Пьянков В.П. Тексты лекций по элементарной математике
Подождите немного. Документ загружается.
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Теперь вернемся к рассмотрению неравенств с кубическими корнями, более сложных по сравнению с
первым.
Пример. Решить неравенство
1112
33
xx
.
Решение. ОДЗ:
Rx
. Замена
3
1 xt
;
1
3
xt
;
1
3
tx
.
11)1(2
3
3
tt
;
tt 112
3 3
;
33
)1(12 tt
;
323
33112 tttt
;
0333
23
ttt
;
00)1(3
2
tttt
, потому что
Rttt 01
2
, т.к.
0D
.
01
3
x
;
3
01 x
;
1x
. Ответ:
)1;(x
.
41
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Пример [9], с.67. Решить неравенство
0321
333
xxx
.
Решение. ОДЗ:
Rx
.
333
321 xxx
;
)3(21
3
33
xxx
;
032)2)(1(3)2()1(31
3
2
3
2
xxxxxxx
;
02)2)(1()2()1(3
3
2
3
2
xxxxx
;
0)2()2)(1()1(2
3
2
3
3
2
3
xxxxx
.
Из неравенства следует, что
02
3
x
, т.к. задано строгое неравенство.
Поэтому без потери решений можно вынести за скобки еще
3
2
)2( x
.
0201
2
1
2
1
)2(
3
3
2
x
x
x
x
x
x
,
потому что выражение в скобках больше 0 всегда (кроме
2x
):
Raaa 01
2
, т.к.
0D
.
2x
.
Ответ:
)2;( x
.
42
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Исследование квадратных трехчленов с параметром
Остановимся на совокупности параметрических задач с квадратным трехчленом или уравнением, в
которых приходится составлять и решать неравенства относительно параметра. Среди них можно выделить
несколько типичных задач, чаще всего предлагаемых на экзаменах, и на их примере разобраться в подходах
к решению и методах решения. Остальные задачи из этой совокупности, в конечном счете, или сводятся к
типичным задачам, или решаются похожим образом.
В теоретических описаниях будем использовать следующие обозначения:
)()()(),(
2
pCxpBxpApxf
,
где
)( pA
,
)( pB
и
)( pC
– выражения коэффициентов, содержащие параметр р,
)()(4)()(
2
pCpApBpD
,
)(2)()( pApBpx
B
.
Часто для краткости будем опускать указания зависимости от р.
Обратим внимание на «подводный камень» параметрических задач: о возможности «вырождения»
вида выражений.
),( pxf
является квадратичным относительно х при
0)( pA
. При
0)( pA
оно
обращается (вырождается) в линейное. При этом кардинально меняются свойства и формулы. Описание
некоторых задач, предлагаемых на экзаменах, допускает возможность вырождения, однако, на этом не
заостряется внимание.
43
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
1. При каких значениях параметра р трехчлен
Rxpxf 0],,[),(
?
Условие
Rxf 0
выполняется в квадратичном случае тогда и
только тогда, когда ветви параболы (на рис. сплошная линия) идут вверх и не
пересекают ось Ох (т.е. корней нет), в линейном же случае, когда прямая
(пунктирная линия) проходит параллельно оси Ох над нею. Следовательно, для
ответа на поставленный вопрос с указанным условием надо решить
совокупность систем
0)(
0)(
0)(
0)(
0)(
pC
pB
pA
pD
pA
.
Другим условиям соответствуют следующие рисунки и совокупности систем:
44
y=f(x)
х
у
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Rxf 0
Rxf 0
Rxf 0
0
0
0
0
0
C
B
A
D
A
0
0
0
0
0
C
B
A
D
A
0
0
0
0
0
C
B
A
D
A
45
х
у
х
у
х
у
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Конечно, линейный случай не надо рассматривать, если из условия задачи ясно, что
0)( pA
для всех
допустимых р (например, задано не зависящее от параметра ненулевое значение А). Кроме того, вместо
дискриминанта можно записывать его четверть.
46
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Пример. Найти все значения параметра а, при которых выражение
axaxa 7)1(2)1(lg
2
определено для любых значений переменной х.
Решение. Область определения
tlg
ограничена условием
0t
.
Поэтому должно быть
Rxaxaxa 07)1(2)1(
2
, что возможно в случаях:
1)
;0)7)(1()1(
;01
2
aaa
a
;01
;0)4)(1(2
;0)71)(1(
a
aa
aaa
;04
;01
a
a
)4;1(
;4
;1
a
a
a
2)
07
0)1(2
01
a
a
a
7
1
a
a
1a
.
Ответ:
)4;1[a
.
47
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Совокупность следующих задач можно назвать параметрическими задачами на распределение
корней квадратного уравнения.
Пример [1], с. 95. В каком промежутке должно находиться число m, чтобы корни уравнения
012
22
mmxx
находились на отрезке
]4;2[
?
Решение.
1)1(
22
1
mmD
;
1
2,1
mx
;
412
412
m
m
;
51
33
m
m
Ответ: [–1; 3].
Пример [4], №6.58. Найти все значения n, при которых корни уравнения
02)1(
2
xnnx
будут действительны и оба по модулю меньше 1.
Здесь
168)1(
22
nnnnD
;
n
nnn
x
2
161
2
2,1
;
1
2,1
x
)1;1(
2,1
x
;
1
2
161
1
1
2
161
1
2
2
n
nnn
n
nnn
48
Это система четырех «нестандартных» иррациональных
неравенств, которую решить не так-то просто. Здесь
лучше применить другой способ. Решение этой задачи
другим способом приведено в конце этого раздела.
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
Итак, существует два подхода к решению параметрическими задачами на распределение корней
квадратного уравнения: «прямой» и «графический».
В первом подходе берут стандартную формулу корней квадратного уравнения
A
DB
x
2
2,1
и
согласно условию задачи составляют неравенства относительно параметра, которые иногда (если D –
полный квадрат) решаются легко. Если D не является полным квадратом, то из-за иррациональности их
решение представляет определенные трудности. Тогда можно выбрать другой подход. Во втором подходе
анализируют графики в различных ситуациях с целью установления необходимых и достаточных
признаков, соответствующих условиям задачи и приводящих к рациональным неравенствам относительно
параметра.
Один способ прост на этапе составления неравенств, но может быть сложен на этапе их решения.
Другой способ наоборот может представлять сложности на первом этапе в понимании сути, но прост на
втором. Поэтому естественно мы больше уделим внимания последнему способу (опуская излишне
подробные строгие доказательства приводимых утверждений).
49
В.П.Пьянков Избранные разделы элементарной математики
2.1. При каких значениях р уравнение
0),( pxf
имеет один корень на промежутке
);(
, другой на
);(
?
Это значит, что левая ветвь параболы
пересекает ось Ох на промежутке
);(
, а
правая – на интервале
);(
. Нарисуем такие
параболы при
0A
и
0A
. Из рис. видно,
что при
0A
0)(
f
и
0)(
f
, при
0A
наоборот
0)(
f
и
0)(
f
.
Отметим, что так у всех парабол,
удовлетворяющих условию задачи. На рисунках изображено по одной параболе-представительнице. На
самом деле их бесконечно много. Но все они обладают такими свойствами. (Проведите еще несколько
парабол, пересекающих ось Ох левой ветвью на промежутке
);(
, а правой на интервале
);(
).
Именно эти свойства отделяют их от парабол, не удовлетворяющих условию задачи.
Сведем неравенства в системы:
50
y=f(x)
A>0
β
α
х
у
A<0
β
α
х
у