Пьянков В.П. Тексты лекций по элементарной математике
Подождите немного. Документ загружается.
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Неравенство вида
kk
xgxf
22
)(][)(
0)(
0)(
)(][)(
xg
xf
xgxf
)3(
)2(
)1(
0)(
)(][)(
xg
xgxf
Обе части данного неравенства неотрицательны, и его можно возвести в степень 2k. В результате
получается неравенство (1). Неравенства (2), (3) – условия существования корней. В системе неравенство
(2) можно отбросить, т.к. оно выполняется при выполнении неравенств (2) и (3):
0)(][)( xgxf
.
Если корни разных четных степеней, то неравенство возводится в степень, равную наименьшему
общему кратному (НОК) степеней данных корней. При этом следует быть внимательным: не всегда можно
сократить систему за счет отбрасывания одного из условий существования корней.
Пример. Решить неравенство
4
2
12 xx
.
Решение. Обе части неравенства неотрицательны. Возведем его в 4-ю степень:
4
4
2
4
12
xx
21
1,25
х
1
х
-1
+–+
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
;01
;02
;1)2(
2
22
x
x
xx
;54
;144
22
x
xxx
;01
;2
;25,1
2
x
x
x
0)1)(1(
25,1
xx
x
Ответ:
)25,1;1[]1;( x
.
Неравенство вида
)(][)(
2
xgxf
k
0)(
)(][)(
0][)(
2
xf
xgxf
xg
k
)3(
)2(
)1(
Если правая часть данного неравенства примет отрицательное значение (или ноль в строгом случае),
то неравенство будет неверным ( 1≤[<]–1; 0≤[<]–1; 0<0 – неверные неравенства ). Поэтому в эквивалентной
системе записано условие (1). Поскольку обе части неотрицательны, исходное неравенство можно возвести
в степень 2k, что и отражено в неравенстве (2). Неравенство (3) – условие существования корня.
Пример [6], №410. Решить неравенство
4363
2
xxx
.
22
+–+
х
2
8
5
х
3
1
1
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Решение. Данное неравенство равносильно системе
1)
43 x
;
3/4x
.
2)
1624963
22
xxxx
;
010218
2
xx
;
121320441 D
;
11121
;
8
5
16
10
16
1121
1
x
;
2
16
32
16
1121
2
x
.
3)
063
2
xx
Rx
, т.к.
0249 D
.
Rx
xx
x
02858
3
1
1
Ответ:
);2( x
.
23
063
)43(63
043
2
22
xx
xxx
x
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Неравенство вида
)(][)(
2
xgxf
k
0)(
)(][)(
0)(
0)(
0)(
2
xf
xgxf
xg
xf
xg
k
)5(
)4(
)3(
)2(
)1(
)(][)(
0)(
0)(
0)(
2
xgxf
xg
xf
xg
k
Здесь имеем совокупность двух систем. В 1-й системе данное неравенство решается при условии (1)
(отрицательности правой части), во 2-й – при противоположном условии (3) (неотрицательности правой
части).
При условии (1) данное неравенство выполняется само по себе, т.к. корень неотрицателен. Лишь бы
он существовал. Поэтому в 1-й системе данное неравенство не записано, указано только условие (2)
существования его корня.
При условии (3) обе части данного неравенства неотрицательны, и с целью избавления от радикала
данное неравенство возводится в степень 2k. Во 2-й системе условие существования корня можно опустить,
т.к. оно выполняется при выполнении условий (3) и (4):
0)(][)(
2
xgxf
k
.
24
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Пример [6], №421. Решить неравенство
2103
2
xxx
.
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
1)
0103
02
2
xx
x
;
0)5)(2(
2
xx
x
;
]2;( x
;
2)
;)2(103
;02
22
xxx
x
;44103
22
xxxx
14
2
x
x
14 x
.
);14(
]2;(
x
x
Ответ:
);14(]2;( x
.
25
2
х
5
х
-2
+–+
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Другие виды неравенств
Далее приведем ряд примеров с другими типами неравенств, решение которых, в конечном счете,
сводится к решению неравенств рассмотренных выше видов.
Пример [9], с.64. Решить неравенство
1216 xxx
.
Решение. ОДЗ:
012
016
0
x
x
x
;
0
2/1
6/1
0
x
x
x
x
.
1216 xxx
. Это неравенство можно возвести в квадрат, т.к. обе части неотрицательны.
121216216 xxxxx
;
2712162 xxx
.
Последнее неравенство выполняется на ОДЗ, т.к.
0027 xx
.
Ответ:
);0[ x
.
26
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Пример. Решить неравенство
1
1
5
x
x
.
Решение. ОДЗ:
01
05
x
x
;
1
5
x
x
;
);1()1;5[ x
.
1) При
)1;5[x
знаменатель положителен. Умножим неравенство на него (с сохранением знака
неравенства):
xx 15
.
Слева и справа неотрицательные выражения. Следовательно, неравенство можно возвести в квадрат:
2
)1(5 xx
;
2
215 xxx
;
043
2
xx
.
)1;5[
0)1)(4(
15
x
xx
x
2) При
);1( x
дробь отрицательна и, следовательно, неравенство
выполняется.
Ответ:
);1()1;5[ x
.
Пример. Решить неравенство
1
31
x
x
.
27
х
-5
1
+
4
х
-1
–+
2
-1
х
1
3
+
х
–+
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Решение. ОДЗ:
0
03
x
x
;
0
3
x
x
;
]3;0()0;( x
.
1) При
)0;(x
дробь отрицательна и неравенство не верно.
2) При
]3;0(x
умножим неравенство на положительный знаменатель:
xx 31
.
Приведем его к «стандартному» виду
13 xx
.
а) При
)1;0(x
справа отрицательное выражение, а слева положительное и, следовательно,
неравенство выполняется.
б) При
]3;1[x
обе части неотрицательны и неравенство можно
возвести в квадрат:
2
)1(3 xx
;
123
2
xxx
;
02
2
xx
.
)2;1[
0)2)(1(
31
x
xx
x
.
)2;0(
)2;1[
)1;0(
x
x
x
.
Ответ:
)2;0(x
.
28
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Пример. Решить неравенство
1
122
x
x
.
Решение. ОДЗ:
0
022
x
x
;
0
1
x
x
;
);1[ x
.
На ОДЗ
0x
. Поэтому данное неравенство можно умножить на х, сохранив знак неравенства:
xx 122
;
122 xx
.
На ОДЗ обе части полученного неравенства неотрицательны. Возведем его в квадрат:
2
)1(22 xx
;
1222
2
xxx
.
);1[
);1[
);1[
03
2
x
x
Rx
x
x
. Ответ:
);1[ x
.
29
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Пример. Решить неравенство
1
152
x
x
.
Решение. ОДЗ:
0
052
x
x
;
0
5,2
x
x
;
);0()0;5,2[ x
.
1) Если
)0;5,2[x
, то знаменатель отрицателен и при умножении неравенства на него знак
неравенства «переворачивается»:
xx 152
;
152 xx
.
а)
)1;5,2[
)0;5,2[
1
;
)0;5,2[
01
x
x
x
x
x
.
б)
2
)1(52
)0;5,2[
01
xx
x
x
;
04
)0;5,2[
1
2
x
x
x
0)2)(2(
)0;1[
xx
x
)0;1[ x
.
)0;5,2[
)0;1[
)1;5,2[
x
x
x
2) Если
);0( x
, то при умножении неравенства на х знак неравенства сохраняется:
xx 152
;
152 xx
.
30
2
-2
+
х
–+
х
-1
0