Пьянков В.П. Тексты лекций по элементарной математике
Подождите немного. Документ загружается.
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Возьмем, к примеру, так называемое каноническое уравнение прямой
q
yy
p
xx
00
,
где
),(
00
yx
– координаты данной точки, через которую проходит прямая,
),( qp
– координаты направляющего вектора.
В этом уравнении допускается писать 0 в качестве p или q, т.к. они могут быть таковыми.
Например,
30
2 yx
, где формально переходят к равенству
3
0
2
y
x
и получают приемлемый результат:
02 x
,
2x
.
Обобщенные производные пропорции
ndmc
ldkc
nbma
lbka
(1),
ndmb
ldkb
ncma
lcka
(2),
где k, l, m, n – любые числа при ограничении, что
0m
или
0n
. Пропорции (1) и (2) составлены из
линейных комбинаций членов исходной пропорции. В пропорции (1) слева – комбинации членов одного
11
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
отношения, справа – другого. В пропорции (2) слева – комбинации предыдущих членов, справа –
последующих.
Доказательство пропорции (1):
d
c
b
a
d
kc
b
ka
l
d
kc
l
b
ka
d
ldkc
b
lbka
.
Аналогично получаем равенство
d
ndmc
b
nbma
при других коэффициентах.
Разделив эти равенства друг на друга, получаем пропорцию (1).
Доказательство пропорции (2):
d
c
b
a
d
b
c
a
. Далее также.
Система пропорций
Иногда в описании пропорций применяют запись вида
nmkcba ::::
, что означает систему
пропорций
nmcb
mkba
::
::
.
12
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Эту запись пропорций не надо трактовать как равенство результатов последовательных действий деления,
которое имеет тот же внешний вид, но означает другое:
mn
k
bc
a
.
Отметим, что встречаются системы пропорций и с большим количеством членов.
13
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Иррациональные уравнения с несколькими кубическими корнями
Рассмотрим уравнения вида
333
)()()( xhxgxf
.
В правой части может отсутствовать в явном виде кубический корень или находиться константа. Для
решения всех уравнений такого вида существует один общий метод. В начале рассмотрим его, а затем
метод замены переменной для некоторого частного случая.
Общий метод
В этом методе уравнение дважды возводится в куб. Перед вторым возведением производится
преобразование, основанное на формуле сокращенного умножения
3332233
)(333)( bbaabababbaaba
.
Это преобразование приводит к значительным упрощениям, именно, за счет него появляется
возможность ограничиться только двумя возведениями в куб. Однако оно дает уравнение-следствие, т.е.
может привести к появлению посторонних корней. Поэтому в этом методе проверка корней обязательна.
Далее будет показано, когда посторонние корни не появляются. В этих случаях для полноты решения
все-таки следует делать проверку или теоретически обосновывать ее необязательность.
14
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Ход действий общего метода (для сокращения записи зависимость от х не пишется):
3
33
hgf
3
3
3
33
hgf
hggffgf
333
3
hgfghf
3
3
(Последнее уравнение получено путем замены в предыдущем уравнении выражения в скобках на
3
h
согласно данному равенству)
gfhfgh
3
3
3
)(27 gfhfgh
.
После решения рационального уравнения делается проверка найденных корней подстановкой в заданное
уравнение.
Пример [6], №347. Решить уравнение
333
62243 xxx
.
Решение.
333
62243 xxx
xxx
3
33
62243
xxxxxxx )62(62243)62)(243(3243
33
3
xxxxxx 62)62)(243(3243
3
3
)62)(243(318 xxx
6)62)(243(
3
xxx
3
6)62)(243( xxx
3
6)3(2)8(3 xxx
36)3)(8( xxx
36)2483(
2
xxxx
0362411
23
xxx
.
15
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Решая рациональное уравнение методом подбора, находим:
6;1
3,21
xx
.
Проверка:
1)
1x
;
3
33
162243
;
1827
33
;
123
;
11
.
