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
На промежутке
0) ;(
слева имеем непрерывную убывающую функцию, а справа – непрерывную
возрастающую. Значит, корень – один.
Ответ: –1.
Примеры:
13
x
x
, ответ: 0;
1log
2
xx
, ответ: 1;
52log
5,0
xx
, ответ: 2.
77
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Метод оценок для уравнений с ограниченными функциями
Метод заключается в проведении оценок ограниченности частей уравнения. Если промежутки
значений левой и правой частей не имеют общих точек (не перекрываются), то решений нет. Если
промежутки, соприкасаясь, имеют одно общее значение, то уравнение эквивалентно системе более простых
уравнений. Так,
если
)()( xgbaxf
хОДЗ, то
xxgxf )()(
;
если
)()( xgaxf
хОДЗ, то
axg
axf
xgxf
)(
)(
)()(
Пример. Решить уравнение
xx
xx
3312
2
.
Решение.
0)1()12(12
222
xxxxx
Rx
,
Rx
xx
332
.
Равенства не может быть ни при каких значениях х.
Ответ: .
Пример. Решить уравнение
1cos
2
xx
.
78
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Решение.
Rxxx 11cos
2
. Равенство может быть только тогда, когда обе части равны 1.
Следовательно, уравнение равносильно системе уравнений
0
0
,2
11
1cos
2
x
x
Znnx
x
x
.
Ответ: х=0.
Пример. Решить уравнение
03423
8
2
6
2
xxxx
.
Решение. Сумма неотрицательных выражений может быть равна 0 только тогда, когда оба слагаемых
равны 0. Поэтому уравнение эквивалентно системе уравнений
034
023
034
023
2
2
8
2
6
2
xx
xx
xx
xx
1
}3 ;1{
}2 ;1{
x
x
x
Ответ: х=1.
Нет необходимости решать оба уравнения системы уравнений с одним неизвестным. Можно решить
то, которое проще или имеет меньшее количество корней. Затем найденные корни подставить в другое
уравнение с целью отбора тех, которые обращают его в правильное числовое равенство.
79
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Пример. Решить уравнение
)(
2
cos2
1
2
2
2
xx
x
x
.
Решение ОДЗ: х0.
2/)(cos22
222
xxxx
х0.
Уравнение равносильно системе
22/)(cos2
2
2
22
xx
xx
12/)(cos
1
2
2
xx
x
12/)(cos
1
2
xx
x
1)2/)11(cos(
1
1)2/)11(cos(
1
x
x
1cos
1
10cos
1
x
x
11
1
11
1
x
x
1x
.
Ответ:
1x
.
Замечание. Нередко в работах учащихся можно встретить следующую запись:
11
1x
80