2)
6x
;
333
66122418
;
333
666
;
33
662
(посторонний корень).
Ответ: 1.
Объясним, откуда появляются посторонние корни. Известно, что возведение уравнения в куб не
приводит к появлению посторонних корней. Значит, они появляются при переходе
от
hggffgf
333
3
к
hgfghf
3
3
.
Оказывается, в уравнении
03
3
fghhgf
, эквивалентном последнему уравнению, левая часть
раскладывается на множители. Это можно сделать с помощью известного тождества
222
333
2
1
3 accbbacbaabccba
(Проверьте его верность, раскрыв в правой части скобки).
В результате получаем
0
2
1
2
3
3
2
3
3
2
33
3
33
hghfgfhgf
.
16
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Последний сомножитель представляет собой сумму квадратов. Он обращается в 0, когда каждый
квадрат равен 0. Следовательно, уравнение (*) равносильно совокупности, состоящей из исходного
уравнения и системы
)()(
)()(
xhxf
xgxf
hg
hf
gf
Посторонние корни являются решениями этой системы.
Если
ОДЗ)()( xxgxf
или
ОДЗ)()( xxhxf
, то посторонних корней нет.
(ОДЗ – область допустимых значений.)
Метод замены переменной
Если в уравнении справа константа (т.е. нет третьего корня) и
)(),( xgxf
– линейные функции или
функции, содержащие одинаковые фрагменты с переменной х, то можно провести замену, при которой не
надо делать перехода, приводящего к посторонним корням.
Пример. Решить уравнение
1112
33
xx
[9], с. 33.
17
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Отметим, что решение этого уравнения описанным выше методом приводит к появлению постороннего
корня
0x
.
Решение. Замена:
tx
3
1
;
3
1 tx
;
1
3
tx
.
11)1(2
3
3
tt
;
tt 112
3
3
;
33
)1(12 tt
;
323
33112 tttt
;
0333
23
ttt
;
0)1(3
2
ttt
;
0
1
t
;
01
2
tt
, т.к.
0D
.
Обратная замена:
01
3
x
;
01 x
;
1x
.
Ответ: 1.
18
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Решение иррациональных неравенств
Решение иррациональных неравенств обычно сводится к решению рациональных. Часто для
избавления от радикалов иррациональные неравенства приходится возводить в степень. При этом следует
знать, что:
1) неравенство можно возводить в нечетную степень; в результате получается эквивалентное
неравенство;
2) неравенство можно возводить в четную степень с сохранением знака неравенства тогда, когда обе
части неотрицательны, добавляя в систему условия, описывающие ОДЗ данного неравенства.
Пример [6], №409. Решить неравенство
xxxx
3 23
352
.
Решение. ОДЗ:
Rx
.
3
3
3 23
352 xxxx
;
323
352 xxxx
;
0352
2
xx
;
12425 D
;
1
4
15
1
x
;
2
3
4
6
4
15
2
x
.
Ответ:
]5,1;1[x
.
19
+ +–
х
1,51
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Решение неравенств с корнями четных степеней намного сложнее. Вначале рассмотрим примеры
простейших из них.
1)
xx 11
.
Квадратный корень неотрицателен и не может быть меньше отрицательного числа ни при каких х.
2)
0111
4
xx
;
1x
;
);1[ x
.
Неотрицательный корень всегда больше отрицательного числа, конечно, если он существует.
Поэтому данное неравенство эквивалентно условию существования корня.
3)
01
11
11
6
6
x
x
x
;
1
0
x
x
;
)0;1[x
.
Здесь обе части неотрицательны и для избавления от корня данное неравенство возводится в степень.
4)
11
01
11
11
8
8
x
x
x
x
;
0x
;
);0( x
.
В системе одно неравенство отброшено по правилу «больше большего».
Теперь рассмотрим некоторые типы неравенств с корнями четных степеней.
20